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핵심개념특강편
02
●내신만점도전편
30
●중간・기말고사 대비문제 51
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중학수학
실전문제집
기출문제로 개념 잡고 내신만점 맞자
!
실전서2-2정답(01-29)OK 2014.6.13 8:50 AM 페이지01 DK
핵심개념특강편
정답 및 풀이
확률
Ⅴ
01. 경우의 수
06~07쪽 개・념・확・인 01⑴ 3 ⑵ 2 ⑶ 3 ⑷ 4 025 0312 04⑴ 24 ⑵ 6 ⑶ 12 05⑴ 12개 ⑵ 9개 06⑴ 12 ⑵ 6 08~09쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ③ 1-1④ 1-2③ 1-3② 핵심유형 2 ① 2-1① 2-2③ 2-3⑤ 핵심유형 3 ③ 3-1⑤ 3-2② 3-3④ 핵심유형 4 ④ 4-1① 4-2③ 4-3② 핵심유형1
동전을 이용하여 물건 값을 지불하는 방법의 수를 구할 때에 는 큰 금액의 동전부터 계산하는 것이 편리하다. 아이스크림 1개의 값을 지불하는 경우는 다음과 같다. 따라서 아이스크림 1개의 값을 지불하는 경우의 수는 4이다.1
-1 ④ 4 이상의 눈은 4, 5, 6이므로 경우의 수는 3이다.1
-2 1에서 12까지의 수 중 소수는 2, 3, 5, 7, 11이므로 구하는 경우의 수는 5이다.1
-3 음료수 1개의 값을 지불하는 경우는 다음과 같다. 따라서 음료수 1개의 값을 지불하는 경우의 수는 4이다. 핵심유형2
눈의 수의 합이 3인 경우는 (1, 2), (2, 1)의 2가지, 눈의 수의 합이 10인 경우는 (4, 6), (5, 5), (6, 4)의 3 가지이므로 구하는 경우의 수는 2+3=5이다.2
-1 한국영화는 3편, 외국영화는 4편이므로 구하는 경우의 수는 3+4=7이다.2
-2 책상이 4종류이고, 의자가 3종류이므로 구하는 경우의 수는 4_3=12이다.2
-3 자음이 3개이고, 모음이 4개이므로 만들 수 있는 글자의 수는 3_4=12(개)이다.0
1
⑴ 2, 4, 6이므로 경우의 수는 3이다. ⑵ 1, 2이므로 경우의 수는 2이다. ⑶ 4, 5, 6이므로 경우의 수는 3이다. ⑷ 1, 2, 3, 6이므로 경우의 수는 4이다.0
2
고속버스가 2가지, 기차가 3가지이므로 구하는 경우의 수는 2+3=5이다.0
3
티셔츠가 4종류, 바지가 3종류이므로 구하는 경우의 수는 4_3=12이다.0
4
⑴ 2¤ _6=24 ⑵ 3_2_1=6 ⑶ A, B를 하나로 묶어 (A, B), C, D 세 명을 한 줄로 세우 는 경우의 수는 3_2_1=6 이때 A, B가 자리를 바꾸는 경우의 수가 2이므로 구하는 경우의 수는 6_2=12이다.0
5
⑴ 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4의 4가지, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자리에 사용한 숫자를 제 외한 3가지이므로 만들 수 있는 두 자리의 정수는 4_3=12(개)이다. ⑵ 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 1, 2, 3의 3가지, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자리에 사용한 숫자를 제 외한 3가지이므로 만들 수 있는 두 자리의 정수는 3_3=9(개)이다.0
6
⑴ 4_3=12 ⑵ 4_3=6 2 ⁄ ¤ ‹ › 3 3 2 2 500원짜리(개) 100원짜리(개) 50원짜리(개) 1 0 5 4 0 2 2 4 ⁄ ¤ ‹ › 7 6 5 4 100원짜리(개) 50원짜리(개) 0 2 4 60
1
3의 배수는 3, 6, 9, 12이므로 구하는 경우의 수는 4이다. 10~11쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01② 02② 03③ 04① 05① 06④ 07② 08③ 09① 10⑤ 11① 12③ 13② 1418 1552개0
2
2x+y=12를 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (3, 6), (4, 4), (5, 2)의 3가지이다.0
3
음료수 값 600원을 지불하는 경우는 다음과 같다. 따라서 구하는 경우의 수는 5이다.0
4
버스로 가는 방법은 4가지, 지하철로 가는 방법은 3가지이므로 버스 또는 지하철을 타고 가는 경우의 수는 4+3=7이다.0
5
눈의 수의 차가 4인 경우는 (1, 5), (2, 6), (5, 1), (6, 2) 의 4가지, 눈의 수의 차가 5인 경우는 (1, 6), (6, 1)의 2가지 이다. 따라서 구하는 경우의 수는 4+2=6이다.0
6
오전 프로그램이 3종류이고, 그 각각에 대하여 오후 프로그램이 5종류이므로 오전, 오후 프로그램에서 각각 하나씩 선택하는 경 우의 수는 3_5=15이다.0
7
열람실에서 복도로 나오는 방법은 3가지이고, 그 각각에 대하여 휴게실로 가는 방법이 2가지이므로 구하는 경우의 수는 3_2=6이다.0
8
⁄ A → C로 가는 경우의 수는 2 ¤ A → B → C로 가는 경우의 수는 3_4=12 따라서 구하는 경우의 수는 2+12=14이다.0
9
동전에서 앞면이 나오는 경우는 1가지, 주사위에서 3의 배수가 나오는 경우는 2가지이다. 따라서 구하는 경우의 수는 1_2_2=4이다.10
소설책과 시집의 순서를 정하는 방법은 2가지이고, 소설책을 꽂는 방법은 4_3_2_1=24(가지), 시집을 꽂는 방법은 3_2_1=6(가지)이므로 구하는 경우의 수는 2_24_6=288이다.11
십의 자리에 올 수 있는 숫자는 1에서 9까지의 9가지이고, 그 각 각에 대하여 일의 자리에는 0, 5의 2가지가 올 수 있다. 그런데 십의 자리의 숫자가 5인 경우에는 일의 자리에 5가 올 수 없다. 핵심유형3
부모님을 한 묶음으로 생각하면 자녀, 자녀, 자녀, (아버지, 어머니)를 한 줄로 세우는 경우의 수이므로 4_3_2_1=24이고, 부모님끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 2_1=2이므로 구하는 경우의 수는 24_2=48이다.3
-1 2_6_6=723
-2 4명을 한 줄로 세우는 경우이므로 4_3_2_1=24이다.3
-3 3가지 색을 한 번씩 사용하여 칠하는 경우의 수는 3가지 색을 한 줄로 나열하는 경우의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 3_2_1=6이다. 핵심유형4
백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 4가지, 십의 자리 에 올 수 있는 숫자는 백의 자리에 사용한 숫자를 제외한 4가 지, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 백의 자리와 십의 자리에 사용한 숫자를 제외한 3가지이므로 만들 수 있는 세 자리의 정수는 4_4_3=48(개)이다.4
-1 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4, 5의 5가지, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자리에 사용한 숫자를 제외한 4 가지이므로 만들 수 있는 두 자리의 정수는 5_4=20(개)이다.4
-2 32 이상인 두 자리 정수는 3 또는 4 꼴이다. ⁄ 3 : 일의 자리 숫자는 2, 4의 2가지 ¤ 4 : 일의 자리 숫자는 0, 1, 2, 3의 4가지 ⁄, ¤에서 32 이상인 수는 2+4=6(개)이다.4
-3 5개 지역에서 자격이 같은 2곳을 뽑는 경우이므로 경우의 수는 5_42 =10이다. ⁄ ¤ ‹ › fi 5 5 4 4 3 100원짜리(개) 50원짜리(개) 10원짜리(개) 2 1 4 3 5 0 5 0 5 5실전서2-2정답(01-29)OK 2014.6.13 8:50 AM 페이지03 DK
따라서 구하는 경우의 수는 9_2-1=17이다.
