2013. 12., Vol. 53, No. 12 ● 45
나노물리개론 과목 소개
김 경 식 연세대학교 기계공학과 교수 ㅣ e-mail : kks@yonsei.ac.kr
이 글에서는 현재 연세대학교 기계공학과의 나노물리개론 교과목에 대해 소개하고자 한다. 최근 첨단 분야로 각광받 고 있는 나노테크놀로지를 이해하기 위해서 요구되는 나노 세계의 기본 개념과 양자역학적인 현상기술들을 기계공학 전공자들이 쉽게 이해할 수 있도록 설명하고 현재 기계공학 연구에 어떻게 적용되는지 다양한 예를 통하여 알아본다.
양자역학이 발전하게 된 역사적 배경과 불확정성 원 리를 이해하고, 나노현상의 기본이 되는 전자, 광자 (photon), 포논(phonon)과 양자역학의 기본방정식인 슈뢰딩거방정식을 개념적으로 이해한다. 고체(solid)에 서 형성되는 전자의 에너지밴드의 개념과 열현상의 양 자개념인 phonon을 소개하고, 기체 및 고체 등의 열, 비열 및 열전달을 나노의 관점으로 해석한다. 이러한 나노양자현상의 응용분야로서 터널링현상과 STM, AFM, SEM, TEM 등의 동작원리, 나노리소그래피 등의 기본개념들을 소개한다. 반도체 및 도체의 원리와 산업 에의 응용을 이해하고 현재 많이 연구되고 있는 나노구 조물 및 나노재료의 기본개념을 소개한다.
이러한 나노물리에 대한 이해를 위해서 라그랑지, 해 밀턴 방정식, 빛과 원자 에너지의 양자화, 물질파, 불확 정성 원리, 슈뢰딩거 방정식, 양자우물, 터널링, 스핀, 파울리의 원리, 에너지 밴드와 밴드갭의 개념을 아래와 같이 섹션으로 나누어 간단히 소개하고 나노현상을 설 명하고자 한다.
라그랑지, 해밀턴 방정식
역학의 기본방정식인 뉴턴 방정식은 힘과 가속도, 속 도, 위치를 정의하여 각 공간 성분별로 등식이 성립하 는 3차원 벡터방정식이다. 한편, 양자역학의 기본방정
식인 슈뢰딩거 방정식은 힘(벡터)에 근거한 뉴턴 방정 식의 형태가 아니라 에너지(스칼라)에 근거한 해밀턴 방정식의 형태이다. 따라서 양자역학을 시작하기 이전 에 뉴턴 이후에 라그랑지와 해밀턴이 제안한 라그랑지 방정식과 해밀턴 방정식을 먼저 소개한다.
뉴턴 방정식은 3차원 공간 성분을 가지는 벡터양인 힘을 정의하고 이 힘이 만들어내는 운동량의 변화를 미 분방정식을 통해 구한다. 한편 라그랑지 방정식은 스칼 라량인 라그랑지안을 정의하고 이에 대한 미분방정식 을 통해 운동방정식을 얻게 된다. 해밀턴 방정식도 스칼 라량인 해밀토니안을 정의하고 그 미분방정식에서 운 동방정식을 얻으며 그 결과는 뉴턴방정식과 같다는 것 을 알 수 있다. 이 때 해밀토니안은 총 에너지양과 같다.
이러한 라그랑지, 해밀턴 방정식을 이용하면 이중, 삼중으로 연결된 진자나 도르레, 회전체 문제 등과 같 이 진동역학 등에서 3차원 힘 성분이나 장력 등으로 나 누어서 풀기에 매우 복잡한 문제들을 일반화 좌표 (generalized coordinates)를 이용하여 손쉽게 구할 수 있는 장점이 있는데 이러한 문제들을 예제로써 풀어줄 수 있다.
