⑴ 5x€-2+3x+4-x€에서 동류항은 5x€과 -x€, -2와 4 이때 주어진 식을 동류항끼리 계산하고 내림차순으로 정리하면 (주어진 식) =(5x€-x€)+3x+(-2+4) =4x€+3x+2 ⑵ 2xy+y-3x€y€+5x-4에서 동류항은 2xy와 5x, y와 -4 이때 주어진 식을 x에 대한 내림차순으로 정리하면 (주어진 식) =-3x€y€+(2xy+5x)+(y-4) =-3x€y€+(2y+5)x+y-4 ⑶ ax€+bxy-czx€+x-2에서 동류항은 ax€과 -czx€, bxy와 x 이때 주어진 식을 x에 대한 내림차순으로 정리하면 (주어진 식) =(ax€-czx€)+(bxy+x)-2 =(a-cz)x€+(by+1)x-2
1-2
본문 | 11, 13, 15 쪽 개념 익히기1.
다항식의 연산
⑴ x€-x+2+2x€+3x+1에서 동류항은 x€과 2x€, -x와 3x, 2와 1 이때 주어진 식을 동류항끼리 계산하고 내림차순으로 정리하면 (주어진 식) =(x€+2x€)+(-x+3x)+(2+1) =3x€+ 2x +3 ⑵ 3xy-2y+x€+4-2x에서 동류항은 3xy와 -2x, -2y와 4 이때 주어진 식을 x에 대한 내림차순으로 정리하면 (주어진 식) =x€+(3xy-2x)-2y+4 =x€+(3y-2)x-2y+41-1
⑴ A+B =(3x+5y)+(2x-y-4) =3x+2x+5y-y-4 =5x+4y-4 A-B =(3x+5y)-(2x-y-4) =3x+5y-2x+ y +4 =3x-2x+5y+y+4 =x+6y+42-1
예를 들어 3x€+y€+x+2y-2-x€+2y€+3x-4y+1 yy㉠ 에서 x€항은 yy 3x€-x€ y€항은 yy y€+2y€ x항은 yy x+3x y항은 yy 2y-4y 문자를 포함하지 않는 항은 yy -2+1 이다. 이와 같이 어떤 문자에 대하여 그 문자와 차수가 같은 항을 동 류항이라고 한다. 다항식을 간단히 할 때는 동류항끼리 모아서 계산한다. 즉, 다항식 ㉠을 간단히 하면 3x€+y€+x+2y-2-x€+2y€+3x-4y+1 =(3x€-x€)+(y€+2y€)+(x+3x)+(2y-4y)-2+1 =2x€+3y€+4x-2y-1 yy㉡ =2x€+4x+3y€-2y-1 yy㉢ =3y€-2y-1+4x+2x€ yy㉣ 위의 계산에서 ㉡은 다항식 ㉠을 동류항끼리 모아서 간단히 한 것이고 ㉢은 다항식 ㉡을 x에 대하여 차수가 높은 항부터 차수가 낮아지는 순서로 쓴 것이며 이를 x에 대하여 내림차순으로 정리한다고 한다. ㉣은 다항식 ㉡을 x에 대하여 차수가 낮은 항부터 차수가 높아 지는 순서로 쓴 것이며 이를 x에 대하여 오름차순으로 정리한 다고 한다. 이와 같이 동류항을 정리하여 식을 간단히 하는 것을 다항식을 정리한다고 한다. 예 내림차순 •x+1 ⇦ 일차식 •x€+x+1 ⇦ 이차식 오름차순 •2+x+x€ ⇦ 이차식 •1-x+5x€-4x‹ ⇦ 삼차식 세미나 동류항과 다항식의 정리 010 | 정답과 해설⑴ A=x-y-6, B=3x-y+4이므로 A+B =(x-y-6)+(3x-y+4) =x+3x-y-y-6+4 =4x-2y-2 A-B =(x-y-6)-(3x-y+4) =x-y-6-3x+y-4 =x-3x-y+y-6-4 =-2x-10 ⑵ A=4x€-5x+6, B=-3x€+6x-1이므로 A+B =(4x€-5x+6)+(-3x€+6x-1) =4x€-3x€-5x+6x+6-1 =x€+x+5 A-B =(4x€-5x+6)-(-3x€+6x-1) =4x€-5x+6+3x€-6x+1 =4x€+3x€-5x-6x+6+1 =7x€-11x+7 ⑶ A=2y€+y-1, B=2-y€이므로 A+B =(2y€+y-1)+(2-y€) =2y€-y€+y-1+2 =y€+y+1 A-B =(2y€+y-1)-(2-y€) =2y€+y-1-2+y€ =2y€+y€+y-1-2 =3y€+y-3
2-2
⑴ (x-2)(-3y+4) =x(-3y+4)-2(-3y+4) =-3xy+4x+6y-8 ⑵ (2a+3)‹ =(2a+3)(2a+3)€ =(2a+3)(4a€+12a+9) =2a(4a€+12a+9)+3(4a€+12a+9) =8a‹+24a€+18a+12a€+36a+27 =8a‹+36a€+54a+27 ⑶ (a-3b)(a€+3ab+9b€) =a(a€+3ab+9b€)-3b(a€+3ab+9b€) =a‹+3a€b+9ab€-3a€b-9ab€-27b‹ =a‹-27b‹ ⑷ (x-2y-3)€ =(x-2y-3)(x-2y-3) =x(x-2y-3)-2y(x-2y-3)-3(x-2y-3) =x€-2xy-3x-2xy+4y€+6y-3x+6y+9 =x€+4y€+9-4xy-6x+12y3-2
⑴ (x-2)(x€+1) =x(x€+1)-2(x€+1) =x‹+x-2x€- 2 =x‹-2x€+x-23-1
⑵ A+B =(x€+2xy-1)+(y€-xy-2) =x€+2xy-xy+y€-1-2 =x€+ xy +y€-3 A-B =(x€+2xy-1)-(y€-xy-2) =x€+2xy-1-y€+xy+ 2 =x€+2xy+xy-y€-1+2 =x€+3xy-y€+1 ⑵ (3x€-4x+1)_(-2x) =3x€_(-2x)+(-4x)_(-2x)+1_(-2x) =-6x‹+ 8x€ -2x ⑶ (x+5)(x€-2x+7) =x(x€-2x+7)+5(x€-2x+7) =x‹-2x€+7x+ 5x€ -10x+35 =x‹+3x€-3x+35 다항식의 곱셈 다항식의 곱셈에서 항의 개수가 많으면 전개할 때 항을 빠뜨리 거나 중복하여 계산하기 쉬운데, 다음과 같이 순서를 정하여 계산하면 실수를 줄일 수 있다. (x+1)(x€+x+1) =x(x€+x+1)+1(x€+x+1) =x‹+x€+x+x€+x+1 =x‹+2x€+2x+1 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ LEC TURE⑴ (2a-3)‹ =(2a)‹-3_(2a)€_3+3_2a_3€-3‹ =8a‹-36a€+54a-27 ⑵ (a+3b)(a€-3ab+9b€) =(a+3b){a€-a_(3b)+(3b)€} =a‹+(3b)‹=a‹+27b‹ ⑶ (x-2y)(x€+2xy+4y€) =(x-2y){x€+x_2y+(2y)€} =x‹-(2y)‹=x‹-8y‹ ⑷ (x-y-z)€ = x€+(-y)€+(-z)€+2_x_(-y) +2_(-y)_(-z)+2_(-z)_x =x€+y€+z€-2xy+2yz-2zx
4-2
⑴ (a+2b)‹ =a‹+3_a€_2b+3_a_( 2b )€+(2b)‹ =a‹+6a€b+12ab€+8b‹ ⑵ (x+2)(x€-2x+4) =(x+2)(x€-x_2+2€) =x‹+2‹ =x‹+ 8 ⑶ (a+b+2c)€ =a€+b€+(2c)€+2ab+2b_ 2c +2_2c_a =a€+b€+4c€+2ab+4bc+4ca4-1
다항식 3x€+4를 x-1로 나누면 3x + 3 x-1œ∑ 3x€ + 4 3x€ - 3x 3x + 4 3x - 3 7 3x€+4=(x-1)(3x+3)+7 ∴ 몫：3x+3, 나머지：7 | 참고 | 다항식의 나눗셈을 한 다음 자연수의 나눗셈처럼 검산할 수 있다. (x-1)(3x+3)+7=3x€+4 나누는 식 몫 나머지 처음 다항식5-1
본문 | 16~25 쪽 확인 문제 ⑴ -m-{-(5-m)-3(2-m)}-2m-3 =-m-(-5+m-6+3m)-2m-3 =-m-(4m-11)-2m-3 =-m-4m+11-2m-3 =-7m+80
1-1
셀파 먼저 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 정리한 다음 어느 한 문자를 기준으로 차수가 낮아지거나 높아지도록 정리한다. ⑴ P(x) =(x+1)(x-1)+1 =x€-1+1 =x€ ⑵ P(x) =(x-1)(x€+x+1)+2 =x‹-1+2 =x‹+16-2
⑴ ∴ 몫：2x-3, 나머지：13 ⑵ ∴ 몫：2x-1, 나머지：0 2x -3 x+3œ∑2x€+3x+4 2x€+6x -3x+4 -3x-9 13 eb (x+3)_2x eb (x+3)_(-3) 2x - 1 2x+5œ∑4x€+ 8x-5 4x€+10x - 2x-5 - 2x-5 0 eb (2x+5)_2x eb (2x+5)_(-1)5-2
⑴ P(x) =(x+1)(x+2)-1 =x€+ 2x +x+2-1 =x€+3x+1 ⑵ P(x) =(x-3)(x€-x)+ 3 =x(x€-x)- 3 (x€-x)+3 =x‹-x€-3x€+3x+3 =x‹-4x€+3x+36-1
012 | 정답과 해설다항식 ax‹-bxy‹+cx€y+ay€+3에서 ⑴ x만 문자로 생각하면 ax‹-bxy‹+cx€y+ay€+3이므로 이 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 ax‹+cx€y-bxy‹+ay€+3 ⑵ y만 문자로 생각하면 ax‹-bxy‹+cx€y+ay€+3이므로 이 식을 y에 대하여 내림차순으로 정리하면 -bxy‹+ay€+cx€y+ax‹+3 삼차항 ax‹ 일차항 bxy 이차항 cx€y 상수항 상수항 상수항 삼차항 bxy‹ 일차항 y 이차항 ay€ 상수항
0
1-2
셀파 기준이 되는 문자를 포함하지 않은 항은 상수로 생각 하고 정리한다. ⑴ A-2B =(-3x€-4x+3)-2(2x€-x+2) =-3x€-4x+3-4x€+2x-4 =-7x€-2x-1 ⑵ 2(A-B)-B =2A-2B-B=2A-3B =2(-3x€-4x+3)-3(2x€-x+2) =-6x€-8x+6-6x€+3x-6 =-12x€-5x0
2-1
셀파 먼저 구하는 식을 간단히 한 다음 A, B의 식을 각각 대입한다. B-(C-2A) =B-C+2A =(x€+2)-(2x€-3)+2(2x+1) =x€+2-2x€+3+4x+2 =-x€+4x+70
2-2