12
5명 중에서 자격이 다른 3명의 대표를 뽑는 경우이므로 구하는 경우의 수는 5_4_3=60이다.13
남학생 4명 중에서 대표 2명을 뽑는 경우의 수는 =6이 고, 여학생 3명 중에서 대표 2명을 뽑는 경우의 수는 =3이다. 따라서 구하는 경우의 수는 6_3=18이다.14
[단계❶] 4명의 후보 중에서 회장 1명과 부회장 1명, 즉 자격이 다른 대표 2명을 뽑는 경우의 수이므로 a=4_3=12 이다. [단계❷] 4명의 후보 중에서 대의원 2명, 즉 자격이 같은 대표 2 명을 뽑는 경우의 수이므로 b= =6이다. [단계❸] ∴a+b=12+6=1815
세 자리의 정수 중 짝수인 경우는 일의 자리의 숫자가 0, 2, 4인 경우이므로 다음과 같다. ⁄ 0인 경우 : 5_4=20(개) yy❶ ¤ 2인 경우 : 4_4=16(개) yy❷ ‹ 4인 경우 : 4_4=16(개) yy❸ ⁄, ¤, ‹에서 짝수의 개수는 20+16+16=52(개)이다. yy❹ 4_3 2 3_2 2 4_3 202. 확률
12~13쪽 개・념・확・인 01⑴ ;3!; ⑵ ;1¢5; 02⑴ ;6!; ⑵ 1 ⑶ 0 03⑤ 04;1!5!; 05;3!; 06⑴ ;2¢5; ⑵ ;1™5; 07⑴ ;1∞2; ⑵ ;4!;0
1
⑴ 모든 경우의 수는 15, 3의 배수가 나오는 경우는 3, 6, 9, ⑴12, 15의 5가지이므로 구하는 확률은 ;1∞5;=;3!;이다. ⑵ 모든 경우의 수는 15, 15의 약수가 나오는 경우는 1, 3, 5, 15 ⑴의 4가지이므로 구하는 확률은 ;1¢5;이다.0
2
⑴ 모든 경우의 수는 6_6 =36, 두 눈의 수의 합이 7인 경우는 (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)의 6가 ⑴지이므로 구하는 확률은 ;3§6;=;6!;이다. ⑵ 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나온 눈의 수의 합은 반드 시 12 이하이므로 구하는 확률은 1이다. ⑶ 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나온 눈의 수의 합이 1인 경 우는 없으므로 구하는 확률은 0이다.0
3
모든 경우의 수는 2_2_2=8이고, 모두 뒷면이 나오는 경우의 수는 1이므로 모두 뒷면이 나올 확률은 ;8!;이다. ∴(적어도한개는앞면이나올확률) ∴=1-(모두뒷면이나올확률)=1-;8!;=;8&;0
4
취미가 독서일 확률은 ;3!0);, 취미가 영화감상일 확률은 ;3!0@;이므로 (취미가 독서 또는 영화감상일 확률) =;3!0);+;3!0@;=;3@0@;=;1!5!;0
5
주사위를 한 번 던질 때, 소수의 눈이 나오는 경우는 2, 3, 5의 3가지이므로 소수의 눈이 나올 확률은 ;6#;=;2!;, 6의 약수가 나오는 경우는 1, 2, 3, 6의 4가지이므로 6의 약수가 나올 확률은 ;6$;=;3@;이다. 따라서 구하는 확률은 ;2!;_;3@;=;3!;이다. ❶ 자격이 다른 2명을 뽑는 경우의 수 a의 값 구하기 ❷ 자격이 같은 2명을 뽑는 경우의 수 b의 값 구하기 ❸ a+b의 값 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점 ❶ 0인 짝수의 개수 구하기 ❷ 2인 짝수의 개수 구하기 ❸ 4인 짝수의 개수 구하기 ❹ 짝수의 개수 구하기 30 % 30 % 30 % 10 % 채점 기준 배점14~15쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ② 1-1② 1-2③ 1-3③ 핵심유형 2 ⑤ 2-1④ 2-2⑤ 2-3⑤ 핵심유형 3 ② 3-1⑤ 3-2③ 3-3② 핵심유형 4 ② 4-1⑤ 4-2② 4-3⑤ 핵심유형
1
모든 과일의 개수는 12개이고, 사과가 4개이므로 구하는 확률은 ;1¢2;=;3!;이다.1
-1 모든 경우의 수는 6이고, 3의 배수의 눈은 3, 6의 2가지이므 로 구하는 확률은 ;6@;=;3!;이다.1
-2 두 자리의 정수를 만드는 경우의 수는 5_4=20이고, 소수는 13, 23, 31, 41, 43, 53의 6가지이므로 구하는 확률은 ;2§0;=;1£0;이다.1
-3 ③ 두 개의 주사위의 눈의 수의 합은 모두 12 이하이므로 13 이상이 나올 확률은 0이다. 핵심유형2
A, B, C 세 사람 모두 불합격할 확률은 ;3!;_;2!;_;4!;=;2¡4; ∴ (A, B, C 세 사람 중 적어도 한 사람이 합격할 확률) ∴=1-(A, B, C 세 사람 모두 불합격할 확률) ∴=1-;2¡4;=;2@4#;2
-1 비가 올 확률이 ;1§0º0;=;5#;이므로 (비가 오지 않을 확률)=1-(비가 올 확률) (비가 오지 않을 확률)=1-;5#;=;5@;2
-2 ①, ② 어떤 사건에 대한 확률은 0 이상 1 이하이다. ③ 사건 A가 일어날 확률을 p라 하면 (사건 A가 일어나지 않을 확률)=1-p이다. ④ 어떤 사건이 일어날 확률과 일어나지 않을 확률의 합은 항 상 1이다.2
-3 모든 경우의 수는 2_2_2=8이고, 3문제 모두 틀릴 확률은 ;8!;이다. ∴ (적어도 한 문제는 맞힐 확률) ∴=1-(3문제 모두 틀릴 확률)=1-;8!;=;8&; 핵심유형3
눈의 수의 합이 3인 경우는 (1, 2), (2, 1)의 2가지이므로 확률은;3™6;=;1¡8;, 눈의수의합이9인경우는(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)의 4가지이므로 확률은 ;3¢6;=;9!;이다. 따라서 구하는 확률은 ;1¡8;+;9!;=;6!;이다.3
-1 모든 경우의 수는 10이고, 3의 배수가 나오는 경우는 3, 6, 9 의 3가지이므로 확률은 ;1£0;이고, 10의 약수가 나오는 경우는 1, 2, 5, 10의 4가지이므로 확률은 ;1¢0;=;5@;이다. 따라서 구하는 확률은 ;1£0;+;5@;=;1¶0;이다.3
-2 동전 한 개를 던질 때 앞면이 나올 확률은 ;2!;이고, 주사위 한 개를 던질 때 3의 배수의 눈이 나올 확률은 ;6@;=;3!;이다. 따라서 구하는 확률은 ;2!;_;3!;=;6!;이다.3
-3 토요일에 비가 올 확률은 ;1™0º0;, 일요일에 비가 올 확률은 ;1¢0º0;이므로 구하는 확률은 ;1™0º0;_;1¢0º0;=;2™5;이다. 핵심유형4
A가 파란 구슬을 꺼낼 확률은 ;1¢2;, B가 파란 구슬을 꺼낼 확률은 ;1£1;이므로 구하는 확률은 ;1¢2;_;1£1;=;1¡1;이다.4
-1 형광펜 전체의 개수는 10개이므로 첫 번째에 노란색 형광펜0
6
⑴ A가 당첨될 확률은 ;1¢0;, B가 당첨될 확률은 ;1¢0;이므로 ⑴구하는 확률은 ;1¢0;_;1¢0;=;2¢5;이다. ⑵ A가 당첨될 확률은 ;1¢0;, B가 당첨될 확률은 ;9#;이므로 ⑴구하는 확률은 ;1¢0;_;9#;=;1™5;이다.0
7
⑴ 소수는 2, 3, 5, 7, 11의 5가지이므로 ⑴구하는 확률은 ;1∞2;이다. ⑵ 4의 배수는 4, 8, 12의 3가지이므로 ⑴구하는 확률은 ;1£2;=;4!;이다.실전서2-2정답(01-29)OK 2014.6.13 8:50 AM 페이지05 DK
0
1
모든 경우의 수는 6_6=36이고, 눈의 수의 차가 4인 경우는 (1, 5), (2, 6), (5, 1), (6, 2)의 4가지이므로 구하는 확률은 ;3¢6;=;9!;이다.0
2
파란 공일 확률이 이므로 = = ∴ x=30
3
① 사건 A가 일어날 확률을 p라 하면 0…p…1이다. ② 사건 A가 일어날 확률을 p라 하면 사건 A가 일어나지 않을 확률은 1-p이다. ③ 주사위 한 개를 던질 때, 6 이하의 눈이 나올 확률은 1이다. ⑤ 주사위 한 개를 던질 때, 6의 눈이 나올 확률과 1의 눈이 나올 확률은 같다.0
4
모든 경우의 수는 =15이고, A가 뽑히는 경우의 수는 A를 제외한 5명 중에서 1명을 뽑는 경우의 수이므로 5이다. 따라서 A가 뽑힐 확률은 ;1∞5;=;3!;이다. 6_5 2 1 4 x 9+x x 4+5+x 1 4 이 나올 확률은 ;1§0;=;5#;, 두 번째에 노란색 형광펜이 나올 확률도 ;1§0;=;5#;이므로 구하는 확률은 ;5#;_;5#;=;2ª5;이다.4
-2 꺼낸 공 2개가 같은 색일 확률은 2개 모두 검은 공일 확률 또 는 2개 모두 흰 공일 확률이다. ⁄ 2개 모두 검은 공일 확률은 ;9$;_;8#;=;6!; ¤ 2개 모두 흰 공일 확률은 ;9%;_;8$;=;1∞8; ⁄, ¤에서 구하는 확률은 ;6!;+;1∞8;=;9$;이다.4
-3 첫 번째에 색칠한 부분에 맞힐 확률은 ;1¢6;=;4!;, 두 번째에 색칠한 부분에 맞힐 확률은 ;1¢6;=;4!;이므로 구하는 확률은 ;4!;_;4!;=;1¡6;이다. ∴ (A가 뽑히지 않을 확률)=1-(A가 뽑힐 확률) ∴ (A가 뽑히지 않을 확률)=1-;3!;=;3@;0
5
초코 맛 아이스크림을 살 확률은 ;1£0;, 딸기 맛 아이스크림을 살 확률은 ;1∞0;이므로 구하는 확률은 ;1£0;+;1∞0;=;1•0;=;5$;이다.0
6
모든 경우의 수는 6_6=36이고, 눈의 수의 합이 6인 경우는 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)의 5가지, 눈의 수의 합이 12인 경우는 (6, 6)의 1가지이다. 따라서 구하는 확률은 ;3∞6;+;3¡6;=;6!;이다.0
7
동전 2개를 던질 때 서로 같은 면이 나올 확률은 ;4@;=;2!;, 주사위 1개를 던질 때 3의 배수의 눈이 나올 확률은 ;6@;=;3!;이므로 구하는 확률은 ;2!;_;3!;=;6!;이다.0
8
A가 문제를 풀지 못할 확률은 1-;4#;=;4!;, B가 문제를 풀지 못할 확률은 1-;3@;=;3!;이다. 따라서 A, B 모두 문제를 풀지 못할 확률은 ;4!;_;3!;=;1¡2;이다.0
9
두 사람이 모두 불합격할 확률은 ;5@;_;4!;=;1¡0; ∴ (두 사람 중 적어도 한 사람이 합격할 확률) ∴=1-(두 사람이 모두 불합격할 확률) ∴=1-;1¡0;=;1ª0;10
(같은 색의 공이 나올 확률) =(둘 다 흰 공이 나올 확률)+(둘 다 검은 공이 나올 확률) =;5#;_;5!;+;5@;_;5$; =;2£5;+;2•5;=;2!5!;11‘금요일에 비가 오고 토요일에 비가 오는 경우’또는
‘금요일에 비가 오지 않고 토요일에 비가 오는 경우’를 생각하면 구하는 확률은 ;3!;_;3!;+;3@;_;4!;=;9!;+;6!;=;1∞8;이다. 16~17쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01① 02② 03④ 04② 05⑤ 06① 07③ 08⑤ 09④ 10③ 11① 12① 13;9%; 14;8#; 15;1¶6;12
