돌림힘과 안정성
돌림힘 (1)
회전문을 열 때와 같이 회전축에서 일정한 거리만큼 떨어진 지점에 힘이 작용하면 물체가 어떤 점 을 중심으로 회전하려고 한다 이와 같이 물체의 회전 운동을 변화시키는 물리량을 돌림힘 또는 토 . 크 (torque) 라고 한다 .
돌림힘의 크기
①
돌림힘의 크기는 작용한 힘 와 힘의 작용점과 회전 중심 사이의 수직 거 리 와의 곱으로 나타낸다 단위는 힘의 단위에 거리의 단위를 곱한. ㆍ이 다 여기서. 를 지레의 팔 또는 모멘트의 팔(moment arm)이라고 한다.
그림과 같이 와 의 방향이 수직이 아닐 때는 수직 성분의 힘을 찾아 계산 하므로 sin가 된다 돌림힘은. 와 의 방향이 수직일 때 가장 크고, 평행일 때에는 이다0 .
와 의 방향이 수직이 아닌 경우 돌림힘은 다음과 같다.
sin
돌림힘과 일의 차이
▶
돌림힘과 일 모두 힘에 거리를 곱하여 구하므로 단위의 형태가 ㆍ로 같다 그러나 일은 스칼라량이고 돌. 림힘은 벡터량이므로 서로 다른 물리량이다 그리고 일의 단위로는. ㆍ을 사용하지만 돌림힘의 단위 로는 ㆍ만을 사용한다 일과 돌림힘을 벡터를 사용하여 나타내면 다음과 같다 일은 스칼라곱 내적 돌림. . ( ), 힘은 벡터곱 외적 이다( ) .
ㆍ cos
× sin
돌림힘의 방향
②
돌림힘은 크기와 방향을 가진 벡터량이다 그림 가 와 같이 오른손. ( ) 을 살짝 감아지고 엄지손가락을 제외한 네 손가락을 에서 방향 으로 향하도록 하면 엄지손가락이 돌림힘 의 방향을 나타낸다 그. 림 나 와 같이 힘의 방향이 반대가 되면 돌림힘의 방향도 반대가( )
짝힘
③
자동차의 핸들 회전식 수도꼭지 드라이버 등을 돌릴 때 회전축에서 서로 반대쪽에 있는 지점에 반대 방향의, , 힘이 작용한다 이와 같이 크기가 같고 방향이 반대인 두 평행력을 짝힘이라고 한다. .
그림과 같이 임의의 한 점 에 작용하는 짝힘의 돌림힘은 다음과 같다O .
이때, 이므로 짝힘의 크기는 다음과 같이 정리할 수 있다.
따라서 물체에 짝힘이 작용하면 지레의 팔이 더 길어진 효과를 얻어 더 큰 돌림힘을 가할 수 있다.
(2) 지레
막대의 한 점을 받치고 받친 점의 한쪽에 물체를 놓은 후 다른 쪽에서 힘을 작용하여 물체를 움직이는 장치이다 작은 힘으로 무거운 물체를. 움직이거나 작은 거리를 움직여 물체가 큰 거리를 움직이도록 하는 데 사용한다 이때 지레를 받침점 지레가 물체에 힘을 가하는 점을 작용점. , , 지레에 힘이 작용하는 점을 힘점이라고 한다.
지레의 원리
①
무게를 무시할 수 있는 지레의 한쪽에 무게가 인 물체를 받침점으로부터 만큼 떨어진 점에 놓고 받침점 으로부터 만큼 떨어진 점을 의 힘으로 눌러 물체를 정지시켰을 때 각 힘과 거리 사이에는 의 관 계가 성립하는데 이를 지레의 원리라고 한다 이때, . 이면 이므로 보다 작은 힘으로 물체를 움 직일 수 있다.
