Planning Procedure of Naval Architecture Planning Procedure of Naval Architecture

[2008]

[2008] [06 [06- -1] 1]

Planning Procedure of Naval Architecture Planning Procedure of Naval Architecture

& Ocean Engineering

& Ocean Engineering

& Ocean Engineering

& Ocean Engineering

October, 2008 October, 2008 Prof.

Prof. Kyu Kyu- -Yeul Yeul Lee Lee

Department of Naval Architecture and Ocean Engineering Department of Naval Architecture and Ocean Engineering Department of Naval Architecture and Ocean Engineering, Department of Naval Architecture and Ocean Engineering,

Seoul National University of College of Engineering Seoul National University of College of Engineering

2008_Pressure Integration Technique (1)

2008_Pressure Integration Technique (1) _NAOE/SNU

1

Part 1. Stability & Trim [06

[06- -1] Pressure integration technique (1) 1] Pressure integration technique (1)

2008_Pressure Integration Technique (1)

2008_Pressure Integration Technique (1) _NAOE/SNU

2

유체

유체 중에 중에 잠긴 잠긴 물체가 물체가 받는 받는 힘과 힘과 모멘트 모멘트

유체 입자가 주위 유체 입자에 작용하는 정적인 압력

C P z

t + ∇ Φ + g + =

∂ Φ

∂ ρ

ρ

²

2 1

Bernoulli Eq.

P

_Static

= − ρ gz + C

atm

Static

gz P

P = − ρ +

P

atm

P

_atm

r

y z

O j k

C z t g

P − ∇ Φ − +

∂ Φ

− ∂

= ρ

²

ρ

2 1

정수¨ 유체의 속도= 0

P

Static

atm

Fluid

z P

P ( ) + gz z

P

_Fluid

( ) = − ρ S

B : 침수표면

유체 입자들이 유체 중에 잠긴 물체에 작용하는 정적인 힘과 모멘트

B

V

: 침수부피

유체 입자들이 유체 중에 잠긴 물체에 작용하는 정적인 힘과 모멘트

( )

∫∫ ⁻

=

SB

d gz S

F ρ ^{= −} ∫∫ ( )

SB

dS z

g n

ρ ^{= −} ∫∫

SB

zdS

ρ g n ⁼ ∫∫∫

V

dV ρ g

k F

[ ]

∫∫∫

Divergence Theorem

( )

∫∫ ^{× −}

=

SB

d gz S r

M ρ ^{= −} ∫∫ ^× ( )

SB

dS z

g r n

ρ ^{= −} ∫∫ ( ^× )

SB

zdS g r n

ρ ⁼ ∫∫∫ [ ⁻ ]

V

dV x y

g i j

M ρ

2008_Pressure Integration Technique (1)

2008_Pressure Integration Technique (1) _NAOE/SNU

3

선박의

선박의 자세와 자세와 힘 힘, , 모멘트와의 모멘트와의 관계 관계

-

- Pressure Integration Technique Pressure Integration Technique essu e essu e eg a o eg a o ec ec que que ^{1) 1)}

1) J.N.Newman, Marine Hydrodynamics, 1977, pp.290~295

선박이 유체 중에서 받는 정적인 힘과 모멘트

(Surge)

x

^축translation

z z′

∇

′

′

1) J.N.Newman, Marine Hydrodynamics, 1977, pp.290 295

)

4

T ( z g

_WP

′

−

≈ k ρ ξ 정 F

∫∫∫

=

V

dV ρ g

k

F ⁼ ∫∫∫ [ ⁻ ]

V

dV x y

g i j

M ρ

) , ,

(ξ₃ξ₄ ξ₅ (ξ₃,ξ₄,ξ₅)

(Roll)

x

^축rotation

x x′

y y′

ξ

1

z z′

P G

T

B

g I mg z g I

z V

g

_{4 0 0 4 4}

)

₄

( ρ ξ ρ ξ ξ j ρ ξ

i

M ≈ − ′ − + ′ +

) , ,

( ξ

₃

ξ

₄

ξ

₅

F

F = M = M ( ξ

₃

, ξ

₄

, ξ

₅

)

(Q) 침수부피(중심)가 변하는 자세는? ^ξ

⁴

y′ y

∇

x x′

(Q) ( ) Heel

대경사 경우 미소경사 경우

z z′

(Sway) (Heave)

z

y

^축translation

z

^축translation

z′

C

L

I i

∇

y y′

x x′

ξ

2

x x′

∇

y

y′ ξ

₃

)

5

L ( z g

_WP

′

≈ k ρ ξ F

)