두 수의 합이 홀수가 되는 경우는 (홀수, 짝수), (짝수, 홀수)인 경 우이다. ⁄ a가 홀수, b는 짝수일 확률 : ;4@;_;3!;=;6!; ¤ a가 짝수, b는 홀수일 확률 : ;4@;_;3@;=;3!; ⁄, ¤에서 구하는 확률은 ;6!;+;3!;=;2!;이다.13
10점, 9점, 8점의 과녁인 세 원의 반지름의 길이의 비가 1 : 2 : 3이므로 각각의 반지름의 길이를 r, 2r, 3r(r+0)라 하면 각각의 넓이는 pr¤ , p_(2r)¤ =4pr¤ , p_(3r)¤ =9pr¤ 이다. 따라서 구하는 확률은 = = 이다.14
[단계❶] 동전을 4번 던지므로 모든 경우의 수는 2› =16이다. [단계❷] 동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라 하면 점 P가 2의 위치 에 있는 경우는 앞면이 2번, 뒷면이 2번 나오는 경우로 다음과 같이 6가지이다. (H, H, T, T), (H, T, H, T), (H, T, T, H), (T, H, T, H), (T, H, H, T), (T, T, H, H) [단계❸] 따라서 구하는 확률은 ;1§6;=;8#;이다.15
⁄ A상자를 선택하여 흰 공을 꺼낼 확률은 ¤ ;2!;_;8%;=;1∞6;이다. yy❶ ¤ B상자를 선택하여 흰 공을 꺼낼 확률은 ¤ ;2!;_;8@;=;1™6;=;8!;이다. yy❷ ⁄, ¤에서 구하는 확률은 ;1∞6;+;8!;=;1¶6;이다. yy❸ 5 9 5pr¤ 9pr¤ 9pr¤ -4pr¤ 9pr¤ ❶ 모든 경우의 수 구하기 ❷ 점 P가 2에 위치하는 경우의 수 구하기 ❸ 점 P가 2에 위치할 확률 구하기 30 % 50 % 20 % 채점 기준 배점 ❶ A상자를 선택하여 흰 공을 꺼낼 확률 구하기 ❷ B상자를 선택하여 흰 공을 꺼낼 확률 구하기 ❸ 흰 공을 꺼낼 확률 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점 18~19쪽 개・념・확・인 01⑴ 65˘ ⑵ 70˘ 02⑴ ∠x=68˘, ∠y=112˘ ⑵ ∠x=56˘, ∠y=118˘ 03⑴ 90˘ ⑵ 3 cm 04⑴ 5 ⑵ 4 05빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같은 두 직각삼각형은 서로 합동이다. 06x=4, ∠y=60˘0
1
⑴ ∠x=;2!;_(180˘-50˘)=65˘ ⑵ ∠x=180˘-(55˘+55˘)=70˘0
2
⑴ ∠x=;2!;_(180˘-44˘)=68˘ ⑴∠y=44˘+∠x=44˘+68˘=112˘ ⑵ ∠x=180˘-(62˘+62˘)=56˘ ⑴∠y=62˘+∠x=62˘+56˘=118˘0
3
AD”가 꼭지각 A의 이등분선이므로 BD”=CD”이고, AD”⊥BC” 이다. ⑴ ∠ADB=∠ADC=90˘ ⑵ BD”=CD”=;2!; BC”=;2!;_6=3(cm)0
4
⑴ ∠C=180˘-(50˘+65˘)=65˘=∠B ⑴∴ x=AB”=5(cm) ⑵ ∠ACB=∠CAD+∠CDA=35˘+35˘=70˘이므로 ⑴∠B=∠ACB=70˘ ⑴∴ AC”=AB”=4 cm ⑴△ACD에서 ∠CAD=∠CDA=35˘이므로 ⑴x=AC”=4(cm)0
5
두 직각삼각형 ABC와 DEF에서 AB”=DE”=6 cm, BC”=EF”=5 cm이다. 즉, 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같은 두 직각삼각형 은 서로 합동이다.0
6
△ABC™△DEF이므로 x=BC”=4 cm ∠y=180˘-(30˘+90˘)=60˘03. 이등변삼각형의 성질과 직각삼각형의 합동
도형의 성질
Ⅵ
실전서2-2정답(01-29)OK 2014.6.13 8:50 AM 페이지07 DK
20~21쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ⑤ 1-1③ 1-2④ 1-3③ 1-4④ 1-5② 1-6① 1-7③ 핵심유형 2 ② 2-1④ 2-2③ 2-3④ 핵심유형 3 ⑤ 3-1④ 3-24 cm 3-33 cm 핵심유형
1
△BCD에서 BD”=CD”이므로 ∠DCB=∠DBC=35˘ ∠CDA=∠DBC+∠DCB=35˘+35˘=70˘ △ACD에서 AC”=CD”이므로 ∠x=∠CDA=70˘1
-1 AB”=AC”이므로 ∠B=∠C=2∠x-10˘ ∴ ∠A+∠B+∠C=∠x+(2∠x-10˘)+(2∠x-10˘) =5∠x-20˘=180˘ ∴ ∠x=40˘1
-2 AB”=AC”이므로 ∠B=∠C=;2!;_(180˘-50˘)=65˘ AD”∥ BC”이므로 ∠EAD=∠B=65˘(동위각)1
-3 △ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠B=∠C=;2!;_(180˘-48˘)=66˘ ∠DBC=;2!;∠B=33˘이므로 △BCD에서 ∠BDC=180˘-(33˘+66˘)=81˘1
-4 △ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠B=∠ACB=;2!;_(180˘-100˘)=40˘ ∠CAD=180˘-100˘=80˘△ACD에서 AC”=CD”이므로 ∠CDA=∠CAD=80˘ 따라서 △BCD에서 ∠DCE=∠B+∠CDA=40˘+80˘=120˘
1
-5 △ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠B=∠C=;2!;_(180˘-52˘)=64˘ ∠OBC=∠OCB=;2!;∠B=;2!;∠C=;2!;_64˘=32˘ 따라서 △OBC에서 ∠BOC=180˘-(∠OBC+∠OCB) =180˘-(32˘+32˘)=116˘1
-6 ① AB”=AC”이므로 ∠B=∠C ⑤ △ABD와 △ACD에서AB”=AC”, ∠BAD=∠CAD, AD”는 공통 ∴ △ABD™△ACD(SAS 합동)
1
-7 AD”⊥BC”이므로 △ABC=;2!;_AD”_BC”=;2!;_AD”_4=12 ∴ AD”=6 cm 핵심유형2
∠B=180˘-(∠A+∠C)=180˘-(70˘+55˘)=55˘ ∠B=∠C이므로 AC”=AB”=5 cm2
-1 △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이다. ⑤ ∠BAM=180˘-(∠B+∠AMB) =180˘-(70˘+90˘)=20˘2
-2 ① AB”=AC”인 이등변삼각형 ②, ④ AB”=BC”인 이등변삼각형 ⑤ AC”=BC”인 이등변삼각형2
-3 FE”∥GD”이므로 ∠ACB=∠CBD=65˘(엇각), ∠ABC=∠CBD=65˘(접은 각) ∴ ∠ABC=∠ACB=65˘ 따라서 △ABC는 두 밑각의 크기가 같으므로 이등변삼각형 이다. 핵심유형3
① ASA 합동 ② RHA 합동 ③ RHS 합동 ④ SAS 합동3
-1 ④ 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같은 두 직각삼 각형은 서로 합동이다. (RHS 합동)3
-2 △DBM과 △ECM에서 ∠D=∠E=90˘, BM”=CM”, ∠B=∠C이므로 △DBM™△ECM(RHA 합동) ∴ M”E”=M”D”=4 cm3
-3 △ADE와 △ADC에서∠E=∠C=90˘, AD”는 공통, ∠DAE=∠DAC이므로 △ADE™△ADC(RHA 합동) ∴ DE”=DC”=3 cm 22~23쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01④ 02③ 03⑤ 04② 05③ 06③ 07⑤ 08③ 09① 10② 11④ 1290˘ 1330˘ 1472 cm¤
0
1
△ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠ABC=∠C=;2!;_(180˘-40˘)=70˘ △ABD에서 D’A”=DB”이므로 ∠DBA=∠A=40˘ ∴ ∠DBC=∠ABC-∠DBA=70˘-40˘=30˘0
2
△BCD에서 BC”=CD”이므로 ∠D=∠CBD=;2!;_(180˘-110˘)=35˘ △ABC에서 AB”=BC”이므로 ∠A=∠BCA=∠180˘-∠BCD=180˘-110˘=70˘ △ABD에서 ∠ABD=180˘-(∠A+∠D) =180˘-(70˘+35˘)=75˘0
3
∠B=∠a라 하면 △ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠ACB=∠B=∠a이고,∠CAD=∠B+∠ACB=2∠a
또, △ACD에서 AC”=CD”이므로 ∠CAD=∠CDA=2∠a △BCD에서 ∠DCE=∠B+∠BDC=∠a+2∠a=120˘ ∴ ∠B=∠a=40˘
0
4
∠ABC=∠ACB=;2!;_(180˘-40˘)=70˘ BD”가 ∠B의 이등분선이므로 ∠DBC=;2!;_70˘=35˘ 또, CD”가 ∠C의 외각의 이등분선이므로 ∠DCE=;2!;_(180˘-70˘)=55˘ △BCD에서 ∠BDC=55˘-35˘=20˘0
5
① AB”=AC”, AD”=AE”이므로 BD”=CE”이다. ②, ④ BD”=CE”, ∠DBC=∠ECB, BC”는 공통이므로 ②△DBC™△ECB(SAS 합동)②∴ BE”=CD”, ∠BDC=∠CEB
⑤ AB”=AC”, AD”=AE”, ∠A는 공통이므로 ⑤△ABE™△ACD(SAS 합동) ∴ ∠ADC=∠AEB
0
6
①, ② AB”=AC”이므로 ②∠ABC=∠C=;2!;_(180˘-36˘)=72˘ ②∠CBD=;2!;∠B=36˘=∠A ③ ∠BDC=180˘-(∠CBD+∠C) ② ∠BDC=180˘-(36˘+72˘)=72˘ ②△ABD에서 ③∠ADB=180˘-∠BDC =180˘-72˘=108˘=∠C ④ ∠BCD=∠BDC=72˘이므로 BC”=BD” ⑤ ∠A=∠DBA=36˘이므로 AD”=BD”, BC”=BD” ∴ AD”=BC”0
7
∠A=∠a라 하면 ∠A=∠DBE=∠a AB”=AC”이므로 ∠ABC =∠A+∠EBC=∠a+18˘=∠C △ABC의 내각의 크기의 합은 180˘이므로 ∠a+(∠a+18˘)+(∠a+18˘)=180˘ ∴ ∠A=∠a=48˘0
8
△DBM과 △DAM에서 AM”=BM”, ∠BMD=∠AMD, MD”는 공통이므로 △DBM™△DAM(SAS 합동) ∴ ∠B=∠DAM=∠DAC 이때 △ABC에서 ∠B+∠DAM+∠DAC=90˘이므로 ∠B=30˘0
9
△ABD와 △AED에서 ∠B=∠AED=90˘, ∠BAD=∠EAD, AD”는 공통이므로 △ABD™△AED(RHA 합동) 따라서 BD”=DE”=3 cm이므로 △ADC=;2!;_DE”_AC”=;2!;_3_8=12(cm¤ )10
△ADC와 △BED에서 CD”=DE”, ∠A=∠B=90˘ ∠ADC+∠BDE=∠ADC+∠ACD=90˘이므로 ∠ACD=∠BDE ∴ △ADC™△BED(RHA 합동) 따라서 AD”=BE”=7 cm, BD”=AC”=5 cm이므로 AB”=AD”+BD”=12(cm)11
