시멘트 페이스트의 슬럼프 유동 모사를 위한 분석적 해의 검토
Review on Analytical Solutions for Slump Flow of Cement Paste
윤`태`영 Yun, Taeyoung 정회원·한국건설기술연구원 수석연구원·교신저자 (E-mail : [email protected])
1. 연구배경 및 목적
도로포장에는 아스팔트 콘크리트와 시멘트 콘크리트 와 같은 일반적인 혼합물 이외에도, 에폭시나 우레탄 등 으로 개질된 고분자 화합물이 개발되어 활용되기도 한 다. 이들 모두는 일반적인 산업계의 공산품과는 달리 현 장에서 물리적 또는 화학적 반응을 거쳐 유체상태에서 고체상태로 변환되어 최종 생산품으로 완성되는 특성을
나타낸다. 따라서 이들 재료를 이용한 적절한 시공을 위 하여 다양한 장비들이 현장에서 요구되는데, 이들 장비 를 활용한 시공방법은 재료의 물성인 화학적 또는 물리 적 결합 특성만큼이나 도로포장 구조물의 성능에 큰 영 향을 미치는 요소이다. 따라서 시공과정에서 변화되는 재료의 역학적 특성을 정량화하여 도로포장 구조물의 최 종 성능을 예측하거나 시공성능을 보장하기 위한 연구는
Int. J. Highw. Eng. Vol. 18 No. 3 : 21-32 JUNE 2016 http://dx.doi.org/10.7855/IJHE.2016.18.3.021
ABSTRACT
PURPOSES : In this paper, the analytical solutions suggested to simulate the behavior of rheological fluids were rigorously re-derived and investigated for fixed conditions to evaluate the applicability for the solutions on a mini-cone slump test of cement paste. The selected solutions with proper boundary conditions can be used as reference solutions to evaluate the performance of numerical simulation approaches, such as the discrete element method.
METHODS : The slump, height, and spread radius for the given boundary and yield stress conditions that are determined by five different analytical solutions are compared.
RESULTS : The analytical solution based on fluid mechanics for pure shear flow shows similar results to that for intermediate flow at low yield stresses. The fluid mechanics-based analytical solution resulted in a very similar trend to the geometry-based analytical solution.
However, it showed a higher slump at high yield stress and lower slump at low yield stress ranges than the geometry-based analytical model. The analytical solution based on the mini-cone geometry was not significantly affected by the yield criteria, such as von Mises and Tresca.
CONCLUSIONS : Even though differences among the analytical solutions in terms of slump and spread radius existed, the difference can be considered insignificant when the solutions were used as reference to evaluate the appropriateness of numerical approaches, such as the discrete element method.
Keywords
analytical solution, slump test, cement paste, yield stress
Corresponding Author : Yun, Taeyoung, Senior Researcher Highway Research Division, Korea Institute of Construction Technology, 283, Goyangdae-ro, Ilsanseo-gu, Goyang-si, Gyeonggi-do, 10223, Korea
Tel : +82.31.910.0445 Fax : +82.31.910.0161 E-mail : [email protected]
International Journal of Highway Engineering http://www.ksre.or.kr/
ISSN 1738-7159 (print) ISSN 2287-3678 (Online)
Received Dec. 18. 2015 Revised Dec. 24. 2015 Accepted May. 25. 2016
비용효과적인 측면에서 매우 의미있는 과정이라 할 수 있다. 아스팔트 콘크리트의 경우에는 시간 및 온도에 대 한 종속성으로 인하여 매우 복잡하기 때문에 현장에서의 품질을 확보하기 위한 방법은 생산, 운반 및 시공 시의 온도와 포설된 혼합물의 물성을 평가하는 방법이 적용되 고 있으나, 시멘트 콘크리트의 경우에는 온도에 대한 민 감성이 상대적으로 작기 때문에 재료의 유동적 특성을 슬럼프 또는 공기량 측정 실험 등 직접적인 실험으로 평 가하는 것이 일반적이다. 이와 관련하여 2000년대 초반 에 시멘트 콘크리트의 슬럼프 특성이 재료의 역학적 특 성을 반영할 수 있는 것인지를 확인하기 위하여 역학적 이론을 통하여 재료의 슬럼프를 모사할 수 있는가에 대 한 연구가 수행된 바 있다. 이러한 슬럼프를 분석적 해 (analytical solution)로 나타내기 위한 연구는 주로 유 럽, 미국과 일본을 중심으로 수행되었는데, Roussel and Coussot(2005), Murata(1984), Roussel et al.(2005), Saak et al.(2004) 등이 주목할 만한 연구성 과를 얻었으며, 이들 연구의 결과는 Pierre et al.(2013) 의 연구결과와 같이 고분자 재료에 유동특성을 설명하 기 위한 분석적 해를 유도하는 연구에도 적용되어 역학 적인 설명이 가능한 것으로 입증되고 있다. 이들 연구에 서는 유체역학의 기본이론이나 일반 또는 미니 슬럼프 콘 내의 재료의 기하학적 특성을 바탕으로 유동이 발생 하는 재료의 거동을 설명하고자 하였다. 그러나 이들 연 구결과는 매우 합리적인 가정에 근거하여 유도되어 이 론적 가치가 매우 높으나, 복잡한 유도과정에 대한 상세 한 설명 부족으로 유체역학과 소성론에 익숙하지 못한 국내 관련 분야에서 널리 활용되지 못하였으며, 유도된 방법들에 대한 비교검증이 국내외적으로 이루어지지 않 아 어떤 모형을 어떤 경우에 적용해야 하는지에 대한 고 찰도 이루어진 바 없다. 따라서 본 연구에서는 이들 모 형들의 유도과정의 합리성을 평가하고 다양한 모형들에 서 얻어진 결과를 비교하여, 유동이 존재하는 도로포장 재료의 거동분석을 위한 분석적 해의 타당성을 고찰하 고자 하였다. 이들 분석적 해를 통하여 얻은 결과는 이 후 이산요소법(discrete element method, DEM)이나 전산유체역학(computational fluid dynamic, CFD) 을 이용한 수치해석적 모사 방법에서의 항복응력이나 점도 등의 변수 설정을 위한 선행결과로 활용될 수 있어 중요한 의미를 갖는다고 할 수 있다.
