2004년 9월 고2 모의고사 수학나형 문제

(1)

2004학년도 9월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시

수 리 영 역

‘나’형

성명

수험번호

2

1

◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오. ◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오. ◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때에는 반 드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오. ◦ 단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다. ◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점 을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다. ◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오. ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 1. a = 1 + 3, b= 1 - 3일 때, a2₊_b2_-_{a b 의 값} 은? [2점] ① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10 2. 행렬 A=

(

1 0

)

- 1 1 , B=

(

13 - 12

)

에 대하여 A B+ 2E=

( )

a₂ 2_b 라 할 때, 두 상수 a , b 의 합 a+b의 값은? (단, E 는 단위행렬이다.) [2점] ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 3. 두 행렬 A=

(

1 2

)

- 2 4 , B=

( )

1 02 1 에 대하여 행렬 AB- 1_{는? [2점]} ①

(

- 3 2

)

- 10 4 ②

(

- 10 33 2

)

③ ④

(

_{- 10 5}3 2

)

⑤

(

- 2 3_{9 4}

)

4. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점] 〈 보 기 〉 ㄱ. ( 2 ) 2 2 ₌ ₍_{2 2} ₎ 2 ㄴ. ( 3 ) 3 3 = (3 3 ) 3 ㄷ. ( 5 ) 5 5 ₌ ₍_{5 5} ₎ 5 ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(2)

수 리 영 역

2 ‘나’형

5. log ₍_x_{- 2 )}2( -x2+x+ 12) 가 정의되도록 x의 값을 정 할 때, 정수 x 의 개수는? [3점] ① 3 ② 5 ③ 6 ④ 7 ⑤ 9 6. 거듭제곱근에 대한 설명 중 옳은 것은? [3점] ① 4 _{81 = ±3} ② 3 _{-64 = - 8} ③ 16의 네제곱근은 ±2이다. ④ (- 3)2 _{의 제곱근은} ₃_이다. ⑤ - 1은 - 1의 세제곱근 중 하나이다. 7. 이차방정식 x2_{+ 2}_x_{- 1 = 0}_{의 두 근을} _{, 라 할 때,} 행렬 M=

(

α 1

)

- 1 β 에 대하여 행렬 의 모든 성분의 합은? [3점] ① 1 ② 2 ③ ④ 4 ⑤ 5 8. 그림과 같은 7 개의 칸에 22_,₂3_,₂4_,₂5_, _, _, _{을 하나} 씩만 써서 가로 칸의 수들의 곱과 세로 칸의 수들의 곱이 같 도록 하자. 이 때, (가)에 쓸 수 있는 수들을 모두 곱한 값 은? [4점] (가) ① 25 _② ₂7 _③ ④ 214 _⑤ ₂15

(3)

수 리 영 역

‘나’형

3

9. 역행렬이 존재하는 두 이차 정사각행렬 A , B 에 대하여 (A+B) (A -B) =A2_-_B2 이 성립하기 위한 필요충분조건을 <보기>에서 모두 고른 것 은? (단, E 는 단위행렬, O 는 영행렬이다.) [4점] 〈 보 기 〉 ㄱ. A B+B A =O ㄴ. (A B)2₌_A2_B2 ㄷ. A+B=E ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 10. 전체집합 U= { 1, 2, 3, 4, 5 }의 두 부분집합 A , B 가 A∪B=U, A∩B = φ 을 만족할 때, A , B 의 순서쌍 (A,B)의 개수는? (단, φ_는 공집합이다.) [3점] ① 8 ② 16 ③ 20 ④ 25 ⑤ 32 11. x3_{= 1}_{의 한 허근} _ω_{에 대하여} A = 1 - ω - ω + ω ω 라 하자. 이 때, 2 log2A의 값은? (단, 는 의 켤레복소 수이다.) [3점] ① 1 ② 3₂ ③ ④ 3 ⑤ 6 12. 그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정사 각형의 내부에 점P가 있다. 점 P를 지 나고 정사각형의 변에 수직인 두 선분을 그어 만들어지는 네 부분의 넓이를 각각 a , b , c , d 라 하자. 점 P를 이차 정사각행렬 A=

( )

a b_{c d 에 대응시킬 때, 옳} 은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? [4점] 〈 보 기 〉 ㄱ. 행렬 A 가 단위행렬이 되는 점 P가 있다. ㄴ. 행렬 A 의 역행렬이 존재하지 않는 점 가 있다. ㄷ. 행렬 A 의 역행렬이 존재하는 점 P가 있다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ

(4)

수 리 영 역

4 ‘나’형

13. 다음은 ‘행렬 A=

( )

a b_{c d 를 유리함수} f(x) = a x_{c x}₊+_db 에 대응시킬 때, A 의 역행렬이 존재하면 함수 f(x)의 역 함수도 존재한다.’ 는 사실을 증명한 것이다. < 증명 > A =