(

_{5 0 0 5 5}

5

ρ ξ ρ ξ ξ

ξ

ρ g I

_P

+ − g V z ′

_B

− g I

_L

+ mg z

_G

′

≈ i j

M

Immersion

CL

y

^축rotation

z

^축rotation (Yaw)

y′

′ y

ξ z z′

∇

(Pitch)

) ( )

( L

T ′ ξ ′

ξ j

i M

)

3

A ( z g

_WP

′

−

≈ k ρ ξ F

2008_Pressure Integration Technique (1)

2008_Pressure Integration Technique (1)

Trim

_NAOE/SNU

z x′

z′

x ξ

6

x x′

∇

y y′

ξ

5

M ≈ − i ρ g ξ

₃

T

_WP

( z ′ ) + j ρ g ξ

₃

L

_WP

( z ′ )

4

복원력

복원력((모멘트 모멘트))의 의 선형화 선형화 (Taylor series expansion) (Taylor series expansion) (1) (1)

초기 자세 ( , , )에서

복원력 ( ), 횡 방향 복원 모멘트(

³

), 종 방향 복원 모멘트( )를 알고 있을 때,

ξ ξ

₄

ξ

₅

F M

_T

M

_L

복원력 ( ), 횡 방향 복원 멘 ( ), 종 방향 복원 멘 ( )를 알 있을 때 , 미소 변화된 자세 ( , , )에서의

복원력 ( ), 횡 방향 복원 모멘트( ), 종 방향 복원 모멘트( )는?

3

3

ξ

ξ + Δ ξ

₄

+ Δ ξ

₄

ξ

₅

+ Δ ξ

₅

F

_{T L}

F M

_T

M

_L

3 4 5

( , , ) F ξ ξ ξ

3 4 5

( , , ) M

T

ξ ξ ξ

( )

M ξ ξ ξ

3 3 4 4 5 5

( , , )

F ξ + Δ ξ ξ + Δ ξ ξ + Δ ξ

3 3 4 4 5 5

( , , )

M

T

ξ + Δ ξ ξ + Δ ξ ξ + Δ ξ

( )

M ξ + Δ ξ ξ + Δ ξ ξ + Δ ξ

?

3 4 5

( , , )

M

L

ξ ξ ξ M

_L

( ξ

₃

+ Δ ξ ξ

₃

,

₄

+ Δ ξ ξ

₄

,

₅

+ Δ ξ

₅

) Taylor series expansion

3 3 4 4 5 5 3 4 5 3 4 5

3 4 5

( , , ) ( , , ) F F F

F ξ ξ ξ ξ ξ ξ F ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

+ Δ + Δ + Δ = + Δ + Δ + Δ +

∂ ∂ ∂ "

M M M

∂ ∂ ∂

선형화

선형화

3 3 4 4 5 5 3 4 5 3 4 5

3 4 5

( , , ) ( , , )

^{T T T}

T T

M M M

M ξ ξ ξ ξ ξ ξ M ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

+ Δ + Δ + Δ = + Δ + Δ + Δ +

∂ ∂ ∂ "

3 3 4 4 5 5 3 4 5 3 4 5

( , , ) ( , , )

^{L L L}

L L

M M M

M ξ + Δ ξ ξ + Δ ξ ξ + Δ ξ = M ξ ξ ξ + ^∂ Δ + ξ ^∂ Δ + ξ ^∂ Δ +" ξ

선형화

선형화

2008_Pressure Integration Technique (1)

2008_Pressure Integration Technique (1) _NAOE/SNU

3 3 4 4 5 5 3 4 5 3 4 5

3 4 5

( , , ) ( , , )

L

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

L

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

5

복원력

복원력((모멘트 모멘트))의 의 선형화 선형화 (Taylor series expansion) (Taylor series expansion) (2) (2)

( ) ( ) F F F

F ξ + Δ ξ ξ + Δ ξ ξ + Δ ξ = F ξ ξ ξ + ^∂ Δ + ξ ^∂ Δ + ξ ^∂ Δ ξ 9 Taylor series 1차항까지 전개

3 3 4 4 5 5 3 4 5 3 4 5

3 4 5

( , , ) ( , , )

F ξ ξ ξ ξ ξ ξ F ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

+ Δ + Δ + Δ = + Δ + Δ + Δ

∂ ∂ ∂

3 3 4 4 5 5 3 4 5 3 4 5

3 4 5

( , , ) ( , , )

^{T T T}

T T

M M M

M ξ ξ ξ ξ ξ ξ M ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

+ Δ + Δ + Δ = + Δ + Δ + Δ

∂ ∂ ∂

3 3 4 4 5 5 3 4 5 3 4 5

3 4 5

( , , ) ( , , )