셀파 먼저 괄호를 푼 다음 A, B, C의 식을 각각 대입한다. ⑵ 5y‹+4y-{2y-(y€+3)}+y€-y‹ =5y‹+4y-(2y-y€-3)+y€-y‹ =5y‹+4y-2y+y€+3+y€-y‹ =5y‹-y‹+y€+y€+4y-2y+3 =4y‹+2y€+2y+3 ⑴ (x-2+y)(x+2-y)={x-(2-y)}{x+(2-y)} 2-y=t로 치환하면 (주어진 식) =(x-t)(x+t)=x€-t€ =x€-(2-y)€ =x€-(4-4y+y€) =x€-y€+4y-4 ⑵ x€-x=t로 치환하면 (주어진 식) =(t+2)t+4 =t€+2t+4 =(x€-x)€+2(x€-x)+4 =x›-2x‹+x€+2x€-2x+4 =x›-2x‹+3x€-2x+4 ⑶ (x€-x+1)(x-2)(x+1)=(x€-x+1)(x€-x-2) x€-x=t로 치환하면 (주어진 식) =(t+1)(t-2)=t€-t-2 =(x€-x)€-(x€-x)-2 =x›-2x‹+x€-x€+x-2 =x›-2x‹+x-2 ⑷ (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) =(x+1)(x+4)(x+2)(x+3) =(x€+5x+4)(x€+5x+6) x€+5x=t로 치환하면 (주어진 식) =(t+4)(t+6)=t€+10t+24 =(x€+5x)€+10(x€+5x)+24 =x›+10x‹+25x€+10x€+50x+24 =x›+10x‹+35x€+50x+24 공통부분을 만들기 위해 이 부분을 먼저 전개한다. 공통부분을 만들기 위해 적당한 두 개의 일차식끼리 묶는다. 이때 1+4=5, 2+3=5에서 실마리를 찾는다.0
3-1
셀파 공통부분을 찾아 t로 치환하여 전개한다. 일차식이 4개 곱해진 꼴에서 공통부분 만들기 일반적으로 공통부분을 만들어서 전개하는 대표적인 유형은 (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) 꼴이다. 이때 두 개의 일차식끼리 묶는데 a, b, c, d의 값에 주 목하면 공통부분을 만들기가 어렵지 않다. 즉, a+b=c+d라 하면 (x+a)(x+b)를 전개한 식과 (x+c)(x+d)를 전개한 식에서 공통부분을 찾으면 된다. 위 ⑷번에서도 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)에서 1+4=2+3이므로 일차항의 계수가 같도록 (x+1)(x+4), (x+2)(x+3)을 각각 짝지어 전개한 다음 공통부분을 찾으 면 된다. LEC TURE⑴ (10a+b)‹ =(10a)‹+3_(10a)€_b+3_10a_b€+b‹ =1000a‹+300a€b+30ab€+b‹ ⑵ (x+4y)‹ =x‹+3_x€_4y+3_x_(4y)€+(4y)‹ =x‹+12x€y+48xy€+64y‹ ⑶ (5x-y)‹ =(5x)‹-3_(5x)€_y+3_5x_y€-y‹ =125x‹-75x€y+15xy€-y‹ ⑷ (a-7b)‹ =a‹-3_a€_7b+3_a_(7b)€-(7b)‹ =a‹-21a€b+147ab€-343b‹ ⑸ (x-2)(x€+2x+4) =(x-2)(x€+x_2+2€) =x‹-2‹=x‹-8 ⑹ (3a-1)(9a€+3a+1) =(3a-1){(3a)€+3a_1+1} =(3a)‹-1‹=27a‹-1 ⑺ (3x+y)(9x€-3xy+y€) =(3x+y){(3x)€-3x_y+y€} =(3x)‹+y‹=27x‹+y‹ ⑻ (2a+3b)(4a€-6ab+9b€) =(2a+3b){(2a)€-2a_3b+(3b)€} =(2a)‹+(3b)‹=8a‹+27b‹ ⑼ (2a-b+3c)€ = (2a)€+(-b)€+(3c)€+2_2a_(-b) +2_(-b)_3c+2_3c_2a =4a€+b€+9c€-4ab-6bc+12ca 본문 | 19 쪽 집중 연습 ⑽ (2x€-x-3)€ =(2x€)€+(-x)€+(-3)€+2_2x€_(-x) +2_(-x)_(-3)+2_(-3)_2x€ =4x›+x€+9-4x‹+6x-12x€ =4x›-4x‹-11x€+6x+9 ⑾ (x-1)(x+3)(x-5) =x‹+(-1+3-5)x€+(-3-15+5)x+15 =x‹-3x€-13x+15 ⑿ (1+a)(1+b)(1+c) =1‹+(a+b+c)_1€+(ab+bc+ca)_1+abc =1+a+b+c+ab+bc+ca+abc | 다른 풀이 | 곱셈 공식 (x+a)(x+b)(x+c) =x‹+(a+b+c)x€+(ab+bc+ca)x+abc 를 잊어버렸다면 다음과 같이 분배법칙을 써서 전개해도 된다. (1+a)(1+b)(1+c) ={(1+a)(1+b)}(1+c) ={1+(a+b)+ab}(1+c) =1+c+(a+b)+(a+b)c+ab+abc =1+a+b+c+ab+bc+ca+abc ⒀ (y-a)(y-b)(y-c) = y‹+(-a-b-c)y€ +{(-a)(-b)+(-b)(-c)+(-c)(-a)}y +(-a)(-b)(-c) =y‹-(a+b+c)y€+(ab+bc+ca)y-abc ⒁ (x+y+1)(x€+y€-xy-y-x+1) =(x+y+1)(x€+y€+1€-xy-y-x) =x‹+y‹+1‹-3xy =x‹+y‹-3xy+1 x+y=2, xy=-3에서 ⑴ x€+y€ =(x+y)€-2xy =2€-2_(-3) =4+6=10
0
4-1
셀파 주어진 식을 x+y, xy가 포함된 식으로 변형하여 x+y=2, xy=-3을 대입한다. 014 | 정답과 해설⑴ x€+y€=(x+y)€-2xy에서 10=4€-2xy, 2xy=6 ∴ xy=3 ∴ x‹+y‹ =(x+y)‹-3xy(x+y) =4‹-3_3_4=28 ⑵ a€+b€=(a+b)€-2ab에서 3=(a+b)€-2_(-1), (a+b)€=1 ∴ a+b=\1 a‹+b‹=(a+b)‹-3ab(a+b)에서 1 a+b=1일 때, a‹+b‹=1‹-3_(-1)_1=1+3=4 2 a+b=-1일 때, a‹+b‹ =(-1)‹-3_(-1)_(-1) =-1-3=-4 1, 2에서 a‹+b‹=\4
0
4-2
셀파 a€+b€=(a+b)€-2ab, a‹+b‹=(a+b)‹-3ab(a+b)를 이용한다. x€+ 1x€=5이므로 ⑴ {x+;x!;}€=x€+ 1x€+2=5+2=7 이때 0<x<1에서 x+;x!;>0 4 x+;x!;='7 ⑵ {x-;x!;}€=x€+ 1x€-2=5-2=3 이때 0<x<1에서 x-;x!;<0 4 x-;x!;=-'3 ⑶ x‹+ 1x‹={x+;x!;}‹-3{x+;x!;} =('7 )‹-3'7 =7'7-3'7=4'7 x<1<;x!;이므로 x-;x!;<00
5-1
셀파 x€+x€1 ={x+;x!;}€-2 ={x-;x!;}€+2 ⑵ x‹+y‹ =(x+y)‹-3xy(x+y) =2‹-3_(-3)_2 =8+18=26 ⑶ (x-y)€ =(x+y)€-4xy =2€-4_(-3) =4+12=16이때 x>y에서 x-y>0이므로 x-y=4 ∴ x‹-y‹ =(x-y)‹+3xy(x-y) =4‹+3_(-3)_4 =64-36=28 | 다른 풀이 | ⑵ ⑴에서 x€+y€=10이므로 x‹+y‹ =(x+y)(x€-xy+y€) =2{10-(-3)}=2_13=26 ⑶ x‹-y‹ =(x-y)(x€+xy+y€) =(x-y)(x€+y€+xy) =4(10-3)=28 a€+b€+c€=(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)에서 13=(-1)€-2(ab+bc+ca) 2(ab+bc+ca)=-12 ∴ ab+bc+ca=-6
0
6-1
셀파 세 종류의 문자로 이루어진 곱셈 공식의 변형 a€+b€+c€=(a+b+c)€-2(ab+bc+ca)를 이용한다. ⑴ a‹+b‹+c‹ =(a+b+c)(a€+b€+c€-ab-bc-ca)+3abc에서 15=0+3abc ∴ abc=5 ⑵ a+b+c=1, ab+bc+ca=-1이므로 a€+b€+c€ =(a+b+c)€-2(ab+bc+ca) =1€-2_(-1)=3 ∴ a‹+b‹+c‹ =(a+b+c)(a€+b€+c€-ab-bc-ca)+3abc =1_{3-(-1)}+3_(-1) =4-3=10
6-2
셀파 세 종류의 문자로 이루어진 곱셈 공식의 변형 a‹+b‹+c‹=(a+b+c)(a€+b€+c€-ab-bc-ca)+3abc 를 이용한다.다항식 2x‹-5x+3을 다항식 B로 나누었을 때의 몫이 2x-2, 나머지가 3x-3이므로 2x‹-5x+3=B(2x-2)+3x-3 2x‹-5x+3-(3x-3)=B(2x-2) ∴ 2x‹-8x+6=B(2x-2) 이때 2x‹-8x+6을 2x-2로 나누어 보면 다음과 같다. ∴ B=x€+x-3 x€+ x -3 2x-2œ∑2x‹ -8x+6 2x‹-2x€ 2x€-8x+6 2x€-2x -6x+6 -6x+6 0 ⇦ 몫 ⇦ 나머지
0
8-1
셀파 A=BQ+R에서 B=(A-R)/Q이다. ➊ a€+b€+c€-ab-bc-ca =;2!;{(a-b)€+(b-c)€+(c-a)€} |해설| a€+b€+c€-ab-bc-ca =;2!;(2a€+2b€+2c€-2ab-2bc-2ca) =;2!;{(a€-2ab+b€)+(b€-2bc+c€) +(c€-2ca+a€)} =;2!;{(a-b)€+(b-c)€+(c-a)€} ➋ a€+b€+c€+ab+bc+ca =;2!;{(a+b)€+(b+c)€+(c+a)€} |해설| a€+b€+c€+ab+bc+ca =;2!;(2a€+2b€+2c€+2ab+2bc+2ca) =;2!;{(a€+2ab+b€)+(b€+2bc+c€) +(c€+2ca+a€)} =;2!;{(a+b)€+(b+c)€+(c+a)€} LEC TURE ⑴ ∴ 몫：x€+3x+6, 나머지：10 ⑵ ∴ 몫：x+2, 나머지：3 x€+3x +6 x-1œ∑x‹+2x€+3x+4 x‹- x€ 3x€+3x+4 3x€-3x 6x+4 6x-6 10 ⇦ 몫 ⇦ 나머지 x +2 x€-x+1œ∑x‹+ x€- x+5 x‹- x€+ x 2x€-2x+5 2x€-2x+2 3 ⇦ 몫 ⇦ 나머지0
7-1
셀파 자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 직접 나눈다. eb (x-1)_x€ eb (x-1)_3x eb (x-1)_6 eb (x€-x+1)_x eb (x€-x+1)_2 다항식 P를 다항식 x€-4로 나누었을 때의 몫이 Q이고 나머지 가 x+3이므로0
8-2
셀파 P=(x+2)(x-2)Q+x+3에서 생각한다. ⑴ x-y=-1 åå㉠, y-z=-1 åå㉡이라 하면 ㉠+㉡에서 x-z=-2 ∴ z-x=2 ∴ x€+y€+z€-xy-yz-zx =;2!;{(x-y)€+(y-z)€+(z-x)€} =;2!;{(-1)€+(-1)€+2€} =;2!;(1+1+4)=3 ⑵ y-z=3 åå㉠, z-x=4 åå㉡이라 하면 ㉠+㉡에서 y-x=7 ∴ x-y=-7 ∴ x€+y€+z€-xy-yz-zx =;2!;{(x-y)€+(y-z)€+(z-x)€} =;2!;{(-7)€+3€+4€} =;2!;(49+9+16)=37 확인 체크01