2. 분석적 해의 유도
2.1. 유체역학에 기반한 분석적 해의 유도
앞서 언급한 바와 같이, 시멘트 페이스트의 슬럼프 실 험조건에서의 거동을 설명하기 위한 유체역학적 모형은 Roussel and Coussot(2005), Roussel et al.(2005) 등에 의하여 제시된 바 있다. 이들 연구에서는 유체역학 에 기반한 분석적 해를 유도하기 위하여 적절한 가정을 통하여 조건을 단순화하고 이 유체의 거동특성을 반영 한 응력과 변형률 속도를 나타내는 구성방정식에 적용 하였으며, 분석적 해의 검증을 위하여 상부반경, 하부반 경 및 높이가 각각 35cm, 50cm, 50cm인 미니콘(mini cone)을 활용하였다. 이들 연구에서 분석적 해를 유도 하기 위하여 적용된 가정은 다음과 같다.
- 시 멘 트 페 이 스 트 유 체 는 비 압 축 성 유 체 (incompressible fluid)로 가정하며, 시간에 따른 유동의 변화를 고려하지 않는 정상류(steady flow)로 가정한다. 실험조건에서의 시멘트 페이스 트는 대부분 비압축성 물과 무기질로 구성되어 낮 은 하중조건에서 미소량의 압축성 공기를 포함하므 로 비압축성 유체로 가정하는 것은 충분히 합리적 이다.
- 실제 실험에 사용되는 미니콘은 꼭지점 부분이 생 략된 원뿔의 형태를 가지나, 유체역학에 기반하여 도출된 분석적 해에서는 미니콘의 형태에 의한 영 향을 무시할 수 있으므로 미니콘의 형태를 원통형 으로 가정하고 원통형 좌표계(cylindrical coordinate)를 적용하여 단순화한다.
- 시멘트 페이스트 유체의 운동은 미니콘을 수직방향 으로 완전히 들어올린 후 시작되며, 유체 내부의 전 단응력이 항복응력보다 작거나 같아지는 시점에서 종료된다.
- 원통형 좌표계에서 시멘트 페이스트 유체는 회전방 향( 방향)으로 운동하지 않으며 반경방향( 방향) 과 높이방향( 방향)으로만 운동하는 것으로 가정 한다.
- 시멘트 페이스트 유체의 거동에 영향을 미치는 인자 는 유체의 자중이며, 유체와 바닥면 사이 또는 미니 콘 사이에서 발생할 수 있는 표면장력이나 유체의 관 성력의 영향은 무시할 수 있을 정도로 작은 것으로 가정한다. 실제로는 이들의 영향이 유체의 거동에 영 향을 미칠 수 있으나 문제의 단순화를 위하여 적용하 며, 추후 영향성 분석을 통하여 추가할 수 있다.
- 미니콘 내부의 시멘트 페이스트 유체의 거동은 슬 럼프의 정도에 따라서 순수전단 유동(pure shear
flow), 신장유동(elongational flow) 및 이들의 중 간정도에 해당하는 유동(intermediate flow)으로 구분하여 해를 도출한다.
위에 언급된 바와 같이, 시멘트 페이스트 유체를 이용 한 슬럼프 거동의 특성에 따른 적절한 분석적 해를 얻기 위해서는 지배거동 특성에 따라 구분된 가정을 적용할 필요가 있다. 예를 들어, 유체의 항복응력이 매우 낮아 슬럼프가 크고 퍼진정도가 큰 경우(순수전단 유동), 항 복응력이 매우 커서 슬럼프가 작으며 퍼진정도가 작은 경우(신장유동)와 이의 중간상태로 구분하는 것이 합리 적이며, 이에 대한 구체적인 방법은 다음 절에 나타나 있다.