^{L L L}

L L

M M M

M ξ ξ ξ ξ ξ ξ M ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

+ Δ + Δ + Δ = + Δ + Δ + Δ

∂ ∂ ∂

( ) ( ) F F F

F ξ

₃

+ Δ ξ ξ

_{3 4}

+ Δ ξ ξ

_{4 5}

+ Δ ξ

₅

− F ξ ξ ξ

_{3 4 5}

= ^∂ Δ + ξ

₃

^∂ Δ + ξ

₄

^∂ Δ ξ

₅

3 4 5

( , , ) ( , , )

F ξ ξ ξ ξ ξ ξ F ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

+ Δ + Δ + Δ − = Δ + Δ + Δ

∂ ∂ ∂

3 3 4 4 5 5 3 4 5 3 4 5

3 4 5

( , , ) ( , , )

^{T T T}

T T

M M M

M ξ ξ ξ ξ ξ ξ M ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

+ Δ + Δ + Δ − = Δ + Δ + Δ

∂ ∂ ∂

3 3 4 4 5 5 3 4 5 3 4 5

3 4 5

( , , ) ( , , )

^{L L L}

L L

M M M

M ξ ξ ξ ξ ξ ξ M ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

+ Δ + Δ + Δ − = Δ + Δ + Δ

∂ ∂ ∂

F F F

F ^∂ ξ ^∂ ξ ^∂ ξ

Δ Δ

₃

Δ

₄

Δ

₅

3 4 5

F ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

Δ = Δ + Δ + Δ

∂ ∂ ∂

3 4 5

T T T

T

M M M

M ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

Δ = Δ + Δ + Δ

∂ ∂ ∂

2008_Pressure Integration Technique (1)

2008_Pressure Integration Technique (1) _NAOE/SNU

3 4 5

3 4 5

L L L

L

M M M

M ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

Δ = Δ + Δ + Δ

∂ ∂ ∂

3 4 5

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

6

복원력

복원력((모멘트 모멘트))의 의 선형화 선형화 (Taylor series expansion) (Taylor series expansion) (3) (3)

9 Taylor series 1차항까지 전개

F F F

∂ ∂ ∂ ⎛ ∂ F ∂ F ∂ F ⎞

⎜ ⎟

9 Matrix로 표현 b = Ax

3 4 5

3 4 5

F F F

F ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

Δ = Δ + Δ + Δ

∂ ∂ ∂

3 4 5

T T T

T

M M M

M ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

Δ = Δ + Δ + Δ

∂ ∂ ∂

3 4 5

3 4

T T T

T

F F F

F M M M

M

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞

⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟

⎜ ⎟

Δ Δ

⎛ ⎞ ⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎛ ⎞

⎜ Δ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ Δ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

변수3개, 식 3개

3 4 5

3 4 5

L L L

L

M M M

M ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

Δ = Δ + Δ + Δ

∂ ∂ ∂

3 4 5

3 4 5

T

∂ ξ ∂ ξ ∂ ξ

3 4 5

5

3 4 5

L

L L L

M M M M

ξ ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ

⎜ ⎟ ⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ Δ ⎟ ⎜ Δ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟

⎝ ⎠

F F F

⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞

⎜ ⎟ ⎛ ∂ F ∂ F ∂ F ⎞

⎜ ⎟

1. 자세의 변화량이 주어져 있을 때 , 힘 (모멘트) 의 변화량을 구하는 경우

2. 힘 (모멘트) 의 변화량이 주어져 있을 때 , 자세의 변화량을 구하는 경우

3 4 5

3 4

3 4 5

T T T

T

F M M M

M M

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

ξ

⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟

⎜ ⎟

Δ Δ

⎛ ⎞ ⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎛ ⎞

⎜ Δ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ Δ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ Δ ⎟ ⎜ Δ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 4 5

3 4

3 4 5

T T T

T

F M M M

M M

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

ξ

⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟

⎜ ⎟

Δ Δ

⎛ ⎞ ⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎛ ⎞

⎜ Δ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ Δ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ Δ ⎟ ⎜ Δ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Given Given

Find Given Given Find

3 4 5

5

3 4 5

L

L L L

M M M M

ξ ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ

⎜ ⎟

⎜ Δ ⎟ ⎜ Δ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟

⎝ ⎠

3 4 5

5

3 4 5

L

L L L

M M M M

ξ ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ

⎜ ⎟

⎜ Δ ⎟ ⎜ Δ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟

⎝ ⎠

Ax

b ^{를 풀면 됨} x A

⁻¹

x ^{를 풀면 됨}

2008_Pressure Integration Technique (1)