셀파 특강 016 | 정답과 해설나머지를 구할 때 주의할 점 다항식 A를 다항식 B로 나누었을 때의 몫이 Q, 나머지가 R 로 주어진 경우 A=BQ+R 로 나타낸다. 이때 문제에서 B와 R가 주어진 경우는 (B의 차수)>(R의 차수) 인 것을 굳이 확인할 필요가 없지만 A나 B가 달라지고 나머 지를 구하는 경우에는 (B의 차수)>(R의 차수) 인 것을 꼭 확인해야 한다. 예를 들어 확인 문제08-2의 등식 P=(x+2)(x-2)Q+x+3 에서 구하는 나머지가 x+3인 것으로 착각하기 쉽다. 그러나 나누는 식이 일차식이므로 나머지는 상수여야 한다. 즉, x+3=(x+2)_1+1 ↓ 몫 ↓나머지 따라서 P =(x+2)(x-2)Q+x+3 =(x+2)(x-2)Q+(x+2)+1 이므로 반드시 P=(x+2){(x-2)Q+1}+1 로 나타내어야 한다. LEC TURE 본문 | 26~27 쪽 연습 문제 2A-(B-A) =2A-B+A=3A-B =3(x‹+ax€+bx+3)-(2x‹-x€+3x) =3x‹+3ax€+3bx+9-2x‹+x€-3x =x‹+(3a+1)x€+(3b-3)x+9 x€, x의 계수가 각각 7, -6이므로 3a+1=7, 3b-3=-6 ∴ a=2, b=-1 ∴ a-b=2-(-1)=3
0
1
셀파 주어진 식 2A-(B-A)를 정리한 다음 다항식 A, B를 대입한다. (a+b+2c)€ =a€+b€+4c€+2ab+4bc+4ca =a€+b€+4c€+2(ab+2bc+2ca) =44+2_28 =44+56=1000
2
셀파 (a+b+2c)€= a€+b€+(2c)€+2_a_b +2_b_2c+2_2c_a 99_101_(10›+1)(10°+1)(10⁄fl+1) =(10€-1)(10€+1)(10›+1)(10°+1)(10⁄fl+1) =(10›-1)(10›+1)(10°+1)(10⁄fl+1) =(10°-1)(10°+1)(10⁄fl+1) =(10⁄fl-1)(10⁄fl+1) =10‹€-1 따라서 구하는 답은 ②이다.0
4
셀파 곱셈 공식 (a+b)(a-b)=a€-b€을 이용한다. (a+b)€=a€+2ab+b€이므로 333€ =(300+33)€ =300€+2_300_33+33€ ∴ p=2_300_33=19800 (a+b+c)€=a€+b€+c€+2(ab+bc+ca)이므로 333€ =(300+30+3)€ =300€+30€+3€+2(300_30+30_3+3_300) ∴ q=2(300_30+30_3+3_300)=19980 ∴ ;pQ;=;1!9(8(0*0);=;1!1!0!; 따라서 구하는 답은 ①이다.0
3
셀파 333€=(300+33)€=(300+30+3)€임을 이용한다. | 참고 | p=2_300_33 q=2(300_30+30_3+3_300) q=2_30_3(100+1+10) q=2_30_3_111 ∴ ;pQ;= 2_30_3_1112_300_33 =;1!1!0!; P =(x€-4)Q+x+3 =(x+2)(x-2)Q+x+3 =(x+2)(x-2)Q+(x+2)+1 =(x+2){(x-2)Q+1}+1 따라서 다항식 P를 다항식 x+2로 나누었을 때의 몫은 (x-2)Q+1이므로 나머지는 1 ⑴ {x+;x@;}€=x€+2_x_;x@;+{;x@;}€ =x€+ 4x€ +4=4+4=8 그런데 x>0이므로 x+;x@;>0 ∴ x+;x@;=2'20
5
셀파 {x+;x@;}€을 전개한 식에 x€+ 4x€ =4를 대입한다. (a+b+c)€=a€+b€+c€+2(ab+bc+ca)에서 a€+b€+c€=14, ab+bc+ca=11이므로 (a+b+c)€=14+2_11=36 a, b, c는 양수이므로 a+b+c=6 이때 abc=6이므로 a‹+b‹+c‹ =(a+b+c)(a€+b€+c€-ab-bc-ca)+3abc =6_(14-11)+3_6 =18+18=36 채점 기준 배점 (a+b+c)€의 값을 구한다. 40% a+b+c의 값을 구한다. 20% a‹+b‹+c‹의 값을 구한다. 40%
0
8
셀파 (a+b+c)€=a€+b€+c€+2(ab+bc+ca)에 주어진 식의 값을 대입하여 a+b+c의 값을 먼저 구한다. 오른쪽 그림과 같이 주어진 직육면체의 세 모서리의 길이를 각각 a, b, c로 놓으면 겉넓이가 62이므로 2(ab+bc+ca)=62 ∴ ab+bc+ca=31 대각선의 길이가 'ß38이므로 "ƒa€+b€+c€='ß38 ∴ a€+b€+c€=38 (a+b+c)€ =a€+b€+c€+2(ab+bc+ca) =38+62=100 a+b+c>0이므로 a+b+c=10 따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 4(a+b+c)=4_10=40 a c b10
셀파 직육면체의 세 모서리의 길이를 각각 a, b, c로 놓고 겉넓 이, 대각선의 길이를 a, b, c에 대한 식으로 나타낸다. xy+yz=1-zx, yz+zx=1-xy, zx+xy=1-yz이므로 (xy+yz)(yz+zx)(zx+xy) =(1-zx)(1-xy)(1-yz) =1-(xy+yz+zx)+(zx€y+xy€z+yz€x)-x€y€z€ =1-(xy+yz+zx)+xyz(x+y+z)-(xyz)€ =1-1+2_3-2€=2 | 참고 | 곱셈 공식 (x-a)(x-b)(x-c)=x‹-(a+b+c)x€+(ab+bc+ca)x-abc 에서 x=1을 대입하면 (1-a)(1-b)(1-c)=1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc 이때 a=xy, b=yz, c=zx라 하면 ㉠과 같이 전개할 수 있다. | 다른 풀이 | (xy+yz)(yz+zx)(zx+xy) =y(x+z)_z(x+y)_x(y+z) =xyz(x+y)(y+z)(z+x) =xyz(3-z)(3-x)(3-y) 이때 (3-z)(3-x)(3-y) =3‹-(x+y+z)_3€+(xy+yz+zx)_3-xyz =27-3_9+1_3-2 =27-27+3-2=1 ∴ (주어진 식)=xyz(3-z)(3-x)(3-y)=2_1=2 ㉠0
9
셀파 주어진 식 xy+yz+zx=1을 이용하여 식을 간단히 한 다음 전개한다. a€b+ab€+2(a+b)=30에서 ab(a+b)+2(a+b)=3(a+b)+2(a+b)=5(a+b) 5(a+b)=30이므로 a+b=6 ∴ a€+b€ =(a+b)€-2ab =6€-2_3=300
6
셀파 a€b+ab€+2(a+b)를 변형하여 ab=3을 대입한 후 a+b의 값을 구한다.;x!;+;y!;= x+yxy =2에서 xy=2이므로 x+y 2 =2 ∴ x+y=4 ∴ x‹+y‹ =(x+y)‹-3xy(x+y) =4‹-3_2_4=64-24=40
0
7
셀파 (x+y)‹=x‹+3xy(x+y)+y‹ 을 변형하여 이용한다. ⑵ x+;x@;=2'2의 양변을 세제곱하면 x‹+3_x€_;x@;+3_x_{;x@;}€+{;x@;}‹=(2'2 )‹ ∴ x‹+6x+ 12x +x‹ =16'28 x‹+ 8x‹ +6{x+;x@;}=16'2 ∴ x‹+ 8x‹ =16'2-6{x+;x@;} =16'2-6_2'2=4'2 018 | 정답과 해설직육면체에서 곱셈 공식의 활용 직육면체의 가로, 세로, 높이를 각각 a, b, c라 하면 1 직육면체의 겉넓이 ⇨ 2(ab+bc+ca) 2 직육면체의 부피 ⇨ abc 3 직육면체의 대각선의 길이 ⇨ "ƒa€+b€+c€ 4 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합 ⇨ 4(a+b+c) 따라서 다음과 같이 곱셈 공식을 활용할 수 있다. ❶ (a+b+c)€=a€+b€+c€+2(ab+bc+ca)를 이용하면 모 서리의 길이의 합, 대각선의 길이, 겉넓이 중 두 개의 값을 알 때, 나머지 하나의 값을 구할 수 있다. ❷ (a+b+c)(a€+b€+c€-ab-bc-ca) =a‹+b‹+c‹-3abc 를 이용하면 모서리의 길이의 합, 대각선의 길이, 겉넓이, 부 피를 알 때, a‹+b‹+c‹의 값을 구할 수 있다. a c b LEC TURE (x€+ax+2)(x€+bx+2)의 전개식에서 1 x‹항이 나오는 경우는 x€_bx+ax_x€=bx‹+ax‹=(a+b)x‹ 2 x€항이 나오는 경우는 x€_2+ax_bx+2_x€ =2x€+abx€+2x€ =(4+ab)x€ 이때 x‹의 계수가 0이므로 a+b=0 또 x€의 계수도 0이므로 4+ab=0 ∴ ab=-4 ∴ a€+b€-ab =(a+b)€-3ab =0€-3_(-4)=12 채점 기준 배점 x‹, x€ 항이 나오는 경우를 알아본다. 40% a+b, ab의 값을 구한다. 30% a€+b€-ab의 값을 구한다. 30%
11
셀파 (x€+ax+2)(x€+bx+2)를 전개한 식에서 x‹항과 x€ 항이 나올 수 있는 경우를 각각 생각해 본다. x‹+ax€+bx+1이 x€+x+1로 나누어떨어지면 나머지가 0이 므로 (b-a)x+2-a=0 이 식이 x에 대한 항등식이므로 b-a=0, 2-a=0 ∴ a=2, b=2 ∴ a+b=2+2=4 따라서 구하는 답은 ⑤이다. x +(a-1) x€+x+1œ∑ x‹+ ∑ax€+ bx+ 1 x‹+ x€+ x (a-1)x€+(b-1)x+ 1 (a-1)x€+(a-1)x+a-1 (b-a)x+2-a 나머지12
셀파 나누어떨어지면 나머지가 0이므로 다항식 x‹+ax€+bx+1을 다항식 x€+x+1로 나누었을 때의 나머지 는 0이다. 3x‹-2x€+x+2=(x€+ax-1)(3x-5)+9x-b에서 3x‹-2x€+x+2-(9x-b)=(x€+ax-1)(3x-5) ∴ 3x‹-2x€-8x+2+b=(x€+ax-1)(3x-5) 이때 3x‹-2x€-8x+2+b는 3x-5로 나누어떨어지므로 실제 로 나눗셈을 해서 몫을 구한다. -3+b=0에서 b=3 한편 3x‹-2x€-8x+2+3=(3x-5)(x€+x-1) 이므로 a=1 ∴ a=1, b=3 x€+ x -1 3x-5œ∑3x‹-2x€-8x+2+b 3x‹-5x€ 3x€-8x+2+b 3x€-5x -3x+2+b -3x+5 -3+b13