Viscoplastic Model and Strain Rate Tensor
자중에 의하여 운동하거나 정지하는 비압축성-뉴턴유 체의 운동 및 정지 현상을 유체역학이론을 통하여 설명하 기 위해서는, 일정응력 이하에서 점소성거동(viscoplastic behavior)이 발생하지 않는 항복응력(yield stress)의 개 념을 포함하는 Herschel-Bulkley 모형이나 Bingham 모형 등의 점소성 모형(viscoplastic model)을 적용할 필 요가 있다. 유체의 총변형률이 탄성변형률과 소성변형률 의 합으로 표현될 수 있다고 가정하면, 1차원에서 수직응 력과 수직변형률의 관계를 나타내는 Herschel-Bulkley 모형은 Eq. (1)과 같이 표현될 수 있다.
where, = extensional stress,
= uniaxial yield stress,
= uniaxial consistency,
= extensional viscoplastic strain rate, and
= flow index or shear thinning parameter.
유동성 재료의 소성거동이 변형률 에너지(strain energy) 중에서 부피를 변화시키지 않고 형태를 변화 시키는데 사용되는 전단변형에너지(distortional strain energy)에 의하여 설명될 수 있다면, von Mises 항복이론을 적용할 수 있다. von Mises 항복기 준이 적용된다면 전단응력과 전단변형률은 수직응력과
수직변형률과의 관계에 따라 Eq. (2)와 같이 표현될 수 있다(Boresi and Schmidt 2003, Adams et al.
1997). Eq. (2)의 Herschel-Bulkley 모형의 전단응력 과 전단변형률의 관계는 인 조건에서 Bingham 모형으로 단순화 된다.
where, = shear stress
= shear yield stress
= shear consistency , and
= shear viscoplastic strain rate
von Mises 항복이론을 적용한 경우, Eq. (1)과 Eq.
(2)의 Herschel-Bulkley 모형은 3차원 축차응력 텐서 (deviatoric stress tensor)와 변형률 속도 텐서 (strain rate tensor)의 관계로 Eq. (3)과 같이 확장될 수 있다(Adams et al. 1997, Coussot et al. 1996).
where, = deviatoric stress tensor
= deviatoric stress,
= the second invariant of the strain rate tensor
= strain rate tensor
= engineering shear viscoplastic strain rate.
미니콘 실험에서 순수전단 거동을 하는 시멘트 페이스 트의 변형률 속도 텐서는 Eq. (4)의 와 같이 표현된다.
(1)
(2)
(3)
and
여기에서 유도된 Eq. (5)와 공학변형률을 고려할 수 있 는 Eq. (6)의 2차 변형률 속도 텐서 불변량(the second invariant of the strain rate tensor, )을 Eq. (3) 에 대입하고 정리하면, 의 조건에서 Eq. (7)을 얻 을 수 있다.
한편 미니콘 실험에서 시멘트 페이스트의 방향 신장 유동을 나타내는 변형률 속도 텐서는 Eq. (8)과 같이 표 현된다. 의 조건에서 유도된 Eq. (9)와 Eq. (10)을 Eq. (3)에 대입하면, Eq. (11)을 얻을 수 있다.
Eq. (11)에서 최대응력과 최소응력은 각각 과 이 며, 이들의 차이는 다음 Eq. (12)와 같이 표현된다. 특히 Eq. (12)의 우변은 인 조건에서의 Eq. (2)에 나타 난 관계에 따라 Eq. (13)과 Eq. (14)로 유도되어져, 의 관계를 갖는 von Mises의 항복이론과 동 일한 결과를 나타내는데, 이는 1차원 일축조건 및 전단조 건을 기반으로 확장된 모형이 3차원 전단조건 및 신장조 건에도 합리적으로 적용될 수 있다는 것을 나타낸다.
시멘트 페이스트 유체가 운동을 멈추는 시점, 즉 변형 률 속도가 0이 되는 시점은 실질적으로 유동을 지배하 는 2차 축차응력 불변량(the second invariant of deviator stress, )의 크기가 전단 항복응력보다 작아질 때이므로, 이들이 서로 같아지는 시점부터 유체 가 운동을 멈추는 것으로, 이는 Eq. (15)와 같다.
where, = the second invariant of deviator stress tensor
Equation of Motion
유체역학에서의 유체의 운동방정식(equation of motion, momentum equation)은 뉴턴의 제 2법칙에 (4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
근거하여 유도될 수 있으며, 임의의 요소의 질량 및 가 속도와 표면력, 외력과 자중의 관계에서 유도되어 시간 의 경과에 따른 미소 지배체적(infinitesimal control volume) 내의 유동을 예측하는데 적용된다. 한편 유체 의 연속방정식(equation of continuity)은 질량보존의 법칙에 근거하여 유도되어 유체의 연속성을 나타내는 데, 위에서 유도된 운동방정식과 함께 유체에 대한 분석 적 해를 구성하기 위하여 사용된다. 특히 본 연구에서 가정된 시멘트 페이스트와 같이, 압축성이 없는 동시에 전단응력과 전단변형률 속도 사이의 선형적인 관계를 나타내는 비압축성-뉴턴유체(incompressible newtonian fluid)로 분류될 수 있는 Bingham 유체의 거동은 연속방정식과 일반 운동방정식에 뉴턴 텐서를 적용한 Navier-Stokes 방정식으로 표현할 수 있다.