2008_Pressure Integration Technique (1) _NAOE/SNU

Ax

b = ^{를 풀면 됨} x = A x ^{를 풀면 됨}

A

※ 가 선형화되어 있기 때문에 반복 계산 (iteration) 을 해야 함

7

목표

목표 힘 힘 (F (F ^** ))에 에 대한 대한 선박의 선박의 자세 자세 계산 계산 (1 (1 변수 변수 예 예))

( ) 3

( ) ( ) ( ) ( ) *

3 3 3 3

3

( ) ( )

k

k k k B k

B B B

F F F F

ξ

ξ ξ ξ ξ

ξ

+ Δ = + ∂ ⋅ Δ =

∂

Taylor series 1차 항까지 전개

( )

3

F

B

ξ

( )

3 3^k

F

B

ξ

ξ

∂

∂

ξ3

* ( ) ( )

3 3

(

^k

)

^{B k}

B B

F F ξ F ξ

ξ

− = ∂ ⋅ Δ

∂

힘의 변화량과 자세의 변화량 관계

ξ3

( 1)

3 3^k

F

B

ξ

ξ +

∂

∂

( )

(

3^k

) F

B

ξ

( )

3 ξ3^k

ξ

∂

1

F

⎛ ∂ ⎞

−

자세의 변화량에 대해 표현

( 1)

(

3^k

) F

B

ξ

⁺

( )

( ) 3

( ) * ( )

3 3

3

( )

k

k B k

B B

F F F

ξ

ξ ξ

ξ

⎛ ∂ ⎞

⎜ ⎟

Δ = −

⎜ ∂ ⎟

⎝ ⎠

자세 변화

*

F

B ( 2)

(

3^k

)

F

B

ξ

^{+ 자세 변화}

^ξ

^3(k+1)

^{= ξ}

^{3( )k}

^{+ Δ ξ}

^{3( )k}

No

ξ

3 ( )

3

ξ

k ( 1) 3

ξ

k⁺

( ) 3

ξ

k

Δ

( 1) 3

ξ

k⁺

Δ

*

ξ

3

( 1) ( )

3 3

k k

ξ

⁺

− ξ < ε k k = + 1

* (k 1)

ξ = ξ

⁺

종료

No Yes

2008_Pressure Integration Technique (1)

2008_Pressure Integration Technique (1) _NAOE/SNU

( 2) 3

ξ

k^{+ 종료}

^ξ

³

^{= ξ}

^{3( )}

8

목표

목표 힘 힘 (F (F ^** ,M ,M _{T T} ^** ,M ,M _LL ^** ))에 에 대한 대한 선박의 선박의 자세 자세 계산 계산

* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 4 5 3 4 5

(

^k

,

^k

,

^k

)

^{B k B k B k}

B B

F F F

F F ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

− = ⋅ Δ + ⋅ Δ + ⋅ Δ

∂ ∂ ∂

힘의 변화량과 자세의 변화량 관계

( )

( ) ( )

4 5

3 ξ3^k 4 ξ ^k 5 ξ ^k

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )

4 5

3

* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 4 5 3 4 5

3 4 5

( , , )

k

k k

k k k T k T k T k

T T

M M M

M M

ξ

ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

− = ⋅ Δ + ⋅ Δ + ⋅Δ

∂ ∂ ∂

( )

( ) ( )

4 5

3

* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 4 5 3 4 5

3 4 5

( , , )

k

k k

k k k L k L k L k

L L

M M M

M M

ξ

ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

− = ⋅Δ + ⋅ Δ + ⋅Δ

∂ ∂ ∂

( ) ( )

( )

4 4

3

1

3 4 4

( ) * ( ) ( ) ( )

( )

k k

k

B B B

k k k k

F F F

F F

ξ ξ

ξ

ξ

ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

⎡ ∂ ∂ ∂ ⎤

−

⎢ ⎥

∂ ∂ ∂

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎡ Δ ⎤ ⎡ ⎤

자세의 변화량에 대해 표현

자세 변화

(k 1) ( )k

3

( ) ( )

( )

4 4

3

( ) * ( ) ( ) ( )

3 3 4 5

( ) * ( ) ( ) (

4 3 4 5

3 4 4

( ) 5

( , , ) ( , ,

k k

k

k k k k

B B

k T T T k k k

T T

k

L L L

F F

M M M

M M

M M M

ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ

⎢ ⎥

⎡ Δ ⎤ −

⎢ ∂ ∂ ∂ ⎥

⎢ Δ ⎥ = ⎢ ⎥ −

⎢ ⎥ ⎢ ∂ ∂ ∂ ⎥

⎢ Δ ⎥

⎣ ⎦ ⎢ ⎢ ∂ ∂ ∂ ⎥ ⎥

)