빛과 원자 에너지의 양자화
뉴턴은 빛이 입자의 성질을 가질 것이라고 믿었지만
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영(Young)의 빛의 간섭 실험 이후로 줄곧 파동으로 알 려져 왔다. 20세기가 시작되면서 플랑크는 흑체복사 (blackbody radiation)의 실험적 현상을 설명하기 위해 서는 에너지가 연속이 아닌 불연속 값을 가져야 한다는 양자화 가설을 발표했다. 아인슈타인은 한발 더 나아가 빛이 양자화 된 불연속 에너지값을 가지는 광자 (photon)로 이루어졌으며 전자와 마치 입자처럼 충돌 및 상호작용할 것이라고 보았다. 예를 들어 알루미늄 1 그램에 1와트의 빛을 입사시켰을 때 빛에너지를 열전달 로 흡수하여 전자가 튀어나오는 데는 173일이 걸린다 는 것을 계산해낼 수 있지만, 실제 실험에서는 빛이 쪼 이는 순간에 전자가 튀어나온다는 점에서 아인슈타인 이론의 차이점을 보일 수 있다.
원자 내부에는 매우 작은 핵의 주위를 전자들이 돌고 있으며 그 사이는 넓은 빈 공간이라고 러더포드는 실험 결과를 토대로 가설을 세웠다. 보어는 이러한 러더포드 의 가설과 수소 원자에서 측정한 분광선의 실험결과를 융합하여 설명하기 위해서는 원자내부에서 운동하는 전자의 각운동량이 양자화되어 있어야 한다는 보어 원 자 가설을 세우게 된다. 결국 빛과 원자의 에너지가 모 두 양자화 되어야 한다는 물리법칙들이 시작된 것이다.
물질파와 불확정성의 원리
양자역학은 빛이 가지는 입자와 파동으로서의 이중 성을 전자와 같은 일반 입자도 가지고 있다는 드브로이 의 물질파 가설에서부터 시작된다. 야구공이나 총알과 같은 입자도 물질파를 가지지만 그 파장이 너무 짧아서 우리가 직접 그 현상을 경험할 수 없다. 한편, 전자와 같은 매우 가벼운 물질의 경우에는 그나마 나노 스케일 에서 우리가 그 현상을 경험할 수 있으며, 현재 나노테 크놀로지에서 널리 사용되고 있는 전자현미경이 바로 이러한 전자의 물질파 현상을 응용한 대표적인 예이다.
파동에서는 위치와 파수(wave number), 시간과 각 주파수(angular frequency) 사이에 불확정성의 관계가
있다는 것은 푸리에 변환 수학에서 잘 알려져 있었다.
그런데 전자와 같은 입자가 파동의 성질을 가진다면 일 반 입자에 대해서도 불확정성의 원리가 성립되어야 하 고, 그 짝은 위치와 운동량, 시간과 에너지가 된다는 불 확정성의 원리가 하이젠베르크에 의해서 제안되었다.
이러한 불확정성의 원리는 자연계의 현상에서 여러 가 지 설명할 수 없었던 역설들을 설명해 주는 매우 근본 적인 물리법칙으로 확인되었다. 예를 들면 원자 내에서 전자가 가속운동을 하면서 왜 빛을 내고 핵으로 떨어지 지 않는지와 자연계에 존재하는 주요 법칙들(만유인력, 쿨롱의 법칙)이 왜 거리의 제곱에 반비례한지를 근본적 으로 설명해주는 매우 중요한 법칙이다. 또한 절대온도 가 0일 경우에도 0이 아닌 운동에너지가 존재할 수 있 다는 것을 말해 주고 있다.
