우석대학교 에너지전기공학과

미적분학

강의 (11)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

10월16일 (수) 5교시

강의실: 테크노관 5211

3 1-1. 평균변화율  증분  𝑥 의 증분 (𝑥 의 변화량): 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑎 = ∆𝑥 𝑜𝑟 𝑏 − 𝑎 = ∆𝑥  𝑦 의 증분 (𝑦 의 변화량): 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑎 = ∆𝑦 𝑜𝑟 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = ∆𝑦  평균변화율  두변화량 (∆𝑥, ∆𝑦) 의 비 ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) 𝑎+∆𝑥 −𝑎 = 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥  평균변화율의 기하학적 의미 평균변화율은 점 𝑃(𝑥₁, 𝑦₁)과 점 Q(𝑥₂, 𝑦₂)를 지나는 직선의 기울기 𝑎 𝑎 + ∆𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑦 𝑄 𝑃 ∆𝑥 ∆𝑦 0 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) 𝑓(𝑎) 𝑏 𝑏 (지난 시간 강의 복습) 지난 시간 강의 복습

1-2. 순간변화율  𝑥 가 𝑎 에서 𝑎 + ∆𝑥 까지 변할 때 평균변화율: ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥  𝑥 = 𝑎 에서 평균변화율의 극한값 (∆𝑥 → 0 일 때)  lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥 극한값이 존재하면, 𝑓(𝑥) 는 𝑥 = 𝑎 에서 미분가능  미분계수 𝑜𝑟 순간변화율  𝑥 = 𝑎 에서 평균변화율의 극한값 𝑑𝑦_𝑑𝑥 |_𝑥=𝑎 = 𝑓′ 𝑎 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥 = lim_𝑏→𝑎 𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎  미분계수 𝑓′ 𝑎 의 기하학적 의미 𝑓′ _{𝑎 는 𝑥 = 𝑎 에서 함수 𝑓(𝑥) 의 접선의 기울기.}  𝑥 = 𝑎 에서 접선의 방정식: 𝑦 − 𝑓 𝑎 = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) 𝑎 𝑎 + ∆𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑦 𝑄 𝑃 ∆𝑥 ∆𝑦 0 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) 𝑓(𝑎) 𝑏 𝑏 접선 𝑎𝑡 𝑥 = 𝑎

5 2. 함수의 미분 2-1. 미분의 정의  미분의 정의로 도함수를 구하는 것은 매우 복잡함 미분의 정의: 𝑓′ 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 예시) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4 의 도함수 𝑓′ 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑥+∆𝑥 2−4 −{𝑥2−4} ∆𝑥 ∴ 𝑓′ _{𝑥 = lim} ∆𝑥→0 𝑥2+2𝑥∆𝑥+∆𝑥2 −4 − 𝑥2−4 ∆𝑥 = lim_∆𝑥→0 (2𝑥∆𝑥+∆𝑥2) ∆𝑥 = lim_∆𝑥→0 (2𝑥+∆𝑥)∆𝑥 ∆𝑥 = 2𝑥 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑓′ 𝑥 = (𝑥2 − 4)′= 2𝑥  미분법 정리 (정의에 의해 구한 도합수의 결과를 유형별로 정리)  𝑓 𝑥 = 𝑐 이면, 𝑓′ 𝑥 = 0, (𝑐 는 상수)  𝑐𝑓 𝑥 ′ = 𝑐𝑓′ 𝑥 , (𝑐 는 상수)  𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) ′ = 𝑓′ 𝑥 ± 𝑔′ 𝑥  𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) ′ = 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

예제2) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 에 대해 다음을 구하라. (1) 구간 [1, 2] 에서 𝑓 𝑥 의 평균변화율: ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥 = 𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎  ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 2 −𝑓(1) 2−1 = 22+2 − 12+1 1 = 4 (2) 두 점 (2, 𝑓(2)) 와 (1, 𝑓(1))을 통과하는 직선: 𝑦 − 𝑓 1 = ∆𝑦 ∆𝑥 𝑥 − 1 𝑜𝑟 𝑦 − 𝑓 2 = ∆𝑦 ∆𝑥 𝑥 − 2  𝑦 − 12 + 1 = 4 𝑥 − 1  𝑦 − 22 + 2 = 4 𝑥 − 2 (3) 𝑥 = 1 에서 𝑓 𝑥 의 미분계수를 정의에 의해 구하라 𝑓′ 1 = lim ∆𝑥→0 𝑓 1+∆𝑥 −𝑓(1) ∆𝑥 ∴ 𝑓′ _{1 = lim} ∆𝑥→0 1+∆𝑥 2+ 1+∆𝑥 −{12+1} ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 (∆𝑥2+3∆𝑥) ∆𝑥 = lim∆𝑥→0 ∆𝑥 + 3 = 3 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑓′ 𝑥 = (𝑥2 + 𝑥)′= _𝑑𝑥𝑑 𝑥2 + 𝑥 = 2𝑥 + 1 𝑓′ 1 = 2 + 1 = 3 𝑦 = 4𝑥 − 2