( )

a b_{c d 에 대하여} A 의 역행렬이 존재할 때, A - 1₌ 1 ad-bc

(

-dc a-b

)

이므로, A - 1_{에 대응하는 유리함수를 g}₍_x₎ _{라 하면,} g(x) = (가) 이 때, f(g(x) ) = a_c(₍ _{( 가) ) +}( 가) ) +_db = (나) 또한, g(f(x) ) = (나) 이므로, g(x)는 f(x) 의 역함수이다. 따라서, A 의 역행렬이 존재하면 f(x)의 역함수도 존재한다. 위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) ① _-d x_{c x}-₊b_a x ② _-d x_{c x}-₊b_a 1 ③ _-d x_{c x}-₊b_a -x ④ d x_{c x}₊-_ab x ⑤ d x_{c x}₊-_ab 1 14. 다음은 0 <m < n 인 자연수 m , n 에 대하여 기약분수 m n 이 소수점 아래 셋째 자리까지의 유한소수가 되기 위한 조건을 구하는 과정의 일부이다. 기약분수 m_{n 이 소수점 아래 셋째 자리까지의 유한} 소수라 할 때, m_{n 을} (가) 배 하면 정수가 된다. 이 정수를 k 라 하면 m_n × (가) = k 이다. 이 때, m 과 n 은 서로소이므로, n 은 의 약수 이다. 따라서 n 을 소인수분해하면 n = 와 같이 된다. … (이하 생략) … 위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) ① m 5α _{( α = 0 , 1 , 2 , 3 )} ② m 2α_⋅5β _{( α = 0 , 1 , 2 , 3 , β = 0 , 1 , 2 , 3 )} ③ 103 ₂α _{( α = 0 , 1 , 2 , 3 )} ④ 103 ₅α _{( α = 0 , 1 , 2 , 3 )} ⑤ 103 ₂α_⋅5β _{( α = 0 , 1 , 2 , 3 , β = 0 , 1 , 2 , 3 )}

(5)

수 리 영 역

‘나’형

5

15. 함수 y= |x-k| + 1의 그래프를 경계로 두 점 A ( 0 , 3 ), B ( 2 , 1 )이 서로 다른 영역에 속하도록 k의 값을 정할 때, 정수 k의 개수는? (단, 두 점 중 어느 하나도 경계선 위에 있지 않다.) [4점] ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 16. 그림과 같이 반지름의 길이가 1이고 중심에서 원점까지의 거리가 2인 원이 제1사분면 위에 있다. 이 원 위의 임의의 점 (a,b)_{에 대하여 ba 의 최대값을} M, 최소값을 m 이라 하자. tan θ₁=M, tan θ₂=m 을 만족하는 θ₁, θ₂에 대하여 θ₁- θ₂의 값은? (단, 0 < θ1< π₂ , 0 < θ2< π₂ ) [4점] ① π₆ ② π₅ ③ π₄ ④ π₃ ⑤ π₂ 17. 좌표평면에서 log 25의 지표와 가수를 각각 좌표, y 좌표로 하는 점을 A, log 1₂₅ 의 지표와 가수를 각각 좌표, y 좌표로 하는 점을 B라 하자. 이 때, 두 점 , 의 중점의 좌표는? (단, 로그는 상용로그이다.) [3점] ①

(

_{- 12 ,} 1₄

)

②

(

1_{2 , -} 1₄

)

③ ④

(

_{- 12 ,} 1₂

)

⑤

(

1_{2 , -} 1₂

)

18. 그림의 직각삼각형 ABC에서 ∠ A = 35o_, _, BC =a 이다. 이 때, tan 70o_{의 값을 a 에 대한 식으로 나타내면? [4점]} ① 2a 1 -a2 ② _{1 +}2a_a2 ③ ④ a 1 +a2 ⑤ 2a 1 +a2

(6)