셀파 A=BQ+R에서 B=(A-R)/Q | 참고 | 세 모서리의 길이가 a, b, c일 때, 피타고라스 정리에서 (대각선의 길이)="ƒ("ƒa€+b€)€+c€ ="ƒa€+b€+c€ a b c a€+b€⑴ 등식 (a+3)x+(2+b)=0이 x에 대한 항등식이면 a+3=0, 2+b=0 ∴ a=-3, b=-2 ⑵ 등식 (2-a)x€+bx+1+c=0이 x에 대한 항등식이면 2-a=0, b=0, 1+c=0 ∴ a=2, b=0, c=-1 ⑶ 좌변을 전개하여 정리하면 (a+2b-3)x+b-1=0 이 식이 x에 대한 항등식이면 a+2b-3=0, b-1=0 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=1
1-2
⑴ [방법 1] 계수비교법 a(x+1)+b(x+2)=2x+1에서 (a+b)x+a+2b=2x+1 양변의 동류항의 계수를 비교하면 a+b=2, a+2b=1 두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=-1 [방법 2] 수치대입법 a(x+1)+b(x+2)=2x+1의 양변에 x=-1을 대입하면 b=-1 x=-2를 대입하면 -a=-3, a=3 ∴ a=3, b=-1 ⑵ [방법 1] 계수비교법 a(x+1)€+b(x-1)-2=x€-x+2에서 ax€+(2a+b)x+a-b-2=x€-x+2 양변의 동류항의 계수를 비교하면 a=1, 2a+b=-1, a-b-2=2 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-3 [방법 2] 수치대입법 a(x+1)€+b(x-1)-2=x€-x+2의 양변에 x=-1을 대입하면 -2b-2=4, b=-3 x=1을 대입하면 4a-2=2, a=1 ∴ a=1, b=-32-2
P(x)=x‹-x€+4x-2에서 ⑴ P(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 P(1)과 같으 므로 P(1) =1‹-1€+4_1-2=2 ⑵ P(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 P(-1)과 같 으므로 P(-1) =(-1)‹-(-1)€+4_(-1)-2=-83-2
본문 | 31, 33 쪽 개념 익히기2.
항등식과 나머지정리
⑴ 등식 (1-a)x+(b-4)=0이 x에 대한 항등식이면 1-a=0, b-4= 0 ∴ a=1, b=4 ⑵ 등식 (a+1)x€+(b-1)x+2+c=0이 x에 대한 항등 식이면 a+1=0, b-1=0, 2+c=0 ∴ a= -1 , b=1, c=-2 ⑶ 좌변을 전개하여 정리하면 (a+b-1)x+2a- b -5=0 이 식이 x에 대한 항등식이면 a+b-1=0, 2a-b-5=0 두 식을 연립하여 풀면 a= 2 , b=-11-1
a(x-1)+b(x-2)=2x+1에서 [방법 1] 계수비교법 ax-a+bx-2b=2x+1 (a+b)x-(a+2b)=2x+1 양변의 동류항의 계수를 비교하면 a+b= 2 , -(a+2b)=1 두 식을 연립하여 풀면 a=5, b= -32-1
[방법 2] 수치대입법 등식의 양변에 x=1을 대입하면 b= -3 등식의 양변에 x=2를 대입하면 a=5 ⑴ P(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 P( 1 )과 같으므로 P(1)=2_1‹+1€-3_1+1=1 ⑵ P(x)를 2x-1로 나누었을 때의 나머지는 P{;2!;}과 같 으므로 P{;2!;}=2_{;2!;}‹+{;2!;}€-3_;2!;+1= 03-1
020 | 정답과 해설⑴ (x‹-6x€+4x+3)/(x-1) 1 1 -6 4 3 1 -5 -1 1 -5 -1 2 ∴ 몫：x€-5x-1, 나머지：2 ⑵ (x‹+3x€+4)/(x+1) -1 1 3 0 4 -1 -2 2 1 2 -2 6 ∴ 몫：x€+2x-2, 나머지：6 ⑶ (2x‹-7x€+10x-5)/(x-2) 2 2 -7 10 -5 4 -6 8 2 -3 4 3 ∴ 몫：2x€-3x+4, 나머지：3
4-2
⑶ P(x)를 2x+1로 나누었을 때의 나머지는 P{-;2!;}과 같으므로 P{-;2!;}={-;2!;}‹-{-;2!;}€+4_{-;2!;}-2 =-;8!;-;4!;-2-2=-:£8∞: ⑷ P(x)를 2x-3으로 나누었을 때의 나머지는 P{;2#;}과 같으므로 P{;2#;}={;2#;}‹-{;2#;}€+4_;2#;-2 =:™8¶:-;4(;+6-2=:¢8¡: ⑴ 다음과 같이 조립제법을 이용하면 1 1 -2 -4 -3 + 1 -2 5 -2 1 -4 1 몫의 계수 나머지⇩ + + _1 _1 _1 몫：x€- 2x -4, 나머지：1 ⑵ 다음과 같이 조립제법을 이용하면 -2 -2 4 0 + 1 -3 -2 1_(-2) _(-2) 1 몫의 계수 -2 4 2 ⇩ 나머지 + + _(-2) 몫：x€-2x+1, 나머지： 24-1
등식 a(2x+y)+b(x-2y)-5(x-1)+c=0의 좌변을 전개하 여 x, y에 대하여 정리하면 (2a+b-5)x+(a-2b)y+5+c=0 이 식이 x, y에 대한 항등식이므로 2a+b-5=0 åå㉠ a-2b=0 åå㉡ 5+c=0 åå㉢ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=1 ㉢에서 c=-5 ∴ a=2, b=1, c=-50
1-2
셀파 ( )x+( )y+( )=0 꼴로 정리한다. 등식 (a+2)x€+(2-x)a+(2-x)b=0의 좌변을 전개하여 x 에 대한 내림차순으로 정리하면 ax€+2x€+2a-ax+2b-bx=0 (a+2)x€+(-a-b)x+(2a+2b)=0 이 식이 x에 대한 항등식이므로 a+2=0, a+b=0 ∴ a=-2, b=20
1-1
셀파 ( )x€+( )x+( )=0 꼴로 정리한다. 본문 | 34~43 쪽 확인 문제 ➊ ax€+bx+c=0이 x에 대한 항등식이면 a=0, b=0, c=0이다. ➋ 거꾸로 a=0, b=0, c=0이면 ax€+bx+c=0 은 x에 대한 항등식이다. ➊, ➋를 다음과 같이 확인할 수 있다. ➊ ax€+bx+c=0이 x에 대한 항등식이면 x에 어떤 값을 대 입하여도 항상 성립하므로 x=-1, x=0, x=1을 각각 대 입하면 a-b+c=0, c=0, a+b+c=0 세 식을 연립하여 풀면 a=0, b=0, c=0 ➋ a=0, b=0, c=0이면 모든 x에 대하여 ax€+bx+c=0이므로 이 등식은 x에 대한 항등식이다. 세미나 항등식의 성질 확인⑴ (x-2)(2x+c)=ax€+bx+4에서 2x€+(c-4)x-2c=ax€+bx+4 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비 교하면 2=a, c-4=b, -2c=4 ∴ a=2, b=-6, c=-2 ⑵ ax(x+1)+bx(x-1)+c(x+1)(x-1)=x€+x+1 의 양변에 x=1을 대입하면 2a=3 ∴ a=;2#; x=-1을 대입하면 2b=1 ∴ b=;2!; x=0을 대입하면 -c=1 ∴ c=-1
0
2-1
셀파 계수비교법과 수치대입법 중 편리한 것을 이용한다. ⑴ x‹+ax€+bx+3을 x€-1로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하 면 나머지가 5x+2이므로 x‹+ax€+bx+3 =(x€-1)Q(x)+5x+2 =(x-1)(x+1)Q(x)+5x+2 이 식이 x에 대한 항등식이므로 1 양변에 x=1을 대입하면 1+a+b+3=7 ∴ a+b=3 åå㉠ 2 양변에 x=-1을 대입하면 -1+a-b+3=-3 ∴ a-b=-5 åå㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=4 | 다른 풀이 | x‹+ax€+bx+3을 x€-1로 나누었을 때의 몫을 x+q로 놓으면 나 머지가 5x+2이므로 x‹+ax€+bx+3 =(x€-1)(x+q)+5x+2 =x‹+qx€+4x+2-q 이 식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교하면 a=q åå㉠, b=4 åå㉡, 3=2-q åå㉢ ㉢에서 q=-1이므로 이 값을 ㉠에 대입하면 a=-1 ∴ a=-1, b=4 ⑵ x‹+ax€+5를 x€-x-1로 나누었을 때의 몫을 x+q로 놓으 면 나머지가 x+5이므로 x‹+ax€+5 =(x€-x-1)(x+q)+x+5 =x‹+(q-1)x€-qx-q+5 이 식이 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교하면 a=q-1 åå㉠, 0=-q åå㉡, 5=-q+5 åå㉢ ㉡, ㉢에서 q=0을 ㉠에 대입하면 a=-10
3-1
셀파 나누는 식이 인수분해되면 수치대입법을, 인수분해되 지 않으면 계수비교법을 이용한다. 미정계수법 다항식 P(x)를 다항식 A(x)로 나눌 때 A(x)가 인수분해되면 A(x)가 인수분해되지 않으면 ⇩ 수치대입법 계수비교법 직접 나눗셈 편리 가능 가능 가능 가능 LEC TURE P(x)=4x‹+mx-3에 대하여 P(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 -3이므로 P(-1)=-3 -4-m-3=-3 ∴ m=-40
4-1
셀파 P(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 -3이면 P(-1)=-3 P(x)=x‹-ax€+bx-1로 놓으면 P(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 1이므로 P(1)=1 1-a+b-1=1 ∴ -a+b=1 åå㉠ 또 P(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 7이므로 P(2)=7 8-4a+2b-1=7 ∴ -2a+b=0 åå㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=20
4-2
셀파 P(x)=x‹-ax€+bx-1로 놓고 P(1), P(2)의 값 을 구한다. P(x)를 (x+2)(x-3)으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지 를 ax+b(a, b는 상수)라 하면 P(x) =(x+2)(x-3)Q(x)+ax+b P(-2)=-2에서 -2a+b=-2 åå㉠ P(3)=8에서 3a+b=8 åå㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=2 따라서 구하는 나머지는 2x+20
5-1