그러나 Navier-Stokes 방정식의 해는 일반적인 조건 에서는 분석적 해를 유도할 수 없어 수치해석적 방법으 로 해를 구해야 하지만, 특정한 조건에서는 분석적 해를 유도할 수 있다. Eq. (16), Eq. (17), Eq. (18)은 각각 원 통형 좌표계에서 보다 단순화된 조건의 비압축성-뉴턴 유체에 대하여 유도된 방향, 방향, 방향 운동방 정식을 나타내는데, 이들의 좌변은 단위부피 요소의 질 량과 해당 방향 가속도의 곱이며, 우변에서의 세 개의 항은 각각 단위부피 요소에 작용하는 해당방향 외력, 표 면력 및 체적력을 나타낸다.
direction
where, =velocity of flow in -direction,
=pressure,
=density of fluid, and
=acceleration force in -direction.
direction
where,
direction
원통형 좌표계에서의 변형률 속도 텐서는 변형률 텐 서를 시간에 대하여 미분함으로써(Boresi and Schmidt 2003) Eq. (19)와 같이 얻어질 수 있다. Eq.
(20)은 유체의 슬럼프 실험 조건에서의 거동을 설명하 기 위 하 여 설 정 한 축 대 칭 조 건 (axisymmetric condition, )을 Eq. (19)에 적용한 결 과인 변형률 속도의 텐서를 나타내고 있다.
Pure Shear Flow
Fig. 1은 순수전단 거동을 통하여 운동이 종료된 시멘 트 페이스트 유체에 대하여 분석적 해를 유도하기 위하 여 정의된 슬럼프 크기( ), 높이( ), 퍼짐반경( ), 표 면의 높이( )와 임의의 위치( )에서의 압력 ( )를 나타낸다. 이때 실험에서의 미니콘은 원통 형으로 가정한다.
(16)
(17)
(19)
(20)
Fig. 1 Schematic Description of Pure Shear Flow
(18)Roussel and Coussot(2000)은 슬럼프 실험에서 유 동이 정지한 상태에서의 시멘트 페이스트의 최종높이 ( )가 퍼짐반경( )에 대하여 매우 작은 경우, 즉 유체 의 방향 이동속도가 방향 이동속도보다 매우 빠르 며 , 최초지점으로부터의 이동거리 등의 유체의 변화성분이 수평방향보다 수직방향으로 매우 큰 유체의 거동은 쓰나미(Tsunami) 나 해일 등에 의하여 해수가 급격한 속도로 해변으로 이 동하는 현상을 해석하기 위한 장파이론(long wave theory)을 적용할 수 있음을 나타내었다. 축대칭 조건 과 함께 이상의 조건을 고려하면, 위의 변형률 속도 텐 서 Eq. (19)는 다음 Eq. (21)로 단순화될 수 있으며, 이 는 순수전단흐름의 전형적인 변형률 속도 텐서이다.
한편 유체 내부의 압력은 방향 좌표와 방향 좌표 의 함수인 로 표현될 수 있다. 또한 방향으로 의 중력만을 고려하면서 위의 속도 및 변화성분에 관한 조건 Eq. (21)을 Eq. (16), Eq. (17), Eq. (18)의 운동방 정식에 적용하면 다음 Eq. (22), Eq. (23)과 같은 방 향 및 방향 운동방정식을 얻을 수 있다. 이때, Eq.
(23)에서는 하향의 중력가속도를 고려하여 부호를 결정 한다.
Eq. (24)을 Eq. (25)와 같이 유체 내의 임의의 높이 까지 적분하면, Eq. (26)과 같이 임의 위치에서의 압 력을 나타내는 함수 를 얻을 수 있다.
이때, 인 바닥면에서의 압력은 해당 위치에서의 유체의 밀도에 중력가속도와 높이의 곱과 같으므로, 임 의의 좌표 에서의 유체표면의 높이를 나타내는 임의의
함수 를 가정하면 유체 내의 좌표 에서의 압력 은 다음 Eq. (26)과 같이 나타내어진다.
Eq. (26)을 Eq. (22)에 대입하고 0에서 까지 에 대하여 적분하면, Eq. (27)과 Eq. (28)의 과정을 거쳐 Eq.
(29)을 얻는다.
