4. 적분

- Contents - 일변수함수이론

1. 실수계와 수열의 극한

1.2. 실수열 1.2.1. 수열극한의 정의

1.2.2. 수열의 수렴성 1.2.3. 상극한과 하극한

2. 함수의 극한과 연속

2.1. 함수의 극한 2.2. 연속성 2.3. 평등연속성

3. 미분

3.1. 미분가능성

3.2. 평균치정리와 함수의 증감 3.3. 함수의 볼록성

3.4. 역함수와 미분

4. 적분

4.1. 리만적분과 미적분학의 기본정리 4.2. 부정적분과 정적분의 계산

4.2.1. 부정적분의 정의와 주요공식 4.2.2. 치환적분

4.2.3. 삼각함수의 적분 4.2.4. 무리함수의 적분 4.2.5. 부분적분

4.2.6. 유리함수의 적분

4.2.7. 특수한 형태의 정적분의 계산 4.2.8. 정적분의 응용

4.3. 특이정적분

4.4. 극좌표와 매개곡선

4.5. 리만스틸체스적분과 유계변동함수

5. 무한급수와 함수열

5.1. 절대수렴과 조건수렴 5.2. 급수의 수렴판정법 5.3. 함수열과 평등수렴 5.4. 테일러급수와 멱급수

Ⅰ. 기출문제

1996년시행모의시험기출(평균치 정리)

(1) x > 0일 때 log (x + 1) < 1x + log x임을 평균값의 정리를 이용하여 증명하시오. 단, log 는 자연로그임. (3점)

(2) a > b > 0일 때

(

)

(

)

1997년시행기출(무한 급수의 수렴성 ; 적분 판정법) 다음 무한급수의 수렴, 발산을 판정하라.

∑

∞ n = 1

e^{- n} n

1998년시행기출(함수열의 극한 ; 와이어스트라스 다항식근사정리) 함수 f :[ a, b] → ℝ가 정의역 [ a, b]에서 연속이고, 조건

⌠

⌡

1

0 f(x)xⁿdx = 0 ( n = 0, 1, 2, … ) 을 만족할 때, f는 상수함수임을 증명하시오.

1998년추가임용기출(특이적분의 수렴성 ; 비교판정법) 특이적분 ⌠⌡

∞ 1

dx

1 + 2 sin²x + x² 이 수렴하는지 또는 발산하는지를 판정하시오.(5점)

1999년시행기출(연속성과 수열의 극한 ; 조임정리)

연속함수 f :[ a,b] → ℝ(ℝ:실수집합)에 대하여 L - 1

n < f(x_n) < L + 1

n² ( n =1, 2, … ) 을 만족하는 수열 {x_n}이 있다. 이때 lim

n→∞x_n= c라고 하면 f(c) = L임 을 보이시오.(5점)

2000년시행기출(연속성)

평면 R ²상의 두 점 x = ( x ₁, x ₂)와 y = ( y ₁, y ₂) 사이의 거리 (metric)를 d ( x, y) = |x1- y₁| + |x₂- y₂|으로 정의할 때, 행렬

A =ꀌ ꀘ

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

ꀍ

ꀙ

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳ 3

4 - 1

4 1

4

3 4

에 의하여 표현되는 변환 f : R² → R²가 거리공간

R ²에서 연속함수임을 보여라.(5점)

2001년 시행기출(함수열의 평등수렴성)

자연수 n에 대하여 f_n : [ 0, 1] → ℝ을 f_n(x) = n( 1 - x) xⁿ 으로 정의할 때, 다음 물음에 답하여라. (총 5점)

(1) 함수열 {f_n}이 점별수렴(pointwise convergence)하는 함수 f를 구하시 오.(3점)

(2) 함수열 {f_n}이 f로 평등수렴(uniform convergence)하는지를 판별하시 오.(2점)

2001년 시행기출(리만적분의 정의)

함수 f : [ 0 , 1] → ℝ가 연속일 때, 리만적분의 정의를 이용하여극한 limn→∞

1 n ∑ⁿ

k = 1f

(

)

2002년 시행기출(테일러급수, 해석함수) 실수의 집합 R 에서 정의된 함수

김 현 웅 전공수학

http://cafe.daum.net/hwmath

2006학년도 중등교원임용시험대비 문제풀이반

핵심내용정리(일변수이론) 구평회 임용고시학원 예비교사닷컴

구평회임용고시학원․서울(노량진) 02-812-5700․대구(동성로) 053-426-0078․부산(서면) 051-808-0565

f( x) =

{

- 1 x²

, x /= 0 0 , x = 0 에 대하여 다음 물음에 답하시오. (총 5점)

(1)모든 n^{에 대하여} n ^계도함수 f^{( n)}(x)가 존재함을 보이고, 함수 f ^의 x = 0에서의 테일러급수를 구하시오. (3점)

(2) (1)의 결과를 이용하여 실함수(function of a real variable)와 복소함수 (function of a complex variable)의 미분가능성이 갖는 특징의 차이를 서 술하시오. (2점)

2002년 시행기출(함수열의 평등수렴, 리만적분가능성)

함수항급수 ∑^∞

n = 0

1

2ⁿ cos (3ⁿx) 대하여 다음 물음에 답하시오. (총 5점) (1) ∑^∞

n = 0

1

2ⁿ cos (3ⁿx)가 실수의 집합 ℝ에서 평등수렴(uniform convertgence)함을 보이시오. (2점)

(2) f( x) = ∑^∞

n = 0

1

2ⁿ cos (3ⁿx) 라 할 때 f 의 리만적분 가능성을 판별하고

⌠⌡

2π

0 f(x)dx 를 구하시오. (3점)

2003년 시행기출(단조수렴정리)

아래와 같이 정의된 수열 {xn}은 유계인 증가수열임을 보이고 lim

n → ∞x_n의 값 을 구하시오.

(단 x_n은 실수이고 x^k_n= ( x_n)^k이다.) [총 4점]

{

2003년 시행기출(연속성, 리만적분가능성)

폐구간 [ 0, 2] 에서 정의된 함수 f 가 아래와 같을 때, 다음 물음에 답하 시오. [총 6점]

f ( x) =

{

2004년 시행기출

무한급수 ∑

∞ n = 1

n!

( n + 1)ⁿ 의 수렴․발산을 판정하시오. [4점]

2004년 시행기출

실수 집합 R 에서 정의된 함수 f : R → R 을 다음과 같이 정의하자.

f ( x) =

{

1 ( x 가 무리수)

x = 0 에서 f 가 미분가능(differentiable)한지 판정하시오. [4점]

2004년 시행기출

유리수 집합 Q 가 실수 집합 R 에서 조밀(dense)함을 증명하시오.

즉, x 와 y 가 실수이고 x < y 이면, x < r < y 를 만족 시키는 유리수 r 이 존재함을 보이시오. [5점]

Ⅱ.내용정리

※괄호안에 적당한 말을 연필로 쓰고 아래의 해답을 확인하세요.