셀파 다항식 P(x)를 이차식으로 나누었을 때의 나머지를 ax+b(a, b는 상수)로 놓는다. (x‹의 계수가 1인 삼차식) /(x€의 계수가 1인 이차식) (x‹의 계수가 1인 삼차식) /(x€의 계수가 1인 이차식) 이므로 x의 계수가 1인 일차식이다. 022 | 정답과 해설P(x)를 x€-5x+6으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b(a, b는 상수)라 하면 P(x) =(x€-5x+6)Q(x)+ax+b =(x-2)(x-3)Q(x)+ax+b P(x) 를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 3이므로 P(2) =3에서 2a+b=3 åå㉠ P(x)를 (x-3)€으로 나누었을 때의 나머지가 2x이므로 P(3)=3_2=6에서 3a+b=6 åå㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-3 따라서 구하는 나머지는 3x-3
0
5-2
셀파 나누는 이차다항식을 (일차식)_(일차식)으로 인수 분해한다. P(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 1이므로 P(2)=1 åå㉠ 4xP(2x-1)을 2x-3으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라 하면 4xP(2x-1)=(2x-3)Q(x)+R 이 식은 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=;2#;을 대입하면 6P(2)=R ㉠에서 P(2)=1이므로 R=6_1=60
6-1
셀파 4xP(2x-1)을 2x-3으로 나누었을 때의 나머지는 x=;2#;을 대입한 값이다.0
7-1
셀파 다항식 P(x)가 x-a로 나누어떨어지면 P(a)=0이 다. P(x)=x›+ax€+3이라 하면 P(x)가 x-1로 나누어떨어지므로 P(1)=1+a+3=0 ∴ a=-40
7-2
셀파 다항식 P(x)가 (x-a)(x-b)로 나누어떨어지면 P(a)=0, P(b)=0이다. P(x)=x‹+ax€-5x+b라 하면 P(x)가 x€-x-2, 즉 (x+1)(x-2)로 나누어떨어지므로 P(-1)=-1+a+5+b=0 ∴ a+b=-4 åå㉠ P(2)=8+4a-10+b=0 ∴ 4a+b=2 åå㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-60
6-2
셀파 x€P(x+4)=(x+3)Q'(x)+R의 양변에 x=-3 을 대입한다. P(x)를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 4x+3이므로 P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+4x+3 åå㉠ x€P(x+4)를 x+3으로 나누었을 때의 몫을 Q'(x), 나머지를 R라 하면 x€P(x+4)=(x+3)Q'(x)+R 이 식은 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-3을 대입하면 9P(1)=R ㉠에서 P(1)=4_1+3=7이므로 R=9_7=63 다음 두 가지 경우에는 다항식의 나눗셈을 항등식으로 나타낸 다음 주어진 조건을 이용하여 그 항등식을 변형하여야 한다. ⑴ 나누어지는 식이 구체적이지 않고 나누는 식이 달라질 때, 나머지뿐만 아니라 몫도 구하는 경우 예 해법06
⑵ 나머지를 구할 때 나머지정리를 이용할 수 없는 경우 예➊ 다항식 P(x)를 ax+b로 나누었을 때의 나머지가 R 일 때, P(x)를 x+;aB;로 나누었을 때의 몫을 구하여라. | 풀이 | P(x)를 ax+b로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머 지가 R이므로 P(x)=(ax+b)Q(x)+R=a{x+;aB;}Q(x)+R ={x+;aB;}{aQ(x)}+R 따라서 P(x)를 x+;aB;로 나누었을 때의 몫은 aQ(x) 예➋ 다항식 P(x)를 x€+x+1로 나누었을 때의 나머지 가 2x-1일 때, 다항식 xP(x)를 x€+x+1로 나누 었을 때의 나머지를 구하여라. | 풀이 | P(x)를 x€+x+1로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나 머지가 2x-1이므로 P(x)=(x€+x+1)Q(x)+2x-1 ∴ xP(x) =x(x€+x+1)Q(x)+2x€-x =(x€+x+1)xQ(x)+2(x€+x+1)-3x-2 =(x€+x+1){xQ(x)+2}-3x-2 따라서 구하는 나머지는 -3x-2 세미나 나눗셈을 나타내는 항등식을 변형하여 몫과 나머지 구하기⑴ (x‹-6x€+11x-6)/(x-2) 2 1 -6 11 -6 2 -8 6 1 -4 3 0 ∴ 몫：x€-4x+3, 나머지：0 ⑵ (2x‹-3x€-4x+5)/(x-1) 1 2 -3 -4 5 2 -1 -5 2 -1 -5 0 ∴ 몫：2x€-x-5, 나머지：0 ⑶ (2x‹+x€-8x-3)/(x+2) -2 2 1 -8 -3 -4 6 4 2 -3 -2 1 ∴ 몫：2x€-3x-2, 나머지：1 본문 | 42 쪽 집중 연습 ⑷ (2x‹+4x€-5)/(x+3) -3 2 4 0 -5 -6 6 -18 2 -2 6 -23 ∴ 몫：2x€-2x+6, 나머지：-23 ⑸ (x‹-7x+9)/(x-3) 3 1 0 -7 9 3 9 6 1 3 2 15 ∴ 몫：x€+3x+2, 나머지：15 ⑹ (5x‹+4x€-x+1)/(x+1) -1 5 4 -1 1 -5 1 0 5 -1 0 1 ∴ 몫：5x€-x, 나머지：1 ⑺ (x›-2x€-x+1)/(x-1) 1 1 0 -2 -1 1 1 1 -1 -2 1 1 -1 -2 -1 ∴ 몫：x‹+x€-x-2, 나머지：-1 ⑻ (2x‹+x€-3x+5)/(2x-1) ;2!; 2 1 -3 5 1 1 -1 2 2 -2 4 2x‹+x€-3x+5={x-;2!;}(2x€+2x-2)+4 =(2x-1)(x€+x-1)+4 ∴ 몫：x€+x-1, 나머지：4 ⑼ (2x‹+5x€-4x+1)/(2x+1) -;2!; 2 5 -4 1 -1 -2 3 2 4 -6 4 2x‹+5x€-4x+1={x+;2!;}(2x€+4x-6)+4 =(2x+1)(x€+2x-3)+4 ∴ 몫：x€+2x-3, 나머지：4 ⑴ (3x‹-2x€+5x+1)/{x+;3!;} -;3!; 3 -2 5 1 -1 1 -2 3 -3 6 -1 ∴ 몫：3x€-3x+6, 나머지：-1 ⑵ 3x+1=3{x+;3!;}이고 ⑴에서 몫이 3x€-3x+6, 나머지가 -1이므로 3x+1로 나누었을 때의 몫은 3x€-3x+6을 3으 로 나누었을 때의 몫과 같고 나머지는 변하지 않는다. ∴ 몫：x€-x+2, 나머지：-1 | 참고 | 3x‹-2x€+5x+1 ={x+;3!;}(3x€-3x+6)-1 =(3x+1)_;3!;(3x€-3x+6)-1 =(3x+1)(x€-x+2)-1 몫 나머지 확인 체크
01
셀파 특강 024 | 정답과 해설⑽ (4x‹-4x€+5x-1)/(2x-3) ;2#; 4 -4 5 -1 6 3 12 4 2 8 11 4x‹-4x€+5x-1={x-;2#;}(4x€+2x+8)+11 =(2x-3)(2x€+x+4)+11 ∴ 몫：2x€+x+4, 나머지：11 ⑾ (9x‹+3x€-5x-1)/(3x-1) ;3!; 9 3 -5 -1 3 2 -1 9 6 -3 -2 9x‹+3x€-5x-1={x-;3!;}(9x€+6x-3)-2 =(3x-1)(3x€+2x-1)-2 ∴ 몫：3x€+2x-1, 나머지：-2 ⑿ (3x‹-5x€+x+5)/(3x+1) -;3!; 3 -5 1 5 -1 2 -1 3 -6 3 4 3x‹-5x€+x+5={x+;3!;}(3x€-6x+3)+4 =(3x+1)(x€-2x+1)+4 ∴ 몫：x€-2x+1, 나머지：4 ⒀ (4x‹-3x+2)/(2x-1) ;2!; 4 0 -3 2 2 1 -1 4 2 -2 1 4x‹-3x+2={x-;2!;}(4x€+2x-2)+1 =(2x-1)(2x€+x-1)+1 ∴ 몫：2x€+x-1, 나머지：1
0
8-1
셀파 ⑴ 나누어떨어지므로 조립제법을 연속으로 사용하면 나머지가 모두 0이다. ⑴ 다항식 x‹+ax+b를 (x-2)€으로 나누는 것을 x-2로 두 번 연속하여 조립제법으로 나타내면 다음과 같다. 2 1 0 a b 2 4 2a+8 2 1 2 a+4 2a+b+8 2 8 1 4 a+12 2a+b+8⇨ 0[
⇩ 몫의 계수 a+12⇨ 0 이때 주어진 다항식을 x-2로 나눈 나머지가 0이므로 2a+b+8=0 åå㉠ 또 그때의 몫을 다시 x-2로 나눈 나머지도 0이므로 a+12=0 åå㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-12, b=16 ⒁ (4x›+3x€+1)/(2x-1) ;2!; 4 0 3 0 1 2 1 2 1 4 2 4 2 2 4x›+3x€+1 ={x-;2!;}(4x‹+2x€+4x+2)+2 =(2x-1)(2x‹+x€+2x+1)+2 ∴ 몫：2x‹+x€+2x+1, 나머지：2 다항식 P(x)를 ax+b(a+0)로 나누었을 때의 나머지 나머지만을 구할 때는 나머지정리를 이용할 수 있다. 이때 대입하는 수는 (나누는 식)=0을 만족시키는 값이므로 나누는 일차식의 x의 계수가 1이 아니어도 나머지정리를 이용 할 수 있다. 다항식 P(x)를 일차식 ax+b로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라 하면 P(x)=(ax+b)Q(x)+R 이 식은 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-;aB; 를 대입하면 P{-;aB;}=[a_{-;aB;}+b] Q{-;aB;}+R =0_Q{-;aB;}+R=R ∴ R=P{-;aB;} LEC TURE⑵ 다항식 x‹+ax€-4x+b를 x€-x-6, 즉 (x+2)(x-3)으 로 나누는 것을 x+2, x-3으로 연속해서 조립제법으로 나타 내면 다음과 같다. -2 1 a -4 b -2 -2a+4 4a
3 1 a-2 -2a 4a+b
3 3a+3 1 a+1 a+3 4a+b ⇨ 0
[