돌림힘 평형을 이용한 이론적 검증
▶
받침점으로부터 만큼 떨어진 점에 무게가 인 물체를 놓고 반대쪽 에 받침점으로부터 만큼 떨어진 점에 의 힘을 작용할 때 에 의 한 돌림힘과 작용한 힘 에 의한 돌림힘의 크기가 같으면 물체는 움
실험적 검증
▶
그림과 같이 받침점으로부터 왼쪽으로 만큼 떨어진 점에 질량이 인 물체를 매달고 받침점으로부터 오른쪽 으로 만큼 떨어진 점에 추를 매달았을 때 물체가 움직이지 않았다면 추의 질량은 각각
이다 따라서 받침점에서 힘점까지의 거리가 배. 2 , 3배로 멀어지면 작용하는 힘은
로 감 소하는 것을 알 수 있다.
②
지레의 종류받침점과 힘점 작용점의 위치에 따라 가지 종류로 구분한다, 3 .
※
종 지레
▶ 1
받침점 양쪽에 작용점과 힘점이 있는 지레이다 종 지레의 예로는 가위 펜치 대저울 등이 있다. 1 , , .
종 지레
▶ 2
받침점으로부터 같은 쪽에 작용점과 힘점이 있는 지레이다 힘점에서 받침점까지의 거리가 작용점에서 받침점. 까지의 거리보다 크기 때문에 힘점에 작용한 힘의 크기가 작용점에 작용하는 힘의 크기보다 작다 종 지레의. 2 예로는 병따개 손톱깎이 등이 있다, .
종 지레
▶ 3
받침점으로부터 같은 쪼겡 작용점과 힘점이 있는 지레이다 그러나 종 지레와는 다르게 작용점에서 받침점까. 2 지의 거리가 힘점에서 받침점까지의 거리보다 크기 때문에 힘점에 작용한 힘의 크기가 작용점에 작용하는 힘 의 크기보다 크다 종 지레의 예로는 낚싯대 손톱깍이 젓가락 족집게 사람의 팔 등이 있다. 3 , , , , .
축바퀴 (3)
그림과 같이 지름이 다른 원형 바퀴 두 개를 중심이 일치하도록 붙여서 함께 회전하도록 만든 장치이다 지름이 큰 바퀴와 작은 바퀴에 반대 방향. 으로 줄을 걸어 한쪽 줄을 아래로 당기면 다른 쪽 줄이 위로 올라간다 이. 때 지름이 작은 바퀴의 줄에 물체를 매달고 지름이 큰 바퀴의 줄을 당기 면 작은 힘으로 무거운 물체를 들어 올릴 수 있다.
축바퀴의 원리
①
두 바퀴의 반지름을 각각 와 큰 바퀴에 작용하는 힘을, , 작은 바퀴 에 매달린 물체의 무게를 라 하면 회전축을 중심으로 에 의한 돌림힘 과 에 의한 돌림힘의 크기가 같으면 물체는 정지해 있거나 일정한 속력 으로 움직인다.
이때 이면 이므로 작은 힘으로 큰 힘을 얻을 수 있다.
축바퀴의 원리를 이용한 장치로는 드라이버 문 손잡이 자동차 핸들 자전, , , 거 기어 등이 있다.
축바퀴의 원리와 지레의 원리
②
축바퀴에서 회전축을 중심으로 양쪽에서 힘을 작용하는 모습은 지레에서 힘을 작용하는 모습과 동 일하다 지레도 결국 받침점을 중심으로 회전하기 때문이다 따라서 축바퀴나 지레 모두에 . .
의 관계가 성립한다.
일의 원리 (4)
지레 축바퀴 도르래와 같은 도구를 사용하여 일을 할 때 힘의 이득을 보더라도 이동 거리에서 손해를 보기, , 때문에 항상 한 일의 양은 변화가 없다 이와 같이 도구를 사용하여 일을 하더라도 일의 이득이 없는 것을 일. 의 원리라고 한다.
지레나 축바퀴와 같은 도구를 사용하여 일을 할 때 일에서 이득을 보려면 이득을 본 일만큼 도구 자체에서 에 너지가 생산되어야 한다 그렇지 않으면 에너지 보존 법칙에 어긋난다 그러나 스스로 에너지를 생산하는 장치. . 는 없으므로 도구에 한 일보다 더 많은 일을 물체에 해 줄 수는 없다.
