일반수학
강의 (3)
우석대학교 에너지전기공학과
이우금 교수
(지난 시간 주요내용 복습) 4. 함수 함수의 조건: (1) 정의 역의 모든 독립변수
𝑥
가 치역의𝑦
에 대응(매칭) (2) 정의 역의 관점에서 반드시 1 대 1 매칭 함수 가 아닌 경우 함수인 경우: 정의 역 관점에서 모든𝑥
가𝑦
에 1 대 1 매칭 복습 𝑋 𝑌 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑦1 𝑦0 𝑦2 𝑦3 𝑥4 𝑋 𝑌 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑦1 𝑦0 𝑦2 𝑋 𝑌 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦0 𝑦2 𝑋 𝑌 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑦1 𝑦0 𝑦2 𝑦3 𝑦4 (𝑥
4 에 대응되는𝑌
의 원소가 없음) (𝑥
3 에𝑌
의 원소 두 개가 대응)4-2. 함수의 종류 대수함수와 초월함수 다항함수 (
4𝑥 + 3, 𝑥
2+ 3𝑥 + 2,
…) 분수함수 ( 4 𝑥+1,
1 2𝑥3 , …) 무리함수(
2 − 𝑥
3,
…) 초월함수 (log (𝑥)
,
cos (𝑥)
,
…)
양함수(explicit function):𝑦 = 𝑓 𝑥
로 표시 (𝑦 = 𝑥
3+ 3𝑥 + 1, 𝑦 =
𝑥+1 2𝑥3+2𝑥, …
) 음함수(implicit function):𝑓 𝑥, 𝑦 = 0
으로 표시 (𝑥
3+ 𝑥 − 𝑦 = 0, 𝑦
2+ 3𝑥 − 𝑦 = 0, …
) 우함수 (even function) : 모든𝑥
에 대해𝑓 𝑥 = 𝑓 −𝑥
가 성립 세로축(𝑦
축) 에 대칭인 함수 기함수(odd function): 모든𝑥
에 대해𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥
가 성립 가로축(𝑥
축)에 대칭인 함수 대수함수 유리함수 함수 복습 우함수 (even function) 모든
𝑥
에 대하여,𝑓 𝑥 = 𝑓 −𝑥
의 조건을 만족하는 함수 즉,𝑦
축 에 대하여 대칭인 함수 (예시) 𝑦 = 𝑥
2= (−𝑥)
2 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 −𝑥 = cos (𝑥)
𝑦 = (−𝑥)
2= 𝑥
2𝑥 𝑦
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 −𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝝅 −𝝅 𝑥 𝑦 4-2. 함수의 종류 기함수(odd function) 모든 𝑥 에 대하여, 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥 의 조건을 만족하는 함수 즉,
𝑥
축에 대하여 대칭인 함수 (예시) 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(−𝑥) = − 𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑦 = (−𝑥)
3= −𝑥
3𝑦 = (−𝑥)
3= −𝑥
3𝑦 = 𝑥
3 𝑥 𝑦 𝝅 −𝝅 -2𝝅𝑦
= 𝑠𝑖𝑛(−𝑥) = −𝑠𝑖𝑛 (𝑥)
𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥)
𝑥 𝑦 4-2. 함수의 종류4-3. 역함수 함수
𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌
에서,𝑋
의 각 원소𝑥
에 대해𝑌
의 각 원소𝑦
가 단 하나 대응 될 때, 𝑌
를 정의역,𝑋
를 치역으로 하는𝑌
에서𝑋
로의 함수를 얻을 수 있음. 이 함수를 함수𝑓
의 역함수(inverse function)라 하고,𝑓
−1∶ 𝑌 → 𝑋
로 표시. (그림 1) (그림2) 모든 함수의 역함수가 존재하는 것은 아님.𝑥
에 대해𝑦
가 단 하나의 일대일 대응이 아니면, 역함수는 존재하지 않는다. 4-3. 역함수 𝑋 𝑌 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑦1 𝑦0 𝑦2 𝑋 𝑌 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦0 𝑦2 함수𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌
역함수𝑓 ∶ 𝑌 → 𝑋
𝑋 𝑌 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑦1 𝑦0 𝑦2 𝑋 𝑌 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦0 𝑦2 (역함수가 존재하지 않음) (역함수 존재함) 역함수 구하는 법 1) 함수
𝑦 = 𝑓(𝑥)
가 일대일 함수인지 판별: 완전 일대일 함수가 아니면 역함수는 존재하지 않는다. 2) 변수𝑥, 𝑦
를 서로 바꾼다 3)𝑦
에 대해서 정리 ※𝑛𝑜𝑡𝑒:
역함수 관계가 있는 두 함수의 그래프는 직선𝑦 = 𝑥
에 대칭. 예제1) 다음 역함수를 구하라. (1-1)𝑦 = 2𝑥 + 3
주어진 함수가 완전 일대일 함수인지 그래프로 판별 변수𝑥, 𝑦
를 서로 바꾼다:𝑦 = 2𝑥 + 3
𝑦
에 대해서 정리:𝑥 = 2𝑦 + 3
(1-2)𝑦 = 𝑥 , (𝑥 ≥ 0)
주어진 함수가 완전 일대일 함수인지 그래프로 판별 변수𝑥, 𝑦
를 서로 바꾼다:𝑦 = 𝑥
𝑦
에 대해서 정리:𝑥 = 𝑦
𝑥 = 2𝑦 + 3
𝑦 =
(𝑥−3) 2𝑥 = 𝑦 , (𝑥 ≥ 0)
𝑦 = 𝑥
2, (𝑥 ≥ 0)
𝑦 = 𝑥 𝑦 =(𝑥 − 3) 2 𝑦 = 2𝑥 + 3 𝑦 𝑥 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥2 (𝑥 ≥ 0) 𝑦 𝑥 4-3. 역함수(예제2) 다음 함수의 역함수가 존재하는지 조사하고, 역함수가 존재하면 역함수를 구하라. (2-1)
𝑦 = 𝑥
2+ 1
주어진 함수가 일대일 함수인지 그래프로 판별∴
𝑦 = 𝑥
2+ 1
의 역함수는 존재하지 않는다!. 역함수 𝑋 𝑌 0 1 −1 2 2 1 5 (함수𝑦 = 𝑥
2+ 1
) −2 독립변수 관점에서 일대일 대응!!! 독립변수 관점에서 일대일 대응함수가 아님!!! 4-3. 역함수 𝑦 = 𝑥2 + 1 𝑥 𝑦 1 −1 2 𝑋 𝑌 0 1 −1 2 2 1 5 −2 (함수𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌
) 𝑋 𝑌 0 1 −1 2 2 1 5 −2 (함수𝑓
−1∶ 𝑌 → 𝑋 ?