1. 실수계와 수열의 극한

1.1. 실수계(Real number system)의 구성

공 리 1 (체공리(Field axioms)) +, ⋅: ℝ ×ℝ → ℝ s.t. ∀a, b, c ∈ℝ

(ⅰ) a + ( b + c) = ( a + b) + c ( +에 대한 결합법칙) a․ ( b․c) = ( a․b)․c (․에 대한 결합법칙) (ⅱ) a․( b + c) = a․b + a․c (분배법칙)

(ⅲ) ∃1 0 ∈ ℝ s.t. ∀a ∈ℝ, 0 + a = a ( +에 대한 항등원)

∃₁ 1∈ ℝ s.t. 1․a = a ( ∀a∈ℝ), 1 /= 0 (․에 대한 항등원) (ⅳ) ∀x∈ℝ, ∃1 - x∈ ℝ s.t. x + ( - x) = 0 ( +에 대한 역원 ) (ⅴ) ∀x∈ℝ＼ {0 }, ∃₁ x^{- 1}∈ ℝ s.t. x․( x^{- 1}) = 1

( ․에 대한 역원)

NOTE

x : = y혹은 y = : x는 y를 x로 정의함을 뜻한다.

정 리 1

ℚ_⊂ℝ

공 리 2 (순서공리(Order axioms)) ( a , b) ∈ < ⇔ a < b라 정의할 때

ℝ상의 순서 < ⊂ ℝ×ℝ는 다음을 만족한다.

∀a, b, c ∈ ℝ

(ⅰ) a < b, b < a, a = b 중 꼭 하나를 만족(3분법 성질) (ⅱ) a < b, b < c ⇒(¹⁾ ) (추이성)

(ⅲ) a < b ⇒ a + c < b + c (가합성) (ⅳ) a < b ⇒

{

ac > bc, c < 0

정 리 2

x, y ∈ ℝ에 대하여

(1)∀ε > 0, x < y +ε ⇔( ²⁾ ) _{∀ε > 0}, x > y -ε ⇔ (³⁾ ) _{∀ε > 0} ,|x | < ε ⇔(⁴⁾ ) (2)|x + y | ≤ |x | + |y |, | |x | -|y | | ≤ |x - y |

공 리 3 (정렬성의 원리(Well-ordering principle)) φ /= E ⊂ ℕ ⇒ E는 (⁵⁾ )를 가진다.

1) a < c 2) x ≤ y 3) x ≥ y 4) x = 0 5) 최소원소

정 리 3 (수학적 귀납법(Mathematical induction)의 원리) A( n) : n에 관한 명제( ∀n ∈ℕ)에 대하여,

(⁶⁾ ),

(⁷⁾ )

⇒(⁸⁾ )

정 의 1

φ /= E ⊂ℝ에 대하여

(1)(ⅰ) E : 위로 유계(bounded above)

⇔ ∃M ∈ ℝ s.t. ( x ≤ M, ∀x∈E)

⇔ M : E의 상계(upper bound) (ⅱ) E가 위로 유계일 때

s( ≡ sup ( E)) : E의 최소상계(Least upper bound) (혹은 상한(Supremum))

⇔(ⅰ) ∀x ∈ E, (⁹⁾ )( ⇔ s : E의 상계(Upper bound)) (ⅱ) ∀ε > 0, ∃a ∈ E s.t.(¹⁰⁾ ) 또한 E가 위로 유계가 아니면 sup ( E) = ∞이라 한다.

(2)(ⅰ) E : 아래로 유계(bounded below)

⇔ ∃m ∈ ℝ s.t. ( m ≤ x, ∀x∈E)

⇔ m : E의 하계(lower bound) (ⅱ) E가 아래로 유계일 때

t( ≡ inf ( E)) : E의 최대하계(Greatest lower bound) (혹은 하한(Infimum))

⇔(ⅰ) ∀x ∈ E, (¹¹⁾ ) ( ⇔ t : E의 하계(Lower bound)) (ⅱ) ∀ε > 0, ∃a ∈ E s.t.(¹²⁾ ) 또한 E가 아래로 유계가 아니면 inf ( E) =- ∞이라 한다.

정 리 4

φ /= E ⊂ ℝ일 때

(1) E : 위로 유계 ⇒ - E : 아래로 유계, sup E =- inf ( - E) E : 아래로 유계 ⇒ - E : 위로 유계, inf E =- sup ( - E) (2) φ /= A ⊂ B ⊂ℝ ⇒ sup A (¹³⁾ ) sup B,

inf A(¹⁴⁾ ) inf B (단조성)

공 리 4 (완비성공리(Completeness axiom))

φ /= E ⊂ ℝ, E :위로 유계 ⇒(¹⁵⁾ )

NOTE

(1) φ /= E ⊂ℝ, E : 아래로 유계 ⇒ ∃ inf ( E) ∈ℝ

(2) E ≡ {1, 1.4, 1.41, 1.414, … }라 두면 E ⊂ ℚ ⊂ ℝ이고

∀x ∈ E, x ≤ 2이므로 E는 위로유계 6) A( 1) : 참

7) A( n) : 참이면 A( n + 1) : 참이다.

8) ∀n ∈ℕ, A( n) : 참 9) x ≤ s

10) s - ε < a ≤ s) 11) t ≤ x

12) ( t ≤) a < t +ε 13) ≤

14) ≥

15) ∃ sup ( E ) ∈ℝ

⇒완비공리에 의해 2 = sup ( E) ∈ℝ

같은 방법으로 모든 비순환 무한소수( =무리수)가 ℝ에 속함을 보일 수 있다.

정 리 5

(1) 아르키메데스(Archimedes)의 원리

a ∈ ℝ ⇒(¹⁶⁾ ) (즉 ℕ : 위로 유계가 아니다.) (따라서 ∀ε > 0, ∃n ∈ ℕ s.t. 1n < ε)

(2) 유리수의 조밀성(density)

a, b∈ℝ, a < b ⇒ ∃q ∈ℚ s.t.(¹⁷⁾ )

1.2. 실수열(Real sequences)

1.1.1. 수열극한의 정의 정 의 2

{x_n} : ℝ상의 수열

n→∞limx_n= x (혹은 x_n → x)

⇔∀ε > 0, ∃N∈ℕ s.t. (¹⁸⁾ )

⇔∀ε > 0, (¹⁹⁾ )항을 제외한 xn에 대하여 |xn- x | < ε

⇔∀ε > 0, (²⁰⁾ )항을 제외한 x_n에 대하여 x_n∈ ( x - ε, x + ε)

NOTE

수열의 수렴정의는 임의의 거리공간 ( X, d)로 확장할 수 있고 정의는 다음과 같다.

n→∞limx_n= x ⇔ ∀ε > 0, ∃N ∈ℕ s.t. (²¹⁾ )

정 리 6 (수렴수열의 성질)

(1)수렴하는 실수열의 극한값은 유일하다.