* ( ) ( ) ( )

3 4 5

) (

^k

,

^k

,

^k

)

L L

M M ξ ξ ξ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

( 1) ( ) ( )

3 3 3

k k k

ξ

⁺

= ξ + Δ ξ

( 1) ( )

No

3 3

k k

ξ

⁺

− ξ < ε k k = + 1

( ) ( ) ( )

3 3 3

3 ^k 3 ^k 3 ^k

L L L

M M M

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

⎢ ⎥

⎢ ∂ ∂ ∂ ⎥

⎣ ⎦

* ( 1)

3 3

ξ = ξ

k⁺

종료

Yes

2008_Pressure Integration Technique (1)

2008_Pressure Integration Technique (1) _NAOE/SNU

3 3

ξ ξ

9

미소

미소 자세와 자세와 미소 미소 힘 힘, , 모멘트와의 모멘트와의 관계식 관계식 ^{1) 1)}

1) Söding, H., “Naval Architecture Calculation”, WEGEMT, E2 Computer Aided Ship Design, pp.74-95, 1978

F F F

⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞

⎜ ⎟

( ) ( ) ( )

3 3 5 3

3 4

3

4

k k k

T T T

T

F F F

F M M M

M

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

⎜ ⎟

∂

∂ ∂

⎜ ⎟

⎜ ⎟

Δ Δ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟

⎜ Δ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ Δ ⎟

⎜ ⎟ ∂

( )

∂

( )

∂

( )

⎜ ⎟

4

4 4

( ) ( ) ( )

5

5 5

4

3 4 5

5

3 4 5

k

k k

k

k k

T

L

L L L

M

M M M

ξ ξ ξ

ξ

ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟

⎜ Δ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Δ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∂ ∂ ∂

⎜ ⎟

⎜ ∂ ∂ ∂ ⎟

⎝ ⎠ Jacobian matrix

(자세 변화량을 힘과 모멘트의 변화량으로 변환)

5

5 ξ 5

ξ ξ

⎝ ⎠

( ) ( ) ( )

3 3 3 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

k k k

WP WP WP

k k k k k k

gA gT gL

gT gI gV z mg z gI

ρ ξ ρ ξ ρ ξ ξ

ρ ξ ρ ξ ρ ξ ρ ξ ξ

⎛ − − ⎞ ⎛ Δ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= ⎜ + ⋅ ⎟ ⎜ ⋅ Δ ⎟

(자세 변화량을 힘과 모멘트의 변화량으로 변환)

4 4 4 4 4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 5 5 5 5

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

WP T B G P

k k k k k k

WP P L B G

gT gI gV z mg z gI

gL gI gI gV z mg z

ρ ξ ρ ξ ρ ξ ρ ξ ξ

ρ ξ ρ ξ ρ ξ ρ ξ ξ

= − ⎜ − − + ⋅ ⎟ ⎜ ⋅ Δ ⎟

⎜ ⎟

⎜ − − + ⋅ ⎟ ⎝ Δ ⎠

⎝ ⎠

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2008_Pressure Integration Technique (1) _NAOE/SNU

10

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압력 압력

※ 압력(Pressure) : 단위 면적에수직으로 작용하는 힘 즉, 힘을 구하기 위해서는 압력에 면적과

그 작용면의 법선 벡터(Normal Vector)를 곱해야 함

gz P

P

_Static

=

_atm

− ρ gz P

_Fluid

= − ρ

9 아래 물체에 작용하는 수직방향의 정적인 힘은?

: 물체 윗면의 미소 면적에 작용하는 힘

dS P

dF

_Top

=

_Top

⋅ n

₁

⎟⎟ ⎞

⎜⎜ ⎛ P

_Top

= P

_atm

− ρ g ⋅ 0

z

y P

Top

n

1: Normal vector

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎝ n

₁

= k −

h y

Bottom

P

dS

^{: Area}

dS P

dF = ⋅ n ^⎟⎟ _⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

−

= k n

gh P

P

_{Bottom atm}

ρ dS

P

dF

_Bottom

=

_Bottom

⋅ n

₂

: 물체 아랫면의 미소 면적에 작용하는 힘

⎠

⎝ n

₂

= k

dF dF

dF =

_Top

+

_Bottom 9 Bernoulli Equation :

( ^{where P}

_{S i}

^{= P + P}

_{Fl id}

)