슈뢰딩거 방정식과 양자 우물
양자역학의 기본방정식인 슈뢰딩거 방정식은 힘(벡 터)에 근거한 3차원의 뉴턴 방정식의 형태가 아니라 에 너지(스칼라)에 근거한 해밀턴 방정식의 형태이다. 또 한 파동함수라는 새로운 함수를 사용하는데 그 절대값 의 제곱이 존재확률을 나타낸다는 코펜하겐의 해석이 정설로 받아들여지고 있다. 뉴턴 방정식은 물리계의 초 기 조 건 (initial condition)과 경 계 조 건 (boundary condition)이 주어지면 임의의 시간에서의 모든 역학적 성질이 결정된다. 그러나 슈뢰딩거 방정식에서는 아무 리 초기조건과 경계조건이 주어져 있더라도 임의의 시 간에서는 파동함수만을 알 수 있고, 이는 각각의 상태 가 될 확률만을 알 수 있을 뿐이다. 따라서 결정론적 세 계관이 더 이상 적용되지 못하고 확률적인 기댓값만을 예측할 수 있고 에너지 보존법칙도 평균적으로 적용된 다. 이러한 양자역학은 근대 포스트 모더니즘을 비롯한 철학 사조에도 지대한 영향을 미치기도 했다.
위치에너지가 공간만의 함수일 경우에는 파동함수를
위치함수와 시간함수의 곱으로 나타내는 변수분리방법
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(separation of variables)을 통해서 슈 뢰딩거 운동방정식은 공간부분과 시간 부분으로 분리되어 그 계산이 훨씬 간 단해질 수 있다. 또한 에너지의 고유함 수를 이용하여 양자우물의 경우에 일 반해를 수학적으로 기술할 수 있으며, 이를 기반으로 양자우물(quantum
well), 양자선(quantum wire), 양자점(quantum dot)의 경우에도 그 현상들을 고유함수를 기반으로 이해할 수 있다. 이는 현재 나노기술에서 흔히 이야기 되는 그래 핀, 탄소나노튜브, 나노와이어, 나노입자 등에서의 나 노물리현상을 슈뢰딩거 방정식에서부터 이해할 수 있 는 기초가 된다.
터널링 현상
그림 1과 같이 높이가 변하는 레일 위에서 구슬을 떨 어뜨리는 경우를 상상해보자. 오른쪽 장애물 A보다 높 은 위치에너지를 가지도록 B에서 구슬을 놓게 되면 이 구슬은 항상 장애물을 넘어가게 된다. 반면에 오른쪽 장애물보다 낮은 높이인 C에서 구슬을 놓게 되면 그 구 슬은 항상 장애물 A를 넘지 못하고 다시 돌아오게 되고 결국은 C와 A 사이를 진동하게 된다. 그러나 파동은 자 기보다 높은 에너지를 가지는 장애물(energy barrier)을
만났을 때 반사만 하는 것이 아니라 그 장벽을 통과하는 성분이 존재하는데 이를 터널링이라고 부른다.
입자를 파동으로 해석하는 양자역학 에서는 전자도 자신의 운동에너지보다 더 높은 에너지 장벽을 만났을 때에도 터널링의 확률이 존재하고 더 낮은 에 너지 장벽을 만나도 반사할 확률이 존재한다. 터널링 확률은 에너지 장벽의 폭이 작을수록 지수함수로 증가 하게 되므로 그림 2와 같이 전기장을 걸어줌으로써 그 확률을 제어할 수 있다. 이러한 현상은 우리의 상식에 크게 위배되는 것으로 보이지만, 핵분열, 핵융합, 터널 링 현미경, 방사선 암치료, 탄소연대측정 등의 기본원 리가 된다. 결국 인간의 에너지원인 태양을 비롯해서 밤하늘에 빛나는 별들, 원자력 에너지, 방사선 치료, 원 자 하나까지 볼 수 있는 가장 정밀한 나노 측정기술인 터널링 현미경까지 가능하게 해주는 셈이다. 뿐만 아니 라 열손실이 많고 부피가 큰 전자총(electron gun)을 대 체하는 고효율, 저전력의 소형 전자방출기능은 다양한 디스플레이 및 전자현미경 등에 응용되고 있다.