7 2-2. 합성함수의 미분 (Chain Rule)  함수 𝑦 = (2𝑥 + 1)2 의 미분  우변을 전개하면, 𝑦 = 4𝑥2 + 4𝑥 + 1  이 함수의 도함수: 𝑦′ = 4𝑥2 + 4𝑥 + 1 ′ = 8𝑥 + 4 = 4 2𝑥 + 1  함수 𝑦 = (2𝑥 + 1)5 의 미분 ???  합성함수 • 𝑦 = (2𝑥 + 1)5 에서 2𝑥 + 1 = 𝑢 로 놓으면 𝑦 = 𝑢5 • 𝑦 = (2𝑥 + 1)5 𝑢 = 2𝑥 + 1 과 𝑦 = 𝑢5 의 합성함수  그러므로, 𝑦 = 𝑢5 를 𝑢 에 대해 미분하고, 𝑢 = 2𝑥 + 1 를 𝑥 에 대해 미분하면, • 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑑 𝑑𝑢 𝑢 5 _{= 5𝑢}4 • 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 2𝑥 + 1 = 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 · 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 5𝑢 4 _{· 2} 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 10𝑢 4 _{= 10 2𝑥 + 1} 4 2. 함수의 미분 (숙제1) 미분의 정의를 이용하여, 𝑓 𝑥 = 𝑥−1 의 미분이 𝑓′ 𝑥 = −𝑥−2 가 됨을 증명하라. 제출양식: A4 용지 1장 제출 일시: 10월21일 (월) 3교시 전 까지 (시간 엄수)

1−2𝑥 2  위 식을 변형: 𝑦 = 1 1−2𝑥 2 𝑦 = (1 − 2𝑥)−2  위 식에서 1 − 2𝑥 = 𝑢 로 놓으면: 𝑦 = 𝑢−2 • 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑑 𝑑𝑢(1 − 2𝑥) −2₌ 𝑑 𝑑𝑢 𝑢 −2 _{= −2𝑢}−3 • 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 1 − 2𝑥 = −2 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4(1 − 2𝑥) −3₌ 4 1−2𝑥 3  함수 𝑦 = 3𝑥 + 1 의 미분  위 식을 변형: 𝑦 = 3𝑥 + 1 𝑦 = (3𝑥 + 1)12  위 식에서 3𝑥 + 1 = 𝑢 로 놓으면: 𝑦 = 𝑢12  𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑑 𝑑𝑢(3𝑥 + 1) 1 2= 𝑑 𝑑𝑢 𝑢 1 2 = 1 2𝑢 −1₂ 𝑑𝑦 = 𝑑𝑦 ·𝑑𝑢 = 1𝑢−12 · 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 · 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = −2𝑢 −3 _{· −2 = 4𝑢}−3

9 예시) 다음 각 함수의 도함수를 구하라 (1) 𝑦 = 1 1−𝑥2 2 𝑦 = (1 − 𝑥2)−2  위 식에서 1 − 𝑥2 = 𝑢 로 놓으면 𝑦 = 𝑢−2  𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑑 𝑑𝑢(1 − 𝑥 2₎−2_{= −2𝑢}−3  𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 1 − 𝑥 2 _{= −2𝑥} ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4𝑥(1 − 𝑥 2₎−3₌ 4𝑥 1−𝑥2 3 (2) 𝑦 = 𝑥 + 𝑥2 𝑦 = (𝑥 + 𝑥2) 1 2  위 식에서 𝑥 + 𝑥2 = 𝑢 로 놓으면 𝑦 = 𝑢12  𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 1 2𝑢 −1₂  𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑥2 = 1 + 2𝑥 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2(𝑥 + 𝑥 2₎−1_{2∙ 1 + 2𝑥 =} 1+2𝑥 2 3𝑥+1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 · 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 1 2(𝑥 + 𝑥2) −1_{2· (1 + 2𝑥)} 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 · 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = −2𝑢 −3 _{· −2𝑥 = 4𝑢}−3 2. 함수의 미분