(2)수렴하는 실수열은 유계이다.

NOTE

일반적으로 (2)의 역은 성립하지 않는다. 반례: (-1)ⁿ 또한, 대우명제에서 비유계수열은 발산한다.

정 의 3

ℝ의 수열 {x_n}_n∈ℕ에 대하여

(1) {xn} : (단조)증가(Monotone increasing) (혹은 단조감소(Monotone decreasing)) ⇔(²²⁾ ) 혹은(²³⁾ ) (2) {xn} : (순)증가(Strictly increasing)

(혹은 순감소(Strictly decreasing)) ⇔(²⁴⁾ ) 혹은(²⁵⁾ )

16) ∃n ∈ℕ s.t. a < n 17) a < q < b

18) n ≥ N → |xn- x | < ε 19) 유한

20) 유한

21) n ≥ N → d( x_n, x ) < ε 22) x ≤ x2≤ …

23) x1≥ x₂≥ …

정 리 7 (극한 계산에 도움되는 정리) (1)수열의 조임정리(Squeeze theorem)

x_n≤w_n≤y_n( ∀n ∈ ℕ), lim

n→∞ x_n= lim

n→∞y_n(≡x) ⇒ ∃ lim

n→∞w_n = x (2)수열의 비교극한 정리(Comparison theorem)

{x_n}, {y_n} : 수렴수열, x_n≤y_n ( ∀n ∈ℕ) ⇒ lim

n→∞x_n≤ lim

n→∞y_n (3)단조수렴정리(Monotone convergence theorem)

{x_n} : 단조증가, (²⁶⁾ ) ⇒ ∃ lim

n→∞x_n=(²⁷⁾ ) {x_n} : 단조감소, (²⁸⁾ ) ⇒ ∃ lim

n→∞x_n=(²⁹⁾ ) (4)수열 극한의 대수적성질

lim

n→∞x_n= x, lim

n→∞y_n= y ( α∈ℝ) 일 때 lim

n→∞ ( x_n±y_n) =(³⁰⁾ ) lim

n→∞αx_n =(³¹⁾ ) lim

n→∞x_ny_n =(³²⁾ ) lim

n→∞

x_n

y_n =(³³⁾ ) ( yn= 0, y // = 0)

1.1.2. 수열의 수렴성 정 의 4

{x_n}: ℝ상의 수열,

{n_k} : ℕ상의 수열 s.t.(³⁴⁾ )

⇔ {x_nk} : {x_n}의 부분수열(subsequence)

정 리 8 (부분수열을 이용한 수렴성의 판정) ℝ상의 수열 {x_n}에 대하여

n→∞limx_n= x ⇔ ∀ {xnk} : {x_n}의 부분수열, lim

k→∞x_nk= x

정 의 5

{x_n} : ℝ상의 수열로써 ∀ε > 0, ∃N∈ℕ

s.t. (³⁵⁾ )

⇔ {x_n} : Cauchy수열

NOTE

(1)코쉬수열의 정의는 임의의 거리공간 ( X, d)로 확장할 수 있고 정의는 다음과 같다.

24) x₁ < x₂< … 25) x₁ > x₂> … 26) 위로 유계 27) supn≥1 x_n 28) 아래로 유계 29) inf_n≥1x_n 30) lim

n→∞x_n± lim

n→∞y_n(= x±y) 31) α lim

n→infxn

(= αx) 32) lim

n→∞x_n․ lim

n→∞y_n( = xy) 33)

n→∞limx_n

n→∞limy_n

(

)

34) n1< n₂< n₃< …

35) m > n ≥ N → |xm- x_n| < ε

{x_n} : 코쉬수열

⇔ ∀ε > 0, ∃N ∈ℕ s.t. (³⁶⁾ )

(2)모든 Cauchy수열이 수렴하는 거리공간을 (³⁷⁾ )공간(혹은 완비거 리공간) 한다.

정 리 9

모든 Cauchy수열은 유계이다.

정 리 10

(1) 축소구간성질(Nested interval property) I1= [ a₁, b₁], I₂= [ a₂,b₂], … : 유계폐구간,

(³⁸⁾ ) ,(³⁹⁾ )

⇒ ( ∩^∞_{n = 1}I_n) =(⁴⁰⁾ ) (2) (2) Bolzano-Weierstrass의 정리

모든 유계수열은 (⁴¹⁾ )을 갖는다.

(3) Cauchy 판정법(Cauchy criterion) {x_n} : ℝ상의 수열일 때

{x_n} : 수렴 ⇔ {x_n} : (⁴²⁾ )

1.1.3. 상극한(Limit supremum, Upper limit)과 하극한(Limit infimum, Lower limit)

NOTE (확대실수계(extended real number system)) ℝ = ℝ ∪ {∞ } ∪ { - ∞ } = [ - ∞, ∞]이라 할 때

(1)U ^* =(B ^* =B ∪ {[ - ∞, a) | a ∈ ℝ } ∪ {( b, ∞] | b ∈ ℝ }을 기저 로 갖는 ℝ상의 위상)

(단 U =(B = {( a, b) | a, b∈ℝ, a < b }를 기저로 갖는 ℝ상의 위상)는 ℝ상의 보통위상(usual topology))

(2) ℝ상의 이항연산 +, ⋅을 다음과 같이 ℝ로 확장한다.

∞ + a =(⁴³⁾ )( a ∈ ℝ) a + ∞ =(⁴⁴⁾ )( a ∈ ℝ) a - ∞ =(⁴⁵⁾ )( a ∈ ℝ) - ∞ + a =(⁴⁶⁾ ) ( a ∈ ℝ)

a⋅∞ = ∞⋅a =(⁴⁷⁾ )( a > 0, a ∈ ℝ)) a⋅∞ = ∞⋅a =(⁴⁸⁾ )( a < 0, a ∈ ℝ))

∞⋅0 = 0⋅∞ =(⁴⁹⁾ )

(3)ℝ상의 순서에 다음과 같은 순서를 첨가한다.

a < ∞ , - ∞ < a ( ∀a ∈ ℝ)

36) m > n ≥ N → d( x_m, x_n) < ε 37) 완비(Complete)

38) I1⊃ I₂⊃ … 39) lim

n→∞(b_n- a_n) = 0 40) 1

41) 수렴하는 부분수열 42) Cauchy 수열 43) ∞

44) ∞ 45) - ∞ 46) - ∞ 47) ∞ 48) - ∞ 49) 0

확대실수집합 ℝ에 (1)의 위상, (2)의 이항연산, (3)의 순서를 첨가하여 확대실수계를 구성한다.