△CME에서 ∠MCE=90˘-∠EMC=90˘-25˘=65˘ △BMD와 △CME에서 ∠BDM=∠CEM=90˘, BM”=CM”, M’D”=M’E” ∴ △BMD™△CME(RHS 합동) 따라서 △ABC는 ∠ABM=∠ACM=65˘인 이등변삼각형이 므로 ∠A=180˘-(65˘+65˘)=50˘12
△ABE에서 ∠AEB=50˘, ∠ABE=90˘이므로실전서2-2정답(01-29)OK 2014.6.13 8:50 AM 페이지09 DK
∠BAE=40˘ △ABE와 △BCF에서
∠ABE=∠C=90˘, AB”=BC”, BE”=CF” 따라서 △ABE™△BCF(SAS 합동)이므로 ∠CBF=∠BAE=40˘
△BEG에서 ∠GBE=40˘, ∠GEB=50˘이므로 ∠AGF=∠BGE=180˘-(40˘+50˘)=90˘
13
[단계❶] △BED에서 ∠DEB=∠DBE=25˘ ∴ ∠ADE=50˘ [단계❷] △ADE에서 ∠DAE=∠ADE=50˘ ∴ ∠AEC=∠B+∠BAE=25˘+50˘=75˘ [단계❸] △AEC에서 ∠ACE=∠AEC=75˘ ∴ ∠EAC=180˘-2_75˘=30˘14
△ABD와 △CAE에서 AB”=CA”, ∠D=∠E=90˘ ∠DBA+∠DAB=∠DAB+∠EAC=90˘이므로 ∠DBA=∠EAC ∴ △ABD™△CAE(RHA 합동) yy❶ BD”=AE”=8 cm, AD”=CE”=12-8=4(cm) yy❷ (사각형 BDEC의 넓이)=;2!;_(8+4)_12 (사각형 BDEC의 넓이)=72(cm¤ ) yy❸ ❶ ∠ADE의 크기 구하기 ❷ ∠AEC의 크기 구하기 ❸ ∠EAC의 크기 구하기 30 % 40 % 30 % 채점 기준 배점 ❶ △ABD와 △CAE의 합동 설명하기 ❷ CE”의 길이 구하기 ❸ 사각형 BDEC의 넓이 구하기 40 % 30 % 30 % 채점 기준 배점04. 삼각형의 외심과 내심
24~25쪽 개・념・확・인 01⑴ 3 cm ⑵ 20˘ ⑶ 9p cm¤ 024 cm 03⑴ ∠x=35˘, ∠y=35˘ ⑵ ∠x=110˘ 04⑴ 3 cm ⑵ 30˘ ⑶ 9p cm¤ 05⑴ ∠x=35˘, ∠y=35˘ ⑵ ∠x=115˘ 062 cm0
1
⑴ 외심으로부터 각 꼭짓점에 이르는 거리가 같으므로 ⑴OA”=OB”=OC”=3 cm ⑵ △OAB는 OA”=OB”인 이등변삼각형이므로 ⑴∠OBA=∠OAB=20˘ ⑶ 외접원의 반지름의 길이가 3 cm이므로 ⑴(외접원의 넓이)=p_3¤ =9p(cm¤ )0
2
직각삼각형 ABC의 외심은 빗변의 중점이므로 OA”=OB”= OC”=4 cm0
3
⑴ 25˘+30˘+∠y=90˘ ∴ ∠y=35˘ ⑴△AOC가 이등변삼각형이므로 ∠x=∠y=35˘ ⑵ ∠x=2_55˘=110˘0
4
⑴ 점 I가 내심이므로 ⑴ID”=IE”=IF”=3 cm ⑵ ∠IBD=∠IBE=30˘ ⑶ 내접원의 반지름의 길이가 3 cm이므로 ⑴(내접원의 넓이)=p_3¤ =9p(cm¤ )0
5
⑴ BI”가 ∠B의 이등분선이므로 ∠y=35˘ ⑴점 I가 내심이므로 35˘+20˘+∠x=90˘ ∴ ∠x=35˘ ⑵ 점 I가 내심이므로 ∠x=90˘+;2!;_50˘=115˘0
6
내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 직각삼각형 ABC의 넓이는 ;2!;_12_5=;2!;_r_(12+5+13) ∴ r=2(cm) 26~27쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ①, ③ 1-1①, ④ 1-2③ 1-3③ 핵심유형 2 ② 2-1③ 2-2③ 핵심유형 3 ① 3-1② 3-2④ 3-3② 3-4② 핵심유형 4 ⑤ 4-1④ 4-2① 핵심유형1
① OA”=OB”=OC” ③ ∠OBE=∠OCE, ∠OAD=∠OBD, ∠OAF=∠OCF1
-1 ②, ③은 내심이다.△AOC의 둘레의 길이가 14 cm이므로 OA”+OC”+6=14, 2_OA”=8 ∴ (외접원의 반지름의 길이)=OA”=4 cm
1
-3 점 O가 △ABC의 외심이므로 OA”=OB”=OC” △OBC에서 OB”=OC”이므로 ∠OBC=∠OCB=40˘ ∴ ∠BOC=180˘-(40˘+40˘)=100˘핵심유형
2
∠BOC=2∠A이므로 2∠A=100˘ ∴ ∠A=50˘2
-1 ∠x+25˘+35˘=90˘이므로 ∠x=30˘ ∠y=∠OBC=25˘ ∴ ∠x+∠y=30˘+25˘=55˘2
-2 △OAB는 이등변삼각형이므로 ∠ABO=∠BAO=25˘ ∠ABC=25˘+35˘=60˘이므로 ∠AOC=2∠ABC=2_60˘=120˘ 핵심유형3
① △AID™△AIF(RHA 합동), ①△CIE™△CIF(RHA 합동)이므로 ①AF”=AD”, CF”=CE”3
-1 △ABC의 내심 I에서 세 변에 이르는 거리는 같으므로 ID”=IE”=IF”=3 cm ∴ x+y=3+3=63
-2 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠IBC=∠ABI=23˘, ∠ICB=∠ACI=37˘ 따라서 △IBC에서 ∠x=180˘-(23˘+37˘)=120˘3
-3 ∠x=∠IAB=35˘, ∠y=∠IBA=20˘ ∴ ∠x+∠y=35˘+20˘=55˘3
-4 ∠DBI=∠IBC, ∠IBC=∠DIB(엇각)이므로 ∠DBI=∠DIB ∴ DB”=DI” ∠ECI=∠ICB, ∠ICB=∠EIC(엇각)이므로 ∠ECI=∠EIC ∴ EC”=IE” △ADE의 둘레의 길이는 AD”+DE”+AE”=AD”+(DI”+IE”)+AE” =AD”+(DB”+EC”)+AE” =(AD”+DB”)+(EC”+AE”) =AB”+AC”=8+10=18(cm) 핵심유형4
∠BIC=90˘+;2!;∠A이므로 130˘=90˘+;2!;∠A ∴ ∠A=80˘4
-1 ∠IAB=∠IAC=30˘, ∠ICA=∠ICB=25˘, ∠IBA=∠IBC ∠A+∠B+∠C=60˘+2∠IBC+50˘=180˘ ∴ ∠IBC=35˘4
-2 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 직각삼각형 ABC의 넓이는 ;2!;_3_4=;2!;_r_(3+4+5) ∴ r=1(cm)0
1
④ 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다.0
2
삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 CE”=BE”, BD”=AD”, AF”=CF”따라서 △ABC의 둘레의 길이는
2_8+2_7+2_6=42(cm)
0
3
점 O가 △ABC의 외심이므로 OB”=OC”∠OCB=∠OBC=20˘ ∴ ∠x=180˘-(90˘+20˘)=70˘
0
4
점 M은 △ABC의 외심이다. 즉, AM”=BM”이므로 △ABM은 이등변삼각형이다. ∴ ∠MAB=∠B=60˘ 따라서 △ABM에서 ∠AMC=60˘+60˘=120˘0
5
점 O가 △ABC의 외심이므로 OA”=OB”=OC” OB”=OC”이므로 ∠OBC=∠OCB=10˘ OA”=OB”이므로 ∠OAB=∠OBA=30˘+10˘=40˘ 28~29쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01④ 02③ 03⑤ 04③ 05① 06② 07① 08③ 09③ 10④ 11② 12① 1324 cm¤ 1415˘ 15210˘실전서2-2정답(01-29)OK 2014.6.13 8:50 AM 페이지11 DK
0
6
OA”=OB”=OC”이므로 ∠OBC=∠OCB=60˘-35˘=25˘ △OBC에서 ∠BOC=180˘-(25˘+25˘)=130˘ ∴ ∠BAC=;2!;∠BOC=;2!;_130˘=65˘0
7
△OCA는 이등변삼각형이므로 ∠OAC=∠OCA=35˘ ∠BAC=;2!;∠BOC=60˘이므로 ∠OAB=∠BAC-∠OAC=60˘-35˘=25˘0
8
∠BOC=360˘_ =120˘ ∴ ∠BAC=;2!;∠BOC=;2!;_120˘=60˘0
9
점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠ABI=∠CBI=22˘, ∠IAB=∠IAC ∠A+∠B+∠C=180˘이므로 2∠IAB+44˘+74˘=180˘ ∴ ∠IAB=31˘10
∠BIC=90˘+;2!; ∠A=90˘+;2!;_56˘=118˘ [다른 풀이] 점 I가 내심이므로 ∠IBA=∠IBC=∠a, ∠ICA=∠ICB=∠b라 하면 56˘+2∠a+2∠b=180˘에서 2(∠a+∠b)=124˘ ∴ ∠a+∠b=62˘ △IBC에서 ∠BIC+∠a+∠b=180˘ ∴ ∠BIC=180˘-(∠a+∠b) =180˘-62˘=118˘11
∠A+∠B+∠C=180˘이므로 40˘+∠B+∠C=180˘ ∴ ∠B+∠C=140˘ ∠B：∠C=3：4이므로 ∠B=140˘_;7#;=60˘ ∠C=140˘_;7$;=80˘ 또, 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠IBA=;2!;∠B=30˘, ∠IAB=;2!;∠A=20˘ ∴ ∠AIB=180˘-(20˘+30˘)=130˘ 4 3+4+512
점 I가 내심이므로 AD”=AF”, CE”=CF”, BD”=BE”이다. 따라서 AD”=AF”=4이고, CE”=CF”=10이므로 BD”=BE”=15-10=5 ∴ AB”=AD”+BD”=4+5=913
사각형 IDCE가 정사각형이므로 CE”=CF”=2 cm, AD”=AF”=6-2=4(cm), BE”=BD”=10-4=6(cm) 따라서 BC”=BE”+CE”=6+2=8(cm)이므로 △ABC=;2!;_8_6=24(cm¤ )14
[단계❶] △AOB와 △AOC에서점 O가 △ABC의 외심이므로 OB”=OC” AB”=AC”, AO”는 공통이므로 △AOB™△AOC(SSS 합동) ∴ ∠OAB=∠OBA=∠OAC=∠OCA=20˘ [단계❷] AB”=AC”이므로 ∠B=∠C=;2!;_(180˘-40˘)=70˘ 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠ABI=;2!;∠B=35˘ [단계❸] ∴ ∠OBI=∠ABI-∠ABO=35˘-20˘=15˘
15
∠A+∠B+∠C=180˘이므로 ∠A+∠B=100˘ yy❶ ∠DAC=∠DAB, ∠EBA=∠EBC이므로 ∠BAD=;2!;∠A, ∠ABE=;2!;∠B ∴ ∠BAD+∠ABE=50˘ yy❷ △ABD에서 ∠ADB=180˘-∠B-∠BAD △ABE에서 ∠AEB=180˘-∠A-∠ABE이므로 ∠ADB+∠AEB =360˘-(∠A+∠B)-(∠BAD+∠ABE) =360˘-100˘-50˘=210˘ yy❸ ❶ ∠OBA의 크기 구하기 ❷ ∠ABI의 크기 구하기 ❸ ∠OBI의 크기 구하기 30 % 40 % 30 % 채점 기준 배점 ❶ ∠A+∠B의 크기 구하기 ❷ ∠BAD+∠ABE의 크기 구하기 ❸ ∠ADB+∠AEB의 크기 구하기 20 % 30 % 50 % 채점 기준 배점30~31쪽 개・념・확・인 01⑴ 8 cm ⑵ 6 cm ⑶ 60˘ ⑷ 120˘ 02⑴ x=5, y=50 ⑵ x=65, y=5 ⑶ x=3, y=2 ⑷ x=3, y=4 0317 cm 04ㄱ, ㄷ, ㅁ 0540 cm¤ 0618 cm¤