) (

) (

2 1

dS gh P

dS P

dS P

dS P

atm atm

Bottom Top

Bottom Top

− +

−

=

⋅ +

⋅

=

ρ k k

n n

P

atm

ρgz t + P + ∇ Φ + =

∂ Φ

∂

²

2 1 ρ ρ

q

( ^{where P}

_Static

^P

_atm

^{+ P}

_Fluid

)

( ^{P + P} ) ^{+ ∇ Φ + ρgz = P}

Φ +

∂ 1 ρ

²

ρ

NAOE/SNU

2008_Pressure Integration Technique (1) 2008_Pressure Integration Technique (1)

) ( gh dS dS

gh = − ⋅

−

= ρ k k ρ

: 대기압에 의한 힘이 서로 상쇄됨

( ^P

_atm

^P

_Fluid

) ^{ρgz P}

_atm

t + + + ∇ Φ + =

∂ 2 ρ

ρ

2 0

1 ∇ Φ

²

+ = +

∂ + Φ

∂ P ρgz

t

^Fluid

ρ

ρ

¹²

선박에

선박에 작용하는 작용하는 정적인 정적인 힘과 힘과 모멘트 모멘트 ^P

^Fluid

^{= − ρ gz}

좌현으로 기울어진 상태 (횡 경사)

(선박을 선수에서 선미 방향으로 바라봄)

ƒ Hydrostatic force

: 침수표면에 작용하는 모든 정적인 힘을 적분하여 구함

′

(

S

tt d f )

dS gz

dS P

d P

d F =

_Fluid

⋅ S =

_Fluid

⋅ n = − ρ ⋅ n

9 미소 면적에 작용하는 힘 :

ξ z z′

y

( : wetted surface)

S

_B

∫∫

−

= g n zdS

F ρ

∫∫

= P

_Fluid

n dS F

9 Total force :

r d S

ξ

4

y′

O O′

S

B

ƒ Hydrostatic Moment : (모멘트)=(거리) X (힘)

SB

SB

9 미소 면적에 작용하는 모멘트

d S

9 미소 면적에 작용하는 모멘트 :

( ) ^{P dS}

dS P

d

d M = r × F = r ×

_Fluid

n = r × n

_Fluid

dS P

d P

d F =

(미소 면적에 작용하는 힘)_Fluid

S =

_Fluid

n dS ρ gzn

−

=

( )

∫∫ ^×

−

=

SB

zdS g r n

M ρ

( )

∫∫ ^×

=

SB

Fluid

dS

P r n M

9 Total moment :

r F

r

M d

d = ×

^{(미소 면적)}

(미소면적에 작용하는 모멘트)

NAOE/SNU

2008_Pressure Integration Technique (1) 2008_Pressure Integration Technique (1)

SB

SB

r

왜 r이 먼저 오는가? (좌표축에서 양의 방향을 고려함)

작용하는 모멘트)

13

Hydrostatic

Hydrostatic Force Force

1) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 9^th,Wiley,Ch10.7(pp.458~463) 2) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 9^th,Wiley,Ch9.9(pp.414~417)

9 Hydrostatic force (Surface force)

∫∫

−

= g n zdS

F ρ

( : wetted surface)

S

_B

^{z z′}

∫∫

SB

dS ρ g

⎞

⎛

Divergence theorem

¹⁾

사용하면, ^ξ

⁴

y′

y O′ O

S

B

∫∫∫ ^{⎜ ⎛ ∂ z ∂ z ∂ z ⎟ ⎞}

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ∫∫∫ ∇ = ∫∫ ⋅

V S

dA f

fdV n

∫∫∫ ^∇

2)

=

V

zdV ρ g

F ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ =

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∇ i j k k

z z y

z x

z z

∫∫∫

= k ρ g dV

2)

∫∫∫

=

∴ F k ρ g dV

: 유체에 잠긴 물체가 배제한(displaced) 유체의 무게만큼의 위쪽 방향으로 받는 힘(부력)

∫∫∫

V

) gV (t ρ

= k ^{∴ =} ∫∫∫

V

dV ρ g

k F

: 유체에 잠긴 물체가 배제한(displaced) 유체의 무게만큼의 위쪽 방향으로 받는 힘(부력) (Archimedes’ Principle)

※ (-)부호가 사라진 이유

: Divergence theorem은 면의 외향 단위 벡터를 기준으로 한다

NAOE/SNU

2008_Pressure Integration Technique (1) 2008_Pressure Integration Technique (1)

: Divergence theorem은 면의 외향 단위 벡터를 기준으로 한다.