정 의 6

{x_n} : ℝ상의 수열로써

(1) ∀M > 0, ∃N( ∈ℕ ) s.t. (⁵⁰⁾)(혹은 xn≤ - M)

⇔ lim

n→∞x_n= ∞ (혹은 lim

n→∞x_n=- ∞) (2) lim

n→∞x_n ≡(⁵¹⁾ ) = inf_n≥1( sup_k≥nx_k) lim

n→∞x_n≡(⁵²⁾ ) = supn≥1( inf_k≥nx_k)

정 리 11

{x_n} : ℝ상의 수열일 때 (1) lim

n→∞x_n(⁵³⁾ ) lim

n → ∞x_n (2) lim

n→∞x_n= x ⇒ ∃ {x_nk} : {x_n}의 부분수열 s.t. lim

k→∞x_nk= x lim

n→∞x_n= x' ⇒ ∃ {x_nk} : {x_n}의 부분수열 s.t. lim

k→∞x_nk= x' (3)(⁵⁴⁾ ) ⇔ lim

n→∞x_n= x

NOTE

모든 실수열은 확대실수계 ℝ = [ - ∞, ∞]에서 상극한과 하극한을 갖는다.

2. 함수의 극한과 연속

2.1. 함수의 극한

정 의 7

f :E( ⊂ ℝ ) → ℝ에 대하여 c ∈ ℝ일 때 limx→cf(x) = L

⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t.( ⁵⁵⁾ )

⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. f( (c - δ, c + δ) ∖ {c })⊂( L - ε,L + ε)

NOTE (거리공간에서의 함수극한의 정의)

거리공간 ( X, d1), ( Y , d₂)와 c ∈X, f : ( X, d₁) → ( Y, d₂) 일 때

limx→cf(x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t.

0 < d₁(x, c) < δ → d₂( f( x), L) < ε

50) n ≥ N → M ≤ xn

51) lim

n→∞( sup_k≥nx_k) 52) lim

n→∞( inf _k≥n x_k) 53) ≤

54) lim

n→∞x_n = lim

n→∞x_n(≡x) 55) 0 < |x -c| < δ → |f( x) - L| <ε

정 의 8 (함수 극한의 다른 정의들) f : E ( ⊂ ℝ ) → ℝ에 대하여 c ∈ ℝ일 때 (1) lim

x→c +f(x) = L : f의 c에서의 우극한(Right limit)

⇔ ∀ε > 0,∃δ > 0 s.t.

( ⁵⁶⁾ ) (혹은 lim

x→c -f(x) = L : f의 c에서의 좌극한(Left limit)) (2) lim

x→∞f(x) = L ( 혹은 lim

x→ - ∞f(x) = L)

⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0 s.t. (⁵⁷⁾ ) (3) lim

x→cf(x) = ∞ (혹은 lim

x→cf(x) =- ∞)

⇔ ∀M > 0, ∃δ > 0 s.t.(⁵⁸⁾ ) (4)(ⅰ) lim

x→c +f(x) = ∞(혹은 - ∞)

⇔ ∀M > 0, ∃δ > 0

s.t. 0 < ( x - c ) < δ → M < f( x)(혹은 f( x) <- M) (ⅱ) lim

x→c -f(x) = ∞(혹은 - ∞)

⇔ ∀M > 0, ∃δ > 0

s.t. - δ < ( x - c ) < 0 → M < f( x)(혹은 f( x) <- M) (5)(ⅰ) lim

x→∞f(x) = ∞(혹은 - ∞)

⇔ ∀M > 0, ∃N > 0 s.t. N < x → M < f( x) (혹은 f( x) <- M) (ⅱ) lim

x→ - ∞f(x) = ∞(혹은 - ∞)

⇔ ∀M > 0, ∃N > 0 s.t. x < - N → M < f( x) (혹은 f( x) < - M)

정 리 12 limx→x0

f( x) = L ⇔ lim

x→x0+f(x) = lim

x→x0-f(x) = L

정 리 13 (극한계산에 도움되는 정리) f, g, h : E ( ⊂ℝ ) → ℝ에 대하여 c ∈ ℝ일 때 (1)함수의 조임정리 (Squeeze theorem)

f( x) ≤ h( x) ≤ g( x) ( ∀x∈E), lim

x→cf(x) = lim

x→cg(x) ≡L

⇒ ∃ lim

x→ch(x) = L

(2)함수의 비교극한정리(Comparison theorem) f( x) ≤ g( x) ( ∀x ∈ E), ∃ lim

x→cf(x), ∃ lim

x→cg(x)

⇒ lim

x→cf(x) ≤ lim

x→cg(x) (3)함수극한의 선형성

limx→cf(x) = L₁, lim

x→cg(x) = L₂( α∈ℝ)일 때

limx→c( f( x)±g( x)) =(⁵⁹⁾ ) limx→cαf( x) =(⁶⁰⁾ ) limx→cf(x)g( x) =(⁶¹⁾ )

limx→c

f(x)

g( x) =(⁶²⁾ ),

56) 0 < ( x - c ) < δ (혹은 - δ < ( x - c ) < 0) → |f( x) - L| <ε 57) M < x(혹은 x < - M) → |f( x) - L| < ε

58) 0 < |x - c | < δ → M < f( x)(혹은 f( x) <- M) 59) lim

x→cf(x)± lim

x→cg(x) =( L₁± L₂) 60) α lim

x→cf(x) ( = αL₁) 61) lim

x→cf(x)⋅ lim

x→cg(x) ( = L₁L₂)

g( x) /= 0( ∀x ∈ E), L₂= 0 /

2.2. 연속성(Continuity)

정 의 9

f : E → ℝ, c ∈ E

(1) f : c에서 연속(Continuous)

⇔ ∃ lim

x→cf(x) = f( c)

⇔ ∀ε > 0, ∃δ( ε, c) > 0 s.t. (⁶³⁾ )

⇔ ∀ε > 0, ∃δ( ε , c) > 0 s.t. f( c - δ, c + δ) ⊂( f( c) - ε,f( c) + ε) (2) ∀x ∈ E, f : x에서 연속 ⇔ f : E상에서 연속(Continuous)

이 때 δ( ε, c)는 ε과 c에 의존하고 f는 c에서 점별연속(Pointwise continuous)이라 한다.

NOTE (거리공간에서의 함수연속의 정의)

거리공간 ( X, d1), ( Y , d₂)와 c ∈X, f : ( X, d₁) → ( Y, d₂)일 때 f : x = c에서 연속

⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. d₁(x, c) < δ → d₂( f( x), f( c)) < ε

정 리 14

α ∈ ℝ, f, g : x = c에서 연속일 때 f + g, f g, α f, f

g ( g( x) /= 0) : x = c에서 연속

정 리 15 (함수극한과 연속의 수열판정법) f : E → ℝ, x₀∈ E에 대하여

(1) f : x₀에서 연속 ⇔ (⁶⁴⁾ ) (2) lim

x→x0

f(x)= L ⇔( {x_n} ⊂ E\ {x₀}, x_n → x₀⇒ f( x_n) → L)

NOTE 따라서 lim

n→∞x_n= x₀에서 연속이면 f( lim

n→∞x_n) = lim

n→∞f(x_n)이다.