0
1
⑴ BC”=AD”=8 cm ⑵ CD”=AB”=6 cm ⑶ ∠B=180˘-∠A=60˘ ⑷ ∠C=∠A=120˘0
2
⑴ 평행사변형의 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다. ⑵ 평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같다. ⑶, ⑷ 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.0
3
AO”=;2!;AC”=;2!;_10=5(cm) BO”=;2!;BD”=;2!;_12=6(cm) 따라서 △ABO의 둘레의 길이는 AB”+BO”+AO”=6+6+5=17(cm)0
4
ㄱ. 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다. ㄷ. 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평행사변형이다. ㅁ. 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사변형이다.0
5
ABCD=4_△ABO=4_10=40(cm¤ )0
6
△ABP+△CDP=△ADP+△BCP이므로 △ABP+12=16+14 ∴ △ABP=18(cm¤ )05. 평행사변형
32~33쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ② 1-17 1-2② 1-3③ 1-4① 1-5② 1-6⑤ 1-7⑤ 핵심유형 2 ①, ⑤ 2-1⑤ 2-2㈎ : ∠C, ㈏ : CF”, ㈐ : SAS, ㈑ : GF”, ㈒ : △DGH 핵심유형 3 ③ 3-1① 3-2⑤ 3-3② 핵심유형1
△ABE™△FCE(ASA 합동)이므로 AB”=CF” 또한 ABCD가 평행사변형이므로 AB”=CD”=6 cm ∴ CF”=AB”=6 cm1
-1 AB”=CD”이므로 3x-1=x+3에서 x=2 ∴ AD”=BC”=2x+3=71
-2 ABCD는 평행사변형이므로 AB”=DC”=4 cm, AD”=BC” 따라서 2(4+BC”)=20이므로 BC”=6 cm1
-3 ∠C=∠A=110˘이므로 △DBC에서 ∠CDB=180˘-(110˘+40˘)=30˘1
-4 ∠A+∠B=180˘, ∠A : ∠B=3 : 2이므로 ∠C=∠A=180˘_;5#;=108˘1
-5 AD”∥ BC”이므로 ∠DAE=∠BEA △ABE에서 ∠BAE=∠BEA이므로 BE”=AB”=4 cm ∴ AD”=BC”=BE”+EC”=4+2=6(cm)1
-6 AD”∥BC”이므로 ∠DBC=∠ADB=30˘ 따라서 △OBC에서 ∠x=∠OBC+∠OCB=30˘+75˘=105˘1
-7 ③ AB”∥DC”이므로 ∠BAO=∠DCO (엇각) ①, ②, ④ △AOP와 △COQ에서 OA”=OC”, ∠AOP=∠COQ (맞꼭지각), ∠OAP=∠OCQ (엇각) 따라서 △AOP™△COQ (ASA합동)이므로 OP”=OQ” 핵심유형2
① AB”∥DC”이므로 아래 그림에서 ∠A=∠EDC(동위각) ∠A=∠C이므로 ∠EDC=∠C A B C D E실전서2-2정답(01-29)OK 2014.6.13 8:50 AM 페이지13 DK
①엇각의 크기가 같으므로 AD”∥BC” 따라서 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 ABCD는 평 행사변형이다. ⑤ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사변형이다.
2
-1 ⑤ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같아야 한다. ⑤즉, AB”=DC”, AB”∥DC”2
-2 △AEH와 △CGF에서 AE”=CG”, ∠A= , AH”=AD”-HD”=BC”-BF”= 이므로 △AEH™△CGF( 합동) ∴ EH”= ……` ㉠ 같은 방법으로 하면 △BEF™ ∴ EF”=GH” ……` ㉡ ㉠, ㉡에서 EFGH는 평행사변형이다. 핵심유형3
△APD+△BCP=;2!; ABCD △ADP+△BCP=;2!;_50 △ADP+△BCP=25(cm¤ )3
-1 △OBF™△ODE(ASA 합동)이므로 △AOE+△OBF=△AOE+△ODE △OAE+△OBF=△AOD △OAE+△OBF=;4!; ABCD=;4!;_24 △OAE+△OBF=6(cm¤ )3
-2 (색칠한 부분의 넓이) =△AEP+△BFP+△CGP+△DHP =;2!;( AEPH+ EBFP+ PFCG+ HPGD) =;2!; ABCD =;2!;_32=16(cm¤ )3
-3 ABNM= MNCD=;2!; ABCD △MPN=△MQN=;4!; ABNM △MPN=;4!;_;2!; ABCD=;8!; ABCD ∴ MPNQ=2△MPN=;4!; ABCD ∴ MPNQ=;4!;_32=8(cm¤ ) △DGH GF” SAS CF” ∠C0
1
④ AD”∥BC”이므로 ∠ADB=∠CBD(엇각) ⑤ AB”∥CD”이므로 ∠ABD=∠CDB(엇각)0
2
AB”∥DC”이므로 ∠ODC=∠ABO=40˘ AD”∥BC”이므로 ∠OCB=∠OAD=55˘ △BCD에서 55˘+50˘+40˘+∠DBC=180˘ ∴ ∠DBC=35˘0
3
AB”∥CD”이므로 ∠BAO=∠DCO(엇각) AD”∥BC”이므로 ∠DAO=∠BCO=56˘(엇각) △ABD에서 ∠A+∠ABO+∠ADO=180˘ (∠DCO+56˘)+∠ABO+42˘=180˘ ∴ ∠ABO+∠DCO=180˘-(56˘+42˘)=82˘0
4
∠B=68˘이므로 ∠C=112˘ ∠EBC+;2!;∠C=90˘이므로 ∠EBC=34˘ ∴ ∠ABE=68˘-34˘=34˘0
5
BC”=5이므로 점 D는 점 A를 x축의 방향으로 5만큼 평행이동 한 점이다. ∴ D(4, 4)0
6
∠ABF=∠CBF, ∠ABE=∠CEB(엇각)이므로 ∠CBE=∠CEB ∴ BC”=CE”=CD”+DE”=5+3=8(cm)0
7
④ ∠ABD=∠CDB=50˘이므로 ④AB”∥DC” ……` ㉠ ④∠ADB=∠CBD=45˘이므로 ④AD”∥ BC” …… ㉡ ④㉠, ㉡에 의하여 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 ABCD 는 평행사변형이다.0
8
⑤ 오른쪽 그림과 같은 ABCD 는 평행사변형이 아니다. A B C D 5`cm 5`cm 34~35쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01⑤ 02② 03④ 04③ 05② 068 cm 07④ 08⑤09㈎ : OR”, ㈏ : OS” 10㈎ : ∠EDF, ㈏ : ∠DFB
0
9
AP”=CR”, BQ”=DS”이므로 OP”= , OQ”= 따라서 PQRS는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다.10
∠EBF=;2!;∠B=;2!;∠D= ∠AEB=∠EBF(엇각), ∠DFC=∠EDF(엇각)이므로 ∠AEB=∠DFC ∠DEB=180˘-∠AEB=180˘-∠DFC= 따라서 BFDE는 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행 사변형이다.11
BFED가 평행사변형이므로 △CFE=△BCD=;2!; ABCD=;2!;_20=10(cm¤ )12
오른쪽 그림과 같이 점 E를 지나고 AB”에 평행하게 선을 그어 M’N”, BC”와의 교점을 각각 R, S라 하면 △EPQ=△EPR+△ERQ △EPQ=;8!;( ABSE+ ESCD) △EPQ=;8!; ABCD=10(cm¤ ) ∴ ABCD=80 cm¤13
[단계❶] ∠BAE=∠DAE, ∠DAE=∠BEA(엇각)이므로 [단계❶] ∠BAE=∠BEA ∴ BE”=AB”=8 cm [단계❷] ∠ADF=∠CDF, ∠ADF=∠CFD(엇각)이므로 [단계❶] ∠CDF=∠CFD ∴ CF”=CD”=8 cm [단계❸] BC”=BE”+CF”-EF”=8+8-EF”=10(cm) ∴ EF”=6 cm14
∠EDB=∠CDB=40˘(접은 각) yy❶ AB”∥DC”이므로 ∠ABD=∠CDB=40˘(엇각) yy❷ △FBD에서 ∠AFE=180˘-(∠FBD+∠FDB) =180˘-(40˘+40˘)=100˘ yy❸ P R S M Q N A B C D E ∠DFB ∠EDF OS” OR” ❶ BE”의 길이 구하기 ❷ CF”의 길이 구하기 ❸ EF”의 길이 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점 ❶ ∠EDB의 크기 구하기 ❷ ∠ABD의 크기 구하기 ❸ ∠AFE의 크기 구하기 30 % 30 % 40 % 채점 기준 배점06. 여러 가지 사각형
36~37쪽 개・념・확・인 01⑴ 3 cm ⑵ 5 cm ⑶ ;2%; cm 02∠x=55˘, ∠y=35˘ 03⑴ 6 cm ⑵ 90˘ ⑶ 30˘ 04⑴ 90˘ ⑵ 6 cm 05풀이 참조 06⑴ ㄴ, ㄹ ⑵ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ ⑶ ㄷ, ㄹ ⑷ ㄹ0
1
⑴ CD”=AB”=3(cm) ⑵ 직사각형의 두 대각선의 길이는 같으므로 ⑵BD”=AC”=5(cm) ⑶ OD”=;2!; BD”=;2!; AC”=;2%;(cm)0
2
△OAB는 OA”=OB”인 이등변삼각형이므로 ∠OBA=55˘ ∴ ∠y=90˘-55˘=35˘, ∠x=∠DBA=55˘(엇각)0
3
⑴ 마름모는 네 변의 길이가 모두 같으므로 ⑴CD”=AB”=6(cm) ⑵ 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므로 ∠AOD=90˘⑶ △ABD에서 AB”=AD”이므로 ∠ABD=∠ADB=30˘
0
4
⑴ AC”⊥BD”이므로 ∠AOB=90˘ ⑵ OA”=OB”=OC”=OD”이므로 ⑵BD”=2OA”=2_3=6(cm)0
5
0
6
⑴ 두 대각선의 길이가 같은 사각형은 직사각형, 정사각형이다. 이웃하는 두 변의 길이가 같다. 이웃하는 두 변의 길이가 같다. 평행사변형 직사각형 정사각형 마름모 한 내각의 크기가 90æ`이다. 한 내각의 크기가 90æ`이다.실전서2-2정답(01-29)OK 2014.6.13 8:50 AM 페이지15 DK
⑵ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하는 사각형은 평행사변 형, 직사각형, 마름모, 정사각형이다. ⑶ 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하는 사각형은 마름 모, 정사각형이다. ⑷ 두 대각선의 길이가 같고, 서로 다른 것을 수직이등분하는 사 각형은 정사각형이다.