유체의 표면의 높이는 유체의 흐름으로 발생하는 반경 에서 0이므로 이며, 유체가 멈출 때의 전단 력은 전단 항복응력과 같은 조건 이다. 따 라서 이들 경계조건을 이용하여 Eq. (29)를 변수분리법 으로 풀면, 유체가 운동을 정지한 상태에서의 값에 따 른 높이 를 나타내는 함수 Eq. (30)을 얻는다.
시멘트 페이스트 유체의 부피는 Eq. (30)을 Eq. (31) 과 같이 방향과 방향에 대하여 적분을 통하여 Eq.
(32)와 같이 얻을 수 있다.
위의 Eq. (32)에서 밀도, 중량, 부피는 일정하므로, 유 체의 운동 여부의 기준이 되는 항복응력은 퍼진정도와 (21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32) (26)
비선형적 반비례 관계를 갖는 것을 알 수 있으며, 초기의 시멘트 페이스트의 형태에는 독립적인 것을 알 수 있다.
Elongational Flow
슬럼프 실험에서 유동이 정지한 상태에서 유체의 최 종높이가 퍼짐반경에 대하여 매우 높은 경우, 즉 슬럼프 크기( )가 매우 작은 경우에는 전단변형 없이 방향 으로 균일하게 압축되고 방향으로 그에 맞게 팽창되 는 유체의 거동을 신장유동(elongational flow)으로 가정하여 해석할 수 있다. 다음 Fig. 2는 신장유동에 의 하여 높이가 낮아지고 폭이 넓어진 시멘트 페이스트를 나타내는데, 분석적 해의 유도를 위하여 콘 형태가 아닌 원통 형태를 가정하여 적용한다.
신장유동에서는 방향 응력만 매우 작아 무시할 수 있으나, 유체의 방향과 방향의 속도의 차이가 어느 하나를 무시할 수 있을 만큼 크지 않다. 따라서 이들 조 건으로는 Eq. (16), Eq. (18)의 운동방정식을 풀 수 없 기 때문에, 순수 전단거동과는 달리 유동이 정지한 이후 의 형태를 분석적 해를 통하여 제시할 수 없다. 한편 Eq. (4)에서 변형률 속도 텐서( )가 0에 가까워지면 2 차 변형률 속도 텐서 불변량( )도 0에 가까워질 것 이므로, Eq. (3)에 와 곱해져 있는 항을 0으로 고려 할 수 있다(Roussel 2005). 여기에 Eq. (8)의 신장유동 의 변형률 속도 텐서를 적용하면 Eq. (33)에 나타난 바 와 같이 축차응력 텐서를 유도할 수 있으며, 이는 Pierre et al.(2013)가 시멘트 페이스트에 작용하는 응 력과 압력을 이용하여 결정한 축차응력 텐서 Eq. (34) 와 동일한 것을 알 수 있다.
where,
= radius of elongated cement paste.
따라서 Eq. (33)이나 Eq. (34)를 활용하여 결정되는 축차응력 불변량은 Eq. (35)에 나타난 방법으로 결정되 며, 여기에서 항복 전단응력이 재료물성 및 높이의 함수 로 표현되는 것을 알 수 있다.
Intermediate Flow
고분자 재료의 슬럼프 실험에서 자중의 영향이 작은 상부는 콘의 모양이 유지되지만 하부에서 퍼짐현상이
Fig. 2 Schematic Description of Elongational Flow
(33)
(34)
where,
(35)
(36)
where, , and
height of cement paste before lifting
발생하는 경우에 대하여 Pierre et al. (2013)은 Fig. 3 에 나타난 바와 같이 순수전단이 발생하는 부분과 신장 유동이 발생하는 부분으로 구분한 바 있다. Fig. 3에서 유동이 종료된 후 반지름 의 원통형으로 구분될 수 있는 부분의 부피는 로 정의되며 원통형 외부의 부피는 로 정의되어 전체부피를 Eq. (37)으로 표현된다. Eq. (38)에서 원통형 내측 상부의 높이 와 항복전단응력의 관계는 Eq. (35)에 의하여 정의되 며, 원통형 내측 하부의 높이 와 항복전단응력의 관 계는 Eq. (30)에 의하여 정의된다. 또한 원통형의 외부 의 부피는 3차원 적분으로 Eq. (39)와 같이 얻어질 수 있다. 따라서 Eq. (38)과 Eq. (39)을 Eq. (37)에 대입하 고 모든 항을 한쪽으로 정리하면 2차함수의 형태인 Eq.
(40)으로 표현되며, 이 함수의 해는 Eq. (41)로 표현되 어, 항복응력과 원통의 반지름, 최종 퍼짐반경, 밀도 및 부피와의 관계를 나타낸다. 여기에서 유동이 완료된 이 후의 원통형 내부의 부피는 신장유동의 특성을 활용하 여 유동이 발생하기 이전의 원통형 내부의 부피를 계산 하는데 활용될 수 있다.