⇩ 몫의 계수 a+3⇨ 0 이때 주어진 다항식을 x+2로 나눈 나머지가 0이므로 4a+b=0 åå㉠ 또 그때의 몫을 다시 x-3으로 나눈 나머지도 0이므로 a+3=0 åå㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=12 | 다른 풀이 | 다항식 P(x)가 두 일차식의 곱으로 나누어떨어질 때, 미정계수를 구하 는 문제는 다음과 같이 인수정리를 이용해도 된다. P(x)=x‹+ax€-4x+b라 하면 (x+2)(x-3)으로 나누어떨어지 므로P(-2)=0에서 -8+4a+8+b=0 ∴ 4a+b=0 yy㉠
P(3)=0에서 27+9a-12+b=0 ∴ 9a+b=-15 yy㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=12
0
8-2
셀파 나눗셈의 몫을 다시 나눌 때는 조립제법을 연속으로 사 용한다. 다항식 x›+x‹-5x+2를 x-1로 나누는 것을 조립제법으로 나 타내면 다음과 같다. 1 1 1 0 -5 2 1 2 2 -3 1 2 2[
-3 -1 ⇩ 몫 Q(x)의 계수 x›+x‹-5x+2=(x-1)(x‹+2x€+2x-3)-1 ∴ Q(x)=x‹+2x€+2x-3 이때 다항식 Q(x)를 x+1로 나누는 것을 조립제법으로 나타내 면 다음과 같다. -1 1 2 2 -3 -1 -1 -1 1 1[
1 -4 ⇩ 몫의 계수 ⇨ 나머지 x‹+2x€+2x-3=(x+1)(x€+x+1)-4 따라서 Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 몫：x€+x+1, 나머지：-4 본문 | 44~45 쪽 연습 문제 (k€-1)x+(k€+k)y+(k€-k)z=2, 즉 (k+1)(k-1)x+k(k+1)y+k(k-1)z=2 이 식이 k에 대한 항등식이므로 k=0을 대입하면 -x=2에서 x=-2 k=1을 대입하면 2y=2에서 y=1 k=-1을 대입하면 2z=2에서 z=1 ∴ x-z=-2-1=-3 따라서 구하는 답은 ①이다. | 다른 풀이 | 주어진 식을 k에 대한 내림차순으로 정리하면 (x+y+z)k€+(y-z)k-(x+2)=0 이 식이 k에 대한 항등식이므로 x+y+z=0, y-z=0, x+2=0 세 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=1, z=1 ∴ x-z=-2-1=-30
1
셀파 항등식의 성질을 이용하여 k에 적당한 수를 대입한다. [방법 1] 수치대입법 x€+3x+2=(x-2)€+a(x-2)+b의 양변에 x=2를 대입하면 12=b åå㉠ x=0을 대입하면 2=4-2a+b åå㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=7, b=12 ∴ ab=7_12=84 [방법 2] 계수비교법 x€+3x+2 =(x-2)€+a(x-2)+b =x€+(a-4)x+4-2a+b 양변의 동류항의 계수를 비교하면 3=a-4, 2=4-2a+b 두 식을 연립하여 풀면 a=7, b=12 ∴ ab=7_12=840
2
셀파 적당한 수를 대입하여 a, b에 대한 식을 구한다. 계수비교법과 수치대입법 계수비교법을 이용하는 경우 ➊ 양변을 각각 내림차순으로 정리하기 쉬운 경우 ➋ 식이 간단하여 전개하기 쉬운 경우 수치대입법을 이용하는 경우 ➊ 적당한 값을 대입하면 식이 간단해지는 경우 ➋ 여러 개의 다항식의 곱으로 되어 있어 전개하기 어려운 경우 ➌ 식이 길고 괄호가 있어서 복잡한 경우 ➍ P(x), f(x), y 등의 정해지지 않은 식이 포함되어 있는 경우 LEC TURE 026 | 정답과 해설x⁄‚+2⁄‚을 x-2로 나누었을 때의 나머지를 R라 하면 x⁄‚+2⁄‚=(x-2)Q(x)+R 이 식은 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=2를 대입하면 2⁄‚+2⁄‚=R ∴ R=2_2⁄‚=2⁄⁄ R=2⁄⁄을 위의 식에 대입하면 x⁄‚+2⁄‚=(x-2)Q(x)+2⁄⁄ åå㉠ Q(x)의 모든 계수의 합은 Q(1)과 같으므로 ㉠에 x=1을 대입 하면 1+2⁄‚=-Q(1)+2⁄⁄ ∴ Q(1) =2⁄⁄-2⁄‚-1=2⁄‚(2-1)-1 =2⁄‚-1=1023 따라서 구하는 답은 ③이다. | 참고 | Q(x)=aº+a¡x+a™x€+å+an xn 에서 양변에 x=1을 대입하면 Q(1)=aº+a¡+a™+å+an 이므로 Q(1)은 다항식 Q(x)의 모든 계수의 합이다.
0
3
셀파 다항식 f(x)의 계수의 합을 구하려면 x=1을 대입하면 된다. f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 f(2)=4 g(x)=x€f(x)로 놓으면 g(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 g(2)=2€_f(2)=4_4=16 따라서 구하는 답은 ③이다.0
8
셀파 g(x)=x€f(x)로 놓고 나머지정리와 f(2)=4임을 이용 한다. P(x)=x⁄‚+axfi+2로 놓으면 P(x)를 x-1과 x+1로 각각 나누었을 때의 나머지가 같으므로 P(1)=P(-1) 이때 P(1)=1+a+2=a+3 P(-1)=1-a+2=-a+3 에서 a+3=-a+3, 2a=0 ∴ a=0 따라서 구하는 답은 ③이다.0
4
셀파 나머지정리에서 P(1)=P(-1)이다. P(x)=2x‹+ax€+x+b로 놓으면 P(x)가 x€+x, 즉 x(x+1)로 나누어떨어지므로 P(0)=0, P(-1)=0 P(0)=b=0, P(-1)=-2+a-1+b=0 ∴ a=3, b=00
9
셀파 다항식 P(x)가 x(x+1)로 나누어떨어지면 P(0)=0, P(-1)=0이다. P(x)를 x-2로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 R이므로 P(x)=(x-2)Q(x)+R =;3!;(3x-6)Q(x)+R =(3x-6)_;3!; Q(x)+R 따라서 다항식 P(x)를 3x-6으로 나누었을 때의 몫은 ;3!;Q(x), 나머지는 R이므로 구하는 답은 ④이다.0
5
셀파 P(x)=(x-2)Q(x)+R로 놓고 3x-6=3(x-2)를 이용한다. 2‹‹‹=(2‹)⁄⁄⁄=8⁄⁄⁄=(7+1)⁄⁄⁄에서 P(x)=(x+1)⁄⁄⁄으로 놓으면 P(x)를 x로 나누었을 때의 나머 지는 나머지정리에 의하여 P(0)=1이다. (x+1)⁄⁄⁄을 x로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 (x+1)⁄⁄⁄=xQ(x)+1 양변에 x=7을 대입하면 (7+1)⁄⁄⁄=7Q(7)+1 따라서 2‹‹‹=(7+1)⁄⁄⁄을 7로 나누었을 때의 나머지는 1이다.0
7
셀파 2‹‹‹=(2‹)⁄⁄⁄=8⁄⁄⁄=(7+1)⁄⁄⁄에서 P(x)=(x+1)⁄⁄⁄ 으로 놓는다. P(x)=x‹+ax€+bx+c를 (x+1)€으로 나누었을 때의 몫을 x+q라 하면 나머지가 x-1이므로 P(x)=(x+1)€(x+q)+x-1 åå㉠ 또 P(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 P(-2)=4 ㉠의 양변에 x=-2를 대입하면 P(-2) =(-2+q)-3=q-5=4 ∴ q=9 q=9를 ㉠에 대입하면 P(x)=(x+1)€(x+9)+x-1 åå㉡ 이때 P(x)를 x+3으로 나누었을 때의 나머지는 P(-3)이므로 ㉡의 양변에 x=-3을 대입하면 P(-3) =4_6-4=200
6
셀파 삼차식 P(x)를 (x+1)€으로 나누었을 때의 몫을 x+q 로 놓는다. P(x)+x€이 x-1, x+2로 각각 나누어떨어지므로 인수정리 에서 P(1)+1=0, P(-2)+4=0 ∴ P(1)=-1, P(-2)=-4 이때 P(x)를 (x-1)(x+2)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b라 하면 P(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b åå㉠ ㉠의 양변에 x=1, x=-2를 각각 대입하면 P(1)=a+b=-1, P(-2)=-2a+b=-4 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-2 따라서 R(x)=ax+b=x-2 R(x)=x-2에서 R(-1)=-3 채점 기준 배점 P(1), P(-2)의 값을 각각 구한다. 30% R(x)를 구한다. 40% R(-1)의 값을 구한다. 30%
10
셀파 P(x)+x€이 x-1, x+2로 나누어떨어지므로 P(1)+1=0, P(-2)+4=0이다. 나머지의 표현 방법 x에 대한 다항식 P(x)를 다항식 A(x)로 나누었을 때의 나머 지를 R(x)라 하면 (나머지 R(x)의 차수)<(나누는 식 A(x)의 차수) 이어야 한다. 따라서 나누는 식의 차수에 따른 나머지의 차수 와 나머지 R(x)의 표현을 정리하면 다음과 같다. 나누는 식 A(x)의 차수 나머지 R(x)의 차수 나머지 R(x)의 표현 일차 0차 a (상수) 이차 일차 이하 ax+b 삼차 이차 이하 ax€+bx+c ⋮ ⋮ ⋮ n차 (n-1)차 이하 an-1xn-1+an-2xn-2 +å+a¡x+aº LEC TURE P(x) =(x+1)€(x+p) =(x€+2x+1)(x+p) =x‹+(p+2)x€+(2p+1)x+p 즉, x‹+ax€+bx+2=x‹+(p+2)x€+(2p+1)x+p 양변의 동류항의 계수를 비교하면 a=p+2, b=2p+1, 2=p p=2를 두 식에 대입하면 a=4, b=5 건호 주어진 다항식 P(x)=x‹+ax€+bx+2를 x+1로 두 번 연속 해서 나누는 것을 조립제법으로 나타내면 다음과 같다. -1 1 a b 2 -1 -a+1 a-b-1-1 1 a-1 -a+b+1 a-b+1
-1 -a +2 1 a-2 -2a+b+3 이때 P(x)는 x+1로 나누어떨어지고, 그 몫도 x+1로 나누어 떨어지므로 a-b+1=0 åå㉠, -2a+b+3=0 åå㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=5 조립제법에서 빈칸을 채우면 다음과 같다. a a b c a 2a b 1 2 3 b 1 4 이므로 a=1 b+a=2 åå㉠ c+2a=3 åå㉡ 2+b=4에서 b=2 한편 위의 조립제법에서 x€+bx+c =(x-a)(x+2)+3 =(x-a){(x-b)_1+4}+3 =(x-a)(x-b)+4(x-a)+3 즉, 4(x-a)+3=4x-9이므로 a=3 이것을 ㉠, ㉡에 대입하면 b=-1, c=-3 ∴ abc=1_(-1)_(-3)=3