정 리 16 (연속함수의 성질)

(1) 최대최소정리(Maximum, minimum value theorem)

f :[ a, b] → ℝ 연속 ⇒ f 는 (⁶⁵⁾ )과 (⁶⁶⁾ )을 가진다.

( 즉 ∃x_m ∈ [ a, b] s.t. f( x_m) = infx∈ [ a, b ]f(x), ∃x_M ∈ [ a, b] s.t. f( x_M) = supx∈ [ a, b ]f(x)) (2) 중간치정리(Intermediate value theorem)

f :[ a, b] → ℝ 연속, f( a) < k < f( b)(혹은 f( b) < k < f( a))

62)

limx→cf(x)

limx→cg(x)

(

)

63) |x - c| < δ → |f( x) - f(c)| <ε

64) {xn} ⊂ E, x_n → x₀⇒ f( x_n) → f( x₀) 65) 최대값

66) 최소값

⇒(⁶⁷⁾ )

NOTE

위와 같이 중간치정리는 연속함수에 대한 근의 존재성을 입증하는데 유용 하다.

2.3. 평등연속성(uniform continuity)

정 의 10

f :E(⊂ℝ) → ℝ에 대하여

f :E에서 평등연속(혹은 균등연속)(uniformly continuous)

⇔ ∀ε > 0, ∃δ( ε ) > 0 s.t.

|x - c | < δ → ( |f( x) - f( c)| < ε ( ∀c ∈E))

⇔ ∀ε > 0,(⁶⁸⁾ ) 여기서 δ( ε)은 x, y, c에 관계없이 ε에만 의존하여 점별연속과 구별된다.

NOTE

구간 I와 함수 f I → ℝ에 대하여 f : 립쉬츠(Lipschitz)함수

⇔ ( ∃M > 0 s.t. ∀x,y ∈ I, |f( x) - f( y) | ≤ M |x - y |)

정 리 17

(1) f :E( ⊂ ℝ) → ℝ에 대하여 f : E에서 평등 연속 ⇒ f : E에서 연속

그러나 역은 성립하지 않는다. 반례 : f(x) = x², E = ℝ (2)하이네(Heine)의 정리

f : K ( ⊂ ℝ) → ℝ연속, K : (⁶⁹⁾ )

⇒ f : K에서 (⁷⁰⁾ ) (3)미분가능 함수 f :E( ⊂ℝ) → ℝ에 대하여

f ' : (⁷¹⁾ ) ⇒ f : 평등연속

3. 미분(Differentiation)

3.1. 미분가능성(Differentiability)

정 의 11

f : E( ⊂ℝ) → ℝ, x₀∈ E

(1) f : x0에서 미분가능(Differentiable)

⇔(⁷²⁾ )

⇔(⁷³⁾ ) 이 때 f '( x₀)를 x₀에서의 f의 미분계수라 한다.

(2) f : E에서 미분가능 ⇔ ∀x ∈ E, f : x에서 미분가능

(3) f : 연속적으로 미분가능(continuously differentiable)(혹은 C¹)

⇔ f : E에서 미분가능이고 f ': E에서 (⁷⁴⁾ )

67) ∃c ∈ ( a, b) s.t. f( c) = k

68) ∃δ( ε ) > 0 s.t. |x - y | < δ → |f( x) - f( y) | < ε 69) 긴밀집합(즉, K : 폐유계)

70) 평등연속

71) 유계(즉 ∃M > 0 s.t. |f '( x) | ≤ M, ∀x ∈ E) 72) ∃ lim

x→x0

f(x)-f(x₀)

x - x₀ ( ≡ f '( x0)) 73) ∃ lim

h→0

f(x₀+h) - f( x₀) h

74) 연속

(4) f^{( n)}(x) ≡ dⁿf

dxⁿ : f의 n계 도함수

NOTE

(1)연속적으로 미분가능인 함수를 C¹함수라고도 하며 특히 f : E → ℝ인 C¹함수는 f ∈ C¹(E)라 표기한다.

(2)일반적으로 C⁰(E) = {f : E → ℝ연속 }, D( E) = {f : E → ℝ미분가능 },

Cⁿ(E) = {f : E → ℝ, n계 도함수가 존재하고 연속 }( n ≥ 1), C^∞(E) = ∩^∞_{n = 0}Cⁿ(E), C^ω(E) = {f : E → ℝ실해석적 } C⁰(E) ⊃

/

= D( E) ⊃ /

= C¹(E) ⊃ /

= C²(E) … ⊃ /

= C^∞(E) ⊃ /

=C^ω(E)

정 리 18

(1) f, g : x0에서 미분가능, α∈ ℝ

⇒ f + g, fg, αf, f/g ( x₀의 근방에서 g( x) /= 0일 때)는 x₀에서 미분가능이고

( α f)'( x₀) = α f '( x₀), ( f + g) '( x₀) = f '( x₀) + g '( x₀), ( fg) '( x₀) = f '( x₀)․g( x₀) + f( x₀)․g '( x₀)

(

)

f : x₀에서 미분가능, g : f( x0)에서 미분가능

⇒ g∘f : x₀에서 미분가능, ( g∘f) '( x0) =(⁷⁶⁾ )

정 리 19

(1) (f + g)^{( n )} = f^{( n )}+ g^{( n )} (2)라이프니츠의 법칙

(f g)^{( n )}=(⁷⁷⁾ )

NOTE

(1) ( sin x)^{( n )}=(⁷⁸⁾ ) (2) ( cos x)^{( n )} =(⁷⁹⁾ ) (3)

(

)

3.2. 평균치정리와 함수의 증감

정 의 12

f : E( ⊂ℝ) → ℝ, c ∈ E

(1) ∃ε > 0 s.t. (⁸¹⁾ )

⇔ c : f의 극대점(Relative maximum)

75) f '( x₀)․g( x₀) - f( x₀)․g '( x₀) ( g( x₀))²

76) g '( f( x0))f '( x₀)

77) f^{( n )}g + _nC₁f^{( n - 1 )}g' + … + _nC_nf g^{( n )}( = ∑

n

k = 0nC_kf^{( n - k )}g^{( k )}) 78) sin

(

)

79) cos

(

)

80) (- 1)ⁿn!

( x + c)^{n + 1}

81) f( c) ≥ f( x), ∀ x ∈( c - ε, c +ε)

이 때 f( c)를 f의 극대값이라 한다.

(2) ∃ε > 0 s.t. (⁸²⁾ )

⇔ c : f의 극소점(Relative minimum) 이 때 f( c)를 f의 극소값이라 한다.