부력 계산시 사용하는 Normal vector는 내향 단위 벡터이므로,

(−)를 곱한 뒤, Divergence theorem을 적용해야 한다.

¹⁴

Hydrostatic Moment Hydrostatic Moment

1) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 9^th,Wiley,Ch10.7(pp.458~463) 2) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 9^th,Wiley,Ch9.9(pp.414~417)

9 Hydrostatic moment

( )

∫∫ ^×

−

= g r n zdS

M ρ

( : wetted surface)

S

_B

^{z z′}

( )

∫∫ ^×

= ρ g n r zdS

( )

∫∫ ^×

=

SB

zdS g r n

M ρ

Divergence theorem

¹⁾

사용하면 ,

⎞

⎛

ξ

4

y′

y O′ O

S

B

( )

∫∫ ^×

SB

zdS g n r

ρ

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛ ∫∫∫ ∇ × = ∫∫ ×

V S

dA dV n F F

( )

∫∫∫ ^{∇ ×}

−

=

V

zdV

g r

M ρ

Normal Vector의 방향이 반대이므로

⎟ ⎟

⎞

⎜ ⎜

⎛

⎟⎟ +

⎜⎜ ⎞

⎛ ∂ ∂

⎟ +

⎜ ⎞

⎛ ∂ ∂

⎟⎟ +

⎜⎜ ⎞

⎛ ∂ ∂

∂

∂

× ∂

∇ i j k i j

k j

i

r

^{2 2}

2)

(-)부호를 붙여줌

⎟ ⎟

⎟

⎜ ⎠

⎜ ⎜

⎝

+

−

⎟⎟ =

⎜⎜ ⎠

⎝ − ∂

+ ∂

⎟ ⎠

⎜ ⎝ − ∂ + ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎝ − ∂

= ∂

∂

∂

= ∂

×

∇ xz y x

yz y z x

xz x yz z

z z y z

yz xz

z y

z x i j k i j

r

^{2 2}

2

NAOE/SNU

2008_Pressure Integration Technique (1) 2008_Pressure Integration Technique (1)

[ ]

∫∫∫ ^{− +}

−

=

∴

V

dV x

y

g i j

M ρ ^{§ 의미 ?}

₁₅

Hydrostatic Moment (

Hydrostatic Moment (횡 횡 경사 경사))

[ ] ∫∫∫ [ ]

∫∫∫ ^{− + = −}

−

= g i y j x dV g i y j x dV

M ρ ρ

9 Hydrostatic moment

부력

부력에 의한 횡 방향 모멘트

부력에 의한 종 방향 모멘트

[ ] ∫∫∫ [ ]

∫∫∫

V V

y g

y

g j ρ j

ρ

∫∫∫

∫∫∫ ⁻

=

V V

xdV g

ydV

g i ρ j

ρ ₌ i ρ _{gV ⋅ y}

_B

₋ j ρ _{gV ⋅ x}

_B

부력

BL

BT

M

M j

i +

=

( ^M

_BL

= − ρ ^gV ⋅ ^x

_B

)

z z′

z′ z

부력의 횡 방향 중심 부력의종 방향 중심

< 우현으로 기울었을 경우(+방향) > < 좌현으로 기울었을 경우(-방향) >

( ^M

_BL

^{ρ gV x}

_B

)

∇ ξ

z z

좌현 우현

ξ y′

z

∇

z

우현

좌현

y y′

∇

V

x _x′

B

ξ

4

x x′ y B ξ

4

∇

B

2

B

2

y

B

y

_B

C

L V

C

L

NAOE/SNU

2008_Pressure Integration Technique (1) 2008_Pressure Integration Technique (1)

< 0

M

BT

M

_BT

> 0

y

_B<0

이므로, 음의 모멘트 y

_B

>0 이므로, 양의 모멘트

¹⁶

선박

선박 안정론 안정론 ^{1) 1)} ((선박계산법 선박계산법))의 의 횡방향 횡방향 부력 부력 모멘트 모멘트

부심 이동에 따른 복원 아암 KN

1) 이규열, 노명일, 안재윤, 선박안정론, 5^th, pp.96~97

B

₂

II

K′ M III

2

δ z

_B

φ N

I

II φ

y′

G

Z

B ^{δ y}

^B

B

₂

φ

B

y

K B

K

N

δ y_B δ z_B

I

III II

I + +

= ) ( φ KN

K ^I

φ δ

φ δ

φ cos sin

sin + y

_B

+ z

_B

= KB

NAOE/SNU

2008_Pressure Integration Technique (1) 2008_Pressure Integration Technique (1)