2.2. 기하형태에 기반한 분석적 해의 유도
시멘트 콘크리트의 슬럼프 해석을 위하여 Saak et al.(2004)에 의하여 제시된 기하형태에 기반한 분석적 해는 유동이 발생하는 지점에서의 항복응력을 결정하기 위하여 Tresca 항복기준을 활용한다. Fig. 4는 기하형 태에 기반한 분석적 해의 유도를 위하여 정의된 단면을 나타낸다. 유동이 발생되기 이전 시료의 높이로부터 가 상 원뿔의 꼭짓점까지의 높이 , 콘 하부의 지름 과 콘 상부의 지름 가 추가적으로 정의되며, 원통형 내측의 상부 높이 는 원래의 형태를 그대로 유지하 는 것으로 가정한다.
시멘트 콘크리트의 유동이 발생하기 전, 콘 내부 임의
의 위치 에서 작용하는 방향 압력 은
Eq. (42)와 Eq. (43)과 같이 그 상부에 존재하는 시료 의 무게에 비례하여 수평면에 균등하게 작용하는 것으 로 가정할 수 있다.
where,
=
weight of the material from the where,Fig. 3 Schematic Description of Intermediate Flow
(37)
(38)
where, , and
(39)
(40)
(41)
Fig. 4 Schematic Description of Intermediate Flow
(42)
top of the slump cone to z, and
=
radius of the cone at zwhere,
=
volume of cement paste above z, and따라서 유동이 발생하기 전, 시멘트 콘크리트 내 임의 의 높이를 나타내는 을 기준으로 콘 내에 존재하는 시멘트 콘크리트 상부의 시료 무게는 다음 Eq. (44)와 같이 표현될 수 있다.
where, , and
Tresca의 항복기준에 따르면, 최대전단력은 최대 및 최소 수직응력 차의 절반이므로, 이를 Eq. (44)에 적용 하면 자중에 의하여 수직방향 응력만 발생하는 조건에 서의 최대 전단력은 다음 Eq. (45)와 같이 나타날 수 있다.
그러나 Saak et al.(2004)의 연구에서 적용된 Tresca 항복기준은 많은 경우에서 von Mises 항복기 준보다 적절하지 않은 것으로 평가되고 있으며, 앞서 서 술된 유체역학에 기반한 분석적 해 유도방법에서도 von Mises 항복기준을 적용하고 있으므로, 다른 방법 으로 유도된 분석적 해를 비교하기 위해서는 von
Mises 항복기준에서 유도된 Eq. (35)를 Eq. (44)에 적 용할 필요가 있으며, 이는 Eq. (46)과 같다.
한편 재료 내 압축이 발생하지 않아 부피가 일정하게 유지된다면, Fig. 4에서 나타난 바와 같이 전단유동이 발생하는 구간에서 미소 높이를 갖는 유동이 발생하 기 전과 후의 시멘트 페이스트는 다음 Fig. 5와 같이 정 의될 수 있으며, 이들의 부피는 Eq. (47)과 같이 표현될 수 있다.
전단유동이 발생하는 구간 는 상부의 자중으로 인 하여 발생하는 전단응력이 재료의 항복응력과 동일해질 때까지 감소하는데, 이에 따라 전단면에 작용하는 전단 응력과 항복응력은 Eq. (48)의 관계로 표현할 수 있다.
따라서 Fig. 4의 높이 는 미소 높이의 적분으로 표현될 수 있으며, Eq. (47), Eq. (48)의 관계에 의하여 Eq. (49)과 같이 표현된다. 외력이 작용하지 않는 조건 에서, 시멘트 페이스트의 슬럼프 크기 , 전단유동이 발생하지 않는 시멘트 페이트의 높이 및 전단유동 이 발생한 시멘트 페이스트의 높이 는 재료의 밀도 와 항복응력에 의하여 콘을 들어올리기 전에 결정되어 있으므로, 유동이 완료된 시점에서 순수전단 거동 부분 의 높이 를 결정하기 위한 적분구간은 유동이 발생 하기 전의 관계를 활용하며, 이는 를 원점으로
부터 까지다.
(43)
(44)
(45)
(46)
Fig. 5 Flow of Cement Paste without Volume Change
(47)
(48)
(49)
따라서 유동 완료된 시점에서 전단유동이 발생한 부 분의 최종 높이 를 나타내기 위한 분석적 해는 Eq.
(45)와 Eq. (46)을 Eq. (49)에 적용하여 각각 Eq. (50) 과 Eq. (51)과 같이 얻어진다.
또한 유동이 완료한 시점에서 전단유동이 발생하지 않은 부분의 높이 를 Eq. (45)와 Eq. (46)의 에 대입하면 Eq. (45)와 Eq. (46)은 각각 항복응력과 전단 유동이 발생하지 않는 부분의 높이 와의 관계를 나 타내는 Eq. (52)과 Eq. (53)으로 표현된다. Eq. (52)와 Eq. (53)은 의 3차 함수로 표현될 수 있어 이에 대 한 근을 구하는 방법을 고려할 수 있으나(Saak et al.