2
-2 AB”=BC”이므로 ∠BAC=∠BCA=;2!;_(180˘-60˘)=60˘ △ABC는 한 변의 길이가 3 cm인 정삼각형이므로 AC”=3(cm)2
-3 OA”=OC”, OB”=OD”, AC”⊥BD”이므로 △ABO=;2!;_10_8=40(cm¤ ) △ABO™△CBO™△CDO™△ADO이므로 ABCD=4△ABO=4_40=160(cm¤ ) 핵심유형3
∠BOC=90˘이므로 ∠BOP=90˘-∠POC ∠POQ=90˘이므로 ∠COQ=90˘-∠POC ∴ ∠BOP=∠COQ OB”=OC”, ∠OBP=∠OCQ=45˘이므로 △OBP™△OCQ(ASA 합동) ∴ OPCQ=△OPC+△OCQ∴ OPCQ=△OBP+△OPC=△OBC=;4!; ABCD ∴ OPCQ=;4!;_8_8=16(cm¤ )
3
-1 △ABE™△BCF(SAS 합동)이므로 ∠BAE=∠CBF ∴ ∠AGF=∠BGE=180˘-(∠EBG+∠GEB) =180˘-(∠BAE+∠AEB)=∠ABC=90˘3
-2 ∠ABE=90˘-∠CBE=90˘-30˘=60˘ AC”는 정사각형 ABCD의 대각선이므로 ∠BAE=45˘ ∴ ∠AEB=180˘-(60˘+45˘)=75˘ △ABE와 △ADE에서 AB”=AD” ∠BAE=∠DAE=45˘, AE”는 공통이므로 △ABE™△ADE(SAS 합동) ∴ ∠AED=∠AEB=75˘3
-3 AD”=AE”이고 ABCD는 정사각형이므로 AB”=AD”=AE” ∴ ∠AEB=∠ABE=20˘ ∠BAE=90˘+∠DAE=140˘ 이므로 ∠DAE=50˘ △ADE에서 AD”=AE”이므로 ∠ADE=∠AED=;2!;_(180˘-50˘)=65˘ A B C D E 20æ 50æ 20æ 38~39쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ① 1-1② 1-2③ 1-3⑤ 핵심유형 2 ② 2-1③ 2-2① 2-3⑤ 핵심유형 3 ① 3-1④ 3-2⑤ 3-3③ 핵심유형 4 ⑤ 4-1③ 4-2③ 4-3⑤ 핵심유형1
△ABE™△AFE(RHS 합동)이므로 ∠FAE=∠BAE=20˘ ∠AEF=∠AEB=90˘-20˘=70˘ ∴ ∠FEC=180˘-(∠AEB+∠AEF) =180˘-(70˘+70˘)=40˘1
-1 ①, ③ 직사각형 ② 마름모 ④, ⑤ 직사각형은 평행사변형이므로 평행사변형의 모든 성 질을 가지고 있다.1
-2 OD”=OC”=;2!;AC”=5(cm) CD”=AB”=6(cm) 따라서 △OCD의 둘레의 길이는 5+5+6=16(cm)이다.1
-3 ∠AEF=∠FEC(접은 각) =∠AFE(엇각) =180˘-∠EFD=180˘-100˘=80˘ ∴ ∠AEB=180˘-160˘=20˘ △ABE에서 ∠BAE=180˘-(∠B+∠AEB) =180˘-(90˘+20˘)=70˘ 핵심유형2
② 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하지만 두 대각선의 길이가 같지는 않다.2
-1 AB”=BC”이므로 3x-2=x+4, 2x=6 ∴ x=3 ∴ CD”=BC”=x+4=3+4=7핵심유형
4
①, ② ∠A+∠B=180˘, ∠A=∠C이므로 ③∠A=∠B=∠C=∠D이다. ③ 평행사변형에서 두 대각선의 길이가 같으면 직사각형이 된다. ④ 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 OA”=OB”이면 AC”=BD”이므로 직사각형이 된다. ⑤ 평행사변형이 마름모가 될 조건이다.4
-1 ③ 마름모는 직사각형이 아니고, 직사각형도 마름모가 아니다.4
-2 ③ 두 대각선의 길이가 같으므로 직사각형이 된다.4
-3 ABCD에서 AD”∥BC”, AB”∥DC”이므로 평행사변형이다.또, 평행사변형 ABCD에서 AC”⊥BD”, AC”=BD”이므로 정사각형이다. ∠PQD=180˘-(∠PQB+∠DQC) =180˘-(∠PQB+∠QPB)=90˘ ∴ ∠QPD=∠QDP=45˘ ∴ ∠ADP+∠BQP=∠ADP+∠CDQ=90˘-45˘=45˘
0
4
EBFD가 마름모이므로 ∠EBD=∠FBD, ∠EDB=∠FDB ∴ ∠FBD=∠FDB=;3!;_90˘=30˘ △FDB에서 ∠BFD=180˘-(30˘+30˘)=120˘0
5
①, ③, ④, ⑤ 직사각형과 마름모는 평행사변형이므로 평행사변 형의 성질을 만족한다. ② 마름모의 두 대각선은 직교하지만 직사각형의 두 대각선은 직 교하지 않는다.0
6
△PBC는 PB”=BC”=CP”인 정삼각형이므 로 ∠PBC=60˘ ∴ ∠ABP=90˘-∠PBC =90˘-60˘=30˘ △ABP에서 AB”=BP”이므로 ∠BAP=∠BPA=2!;_(180˘-30˘)=75˘ ∴ ∠PAD=90˘-∠BAP=90˘-75˘=15˘0
7
사각형 ABCD는 ∠DAB=90˘인 마름모이므로 정사각형이다. ∠OCB=45˘이므로 △EBC에서 ∠EBC=∠AEB-∠OCB=65˘-45˘=20˘0
8
△AEO와 △DFO에서 AO”=DO”, ∠EAO=∠FDO=45˘ ∠EOA=∠EOF-∠AOF=90˘-∠AOF=∠FOD ∴ △AEO™△DFO(ASA 합동) ∴ FD”=EA”=2(cm) AD”=3+2=5(cm)이므로 ABCD=5_5=25(cm¤ )0
9
④ 평행사변형의 이웃하는 두 내각의 크기의 합은 180˘이므로 이웃 하는 두 내각의 크기가 같으면 한 내각의 크기가 90˘인 사각형, 즉 직사각형이다.10
평행사변형 ABCD에서 ∠A=90˘이면 직사각형이고, 직사각 형의 두 대각선은 길이가 같고 서로 다른 것을 이등분한다.3a-1=a+5, 2a=6 ∴ a=3
OA”=OC”=OB”=OD” ∴ OD”=OA”=3_3-1=8 A B P C D 75æ 30æ 75æ 60æ
0
1
MN”과 EF”의 교점을 O라 하면 △OAM™△OCN(ASA 합동)이므로 OM”=ON” ∠MOE=∠NOF(맞꼭지각) BM”∥ ND”이므로 ∠OME=∠ONF(엇각) ∴ △OME™△ONF(ASA 합동) ∴ MEFD=△MND=;2!;_3_4=6(cm¤ )0
2
∠D'AE=90˘-70˘=20˘이므로 ∠DAE+∠D'AE=20˘(접은 각) ∴ ∠APB=∠PAD=2∠D'AE=40˘(엇각)0
3
△PBQ와 △QCD에서 PB”=;2!; AB”=;2!;_;3@; BC”=;3!; BC”=QC” ∠B=∠C=90˘, BQ”=;3@; BC”=CD” 이므로 △PBQ™△QCD(SAS 합동) ∴ PQ”=QD” A B N F E O M C D 40~41쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01② 0240˘ 03① 04⑤ 05② 06① 07③ 08③ 09④ 10④ 11④ 1220 cm 13 50 cm¤ 1475˘실전서2-2정답(01-29)OK 2014.6.13 5:19 PM 페이지17 DK
11
① 직사각형 ②, ③, ⑤ 평행사변형 ④ 두 대각선이 서로 직교하므로 마름모이다.12
대각선 BD가 ∠B를 이등분하므로 AB”=BC”, 즉 ABCD는 마름모이다. 따라서 ABCD의 둘레의 길이는 5_4=20(cm)이다.13
[단계❶] 점 M, N을 이으면 ABNM과 MNCD는 정사 각형이므로 P’M”=PN”, Q’M”=Q’N” P’M”⊥PN”, Q’M”⊥Q’N” ∠PMQ=∠PNQ=180˘-(45˘+45˘)=90˘ [단계❷] 따라서 MPNQ는 정사각형이다. [단계❷] ∴ MPNQ=2△MPN=2_;4!; ABNM ∴ MPNQ=2_;4!;_10_10=50(cm¤ )14
CD”의 연장선 위에 BP”=DR”가 되도록 점 R를 잡으면 △ABP™△ADR(SAS 합동) yy❶ 이므로 AP”=AR” …… `㉠ ∠BAP=∠DAR, ∠BAP+∠QAD=45˘이므로 ∠RAQ=∠DAR+∠QAD =45˘=∠PAQ …… `㉡ AQ”는 공통 …… `㉢ ㉠, ㉡, ㉢에서 △PAQ™△RAQ(SAS 합동) yy❷ ∴ ∠AQD=∠AQP=180˘-(45˘+60˘)=75˘ yy❸ A B C 45æ 60æ D R Q P ❶ MPNQ가 정사각형임을 설명하기 ❷ MPNQ의 넓이 구하기 60 % 40 % 채점 기준 배점 ❶ △ABP와 △ADR가 합동임을 설명하기 ❷ △PAQ와 △RAQ가 합동임을 설명하기 ❸ ∠AQD의 크기 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점07. 도형의 닮음
42~43쪽 개・념・확・인 01⑴ 점 D ⑵ EF” ⑶ ∠C 02⑴ 점 F ⑵ GH” ⑶ 면 ABD 03ㄱ, ㄷ, ㅂ 04⑴ 2 : 3 ⑵ :¡2∞: cm ⑶ 40˘ 05⑴ 4 : 5 ⑵ 5 cm ⑶ 면 B'E'F'C' 44~45쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ④ 1-1⑴ IL” ⑵ 면 JLIG 1-2⑤ 핵심유형 2 ④ 2-1② 2-2134 2-3④ 2-424p cm 핵심유형 3 9 3-1④ 3-22 : 3 3-3;4#; cm 핵심유형1
④ EH”에 대응하는 변은 AD”이다. 핵심유형2