φ sin

= KG

φ φ

φ y

_{B B}

+ GZ

₁₇

Hydrostatic Moment (

Hydrostatic Moment (횡 횡 경사 경사))

[ ] ∫∫∫ [ ]

∫∫∫ ^{− + = −}

−

= g i y j x dV g i y j x dV

M ρ ρ

9 Hydrostatic moment

부력

부력에 의한 횡 방향 모멘트

부력에 의한 종 방향 모멘트

[ ] ∫∫∫ [ ]

∫∫∫

V V

y g

y

g j ρ j

ρ

∫∫∫

∫∫∫ ⁻

=

V V

xdV g

ydV

g i ρ j

ρ ₌ i ρ _{gV ⋅ y}

_B

₋ j ρ _{gV ⋅ x}

_B

부력

BL

BT

M

M j

i +

=

( ^M

_BL

= − ρ ^gV ⋅ ^x

_B

)

부력의 횡 방향 중심 부력의종 방향 중심

< 좌현으로 기울었을 경우(-방향) >

z z′

< 선박 안정론 >

KN = KG sin φ + GZ

(Q) 다른 것인가?

z z′

( ^M

_BL

^{ρ gV x}

_B

)

∇ ξ

z z

좌현 우현

(Q) 다른 것인가

(A) 중력에 의한 모멘트를 고려해 보면,모두 GZ가 횡 복원 모멘트 암이 된다.

∇ ξ

z z

좌현 우현

Z G

G Z

y y′

∇

V

x _x′

B

ξ

4

B

2

y

B

즉 , 선박이 받는 횡 복원 모멘트는 동일하다.

y y′

∇

V

x x′

B

ξ

4

B

2

δ y δ ^z

^B

C

L

수선면 고정 좌표계의 KN : 배 밑면의 중심 K를 통과하는

C

L

K

^N

y

B

δ

NAOE/SNU

2008_Pressure Integration Technique (1) 2008_Pressure Integration Technique (1)

수선면 고정 좌표계의 x축을 기준으로한 부력의 횡 방향 모멘트 암

B

:

y ^{배 밑면의 중심 K를 통과하는}

축을 기준으로한 부력의 횡 방향 모멘트 암

KN :

18

Hydrostatic Moment (

Hydrostatic Moment (종 종 경사 경사))

[ ] ∫∫∫ [ ]

∫∫∫ ^{− + = −}

−

= g i y j x dV g i y j x dV

M ρ ρ

9 Hydrostatic moment

부력

부력에 의한 횡 방향 모멘트

부력에 의한 종 방향 모멘트

[ ] ∫∫∫ [ ]

∫∫∫

V V

y g

y

g j ρ j

ρ

∫∫∫

∫∫∫ ⁻

=

V V

xdV g

ydV

g i ρ j

ρ ₌ i ρ _{gV ⋅ y}

_B

₋ j ρ _{gV ⋅ x}

_B

부력

BL

BT

M

M j

i +

=

( ^M

_BL

= − ρ ^gV ⋅ ^x

_B

)

부력의 횡 방향 중심 부력의종 방향 중심

z z '

선미

< 선수쪽으로 기울었을 경우(+방향) >

( ^M

_BL

^{ρ gV x}

_B

)

V

x y ' y

∇

x '

B

2

ξ

5 ^선수 선미

x

< 0 M

BL

x

_B

>0 이므로, 음의 모멘트

V x

_B

B B

²

' z

^선수

< 선미쪽으로 기울었을 경우(-방향) >

V

z

x

y ' y

∇

x '

z '

B

ξ

5

선수

선미

M

_BL

> 0

x

_B

<0 이므로, 양의 모멘트

NAOE/SNU

2008_Pressure Integration Technique (1) 2008_Pressure Integration Technique (1)

V B B

2

x

B

19

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을

을 이용한 이용한 -

- Pressure Integration Technique Pressure Integration Technique을 을 이용한 이용한 부력

부력, , 횡 횡 방향 방향 모멘트 모멘트, , 종 종 방향 방향 모멘트 모멘트 계산 계산

J.N.Newman, Marine Hydrodynamics, 1977,

J.N.Newman, Marine Hydrodynamics, 1977,

pp.290~295

Immersion

Immersion에 에 의한 의한 좌표계 좌표계 변환 변환

z z z '

z '

∇

x

( )

(

3^k

) V ξ

y

^∇

y

( )

(

3^k

) V ξ

x

( )

3

ξ

k

y '

x ' x ' y '

( )

3

ξ

k

L

C

y ' y

L

C

x

z ' x '

z

NAOE/SNU

2008_Pressure Integration Technique (1) 2008_Pressure Integration Technique (1)

21