12
셀파 조립제법의 빈칸을 채워 a, b의 값을 구한다. 연희 P(x)를 (x+1)€으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 P(x)는 (x+1)€으로 나누어떨어지므로 P(x)=(x+1)€Q(x) yy㉠ 이때 P(x)의 x‹의 계수가 1이고 나누는 식이 이차식이므로 Q(x)=x+p로 놓고 ㉠에 대입하면11
셀파 P(x)가 (x+a)€으로 나누어떨어지면 P(x)는 x+a로 나누어떨어지고 P(x)를 x+a로 나누었을 때의 몫도 x+a로 나 누어떨어진다. 028 | 정답과 해설⑴ 2x€+4xy=2x(x+2y) ⑵ x€y+xy€+yx=xy(x+y+1) ⑶ x€-12x+36 =x€-2_x_6+6€ =(x-6)€ ⑷ ab‹-a‹b =ab(b€-a€) =ab(b+a)(b-a) =ab(a+b)(b-a) ⑸ x€-2x-15 =(x+3)(x-5) ⑹ 4x€+7xy-2y€ =(4x-y)(x+2y) x 3 ⇨ 3x † x -5 ⇨ -5x œ + -2x 4x -y ⇨ -xy † x 2y ⇨ 8xy œ + 7xy
1-2
⑴ (a-b)x+(b-a)y =(a-b)x-(a-b)y =(a-b)(x-y) ⑵ x-2=t로 치환하면 (주어진 식) =t€-7t+12 =(t-3)(t-4) =(x-2-3)(x-2-4) =(x-5)(x-6) ⑶ x, y 중 차수가 낮은 문자 y에 대하여 내림차순으로 정리 한 다음 인수분해한다. (주어진 식) =-y(x+1)+x€-2x-3 =-y(x+1)+(x-3)(x+1) =(x+1)(-y+x-3) =(x+1)(x-y-3)3-2
본문 | 49, 51 쪽 개념 익히기3.
인수분해
⑴ (a-1)b+(a-1) =(a-1)_b+(a-1)_ 1 =(a-1)(b+ 1 ) ⑵ a€b-ab+2ab€=ab(a-1+2b) ⑶ 4a€-20ab+25b€ =(2a)€-2_2a_5b+(5b)€ =(2a- 5b )€ ⑷ a€-4a-77 a 7 ⇨ 7a a -11 ⇨ +®†-11a -4a =(a+7)(a-11)1-1
⑴ a‹+6a€+12a+8 =a‹+3_a€_2+3_a_2€+2‹ =( a +2)‹ ⑵ a‹+27b‹ =a‹+( 3b )‹ =(a+3b){a€-a_3b+(3b)€} =(a+3b)(a€-3ab+9b€) ⑶ x€+y€+4+2xy+4y+4x =x€+y€+2€+2_x_y+2_y_2+2_2_x =(x+ y +2)€2-1
⑴ x‹-9x€y+27xy€-27y‹ =x‹-3_x€_3y+3_x_(3y)€-(3y)‹ =(x-3y)‹ ⑵ a‹-8b‹ =a‹-(2b)‹ =(a-2b){a€+a_2b+(2b)€} =(a-2b)(a€+2ab+4b€) ⑶ a€+b€+c€-2ab-2bc+2ca =a€+(-b)€+c€+2_a_(-b) +2_(-b)_c+2_c_a =(a-b+c)€ | 참고 | -2ab-2bc+2ca에서 b를 포함한 항은 부호가 -이고, b가 없는 항은 부호가 +이다.2-2
⑴ a€(b+1)-4b-4 =a€(b+1)-4(b+1) =(b+1)(a€- 4 ) =(b+1)(a+2)(a-2) ⑵ x-2y=t로 치환하면 (주어진 식) =(t+2)(t+ 1 )-6 =t€+3t- 4 =(t+4)(t-1) =(x-2y+4)(x-2y-1) ⑶ x, y 중 차수가 낮은 문자 y에 대하여 내림차순으로 정 리한 다음 인수분해한다. (주어진 식) =-5y(x-1)+x€+2x-3 =-5y(x-1)+(x+3)(x-1) =(x-1)(x- 5y +3) (b+1)- (b+1) (x-1 )(x-13-1
⑷ (x-2)€-(y+4)€ ={(x-2)+(y+4)}{(x-2)-(y+4)} =(x+y+2)(x-y-6) ⑸ (2x-y)€-(x-3y)€ ={(2x-y)+(x-3y)}{(2x-y)-(x-3y)} =(3x-4y)(x+2y) ⑹ x›-16 =(x€)€-4€=(x€+4)(x€-4) =(x€+4)(x+2)(x-2) ⑺ a+1=t로 치환하면 (주어진 식) =t€+3t-10=(t-2)(t+5) ={(a+1)-2}{(a+1)+5} =(a-1)(a+6) ⑻ x+1=A, y-1=B로 치환하면 (주어진 식) =A€-9AB+18B€ =(A-6B)(A-3B) ={(x+1)-6(y-1)}{(x+1)-3(y-1)} =(x-6y+7)(x-3y+4) ⑼ ac-bd+bc-ad =ac+bc-bd-ad =c(a+b)-d(a+b) =(a+b)(c-d) ⑽ a€c-a‹b+bc-ab€ =a€(c-ab)+b(c-ab) =(c-ab)(a€+b) ⑾ x‹+2x€-9x-18 =x€(x+2)-9(x+2) =(x+2)(x€-9) =(x+2)(x+3)(x-3) ⑿ a€b-a€c-b‹+b€c =a€(b-c)-b€(b-c) =(b-c)(a€-b€) =(b-c)(a+b)(a-b) ⒀ 4x€-y€+6y-9 =4x€-(y€-6y+9) =(2x)€-(y-3)€ ={2x+(y-3)}{2x-(y-3)} =(2x+y-3)(2x-y+3) ⒁ 1-x€+2xy-y€ =1-(x€-2xy+y€)=1€-(x-y)€ ={1+(x-y)}{1-(x-y)} =(1+x-y)(1-x+y) ⑴ P(x)=x‹-4x€+x+6으로 놓으면 P(-1)=-1-4-1+6=0 이므로 P(x)는 x+1을 인수로 가진다. 다음과 같이 조립제법을 이용하면 -1 1 -4 1 6 -1 5 -6 1 -5 6 0 ∴ P(x) =(x+1)(x€-5x+6) =(x+1)(x-2)(x-3) ⑵ P(x)=x‹+2x-3으로 놓으면 P(1)=1+2-3=0 이므로 P(x)는 x-1을 인수로 가진다. 다음과 같이 조립제법을 이용하면 1 1 0 2 -3 1 1 3 1 1 3 0 ∴ P(x) =(x-1)(x€+x+3) 인수분해할 수 있다. 유리수 범위에서 더 이상 인수분해되지 않는다.
4-2
⑴ x‹y-xy‹ =xy(x€-y€)=xy(x+y)(x-y) ⑵ x(y-1)-y+1 =x(y-1)-(y-1) =(x-1)(y-1) ⑶ (x€+1)(x-1)-5(x-1) =(x-1)(x€+1-5) =(x-1)(x€-4) =(x-1)(x+2)(x-2) 본문 | 52 쪽 집중 연습 P(x)=x‹-5x€+8x-4로 놓으면 P(1)=1-5+8-4=0 이므로 P(x)는 x- 1 을 인수로 가진다. 다음과 같이 조립제법을 이용하면 1 1 -5 8 -4 1 -4 4 1 -4 4 0 ∴ P(x) =(x-1)(x€-4x+4) =(x-1)(x- 2 )€4-1
030 | 정답과 해설공통부분 x€+5x=t로 치환하면 (주어진 식) =(t+4)(t+6)-8 =t€+10t+16 =(t+2)(t+8) =(x€+5x+2)(x€+5x+8) ⑵ (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15 ={(x-1)(x-7)}{(x-3)(x-5)}+15 =(x€-8x+7)(x€-8x+15)+15 에서 공통부분 x€-8x=t로 치환하면 (주어진 식) =(t+7)(t+15)+15 =t€+22t+120 =(t+10)(t+12) =(x€-8x+10)(x€-8x+12) =(x€-8x+10)(x-2)(x-6) =(x-2)(x-6)(x€-8x+10) t에 원래의 식 x€+5x를 넣는다. t에 원래의 식 x€-8x를 넣는다. 본문 | 53~59 쪽 확인 문제 ⑴ 64x‹+48x€+12x+1 =(4x)‹+3_(4x)€_1+3_4x_1€+1‹ =(4x+1)‹ ⑵ (x+y)‹+z‹ ={(x+y)+z}{(x+y)€-(x+y)z+z€} =(x+y+z)(x€+2xy+y€-xz-yz+z€) =(x+y+z)(x€+y€+z€+2xy-yz-zx) ⑶ 125a‹-8b‹ =(5a)‹-(2b)‹ =(5a-2b){(5a)€+5a_2b+(2b)€} =(5a-2b)(25a€+10ab+4b€) ⑷ 9x€-12xy+4y€+z€-4yz+6zx =9x€+4y€+z€-12xy-4yz+6zx = (3x)€+(-2y)€+z€ +2_3x_(-2y)+2_(-2y)_z+2_z_3x ={3x+(-2y)+z}€ =(3x-2y+z)€
0
1-1
셀파 ⑴ a‹+3a€b+3ab€+b‹=(a+b)‹ ⑵ a‹+b‹=(a+b)(a€-ab+b€) ⑶ a‹-b‹=(a-b)(a€+ab+b€) ⑷ a€+b€+c€+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)€ ⑴ 공통부분 x€+2x=t로 치환하면 (주어진 식) =t(t-3)+2 =t€-3t+2 =(t-1)(t-2) =(x€+2x-1)(x€+2x-2) ⑵ (x€-x)€-2x€+2x-15 =(x€-x)€-2(x€-x)-15 에서 공통부분 x€-x=t로 치환하면 (주어진 식) =t€-2t-15 =(t-5)(t+3) =(x€-x-5)(x€-x+3) t에 원래의 식 x€+2x를 대입한다. t에 원래의 식 x€-x를 대입한다.0
2-1
셀파 공통부분을 t로 치환하여 인수분해한다. ⑴ x€=t로 치환하면 x›-7x€+10 =t€-7t+10 =(t-2)(t-5) =(x€-2)(x€-5) t에 원래의 식 x€을 대입한다.0
3-1
셀파 주어진 식을 변형하여 A€-B€ 꼴로 만든다. ⑴ (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-8 ={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}-8 =(x€+5x+4)(x€+5x+6)-80
2-2
셀파 일차식에서 상수항끼리의 합이 같은 것끼리 2개씩 묶 어 전개한 다음 공통부분을 치환하여 인수분해한다. ⑴ 999=a로 놓으면 999€-1=a€-1=(a+1)(a-1), 998_999=(a-1)a ∴ (주어진 식)= (a+1)(a-1)(a-1)a = a+1a =:¡9º9º9º:| 참고 |
999=a일 때, a-1+0이므로 (a+1)(a-1)(a-1)a 의 분모, 분자를 a-1
로 약분할 수 있다.