① ∠D의 크기는 알 수 없다. ②, ⑤ 닮음비는 AB” : EF”=15 : 10=3 : 2이므로 ③3 : 2=AD” : 8 ∴ AD”=12(cm) ③ ∠G=∠C=70˘ ④ BC” : FG”=3 : 2이므로 18 : FG”=3 : 2 ∴ FG”=12(cm)2
-1 ∠A=70˘이므로 △ABCª△EFD 따라서 닮음비는 BC” : FD”=a : e0
4
⑴ BC”에 대응하는 변은 EF”이므로 닮음비는 BC” : EF”=6 : 9=2 : 3 ⑵ 2 : 3=AC” : DF” 이므로 2 : 3=5 : DF” ⑵∴ DF”=;;¡2∞;; (cm) ⑶ ∠F에 대응하는 각은 ∠C이므로 ∠F=∠C=40˘0
5
⑴ AD”에 대응하는 모서리는 A’'D'”이므로 닮음비는 AD” : A’'D'”=8 : 10=4 : 5⑵ 4 : 5=DE” : D’'E'”이므로 4 : 5=4 : D’'E'”” ∴ D’'E'”=5(cm)
⑶ 면 B'E'F'C'
도형의 닮음
2
-2 닮음비가 AD” : EH”=12 : 6=2 : 1이므로 2 : 1=8 : EF” EF”=4(cm)이므로 a=4 ∠G=∠C=360˘-(65˘+70˘+95˘)=130˘ 이므로 b=130 ∴ a+b=4+130=1342
-3 2 : 1=AB” : DE”이므로 2 : 1=12 : DE”∴ DE”=6(cm) 2 : 1=BC”” : EF”이므로 2 : 1=8 : EF” ∴ EF”=4(cm) 따라서 △DEF의 둘레의 길이는 3+4+6=13(cm)
2
-4 두 원의 닮음비는 반지름의 길이의 비와 같으므로 3 : 4이다. 원 O'의 반지름의 길이를 r cm라 하면 3 : 4=9 : r ∴ r=12 따라서 원 O'의 둘레의 길이는 2p_12=24p(cm) 핵심유형3
닮음비는 DH” : D’'H'”=6 : 9=2 : 3이므로 2 : 3=4 : x ∴ x=6 2 : 3=2 : y ∴ y=3 ∴ x+y=6+3=93
-1 ② 닮음비는 DE” : JK”=4 : 6=2 : 3 ④ EF” : KL”=2 : 3 ∴ x=2 AD” : GJ”=2 : 3 ∴ y=9 AC” : GI”=2 : 3 ∴ z=6 ∴ x+y+z=173
-2 밑면인 원의 둘레의 길이의 비는 닮음비와 같으므로 8 : 12=2 : 3이다.3
-3 두 원뿔은 서로 닮은 도형이고, 닮음비는 높이의 비와 같으므 로 4 : 1이다. 수면의 반지름의 길이를 x cm라 하면 4 : 1=3 : x ∴ x=;4#;(cm)0
1
⑤ 두 직각이등변삼각형은 항상 닮은 도형이다.0
2
항상 닮음인 도형은 두 정다각형, 두 직각이등변삼각형, 두 원, 두 구, 두 정다면체 등이다.0
3
∠A=∠E=70˘이므로 ∠F=∠B=360˘-(70˘+65˘+80˘)=145˘0
4
2 : 3=AB” : 6이므로 AB”=4(cm) ABCD의 둘레의 길이는 3+4+4+5=16(cm)이고, 두 사각형의 둘레의 길이의 비는 닮음비와 같으므로 EFGH의 둘레의 길이를 l cm라 하면 2 : 3=16 : l ∴ l=24(cm)0
5
ㄱ. 닮음비는 AB” : DE””=6 : 2=3 : 1이다. ㄴ. ∠C=∠F=30˘이므로 ∠A=180˘-(70˘+30˘)=80˘ ㄷ. AC” : DF””=3 : 1이므로 DF””=3(cm) 따라서 옳은 것을 모두 고른 것은 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.0
6
A4 용지와 A8 용지는 서로 닮음이고 닮음비는 4 : 1이다.0
7
⑤ 두 사면체의 닮음비는 ⑤AB” : EF””=3 : 6=1 : 2이다.0
8
닮음비가 1 : 2이므로 1 : 2=5 : x ∴ x=10 1 : 2=6 : y ∴ y=12 ∴ x-y=10-12=-20
9
두 원기둥의 닮음비가 5 : 10=1 : 2이므로 원기둥 B의 밑면인 원의 반지름의 길이를 x cm라 하면 1 : 2=2 : x ∴ x=4 따라서 원기둥 B의 밑면의 둘레의 길이는 2p_4=8p(cm)10
두 원뿔은 서로 닮음이고 닮음비는 12 : (12+9)=12 : 21=4 : 7이므로 처음 원뿔의 밑면인 원 의 반지름의 길이를 x cm라 하면 4 : 7=8 : x ∴ x=14(cm)11
[단계❶] △OABª△OBC이고 닮음비는 OA” : OB”=2 : 3이므로 2 : 3=12 : OC” ∴ OC”=18(cm) [단계❷] △OBC∽△OCD이고 닮음비는 OB” : OC”=2 : 3이므로 2 : 3=18 : OD” ∴ OD”=27(cm) 46~47쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01⑤ 02④, ⑤ 03④ 0424 cm 05⑤ 06② 07⑤ 08① 098p cm 1014 cm 1145 cm 12⑴ 3 : 2 ⑵ x=6, y=8실전서2-2정답(01-29)OK 2014.6.13 8:50 AM 페이지19 DK
[단계❸] ∴ OC”+OD”=45(cm)
12
⑴ 닮음비는 AD” : IL”=9 : 6=3 : 2 yy❶ ⑵ 3 : 2=x : 4 ∴ x=6 3 : 2=12 : y ∴ y=8 yy❷ ❶ OC”의 길이 구하기 ❷ OD”의 길이 구하기 ❸ OC”+OD”의 길이 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점 ❶ 닮음비 구하기 ❷ x, y의 값 구하기 40 % 60 % 채점 기준 배점08. 삼각형의 닮음조건
48~49쪽 개・념・확・인 01△ABCª△PQR(SAS 닮음), △DEFª△HIG(AA 닮음), △JKLª△NOM(SSS 닮음) 02⑴ △ABEª△DCE(SAS 닮음) ⑵ △ABCª△ADE(AA 닮음) 03⑴ 2 : 3 ⑵ 12 cm 04⑴ ;;£5™;; ⑵ 4 ⑶ 9 ⑷ :¡5™: 50~51쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ④ 1-1③ 1-2① 핵심유형 2 ② 2-1② 2-210 2-35 cm 2-46 cm 핵심유형 3 12 3-111 3-2:¡2∞: cm3-3① 3-4② 3-5③ 핵심유형1
④ 두 쌍의 대응하는 각의 크기가 각각 같은 삼각형이다.1
-1 ①, ④ AA 닮음 ② SAS 닮음 ⑤ SSS 닮음1
-2 두 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같으므로 그 끼인 각의 크기가 같으면 닮음이다. 핵심유형2
△AED와 △ABC에서 ∠AED=∠ABC=50˘, ∠A는 공통이므로 △AEDª△ABC(AA 닮음)이고 닮음비는 ED” : BC”=1 : 2 따라서 AD” : AC”=1 : 2이므로 AD” : 8=1 : 2 ∴ AD”=4(cm)2
-1 △ABD와 △CBA에서 AB” : BC”= BD” : AB”=3 : 4, ∠B는 공통이므로 △ABDª△CBA(SAS 닮음) 따라서 3 : 4=AD” : CA”이므로 3 : 4=AD” : 8 ∴ AD”=62
-2 △BDE와 △BCA에서 DB” : BC”=BE” : BA”=1 : 2, ∠B는 공통이므로 △BDEª△BCA(SAS 닮음) 따라서 1 : 2=ED” : AC”이므로 1 : 2=5 : AC” ∴ AC”=10 ⑵ AC” ¤ =CD”_CB”이므로 x¤ =2_8=16 ∴ x=4 ⑶ AD” ¤ =BD”_CD”이므로 6¤ =4_x ∴ x=9⑷ △ABC=;2!; AB”_AC”=;2!; BC”_AD”이므로 ⑷3_4=5_x ∴ x=:¡5™:
0
2
⑴ △ABE와 △DCE에서AE” : DE”=BE” : CE”=1 : 2, ∠AEB=∠DEC이므로 △ABEª△DCE(SAS 닮음)
⑵ △ADE와 △ABC에서
∠ADE=∠ABC, ∠A는 공통이므로 △ABCª△ADE(AA 닮음)
0
3
⑴ △ABC와 △DEF에서AB” : DE”=BC” : EF”=2 : 3, ∠ABC=∠DEF이므로 △ABCª△DEF(SAS 닮음) 따라서 닮음비는 2 : 3이다. ⑵ 2 : 3=AC” : DF”이므로 2 : 3=8 : DF” ∴ DF”=12(cm)
0
4
⑴ AB” ¤ =BD”_BC”이므로 ⑴8¤ =x_10 ∴ x=;;£5™;;2
-3 △ABD와 △CBA에서 ∠BAD=∠BCA, ∠B는 공통이므로 △ABDª△CBA(AA 닮음) AB” : CB”=BD” : BA”이므로 6 : (4+CD”)=4 : 6 4(4+CD”)=36, 4+CD”=9 ∴ CD”=5(cm)2
-4 △BEF와 △CED에서 ∠BEF=∠CED, ∠BFE=∠CDE이므로 △BEFª△CED(AA 닮음) 닮음비는 BE” : CE”=6 : 9=2 : 3이므로 2 : 3=BF” : CD” 2 : 3=4 : DC” ∴ DC”=6(cm) ∴ AB”=DC”=6(cm) 핵심유형3
BC” ¤ =CH”_CA”이므로 5¤ =3(3+x), 25=9+3x ∴ x=:¡3§: BA” ¤ =AH”_AC”이므로 y¤ =:¡3§:_{:¡3§:+3}=:¡3§:_:™3∞:={:™3º:}2 ∴ y=:™3º: ∴ x+y=:¡3§:+:™3º:=123