(3)(⁸³⁾ ) ⇔ c : f의 임계점(Critical point) 이 때 f( c)를 f의 임계값(Critical value)이라 한다.

NOTE

(1) f : E( ⊂ℝ) → ℝ가 미분가능일 때 f의 모든 극점은 (⁸⁴⁾ )이다.

(2) f : [ a, b] → ℝ일 때 f의 최대값과 최소값은 f의(⁸⁵⁾ ), (⁸⁶⁾ ), f의(⁸⁷⁾ )에서 갖는다.

정 리 20

(1) 로올의 정리(Roll's theorem)

f : [ a, b]에서 연속, ( a, b)에서 미분가능, f( a) = f( b)

⇒(⁸⁸⁾ ) (2) 평균치정리(Mean value theorem)

f : [ a, b]에서 연속, ( a, b)에서 미분가능

⇒(⁸⁹⁾ )

(3) 베르누이의 부등식(Bernoulli's inequality) - 1 ≤ δ 일 때

(ⅰ) 0 < α ≤ 1 ⇒(⁹⁰⁾ ) (ⅱ) 1 ≤ α ⇒(⁹¹⁾ ) (4) 로피탈의 법칙(L'Hospital's law)

f, g : 미분가능, ∃ lim

x→x0

f '( x)

g '( x) ≡α ( ∈ ℝ) (ⅰ) lim

x→x0

f(x) = lim

x→x0

g(x) = 0 ⇒ ∃ lim

x→x0

f(x)

g( x)

(

)

(ⅱ) lim

x→x0

f(x) = lim

x→x0

g(x) = ∞ ⇒ ∃ lim

x→x0

f(x)

g( x)

(

)

82) f( c) ≤ f( x), ∀x ∈ ( c - ε, c +ε) 83) f '( c) = 0

84) 임계점 85) 임계점 86) 끝점 a, b 87) 미분불능점

88) ∃c ∈ ( a , b) s.t. f '( c) = 0

89) ∃c ∈( a, b) s.t. f '(c) = f( b) - f( a)b - a 90) ( 1 + δ)^α≤ 1 + αδ

91) ( 1 + δ)^α≥ 1 + αδ

NOTE

Cauchy의 판정법 실수의 공리계(완비공리, 순서공리, 체공리) ⇑ ⇓

B-W의 정리 ⇐ 축소구간성질 ⇐ 단조수렴정리 ⇓(함수연속의 수열판정법)

최대․최소정리 ⇓

로올의 정리 ⇒ 평균치 정리 ⇒ 베르누이 부등식 ⇒ 로피탈의정리 ⇙ ⇘

미적분학의 기본정리 테일러의 정리

정 의 13

구간 I와 함수 f : I ( ⊂ ℝ ) → ℝ에 대하여 (1) f : (단조)증가(Monotone increasing) (혹은 (단조)감소(Monotone decreasing))

⇔ ( x₁< x₂ ⇒(⁹²⁾) ) (2) f : 순증가(Strictly increasing)

(혹은 순감소함수(Strictly decreasing) )

⇔ ( x₁< x₂ ⇒ (⁹³⁾) )

정 리 21

f : [ a, b] → ℝ 이 [ a, b]에서 연속이고 ( a, b)에서 미분가능일때 (1) ∀x ∈ ( a , b), f '( x) > 0 ⇒ f : [ a, b]에서 (⁹⁴⁾ ) (2) ∀x ∈ ( a , b), f '( x) < 0 ⇒ f : [ a, b]에서 (⁹⁵⁾ )

NOTE

함수의 합성 ∘에 대하여

(1)증가함수 ∘증가함수 =(⁹⁶⁾ ) (2)증가함수 ∘감소함수 =(⁹⁷⁾ ) (3)감소함수 ∘증가함수 =(⁹⁸⁾ ) (4)감소함수 ∘감소함수 =(⁹⁹⁾ )

3.3. 함수의 볼록성

정 의 14

구간 I 와 f : I → ℝ에 대하여 (1) f : I 에서 볼록(Convex)

⇔ ∀x, y ∈ I,

( x, f( x))와 ( y, f( y))를 잇는 선분이 f의 그래프 위에 있다.

⇔ f( tx + ( 1 - t )y) ≤ tf( x) + ( 1 - t)f( y) ( ∀x,y ∈ I, ∀t ∈ [ 0, 1])

⇔ ∀x, y, z ∈I, x < y < z, f(y) - f( x)

y - x ≤ f( z) - f( x)

z - x ≤ f( z) - f( y) z - y

92) f( x1) ≤ f( x₂) (혹은 f( x₁) ≥ f( x₂)) 93) f( x1) < f( x₂) (혹은 f( x₁) > f( x₂)) 94) 순증가

95) 순감소 96) 증가함수 97) 감소함수 98) 감소함수 99) 증가함수

(2) f : I 에서 오목(Concave)

⇔ ∀x, y ∈ I,

( x, f( x))와 ( y, f( y))를 잇는 선분이 f의 그래프 아래에 있다.

⇔ f( tx + ( 1 - t )y) ≥ tf( x) + ( 1 - t)f( y) ( ∀x,y ∈ I, ∀t ∈ [ 0, 1])

⇔ ∀x, y, z ∈I, x < y < z, f( y) - f( x)

y - x ≥ f(z) - f( x)

z - x ≥ f(z) -f( y) z - y

⇔ - f : I 에서 볼록

정 리 22

(1) f '가 증가이면 f 는 (¹⁰⁰⁾ ), f '' > 0이면 f는( ¹⁰¹⁾ ) f '가 감소이면 f 는 (¹⁰²⁾ ), f '' < 0이면 f는 (¹⁰³⁾ ) (2) f : ( a, b) → ℝ가 연속일 때

f : 볼록 ⇔(¹⁰⁴⁾ ) ( ∀x, y ∈ ( a, b))

3.4. 역함수와 미분

정 의 15

(1) log : ( 0, ∞) → ℝ, log x ≡(¹⁰⁵⁾ ) (2) f( x) = log x의 역함수가 존재하고 f^{- 1}: ℝ → ( 0, ∞),

( f^{- 1})( x) ≡ exp ( x), e ≡ exp ( 1) (3) a > 0, x ∈ ℝ에 대하여

a^x≡(¹⁰⁶⁾ ) (따라서 ∀x ∈ ℝ, exp ( x) = e^x) e ≡ exp ( 1)

정 리 23

(1) log x( x > 0)는 미분가능, d

dx ( log x) = 1 x (2) log ( a b) = log a + log b ( a, b > 0) log ( aⁿ) = n log a ( n ∈ ℤ)

(3) exp ( x + y) = exp ( x) exp ( y) ( x, y ∈ ℝ)

정 리 24 (역함수 정리(Inverse function theorem)) f : ( a, b) → ℝ미분가능, f ' > 0 (혹은 f ' < 0)일 때 (1) ∃f^{- 1} : f( a, b) → ( a, b)미분가능,