⑵ 99=a로 놓으면
99‹-8=a‹-2‹=(a-2)(a€+2a+4)이고, 99€+2_99+4=a€+2a+4이므로
(주어진 식)= a‹-2‹a€+2a+4= (a-2)(a€+2a+4)a€+2a+4 =a-2
이때 a=99이므로 a-2=99-2=97 | 참고 |
a=99일 때, a€+2a+4+0이므로 (a-2)(a€+2a+4)a€+2a+4 의 분모,
분자를 a€+2a+4로 약분할 수 있다.
확인 체크
01
⑴ 차수가 가장 낮은 문자 c에 대하여 내림차순으로 정리하면 (주어진 식) =(a€-b€)c+a(a€-b€) =(a€-b€)(c+a) =(a+b)(a-b)(a+c) ⑵ 차수가 가장 낮은 문자 z에 대하여 내림차순으로 정리하면 (주어진 식) =2(x-y)z+x€-2xy+y€ =2(x-y)z+(x-y)€ =(x-y)(2z+x-y) =(x-y)(x-y+2z)
0
4-1
셀파 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 정리한 다음 공통인 수로 묶는다. ⑴ a‹+b‹+c‹=3abc에서 a‹+b‹+c‹-3abc=0이므로 (a+b+c)(a€+b€+c€-ab-bc-ca)=0 ;2!;(a+b+c)(2a€+2b€+2c€-2ab-2bc-2ca)=0 ;2!;(a+b+c){(a-b)€+(b-c)€+(c-a)€}=0 åå㉠ 그런데 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로 a+b+c+0 이때 ㉠에서 (a-b)€+(b-c)€+(c-a)€=0 a, b, c는 실수이므로 (a-b)€>0, (b-c)€>0, (c-a)€>0 ∴ a-b=0, b-c=0, c-a=0 따라서 a=b=c인 정삼각형이다.0
5-1
셀파 a‹+b‹+c‹-3abc =(a+b+c)(a€+b€+c€-ab-bc-ca)를 이용한다. ⑴ x에 대하여 내림차순으로 정리하면 (주어진 식) =3x€+(4y-10)x+y€-4y+3 =3x€+(4y-10)x+(y-1)(y-3) ={3x+(y-1)}{x+(y-3)} =(3x+y-1)(x+y-3) ⑵ x에 대하여 내림차순으로 정리하면 (주어진 식) =xy€-xz€+yz€-x€y+x€z-y€z =(z-y)x€+(y€-z€)x+yz€-y€z =-(y-z)x€+(y+z)(y-z)x-yz(y-z) =-(y-z){x€-(y+z)x+yz} =-(y-z)(x-y)(x-z) =(x-y)(y-z)(z-x)0
4-2
셀파 문자의 차수가 같을 때는 어느 한 문자에 대하여 내림 차순으로 정리하고 공통인수로 묶어 인수분해한다. 여러 종류의 문자가 사용된 다항식을 인수분해할 때, ➊ 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리하고 공통인수로 묶는 다. ➋ 남은 이차식이 쉽게 인수분해되지 않으면 그 부분을 다시 한 번 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다. 이렇게 하면 인수분해되는 경우가 많다. (a+b)c‹-(a€+ab+b€)c€+a€b€을 인수분해하여라. | 풀이 | 먼저 주어진 식을 전개하면 (a+b)c‹-(a€+ab+b€)c€+a€b€ =ac‹+bc‹-a€c€-abc€-b€c€+a€b€ a에 대하여 내림차순으로 정리하면 (주어진 식) =(b€-c€)a€+(c‹-bc€)a+bc‹-b€c€ =(b+c)(b-c)a€-ac€(b-c)-bc€(b-c) =(b-c){(b+c)a€-ac€-bc€} =(b-c)(a€b+a€c-ac€-bc€) =(b-c){(a€-c€)b+a€c-ac€} =(b-c){(a+c)(a-c)b+ac(a-c)} =(b-c)(a-c)(ab+bc+ca) 위 에서 ㉠이 인수분해되지 않는다고 판단하여 (b-c)(a€b+a€c-ac€-bc€)으로 답을 끝내면 안 된다. 고등학교 과정에서 주어지는 복잡한 식은 대부분 다시 인수분 해 되는 경우가 있기 때문이다. ㉠ b에 대하여 내림차순으로 정리 세미나 인수분해되는 식이니까 문제로 주어진 것이다. ⑵ x›+x€+1 =x›+2x€+1-x€ =(x€+1)€-x€ =(x€+1+x)(x€+1-x) =(x€+x+1)(x€-x+1) ⑶ x›+x€+25 =x›+10x€+25-9x€ =(x€+5)€-(3x)€ =(x€+5+3x)(x€+5-3x) =(x€+3x+5)(x€-3x+5) ⑷ x›+4y› =x›+4x€y€+4y›-4x€y€ =(x€+2y€)€-(2xy)€ =(x€+2y€+2xy)(x€+2y€-2xy) =(x€+2xy+2y€)(x€-2xy+2y€) 032 | 정답과 해설⑴ P(x)=x‹+5x€+10x+6이라 하면 P(-1)=-1+5-10+6=0 이므로 P(x)는 x+1을 인수로 가진다. -1 1 5 10 6 -1 -4 -6 1 4 6 0 ∴ P(x)=(x+1)(x€+4x+6) ⑵ P(x)=x‹-3x€-10x+24라 하면 P(2)=8-12-20+24=0 이므로 P(x)는 x-2를 인수로 가진다. 2 1 -3 -10 24 2 -2 -24 1 -1 -12 0 ∴ P(x) =(x-2)(x€-x-12) =(x-2)(x+3)(x-4)
0
6-1
셀파 P(a)=0인 a의 값을 찾아 조립제법을 이용한다. ⑶ P(x)=6x‹-13x€+4x+3이라 하면 P(1)=6-13+4+3=0 이므로 P(x)는 x-1을 인수로 가진다. 1 6 -13 4 3 6 -7 -3 6 -7 -3 0 ∴ P(x) =(x-1)(6x€-7x-3) =(x-1)(2x-3)(3x+1) ⑷ P(x)=4x‹+8x€+x-3이라 하면 P(-1) =-4+8-1-3=0 이므로 P(x)는 x+1을 인수로 가진다. -1 4 8 1 -3 -4 -4 3 4 4 -3 0 ∴ P(x) =(x+1)(4x€+4x-3) =(x+1)(2x-1)(2x+3) 다항식 P(x)=6x‹-13x€+4x+3이 ax-b (a, b는 정수) 를 인수로 가진다고 하면 P(x)=6x‹-13x€+4x+3=(ax-b)(px€+qx+r) (단, p, q, r는 정수) 위 등식은 x에 대한 항등식이므로 양변의 x‹의 계수와 상수항 을 비교하면 6=ap, 3=-br이다. ∴ a=\(6의 약수), b=\(3의 약수) 이때 ax-b는 P(x)의 인수이므로 P{;aB;}=0 즉, P(a)=0인 a의 값이 a=;aB;이고;aB;=\ (3의 약수)(6의 약수) 이다. 따라서 P(a)=0이 되는 a의 값은 다항식 P(x)에서 \ (상수항의 약수) (최고차항의 계수의 약수) 이다. 이때 6의 약수는 1, 2, 3, 6이고, 3의 약수는 1, 3이므로 P(a)=0인 a는 \1, \3, \;2!;, \;2#;, \;3!;, \;6!; 중 하나이지만 계산이 간단한 수부터 대입하면 P(1)=6-13+4+3=0 을 쉽게 찾을 수 있다. 세미나 P(a)=0이 되는 a의 값 찾기 ⑵ 주어진 식의 좌변을 인수분해하면 ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c-a) =a€b+ab€-b€c-bc€-ac€+a€c =(b+c)a€+(b€-c€)a-bc(b+c) =(b+c)a€+(b+c)(b-c)a-bc(b+c) =(b+c){a€+(b-c)a-bc} =(b+c)(a+b)(a-c) ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c-a)=0에서 b+c=0 또는 a+b=0 또는 a-c=0 그런데 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로 b+c+0, a+b+0 따라서 a=c인 이등변삼각형이다. 삼각형의 종류 삼각형의 세 변의 길이가 a, b, c일 때 ➊ a>0, b>0, c>0
➋ a+b>c, b+c>a, c+a>b ➌ a=b=c이면 정삼각형, b=c이면 이등변삼각형이다. ➍ a가 최대변의 길이일 때 a€>b€+c€이면 둔각삼각형 a€=b€+c€이면 직각삼각형 a€<b€+c€이면 예각삼각형 LEC TURE
⑴ x€=t로 치환하면 (주어진 식) =2t€-3t+1 =(2t-1)(t-1) =(2x€-1)(x€-1) =(x+1)(x-1)(2x€-1) ⑵ x›-8x€+4 =(x›-4x€+4)-4x€ =(x€-2)€-(2x)€ =(x€-2+2x)(x€-2-2x) =(x€+2x-2)(x€-2x-2)