-1 △ABD와 △ACE에서 ∠A는 공통, ∠ADB=∠AEC=90˘이므로 △ABDª△ACE(AA 닮음)따라서 AB” : AC”=AD” : AE”이므로
(BE”+4) : 10=6 : 4, 4(BE”+4)=60
∴ BE”=11
3
-2 △ABE와 △ADF에서∠AEB=∠AFD=90˘, ∠B=∠D(대각)이므로 △ABEª△ADF(AA 닮음)
따라서 AE” : AF”=AB” : AD”이므로 6 : 8=AB” : 10 ∴ AB”=:¡2∞:(cm)
3
-4 AH” ¤ =BH”_CH”이므로 12¤ =16_CH” ∴ CH”=9(cm) 따라서 △AHC의 넓이는 ;2!;_9_12=54(cm¤ )3
-5 BC” ¤ =CH”_CA”이므로 6¤ =CH”_10 ∴ CH”=:¡5•:(cm), AH”=:£5™:(cm) BH” ¤ =CH”_AH”이므로 BH” ¤ =:¡5•:_:£5™:={:™5¢:}2 ∴ BH”=:™5¢:(cm)0
1
△ABC에서 ∠A=180˘-(60˘+35˘)=85˘ ①, ②, ③, ⑤ AA 닮음0
2
△ABC와 △EDC에서 BC” : DC”=AC” : EC”=1 : 3이고 ∠C는 공통이므로 △ABCª△EDC(SAS 닮음)0
3
① ∠A=75˘이면 ∠C=60˘이므로 △ABCª△DFE(AA 닮음)0
4
△ADE와 △CAB에서 ∠EAC=∠BCA(엇각), ∠EDA=∠BAD(엇각)이므로 △ADEª△CAB(AA 닮음)따라서 AE” : CB”=AD” : CA”이므로 4 : CB”=6 : 11 ∴ BC”=:™3™:
0
5
△DBE와 △CBA에서 BD” : BC”=BE” : BA”=8 : 12=2 : 3, ∠B는 공통이므로 △DBEª△CBA(SAS 닮음) 따라서 BD” : CB”=DE” : CA”이므로 2 : 3=4 : CA” ∴ AC”=6`(cm)0
6
△DAE와 △BAC에서 ∠ADE=∠B, ∠A는 공통이므로 △DAEª△BAC(AA 닮음) 따라서 AD” : AB”=AE” : AC”이므로 6 : (4+BE”)=4 : 9 ∴ BE”=:¡2ª: (cm)0
7
△BFE와 △CFD에서 ∠BFE=∠CFD, ∠BEF=∠CDF(엇각)이므로 △BFEª△CFD(AA 닮음) 닮음비는 BE” : CD”=5 : 10=1 : 2이므로 BF” : CF’”=1 : 2 ∴ BF”=18_;3!;=6(cm), CF”=12(cm) 또, 1 : 2=FE” : FD”이므로 1 : 2=7 : FD” ∴ DF”=14(cm) 따라서 △CDF의 둘레의 길이는 CD”+DF”+CF”=10+14+12=36(cm) 52~53쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01④ 02△EDC, SAS 닮음 03① 04 ⑤ 05① 06② 0736 cm 08 :¡3§: cm 0912 cm 1045 11;4(; cm 12 15 cm 133 cm실전서2-2정답(01-29)OK 2014.6.13 8:50 AM 페이지21 DK
0
8
△AEC와 △ADB에서∠AEC=∠ADB=90˘, ∠A는 공통이므로 △AECª△ADB(AA 닮음)
따라서 AE” : AD”=AC” : AB”이므로 AE” : 6=8 : 9 ∴ AE”=:¡3§:(cm)
0
9
AC” ¤ =CD”_CB”에서 15¤ =9_BC”이므로 BC”=25(cm) ∴ BD”=25-9=16(cm) 이때 AD” ¤ =BD”_CD”이므로 AD” ¤ =16_9=144 ∴ AD”=12(cm)10
AD” ¤ =BD”_CD”이므로 6¤ =BD”_3 ∴ BD”=12 따라서 △ABC의 넓이는 ;2!;_15_6=4511
AD”=BC”=5(cm)이므로 직각삼각형 ABD에서 AD” ¤ =DH”_BD” 5¤ =4_BD” ∴ BD”=:™4∞:(cm) ∴ BH”=BD”-DH”=:™4∞:-4=;4(;(cm)12
[단계❶] △ABF와 △DFE에서 ∠A=∠D=90˘ ∠ABF=90˘-∠AFB=∠DFE ∴ △ABFª△DFE(AA 닮음) [단계❷] AB” : DF”=AF” : DE”이므로9 : 3=AF” : 4, 3AF”=36 ∴ AF” =12(cm) [단계❸] ∴ BF”=BC”=AD”
=AF”+FD”=12+3=15(cm)
13
점 O가 △ABC의 외심이므로 △ABC는 ∠A=90˘인 직각삼 각형이다. ∴ BO”=CO”=6(cm) yy❶ AB” ¤ =BD”_BC”이므로 6¤ =BD”_12 ∴ BD”=3(cm) yy❷ ∴ DO”=BO”-BD”=6-3=3(cm) yy❸ ❶ △ABFª△DFE임을 설명하기 ❷ AF”의 길이 구하기 ❸ BF”의 길이 구하기 40 % 30 % 30 % 채점 기준 배점 ❶ BO”의 길이 구하기 ❷ BD”의 길이 구하기 ❸ DO”의 길이 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점09. 삼각형과 평행선
54~55쪽 개・념・확・인 01⑴ 6 ⑵ 9 ⑶ 6 02⑴ 03⑴ 2 ⑵ ;3%; 04⑴ 8 ⑵ 6 ⑶ :™5¢:0
1
⑴ 6 : (6+x)=10 : 20 ∴ x=6 ⑵ 3 : x=4 : 12 ∴ x=9 ⑶ 2 : 4=3 : x ∴ x=60
2
⑴ AD” : DB”=8 : 4=2 : 1, AE” : EC”=6 : 3=2 : 1이므로 AD” : DB”=AE” : EC”=2 : 1 따라서 BC”∥DE”이다. ⑵ AD” : AB”=3 : 8,AE” : AC”=4 : 6=2 : 3이므로 AD” : AB”+AE” : AC”
따라서 BC”와 DE”는 평행하지 않다. ⑶ AB” : BD”=4 : 2=2 : 1,
AC” : CE”=6 : 2.5이므로 AB”” : BD”+AC” : CE”
따라서 BC”와 DE”는 평행하지 않다.
0
3
⑴ AB” : AC”=BD” : CD”이므로 6 : 4=3 : x, 6x=12 ∴ x=2 ⑵ AB” : AC”=BD” : CD”이므로 4 : 3=(x+5) : 5 ⑵3_(x+5)=20, x+5=:™3º: ⑵∴ x=;3%;0
4
⑴ 9 : 6=12 : x, 9x=72 ∴ x=8 ⑵ 6 : 4=9 : x, 6x=36 ∴ x=6 ⑶ 4 : 5=x : 6, 5x=24 ⑶∴ x=:™5¢:56~57쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 22 1-1x=6, y=5 1-230 1-3:¡5™: cm 핵심유형 2 ④ 2-1FE”∥BC” 2-2⑴ 9 ⑵ 24 핵심유형 3 5 cm 3-110 cm 3-220 cm¤ 핵심유형 4 90 4-1:™5¢: 4-210 4-3;2%; 4-46 cm 핵심유형
1
x : 8=9 : 6, 6x=72 ∴ x=12 9 : 6=15 : y, 9y=90 ∴ y=10 ∴ x+y=12+10=221
-1 4 : 8=x : 12, 8x=48 ∴ x=6 4 : 8=y : 10이므로, 8y=40 ∴ y=51
-2 8 : (8+x)=4 : 6이므로4_(8+x)=48, 8+x=12 ∴ x=4
4 : 6=5 : y이므로 y=:¡2∞: ∴ xy=30
1
-3 마름모 DBFE의 한 변의 길이를 x cm라 하면 AD” : AB”=DE” : BC”에서(6-x) : 6=x : 4, 6x=4_(6-x) ∴ x=:¡5™:
핵심유형
2
④ AE” : EC”=AD” : DB”=2 : 1이므로 DE”∥BC”2
-1 AF” : FB”=AE” : EC”=2 : 3이므로 FE”∥BC”2
-2 ⑴ x : 6=6 : 4, 4x=36 ∴ x=9 ⑵ 15 : (x-15)=10 : 6 10_(x-15)=90 ∴ x=24 핵심유형3
6 : 4=3 : CD”, 6 CD”=12 ∴ CD”=2(cm) ∴ BC”=BD”+DC”=3+2=5(cm)3
-1 CD”=x cm라 하면 8 : 5=(6+x) : x이므로 5_(6+x)=8x, 3x=30 ∴ x=103
-2 AB” : AC”=BD” : CD”=4 : 3이므로 △ABD : △ADC=BD” : CD”=4 : 3 ∴ △ABD=35_;7$;=20(cm¤ ) 핵심유형4
6 : 8=x : 10, 8x=60 ∴ x=:¡2∞:8 : 14=y : 21, 14y=168 ∴ y=12 ∴ xy=90
4
-1 3 : 5=x : 8, 5x=24 ∴ x=:™5¢:4
-2 k∥l∥m이므로 3 : 4=x : 5 4x=15 ∴ x=:¡4∞: l∥m∥n이므로 4 : 5=5 : y 4y=25 ∴ y=:™4∞: ∴ x+y=104
-3 △ABC에서 EF”∥BC”이므로 3 : 5=x : 10, 5x=30 ∴ x=6 △CDA에서 FG”∥AD”이므로2 : 5=y : 6, 5y=12 ∴ y=:¡5™:
∴ ;]{;=6_;1∞2;=;2%;
4
-4 점 A를 지나면서 DC”에 평행한 직선이 EF”, BC”와 만나는 점을 각 각 G, H라 하자. HC”=GF”=AD”=5(cm)이므로 BH”=3(cm) △ABH에서 AE” : AB”=EG” : BH”이므로3 : 9=EG” : 3, 9 EG”=9 ∴ EG”=1(cm) ∴ EF”=EG”+GF”=1+5=6(cm) 5`cm 5`cm 5`cm 3`cm 6`cm 8`cm A B H G C D E F