)(2-2)
𝑦 = 𝑥
3 의 역함수가 존재하는지 조사하고, 역함수가 존재하면 역함수를 구하라. (1) 주어진 함수가 일대일 함수인지 그래프로 판별∴
𝑦 = 𝑥
3 은 완전 일대일 대응함수: 역함수가 존재함. (2) 변수𝑥, 𝑦
를 서로 바꾼다:𝑦 = 𝑥
3𝑥 = 𝑦
3 (3) 𝑦 에 대해서 정리:𝑥 = 𝑦
3𝑦 = 𝑥
3 ※𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑦 = 𝑥
3 와𝑦 = 𝑥
3 는 역함수 관계 이 두 함수는 직선𝑦 = 𝑥
에 대칭. 𝑋 𝑌 −1 0 1 0 −1 1 (함수𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌
) 역함수 4-3. 역함수 𝑦 = 𝑥3 𝑥 𝑦 1 −1 1 −1 𝑋 𝑌 −1 0 1 0 −1 1 (함수𝑓
−1: 𝑌 → 𝑋
) 𝑦 = 𝑥3 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥3 𝑥 𝑦 1 −1 1 14-4. 함수의 그래프 4-4-1. 함수의 평행이동 함수
𝑦 = 𝑓 𝑥
의 그래프를𝑥
축 방향으로𝑚, 𝑦
축방향으로𝑛
만큼 평행 이동한 그래프. 𝑥
대신에𝑥 − 𝑚 , 𝑦
대신에𝑦 − 𝑛
을 대입 즉,𝑦 − 𝑛 = 𝑓 𝑥 − 𝑚
예제1)𝑦 = 𝑥
2 을𝑥
축 방향으로2,
𝑦
축 방향으로 −1 만큼 이동한 그래프는? 𝑦 − −1 = (𝑥 − 2)
2𝑦 = (𝑥 − 2)
2−1
예제2)𝑦 = 𝑥
3 을𝑥
축 방향으로−1,
𝑦
축 방향으로 2 만큼 이동한 그래프는? 𝑦 − 2 = {𝑥 − −1 }
3𝑦 = 𝑥 + 1
3+ 2
4-4. 함수의 그래프 𝑦 = 𝑥2 𝑦 = (𝑥 − 2)2−1 𝑥 𝑦 3 2 0 𝑦 = (𝑥 + 1)3+2 𝑦 = 𝑥3 𝑥 𝑦 3 04-4-2. 함수의 대칭이동 (1)
𝑥
축에 관하여 대칭이동한 그래프의 방정식:𝑦
대신에−𝑦
를 대입,−𝑦 = 𝑓 𝑥
예시)𝑦 = (𝑥 − 1)
2−𝑦 = (𝑥 − 1)
2 (2)𝑦
축에 관하여 대칭이동한 그래프의 방정식:𝑥
대신에−𝑥
를 대입,𝑦 = 𝑓 −𝑥
예시)𝑦 = (𝑥 − 1)
2𝑦 = (−𝑥 − 1)
2 (3) 원점에 관하여 대칭이동한 그래프의 방정식:𝑥
대신에−𝑥
를,𝑦
대신에−𝑦
를 대입 즉,−𝑦 = 𝑓 −𝑥
예시)𝑦 = (𝑥 − 1)
2−𝑦 = (−𝑥 − 1)
2 (4)𝑦 = 𝑥
에 관하여 대칭이동한 그래프의 방정식:𝑥
대신에𝑦
를,𝑦
대신에𝑥
를 대입 즉,𝑥 = 𝑓 𝑦
역함수 (𝑥
축에 대칭이동 ) (𝑦
축에 대칭이동) (원점에 대칭이동) 𝑦 = (𝑥 − 1)2 𝑦 = −(𝑥 − 1)2 𝑦 = (−𝑥 − 1)2 𝑦 = (𝑥 − 1)2 𝑦 = (𝑥 − 1)2 𝑦 = −(−𝑥 − 1)2 4-4. 함수의 그래프 𝑥 𝑦 1 1 −1 0 𝑥 𝑦 1 1 −1 𝑥 𝑦 1 1 1 −14-5. 일차 함수 4-5-1. 일차 함수 그래프의 성질 기본형:
