제 15 장 다중적분
15-1 이중적분
15-2 이중적분의 계산법
15-3 극좌표에서의 이중적분
15-4 곡면적 15-5 삼중적분
15-6 원기둥좌표와 구면좌표에서의 삼중적분
15.1 이중적분
1변수함수 = () 에 대한 정적분의 정의
= lim
→ ∗ ∆ = lim
→ ∗ ∆ + ∗ ∆ + ⋯ + ∗ ∆
=
→lim (∗)∆
= ()
()
∆
밑변의 길이 높이
2변수함수 = (, )의 영역 에서의 이중적분
(∗, ∗) = (∗, ∗)∆
∆
∆
∗
∗
∆
∆
∆
∗
∗
∆
(∗ , ∗ ) = (∗ , ∗)∆
≈ (∗ , ∗ )∆
= lim
→ lim
→ (∗ , ∗ )∆
→lim lim
→ (∗ , ∗ )∆
= ,
,
(, )
밑넓이 높이
15.2 이중적분의 계산법
→lim lim
→ (∗ , ∗)∆
= ,
≤ ≤
넓이
,
≤ ≤
,
에 관한 적분 먼저
≤ ≤
넓이
,
≤ ≤
,
에 관한 적분 먼저
에 관한 적분 먼저
에 관한 적분 먼저
≤ ≤
,
≤ ≤
,
≤ ≤
,
,
≤ ≤
일반적인 영역에 대한 이중적분 에 관한 적분 먼저
= ()
= ()
() ≤ ≤ ()
,
()
()
넓이
≤ ≤
,
= ,
()
()
에 관한 적분 먼저
일반적인 영역에 대한 이중적분 에 관한 적분 먼저
에 관한 적분 먼저
= ()
= ()
() ≤ ≤ ()
,
()
()
≤ ≤
,
= ,
()
()
넓이
직교좌표계에서 평면영역의 표시
-적분 먼저 -축에 평행
-적분 먼저 -축에 평행
-적분 먼저 -축에 평행
= () = ()
= (, ) ≤ ≤ , ≤ ≤
-적분 먼저 -축에 평행
= (, ) ≤ ≤ , () ≤ ≤ ()
= ()
= ()
Example
곡선 = , -축, 직선 = 2 로 둘러싸인 영역 Example
= (, ) 0 ≤ ≤ 2, 2 ≤ ≤ 3 를 다른 방법으로 표현하여라.Example
다음 이중적분의 값을 구하여라.
Example
영역 이 직선 = 와 포물선 = 으로 둘러싸인 부분일 때,에서의 , = + 의 이중적분을 계산하여라.
=
= 1
1
0 ≤ ≤ 1
≤ ≤
+
=
+
=
=
1
1
≤ ≤ 0 ≤ ≤ 1
+
=
+
3
= 4
3
−
− 1
3
= 3 35
Example
영역 이 세 직선 = 0, = , + = 2 로 둘러싸인 부분일 때, 이중적분 ∬ 2 의 값을 구하여라. =
+ = 2 1,1
2
≤ ≤ 2 − 0 ≤ ≤ 1
2 = 2
=
= 4 − 4
= 2 3
Example
영역 이 세 직선 = 0, = 1, 2 = 로 둘러싸인 부분일 때, 이중적분 ∬ 의 값을 구하여라.1
2
= 1
2 =
2 ≤ ≤ 1 0 ≤ ≤ 2
=
=
=
= 2
=
0 ≤ ≤ 2
0 ≤ ≤ 1
Example
다음 이중적분의 값을 구하여라 sin
Example
두 곡선 = 2, 4 = 과 = 4로 둘러싸인 일사분면에 있는 부분의 면적을 구하여라Example 이중적분을 이용하여 평면 + + = 6 의 아래,
포물주면 = 4 −
의 내부에 있는 제1팔분공간의 부분의 부피를 구하여라.
= 4 −
2
= 4 −
2
0 ≤ ≤ 4 − 0 ≤ ≤ 2
= 4 −
2
= 6 − −
부피 = ∫ ∫
= 6 − − 1 2
= 292 15
Example
= (, ) 0 ≤ ≤ ≤ 1 일 때, 다음 이중적분을 구하여라.∬ () 0 < < 1
=
= 1
피적분함수
() 는 = 일 때 정의 되지 않는다.
1
( − )
= lim
→ 1
( − )
= (, ) ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ −
1
( − )
= lim
→
1
( − )
= (, ) ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ −
= lim
→ 1
( − )
= lim
→ −1
1 − ( − )
= lim
→
−1
1 − −
= lim
→
−1
1 − 1 − − 1
2 − (1 − )
= 1
(1 − )(2 − )
Example
= (, ) 0 ≤ , 0 ≤ ≤ 1 에서 다음 이중적분을 구하여라. ()
= (, ) 0 ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ 1
= (, ) 0 ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ 1
()
= lim
→
= lim
→
= lim
→(1 − )(1 − )
= 1 − 1