지레를 사용할 때의 일
①
가 나
( ) ( )
따라서 에서
이고 이를, 에 적용하면 다음 식이 성립한다.
이 식에서 좌변은 지레가 무게 인 물체를 높이 만큼 들어 올린 일을 나타내고 우변은 사람이 힘, 를 가 해 지레를 만큼 이동시켰을 때 한 일을 나타낸다 결국 지레가 물체에 한 일과 사람이 지레에 한 일은 같다. 는 것을 의미한다.
지레에서 일 때 힘이 물체에 무게의 배로 작아지므로 힘의 이득이 생긴다 그러나 힘을 가한 거리가 . 물체가 올라간 높이의 배로 늘어나 이동 거리의 손해가 생기므로 결국 일의 이득은 없다, .
축바퀴를 사용할 때의 일
②
그림과 같이 축바퀴를 사용하여 물체를 일정한 속력으로 끌어올릴 때 축바퀴의 원리 로부터 이고 축바퀴가, 번 회전하는 동안 물체가 올라간 거리를 힘점을, 아래로 당긴 거리를 라고 하면 줄이 이동한 거리는 원둘레에 회전수를 곱한 값과 같으므로 , 이다 따라서.
이고 이 식을, 에 적용하
면 이다 즉 축바퀴의 반지름이. , 일 때 작용하는 힘은 배로 작아져
힘의 이득을 보지만 이동 거리가 배로 늘어나 이동 거리에서 손해를 보므로 결국 일의 이득은 없다.
힘의 평형과 안정성 (5)
물체에 힘이 작용하면 물체의 운동 상태가 변하거나 모양이 변하는 효과가 나타난다 그러나 물체의 한 점에. 두 개 이상의 힘이 작용하고 있는데도 불구하고 물체가 정지해 있거나 운동 상태의 변화가 없을 때 등속도 운( 동 할 때 물체에 작용하는 힘들은 평형을 이루고 있다고 하고 물체는 평형 상태에 있다고 한다) , .
힘의 평형
①
두 힘의 평형
▶
⇔
그림 나 와 같이 물체의 다른 두 점( ) A, B에 힘 가 작용하는 경 우에도 이 힘들이 같은 작용선 위에 있고 방향이 반대이며 크기가 같, , 다면 두 힘은 평형을 이룬다 이때 힘의 벡터를 그 작용선 상으로 이동. 시켜도 힘의 효과는 변하지 않으므로 힘 을 의 위치까지 평행이동B 시키면 두 힘의 평형 관계를 쉽게 알 수 있다.
세 힘의 평형
▶
그림과 같이 물체의 한 점에 세 힘 가 작용하여 힘의 평형을 이룰 때에는 합력이 이 되어0
의 관계가 성립한다 한 점에 작용하는 세 힘. 가 평형을 이루기 위해서는 다음 가3 지 조건 중 어느 한 가지가 성립하면 된다.
임의의 두 힘의 합력이 나머지 한 힘과 크기가 같고 방향이,
◾
반대이면 같은 작용선상에 있다.
⇔
그림과 같이 세 힘을 차례로 평행 이동하면 폐삼각형이 된다.
◾
이때 벡터의 방향은 폐삼각형의 선분을 서로 연결하는 한 힘 의 작용 방향이 다른 힘의 작용점과 연결되어야 한다.
세 힘이 평형을 이룰 때 다음의 관계가 성립한다 이것을 라미.
◾
의 정리라고 한다 (Lami) .
sin
sin
sin
sin
sin
sin
여러 힘의 평형
▶
그림과 같이 한 점에 작용하는 여러 힘이 평형을 이루고 있을 때 이 힘들의 합력은 이다 각 힘을 직교 좌표0 . 의 성분의 총합과 성분의 총합을 구하면 성분과 성분의 총합은 모두 이 된다0 .
⋯
⋯
⋯ 돌림힘의 평형
②
돌림힘의 평형
▶
그림과 같이 점을 축으로 회전할 수 있는 물체에 두 힘O 가 작용하는데 물체가 회전하지 않는다면 돌 림힘이 평형을 이룬다고 한다.
