추정의 기본원리

추정의 기본원리

estimation

학습 내용

 추정의 개념

 점추정

 구간추정

 정규모집단에서 모평균의 추정방법

 표본의 크기 결정방법

점추정

(point estimation)

구간추정

(interval estimation) 추정

추정의 개념

추정량과 추정치



추정량 (estimator)

 추정에 사용되는 통계량

 추정치를 구하는 식





추정치 (estimate)

 표본의 실제값을 추정량에 대입하여 구한 값



) 1 /(

) (

,

/

1







  



n X

X S

n X

X

n

i

i

, s 2

x

점추정(Point Estimation)



좋은 추정량의 조건

 不偏性(unbiasedness)

 효율성(efficiency)

 일치성(consistency)



주요 모수의 불편추정량과 분산



모분산의 점추정

추정량의 분포

A B

C D

불편성(unbiasedness)



표본평균



중앙값



표본분산



표본비율



 

 ( ˆ ) Bias E



 ˆ )  (

추정치 E

모수의 ˆ

모수 추정하려는









효율성(efficiency)



추정량의 분산과 관련된 성질



분산이 더 적은 추정량이 더 효율적

효율성 …

MVUE(minimum variance unbiased estimator)

m n n V

X

V _e

2 2

57 .

1 )

(

)

(  





일치성(consistency)

X P(X)

A

B



Smaller sample

size Larger

sample size





 as n

ˆ 



^{표본 평균}



표본 비율



표본 분산

주요 모수의 불편추정량과 분산

모수



크기

불편추정량

 



모평균

 _{n X} 

_{/ n}

모비율

^p n

n p ˆ  X

n p p ( 1  )

두 모집단의 모평균차



 

_n

1

& n

X

 X

2 2 2 1

2 1

n n



 

두 모집단의 모비율차

p

 p

_n

1

& n

p ˆ

 p ˆ

2 2 2

1 1

1

( 1 ) ( 1 )

n p p

n p

p   

• 모집단의 분포에 관계없이 성립한다.

• 표본의 크기가 커지면 모든 추정량이 정규분포에 가까와진다.

p for

5 )

1 ( and

5

, for 30









p n

np

n 

중심극한정리가 적용될 수 있는 조건

카이제곱 분포

0 2 ,

1 ) 2 / ( ) 1

(



  x

e

x x m

f

E(X) = m V(X) = 2m

Γ(k)=(k-1)(k-2)…(2)(1)

) (

~ ² m

X 

자유도(Degree of Freedom)



데이터의 개수에서 통계량을 계산하는 데 사용된 추정치의 수를 빼준 값



통계량을 계산한 후에 자유롭게 변할 수 있는 관측치의 수



Example

 Sum of 3 numbers is 6

X

X

X

Sum = 6

degrees of freedom =

n -1

= 3 -1

= 2

카이제곱 분포

) (

~ ) (

) (

) ,

(

~

2

1

2

2

n

X X N

X

n

i n i

i

i









 

 







 



) 1 (

) ~ 1 ) (

(

2 2

2 2

1

2

 



 



X X n S n

n

i

i







) 1 (

~

2



Z

N(0,1)

~

Z 

).

(

~

t.

independen are

' and

) (

~

2 1

2 2

1 2

k k

i i

i

r r

r W

W W

U

s W r

W















   



모분산의 점추정

2 2 )

(  

 E S

1 1 ]

[ ]

[

2 2

1

2



 



 

 n

σ

)S E (n

σ

) X (X

E

n

i

i

표본분산은



S :

S :













ˆ

ˆ ^{2 2}

2

카이제곱 분포의 임계값

)

2

(



df





카이제곱 분포의 임계값



카이제곱분포표



Excel

)

2

(



df





P(X>a) = chidist(a,df)

P(X>a) = 인 a = chiinv(,df)

chisq.dist.rt(a,df)

a

=chisq.inv(1-,df)

P(X<a) = chisq.dist(a,df,true) P(X>a) = chisq.dist.rt(a,df)

P(X>a) = 인 a = chisq.inv(1-,df) P(X>a) = 인 a = chisq.inv.rt(,df)

Office 2007

Office 2010

구간추정



Interval Estimation



구간 추정 방법



좋은 구간추정의 요건



점추정 - 활쏘기



구간추정 - 밧줄(그물,고리) 던지기

구간 추정

신뢰하한 신뢰상한

신뢰구간

점추정치

정규모집단에서  의 구간추정(  알 때)

] z

z - P[

] / z

P[-z

] z P[-z

= -

1

N(0,1)

~>

= / Z

) / ,

(

~

/2 /2

/2 /2

/2 /2

2

X n X n

n X

Z n X

n N

X

 





































 









 

2

 /

z



 z

1 -   /2

 /2

0 z

정규모집단에서  의 구간추정(  알 때)

x

μ

z n

x 

/2

 x z  n

/2



신뢰하한 신뢰상한

z n

x 

 :  _{ / 2}

] z

z - [ P

= -

1

X n

X  n  



  

좋은 구간 추정이란?



신뢰수준(신뢰확률; confidence level)

 신뢰구간 내에 모수가 포함될 확률(1-)



신뢰구간 (confidence interval)의 폭

 폭이 커지면 정보가치가 감소

 신뢰수준과 상반관계

 표준편차가 커지면 폭이 넓어진다.

 표본의 크기가 커지면 폭이 작아진다.

z n

x 

 / 2





신뢰구간의 폭

 신뢰수준과 표본크기의 함수

 신뢰수준이 일정하면 신뢰구간의 폭은 표본의 크기에 따라 결정됨

표본의 크기 결정

1-α = 신뢰수준

B = (추정)오차한계 n ?

표본의 크기

4 / or

R

 s



2 2

/ )

( B

n z _ 



z n

B 

 / 2

n 

z

x 

 / 2