2004), 의 조건을 활용하여 수치해석적으로 를 얻는 것이 보다 합리적이다.
3. 분석적 해의 비교 및 검토
3.1. 분석적 해의 비교 및 검토를 위한 기본물성 이상에서 유도된 5가지의 분석적 해를 바탕으로 항복 응력에 따른 시멘트 페이스트의 유동 후 높이를 비교하 기 위한 슬럼프 콘의 크기와 시멘트 페이스트의 물성은 Table 1에 나타난 바와 같다. 기타 조건으로는 표면장 력이나 반데발스의 힘 등을 제외한 중력가속도 9.81m/s2만을 고려하였으나, 이상의 5가지 모형에서 동 일하게 고려하지 않았으며, 향후 추가적인 연구를 통하 여 결정할 이산요소법 시뮬레이션에서의 입자의 크기나
접촉모형도 동일한 조건을 적용하여 비교할 수 있으므 로 충분히 합리적이다.
3.2. 분석적 해에 따른 예측 높이 비교 및 고찰 다음 Fig. 6은 이상의 5가지 분석적 해를 활용하여 계산된 항복응력에 따른 시멘트 페이스트의 높이를 나 타내고 있다. 이를 위하여 Saak의 분석적 해에서 자중 에 의하여 발생하는 전단응력이 항복응력보다 낮아 흐 름 또는 변형이 발생하지 않는 높이 를 임의로 가정 하여, 이때의 항복응력과 순수전단이 발생하는 높이, 슬 럼프 높이를 Table 2와 같이 순차적으로 결정하였다.
Saak의 분석적 해에서 결정된 항복응력은 Roussel 이나 Pierre의 분석적 해에도 동일하게 적용되었으며, 슬럼프 콘의 제원과 시멘트 페이스트의 밀도와 함께 이 들 분석적 해에서 필요한 변수나 높이 등을 계산하는데 적용되었다.
Fig. 6에서 Saak의 분석적 해에서 도출된 두 곡선은 서로 다른 항복기준이 적용되었음에도 불구하고 동일한 (50)
(51)
(52)
(53)
Table 1. Dimension of Slump Cone
Height (cm)
Radius of top (cm)
Radius of bottom (cm)
Unit weight (N/m3)
5.0 3.5 3.5 1,800
Fig. 6 Height vs. Yield Stress for 5 Different Analytical Models
Table 2. Determined Height, Yield Stress, Slump in Saak Model
HT 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.010 0.020 0.030 0.040 0.050 τy 1.0 8.8 17.4 25.8 34.2 42.4 81.5 152.0 214.3 270.6 322.2 a 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 0.12 s 0.05 0.04 0.04 0.04 0.03 0.03 0.02 0.01 0.00 0.00 0.00 HB 0.00 0.00 0.01 0.01 0.01 0.01 0.02 0.02 0.02 0.01 0.00
궤적의 높이-항복응력 곡선을 나타내는데, von Mises 항복기준을 적용한 곡선은 Tresca의 항복기준을 적용 한 곡선을 x축 방향으로 확장되는 차이만이 존재한다.
이는 두 개의 서로 다른 항복기준에 따라 항복응력을 결 정하는 Eq. (45)와 Eq. (46)의 차이가 단순히 상수계수 의 차이이기 때문이다. 한편 항복응력이 약 90Pa 이하 인 조건에서 Roussel의 순수전단에 대한 분석적 해는 Saak의 분석적 해보다 높은 높이를 예측하였으나, 항 복응력이 약 90Pa보다 높아지는 조건에서는 반대의 경 향을 나타내었다. 이는 Saak의 분석적 해를 이용하여 얻어진 최종 높이에 대한 슬럼프의 높이, 유동이 발생하 지 않는 높이, 순수전단 유동이 발생하는 높이를 나타낸 Fig. 7에서 알 수 있는 바와 같이, 유동이 발생하지 않 아 형태가 유지된 시멘트 페이스트의 높이를 산정하여 고려하는 방법의 차이로 인한 것으로 판단할 수 있다.
Fig. 8은 순수전단으로 인하여 형태가 유지되지 않는 것으로 가정하는 Roussel의 분석적 해를 이용하여 항 복응력의 변화에 따른 시멘트 페이스트의 최종 형태를 나타내고 있다.
Fig. 6에서 Pierre의 분석적 해로 예측된 높이는 약 90Pa 이하의 조건에서 순수전단을 가정한 Roussel의 분 석적 해로 예측된 결과와 매우 유사한 결과를 나타내었으 나, 항복응력이 증가하여 순수전단의 가정에서 멀어짐에 따라서 차이가 점차 증가하였으며, 항복응력이 230Pa 이상인 조건에서는 원래의 높이 0.05m를 상회하는 결과 를 나타내기도 하였다. Pierre의 분석적 해와 Roussel의 분석적 해를 이용하여 산정된 시멘트 페이스트의 최종 높 이와 퍼진 정도는 Fig. 9에 나타나 있는데, 항복응력이 1Pa에서 81Pa에 존재하는 경우에 높이와 퍼진 정도의 차이가 매우 작은 것을 알 수 있다. 이는 두 분석적 해의 우열을 판단할 수 있는 근거로 활용할 수는 없으나, Pierre의 분석적 해가 비교적 높은 항복응력을 갖는 재료 의 거동 예측에는 적합하지 않는다는 근거가 될 수 있다.