100) 볼록 101) 볼록 102) 오목 103) 오목

104) f

(

)

x 1

1 t dt 106) exp (x log a)

(2) f( x) = y에 대하여 ( f^{- 1})'( y) =(¹⁰⁷⁾ )

정 의 16

(1) f :(¹⁰⁸⁾ ) → [ - 1, 1] f( x) = sin x에 대하여 f는 가역이고 f^{- 1}≡ sin^{- 1} (혹은 arcsin )

(2) g :(¹⁰⁹⁾ ) → [ - 1, 1] g( x) = cos x에 대하여 g는 가역이고 g^{- 1} ≡ cos^{- 1} (혹은 arccos )

(3) h :(¹¹⁰⁾ ) → ℝ h( x) = tan x에 대하여 h는 가역이고 h^{- 1} ≡ tan^{- 1} (혹은 arctan )

정 의 17

다음 함수 ℝ → ℝ를 정의하면 sinh x ≡(¹¹¹⁾ ) cosh x ≡(¹¹²⁾ ) tanh x ≡ sinh x

cosh x = e^x- e^{- x} e^x+ e^{- x} coth x ≡ 1

tanh x = e^x+ e^{- x}

e^x- e^{- x} ( x /= 0) sech x ≡ 1

cosh x = 2

e^x+ e^{- x} cosech x ≡ 1

sinh x = 2

e^x- e^{- x} ( x /= 0)

정 리 25

(1) cosh²x - sinh²x = 1 1 - tanh²x = sech²x

coth²x - 1 = cosech²x (2) ^d

dx sinh x =(¹¹³⁾ ) d

dx cosh x =(¹¹⁴⁾ ) d

dx tanh x =(¹¹⁵⁾ ) d

dx coth x =(¹¹⁶⁾ ) d

dx sech x =(¹¹⁷⁾ ) d

dx cosech x =(¹¹⁸⁾ )

107) 1 f '( x) 108)

[

]

109) [ 0, π]

110)

(

)

111) 1

2 ( e^x- e^{- x}) 112) 1

2 ( e^x+ e^{- x}) 113) cosh x 114) sinh x 115) sech²x 116) - cosech²x 117) - sech x tanh x 118) - cosech x coth x

4. 적분(Integration)

4.1. 리만적분과 미적분학의 기본정리

정 의 18

- ∞< a < b < ∞ , f : [ a, b] → ℝ유계함수 (1) a = x0< x₁< x₂< … < x_n= b일 때

P = {a = x₀, x₁, x₂, …, x_n= b }를 [ a, b]의 분할(Partition)이라 한 다.

(2) U(f, P) ≡(¹¹⁹⁾ ), Mi≡ sup_{x∈ [ xi - 1,xi]}f(x) L( f, P) ≡(¹²⁰⁾ ), m_i≡ inf _{x∈ [ xi - 1,xi]}f(x) (3) ⌠

⌡

b

af(x)dx ≡(¹²¹⁾ ), ⌠

⌡

b

a f(x)dx ≡(¹²²⁾ ) (4) f :리만적분가능(Riemann integrable)혹은 적분가능(integrable)

⇔(¹²³⁾ )

⇔ ∀ε > 0, ∃P : [ a, b]의 분할 s.t.(¹²⁴⁾ )

정 리 26 (Lebesgue의 정리) f : 리만적분가능

⇔ f :(¹²⁵⁾ )에서 연속 (즉 불연속점이 측도 0(measure zero))

NOTE

E( ⊂ℝ) : 측도 0(measure zero)

⇔ m^*(E) = 0 (단 m^*: ℝ상의 르베그외측도)

⇔ ∀ε > 0, ∃ {[ a_k, b_k] }_k : 폐구간의 가산모임 s.t.

(¹²⁶⁾ ), (¹²⁷⁾ )

정 리 27 (리만적분의 성질)

f, g : [ a, b]에서 적분가능, α ∈ ℝ일 때 (1) f + g, αf :[ a, b]에서 적분가능이고

⌠⌡

b

a αfdx = α ⌠⌡

b

afdx, ⌠⌡

b

a(f + g)dx = ⌠⌡

b

a fdx + ⌠⌡

b

a gdx(적분의 선형성) (2) ⌠

⌡

b

a fdx = ⌠⌡

c

afdx + ⌠⌡

b

cfdx( ∀c ∈ ( a, b)) (3) f( x) ≤ g( x)( ∀ x ∈ [ a, b]) ⇒ ⌠⌡

b

a f(x)dx ≤ ⌠⌡

b

ag(x)dx (4)

|

|

(5) 적분에 대한 평균치정리 f : [ a, b] → ℝ 이 연속함수

119) ∑

n

i = 1M_i(x_i- x_{i - 1}) 120) ∑ⁿ

i = 1m_i(x_i- x_{i - 1}) 121) inf_PU( f, P) 122) sup_PL(f, P) 123) ⌠

⌡

b

af(x)dx = ⌠⌡

b

af(x)dx ( ≡ ⌠⌡

b

a f( x) dx) 124) U( f, P) - L( f, P) < ε

125) 거의 대부분 126) E ⊂ ∪k[ a_k, b_k] 127) ∑

k ( b_k- a_k) < ε

⇒ ∃c ∈ ( a, b)s.t.

⌠⌡

b af(x)dx

b - a = f( c)(즉 ⌠⌡

b

a f(x)dx = f( c)( b - a)) (6)

(

)

NOTE

그러나 Dirichlet함수는 르베그적분가능이고 르베그 적분값은 0이다.

NOTE

P, P₁ : [ a, b]의 분할, P₁⊂ P

⇒ U( f, P₁) ≥ U( f, P), L( f, P₁) ≤ L( f, P)

정 리 28

(1)미적분학의 기본정리

f :[ a, b]에서 (¹²⁸⁾ ),

F :[ a, b]에서 (¹²⁹⁾ ) s.t. (¹³⁰⁾ )

⇒ ⌠⌡

b

a f(x)dx =(¹³¹⁾ ) (2) f : [ a, b] → ℝ연속

⇒ f: [ a, x]에서리만적분가능( ∀x ∈ ( a, b]), d dx

⌠⌡

x

a f(x)dx = f( x)

4.2. 부정적분과 정적분의 계산

4.2.1. 부정적분의 정의와 주요공식

정 의 19

구간 I 와 f : I → ℝ에 대하여 (¹³²⁾ )

⇔ F( x) : f( x)의 부정적분(Indefinite integral) (혹은 F( x) = ⌠⌡f( x)dx)

NOTE

따라서 f( x)의 부정적분 ⌠⌡f( x)dx는 미분방정식 y ' = f( x)의 일반해라 할 수 있다.