수 리 영 역

6 ‘나’형

19. 현주는 이번 달 휴대전화의 사용 요금으로 20,000 원을 납 부하였다. 매월 사용 요금이 3%씩 증가한다고 할 때, 9개 월 후에 현주가 납부할 휴대전화 사용 요금을 주어진 상용로 그표를 이용하여 구하면? [4점] <상용로그표> 수 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 비 례 부 분 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.0 .0000 .0043 .0086 .0128 .0170 .0212 .0253 .0294 .0334 .0374 4 8 12 17 21 25 29 33 37 1.1 .0414 .0453 .0492 .0531 .0569 .0607 .0645 .0682 .0719 .0755 4 8 11 15 19 23 26 30 34 1.2 .0792 .0828 .0864 .0899 .0934 .0969 .1004 .1038 .1072 .1106 3 7 10 14 17 21 24 28 31 1.3 .1139 .1173 .1206 .1239 .1271 .1303 .1335 .1367 .1399 .1430 3 6 10 13 16 19 23 26 29 1.4 .1461 .1492 .1523 .1553 .1584 .1614 .1644 .1673 .1703 .1732 3 6 9 12 15 18 21 24 27 ① 약 25,400 원 ② 약 25,560 원 ③ 약 26,080 원 ④ 약 26,400 원 ⑤ 약 28,380 원 20. 다음은 기원전 17세기경 이집트 수학책『린드 파피루스』 에 실려 있던 수학 퍼즐의 일부이다. 일곱 채의 집이 있다. 집집마다 각각 일곱 마리의 고양이가 있다. 고양이들은 각각 일곱 마리의 쥐를 잡았다. 쥐들은 각각 일곱 개의 밀알을 먹었다. ⋮ 이 퍼즐에 나오는 고양이의 수와 밀알의 수를 곱한 값을 a 라 할 때, log7a 의 값은? [3점] ① 4 ② 5 ③ 6 ④ 7 ⑤ 8 21. 그림과 같이 두 선분에 의해 4등분 된 원판 위에 시계 반대방향으로 숫자 2,4,8,16이 쓰여져 있다. 원판이 원 점을 중심으로 회전하여 정지한 후, 원 판의 제2사분면의 위치에 있는 수를 m, 제 i 사분면의 위치에 있는 수를 ai ( i= 1,2,3,4)라 할 때, 이에 대응되는 행렬을

(

logma2 logma1

)

logma3 logma4 라 하자. 예를 들면, 제2사분면의 위치에 있는 수가 일 때 대응 되는 행렬은

(

log22 log216

)

log24 log28 이다. 제2사분면의 위치에 있는 수가 2, 일 때, 대응되는 행렬을 각각 A , B 라 하자. 이 때, 행렬 의 모든 성분의 합은? (단, 원판이 정지할 때 원판에 그려진 두 선분은 반드 시 좌표축 위에 놓여진다.) [4점] ① 9 ② 19₂ ③ ④ 21₂ ⑤ 11

단답형(22～30)

22. 부등식 을 만족하는 정수 의 개수를 구하시오. [3점]

(7)

수 리 영 역

‘나’형

7

23. 행렬 A =

( )

1 0 2 1 에 대하여 An의 모든 성분의 합이 100일 때, 자연수 n 의 값을 구하시오. [3점] 24. x, y 에 대한 연립방정식

(

a 3a + 1

)

4 a - 1

( )

xy =

( )

00 의 해 가 무수히 많을 때, 상수 a 의 값들의 합을 구하시오. [3점] 25. 백의 자리 수가 a, 십의 자리 수가 b , 일의 자리 수가 인 세 자리의 자연수를 행렬

( )

a b_c ₁ 에 대응시킨다. 이 때, 행렬

( )

a b_c 1 의 역행렬이 존재하지 않는 세 자리 자연수의 개수를 구하시오. [4점] 26. 이차 정사각행렬 A 의 (i,j)성분 ( , , j= 1,2)는 곡선 y= | sinx| 와 직선 y= ₍_i₊1 _j_{) π} x 의 교점의 개수를 나타낼 때, 행렬 의 모든 성분의 합을 구하시오. [4점]

(8)

수 리 영 역

8 ‘나’형

27.

다섯 개의 수 4, 7, 11, 13, 15의 평균과 표준편차의 합을 구하시오. [3점] 28. 그림과 같이 x축에 평행한 두 직선과 이차함수 y= x2_의 그래프와의 교점을 각각 A, B, C, D라 하자. △ ABC와 △ ACD의 넓이의 비가 1 : 2이고, 사다리꼴 A B C D의 대각선 A C의 길이가 6 5일 때, 사다리꼴의 높이를 구하시오. [4점] 29. A회사 전체 직원 x명의 월 평균 임금은 만원, B회 사 전체 직원 y 명의 월 평균 임금은 만원이다. 또한, 두 회사의 직원 x명과 y 명을 합한 90명의 월 평균 임금 은 128만원이다. 이 때, x, y 사이의 관계는

(

1 a

)

b 132

( )

xy = 90

( )

1281 과 같이 행렬을 사용하여 나타 낼 수 있다. 이 때, a+b의 값을 구하시오. [4점] 30. 빛이 물질을 통과할 때 흡수나 산란 등에 의하여 빛의 세 기가 변하는 정도를 흡광도라 한다. 흡광도는 입사광의 세기 와 투사광의 세기의 비로 정의되는 투과도의 역수에 대한 상 용로그값이다. 즉, ( 흡광도 ) = log _{( 투과도 )}1 이러한 흡광도는 각종 화학 물질의 분석에 사용되는데, 같 은 물질이라도 입사광의 파장에 따라 그 값이 달라진다. 투과도가 α일 때 흡광도가 0.316인 용액에 대해 투과도 가 α₄ 가 되도록 입사광의 파장을 변화시켰을 때의 흡광도 를 A 라 하자. 이 때, 1000A 의 값을 구하시오. (단, log 2 = 0.301로 계산한다.) [4점] ※ 확인 사항 ○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확 인하시오.