한편 신장유동을 설명하기 위하여 유도된 Roussel의 분석적 해는 전체 항복응력 범위에서 다른 분석적 해보 다 낮은 높이를 예측하였다. 이러한 특성은 슬럼프의 높 이를 원래 시멘트 페이스트의 높이, 항복응력을 밀도, 중 력가속도, 원래의 시멘트 페이스트의 높이로 각각 나눈 무차원 슬럼프(dimensionless slump)와 무차원 항복응 력(dimensionless yield stress)을 비교하여 재료의 단 위중량과 초기 높이에 무관하게 분석할 수 있는 Fig. 10 을 활용하여 보다 구체적으로 살펴볼 수 있다. Fig. 10에 나타난 신장유동을 나타내는 Roussel의 분석적 해는 재 료의 단위중량과 초기 높이에 무관하게 동일한 항복응력 조건에서 다른 가정에서 유도된 분석적 해의 결과보다 높은 슬럼프를 나타내며, 슬럼프의 감소는 항복응력이 커지면서 급격하게 변화하지만 여전히 다른 분석적 해의 결과와 차이를 나타낸다. 따라서 일반적으로 항복응력이 높아 슬럼프가 낮은 시멘트 페이스트에 적용하는 것이 합리적으로 생각되는 신장유동의 가정은 다른 가정에서 유도된 분석적 해보다 보완해서 고려해야 할 요소가 있
Fig. 7 Composition of Flow in Intermediate Flow Model
(Saak Model)
Fig. 8 Shape of Cement Paste after Flow (Roussel Model)
Fig. 9 Height vs. Radius (Pierre and Roussel Model)
는 것으로 판단되는데, 이는 낮은 수분에 의하여 증대되 는 시멘트 페이스트 입자 사이의 접착력 또는 골재의 맞 물림 등이 해당되는 요소일 가능성이 높다.
4. 결론 및 요약
본 연구에서는 유동성 재료의 슬럼프 실험에서의 거 동 예측을 위하여 제시된 5가지의 분석적 해를 동일한 조건에서 구체적으로 유도하여 비교하였다. 이를 통하 여 향후 이산요소법이나 전산유체역할을 이용한 시뮬레 이션 결과를 비교하기 위하여 필요한 합리적 분석적 해 의 적용 방법을 결정하기 위한 기초 연구를 수행하였다.
본 연구에서 도출된 결론은 다음과 같다.
1. 본 논문에서 고려된 5가지의 분석적 해는 유체역학, 텐서, 소성론 등의 역학을 이용하여 유도되어 이론적 확장성이 높으며, 결정된 물성을 활용하여 다른 조건 에서의 유동성 재료의 거동에 적용할 수 있다는 장점 으로 인하여 큰 의미를 갖는다.
2. 유체역학에 근거하여 순수전단 유동을 나타내기 위 한 Roussel의 분석적 해와 순수전단과 신장유동의 중간 상태의 유동을 나타내기 위한 Pierre의 분석적 해는 항복응력이 크지 않은 조건에서 상호 유사한 결 과를 나타낸다.
3. 또한 순수전단 유동을 나타내기 위한 Roussel의 분 석적 해는 항복응력이 매우 낮아 초기의 형태가 남아 있지 않는 재료를 평가하기 적합하다고 할 수 있는 데, 이때 높이와 함께 퍼짐반경, 최종 형태를 비교할 수 있으므로 효과적으로 활용될 수 있다.
4. 기하학적 특성을 활용하여 유도된 Saak의 분석적 해 는 고려된 두 가지 항복기준인 Tresca 항복기준과 von Mises항복기준에 크게 영향을 받지 않으며, 항
복응력이 매우 높지 않은 조건에서 순수전단을 나타 내기 위한 Roussel의 분석적 해 또는 Pierre의 분석 적 해와 보완적으로 사용될 수 있다. 단 항복응력이 비교적 높아 상부의 형태가 유지되는 시멘트 페이스 트의 경우에는 형태적 검증을 위하여 Saak의 분석적 해를 고려하는 것이 보다 합리적일 가능성이 높다.
5. 신장유동을 나타내기 위한 Roussel의 분석적 해는 예측결과의 정밀성을 향상시키기 위하여 입자 사이 의 부착력 또는 골재의 맞물림을 고려할 수 있도록 수정되는 것이 바람직하다.
감사의 글
이 논문 2015년도 정부(미래창조과학부)의 재원으로 한국 연구재단의 지원을 받아 수행된 연구임(No. NRF- 2015R1C1A1A01051871).
REFERENCES