스핀과 파울리의 원리
전자, 양성자, 중성자 등 기본 입자들뿐만 아니라 각 터널링 현상의 개념적 도
해와 전기장을 걸어줌으로 써 에너지 장벽의 폭을 제 어하여 터널링 확률을 높 일 수 있음을 알 수 있다.
그림 1레일 위 구슬의 운동 예 그림 2터널링에서 파동함수의 변화
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원자핵 등은 각 고유의 스핀을 가지는데 이는 자기 모 멘트와 유사한 상호작용을 가진다. 이러한 스핀이 정수 인 입자를 보존(Boson), 반정수인 입자를 페르미온 (Fermion)이 라 고 하 는 데 , 포 톤 (photon)과 포 논 (phonon)은 보존이고 전자(electron)는 페르미온이다.
보존의 경우에는 같은 상태에 무한개의 입자가 동시에 존재 가능한 반면, 페르미온은 같은 상태에 오직 한 개 의 입자만 있을 수 있다는 것이 파울리의 원리이다. 이 러한 전자의 성질 때문에 금속 내부의 자유 전자는 약 1,000km/s 정도의 매우 큰 속도로 움직이게 되어 전기 전도도나 비열과 같은 현상에 영향을 미치게 된다. 이 러한 양자현상의 응용으로는 수소핵의 스핀을 공명시 켜 이미징하여 의료 진단에 적용한 자기공명영상(MRI:
Magnetic Resonance Imaging)장치가 대표적이라 할 수 있다.
고체 내 전자의 에너지 밴드
원자 내부의 전자 에너지 준위는 고유 성질이므로 같 은 종류 원자에서 양자화 되어 있는 전자의 에너지 준 위는 항상 동일하다. 이러한 동일한 종류의 원자들이
서로 강하게 상호작용(interaction)하는 결정구조 (crystal) 등의 고체(solid)를 이루게 되면 그 에너지 준 위가 분화(energy split)되는데 이는 같은 공명진동수를 가지는 동일한 두 진자(pendulum) 사이에 커플링 용수 철을 달면 2개의 동일했던 공명진동수가 다른 진동수로 분화하는 것을 직접 유도해 봄으로써 알 수 있다. 이처 럼 N개의 진자가 연결되면 N개의 다른 진동수를 가지 듯이 아보가드로수만큼 매우 많은 원자가 연결된 고체 내에서의 전자 에너지는 매우 많은 거의 연속적인 에너 지 준위가 가능한데 이를 에너지 밴드(energy band)라 고 한다. 결정구조에서 전자의 에너지 밴드를 Kronig- Penney 모델을 이용해서 구해보면 연속적인 에너지 밴 드 사이에 전자가 가질 수 없는 에너지 준위인 밴드갭 (band gap)을 사이에 가지게 된다.
그림 3과 같이 전자가 에너지 밴드의 끝까지 채워지 고 바로 그 위에 밴드갭이 있을 때 전자가 외부 전기장 을 받아도 가속되기 어려우므로 부도체의 성질을 가지 게 되므로 밴드갭이 크면 절연체, 작으면 반도체라고 통상적으로 부른다. 한편, 전자가 밴드의 중간까지만 채워져 있어 외부 전기장에 쉽게 가속될 때가 도체 또 는 금속의 경우이고 이 밴드 내의 전자를 자유전자라고 부른다. 이러한 밴드와 밴드갭에서 도핑된 전자 (electron)와 홀(hole)의 현상을 이용하여 LED(Light Emitting Diode), 레이저, 센서, 태양전지, 광전소자, 열 전소자, CCD 등 여러 가지 전자 소자가 가능하다. 특히 트랜지스터는 20세기 인류에 가장 큰 영향을 미친 디바 이스 중의 하나이고, 광리소그래피를 이용한 전자산업 의 대량 생산 공정을 소개한다. 디지털 개념이 재생된 신호의 노이즈를 아날로그에 비해서 획기적으로 줄일 수 있는 기본원리도 설명한다.
그림 3밴드를 이용한 고체 물성 개념도