정 리 29 (부정적분의 주요공식)

⌠⌡ x^cdx =(¹³³⁾ ), c /=- 1인 실수

⌠⌡ 1

x dx =(¹³⁴⁾ )

⌠⌡ e

xdx =(¹³⁵⁾ )

⌠⌡ a

xdx =(¹³⁶⁾ )

128) 리만적분가능 129) 미분가능 130) F ' = f 131) F( b) - F( a) 132) F '( x) = f( x) 133) 1

c + 1 x^{c + 1}+ C 134) log |x | + C 135) e^x+ C 136) a^x

log a + C

⌠⌡ log x dx =(¹³⁷⁾ )

⌠⌡ cos x dx =(¹³⁸⁾ )

⌠⌡ sin x dx =(¹³⁹⁾ )

⌠⌡ sec

2x dx =(¹⁴⁰⁾ )

⌠⌡ cosec

2x dx =(¹⁴¹⁾ )

⌠⌡ sec x tan x dx =(¹⁴²⁾ )

⌠⌡ cosec x cot x dx =(¹⁴³⁾ )

⌠⌡ tan x dx =(¹⁴⁴⁾ )

⌠⌡ cot x dx =(¹⁴⁵⁾ )

⌠⌡ 1

1 - x² dx =(¹⁴⁶⁾ )

⌠⌡ 1

1 + x² dx =(¹⁴⁷⁾ )

⌠⌡ cosh x dx =(¹⁴⁸⁾ )

⌠⌡ sinh x dx =(¹⁴⁹⁾ )

⌠⌡ sec x dx =(¹⁵⁰⁾ )

⌠⌡ cosec x dx =(¹⁵¹⁾ )

⌠⌡ sin^{- 1}x dx =(¹⁵²⁾ )

⌠⌡ tan^{- 1}x dx =(¹⁵³⁾ )

4.2.2. 치환적분

정 리 30 (치환적분(Change of variables))

F, g : 미분가능, F ' = f 일 때 ⌠⌡f( g ( x)) g '( x) dx = F( g ( x)) + C

삼각함수의 적분 형 태 1

⌠⌡ sinⁿxdx, ^⌠_{⌡ cos}ⁿxdx

137) x log x - x + C 138) sin x + C 139) - cos x + C 140) tan x + C 141) - cot x + C 142) sec x + C 143) - cosec x + C 144) - log | cos x | + C 145) log | sin x | + C 146) sin^{- 1}x + C 147) tan^{- 1}x + C 148) sinh x + C 149) cosh x + C

150) log | sec x + tan x | + C 151) log | cosec x - cot x | + C 152) x sin^{- 1}x + 1 - x²+ C 153) x tan^{- 1}x - 1

2 log ( 1 + x²) + C

해 법

⋅ n이 양의 홀수인 경우 ; sin x = u(혹은 cos x = u)라 치환하고 sin²x + cos²x = 1을 이용하여 cos x(혹은 sin x)에 관하여 정리한다.

⋅ n이 양의 짝수인 경우 ; 반각공식 sin²x = 1 - cos 2x

2 ,

cos²x = 1 + cos 2x

2 을 이용하여 차수를 줄여나간다.

형 태 2

⌠⌡ sin^mx cosⁿx dx

해 법

⋅ n(혹은 m)이 양의 홀수인 경우 ;

sin x = u(혹은 cos x = u)라 치환하고 등식 sin²x + cos²x = 1을 이용 하여 cos x (혹은 sin x)에 관하여 정리한다.

⋅ m, n이 모두 짝수인 경우 ; 반각공식 sin²x = 1 - cos 2x

2 ,

cos²x = 1 + cos 2x

2 을 이용하여 차수를 줄여나간다.

형 태 3 (1) ⌠

⌡ tanⁿx dx (2) ⌠⌡ cotⁿx dx 해 법

(1)의 경우 ;

tan x = u로 치환하고 1 + tan²x = sec²x를 이용하여 tan x에 관하여 정리한다.

(2)의 경우 ;

cot x = u로 치환하고 1 + cot²x = csc²x를 이용하여 cot x에 관하여 정리한다.

형 태 4 (1) ⌠

⌡ tan^mx secⁿx dx (2) ⌠⌡ cot^mx cosecⁿx dx 해 법

⋅ n은 짝수, m은 임의의 정수인 경우 ;

(1)의 경우 ; tan x = u라 치환하고 1 + tan²x = sec²x를 이용하여 tan x에 관하여 정리한다.

(2)의 경우 ; cot x = u라 치환하고 1 + cot²x = csc²x를 이용하여 cot x에 관하여 정리한다.

⋅ m은 홀수, n은 임의의 정수인 경우 ;

(1)의 경우 ; sec x = u라 치환하고 1 + tan²x = sec²x를 이용하여 sec x에 관하여 정리한다.

(2)의 경우 ; csc x = u라 치환하고 1 + cot²x = csc²x를 이용하여 csc x에 관하여 정리한다.

형 태 5 (1) ⌠

⌡ sin mx cos nx dx (2) ⌠

⌡ sin mx sin nx dx (3) ⌠

⌡ cos mx cos nx dx

해 법

다음 곱의 공식을 이용한다.

⌠⌡ sin mx cos nx dx = 1

2( sin ( m + n)x + sin ( m - n)x )

⌠⌡ sin mx sin nx dx =- 1

2 ( cos ( m + n)x - cos ( m - n)x )

⌠⌡ cos mx cos nx dx = 1

2( cos ( m + n)x + cos ( m - n)x )

4.2.3. 무리함수의 적분 형 태 1

피적분함수가 ⁿ ax+ b를 포함하는 경우

해 법

n ax + b = u라 치환

형 태 2 피적분함수가

(1) a²- x²를 포함하는 경우 (2) a²+ x²를 포함하는 경우 (3) x²- a²를 포함하는 경우 해 법

(1)의 경우 ; x = a sin t 라 치환한다.

(2)의 경우 ; x = a tan t 라 치환한다.

(3)의 경우 ; x = a sec t 라 치환한다.

형 태 3

피적분함수가 ax²+ bx + c를 포함하는 경우 해 법

완전제곱식을 유도하여 삼각함수로 치환하여 형태 2를 응용한다.

4.2.4. 부분적분

정 리 31 (부분적분(Integration by parts))

⌠⌡u v 'dx = u v -⌠

⌡u 'v dx

4.2.5. 유리함수의 적분

NOTE

다항함수 f( x), g( x)에 대하여 f( x)g( x) 꼴의 유리함수의 적분은 (1) f( x)의 차수 ≥ g( x)의 차수일 때

f( x)

g( x) = Q( x) + R( x)

g( x) ( R( x)의 차수 < g( x)의 차수)꼴로 변형시켜 적 분하고( Q( x)는 다항함수)

(2) f( x)의 차수 < g( x)의 차수일 때

주어진 함수를 부분분수로 분해한 후 각각을 적분한다.