돌림힘의 평형
◾
여러 돌림힘의 평형
▶
한 물체에 여러 돌림힘이 작용할 때 돌림힘의 합이 이 되면 돌림힘이 평형을 이룬다고 한다 이때 돌림힘의0 . 방향에 따라 (+)와 (-)를 붙여 계산한다.
⋯
시소에서 돌림힘의 평형
▶
그림과 같이 시소를 타는 두 사람의 몸무게가 다를 때 두 사람 이 앉는 자리에서 시소 중심까지의 거리가 몸무게에 반비례하도 록 앉아야 돌림힘이 평형을 이루어 시소를 제대로 탈 수 있다.
즉 몸무게가 무거운 사람이 중심에 가깝게 앉아야 한다, .
축바퀴에서 돌림힘의 평형
▶
축바퀴도 시소와 마찬가지로 축바퀴의 중심까지의 거리에 반비례하는 무게를 매달아야 축바퀴가 평형을 이룰 수 있다.
역학적 평형
③
크기가 있는 물체에 작용점이 다른 여러 힘이 작용하지만 물체가 병진 운동과 회전 운동을 하지 않고 그래도 정지해 있을 때 역학적 평형을 이룬다고 한다, .
역학적 평형의 조건
▶
병진 운동을 하지 않을 조건 물체에 작용하는 모든 힘의 합력이 이 되어야 한다: 0 .
◾
⋯
회전 운동을 하지 않을 조건 물체에 작용하는 힘의 임의의 점에 대한 돌림힘의 합이 이 되어야 한다: 0 .
◾
역학적 평형 상태에서 평행한 두 힘과 평형을 이루는 힘 찾기
④
같은 방향으로 작용하는 두 평행력
▶ 와 평형을 이루는 힘
◾ 의 크기와 방향 : 두 힘 의 합 와 크기는 같고 방향은 반대이어야 한다.
◾ 의 작용점 : 의 작용점으로부터 까지의 거리를
의 작용점으로부터 까지의 거리를 라고 하면 두 돌림힘 의 크기가 같아야 한다.
평형을 이루는 힘
※ 의 작용점은 두 힘 의 역수의 비로 내분하는 점이다.
반대 방향으로 작용하는 두 평행력
▶ 와 평형을 이루는 힘
◾ 의 크기와 방향 : 두 힘 의 차이 와 크기 는 같고 방향은 반대이어야 한다.
◾ 의 작용점 : 의 작용점으로부터 까지의 거리를
의 작용점으로부터 까지의 거리를 라고 하면 두 돌림힘 의 크기가 같아야 한다.
평형을 이루는 힘
※ 의 작용점은 두 힘 의 역수의 비로 외분하는 점이다.
무게 중심
⑤
물체의 각 부분에 작용하는 중력을 합한 합력의 작용점을 무게 중심이라고 한다.
무게 중심을 찾는 방법
▶
그림과 같이 물체의 모양을 고려하여 좌표축을 정하고 각 부분의 무게 중심의 좌표를 ⋯, 전체 무게 중심의 좌표를 라 하면 합력의 돌림힘은 각 힘의 방향 성분의 돌림힘의 합과 같다.
⋯ ⋯
⋯
⋯
동일한 방법으로 좌표를 찾으면 다음과 같다.
평평한 판의 무게 중심 찾기
▶
물체를 줄에 매달아 놓으면 무게 중심은 항상 물체를 매단 점 바로 아래에 있다 따라서 걸어 놓는 위치를 바. 꾸어도 두 번 매달아 보면 무게 중심을 찾을 수 있다 그림과 같이. 와 가 교차하는 점 가 무게 중심O 이다.
구조물의 안정성
⑥
아래로 갈수록 넓어지는 원통형 꽃병을 똑바로 놓으면 옆으로 살짝 밀었다 놓아도 넘어지지 않고 원래 위치로 되돌아간다 그러나 꽃병을 뒤집어 세우고 옆으로 살짝 밀면 쉽게 넘어진다 이처럼 물체가 평형 상태에 있다. . 하더라도 안정할 수도 있고 불안정할 수도 있다.
안정한 상태에 있기 위한 조건
▶
바닥면의 넓이가 같다면 무게 중심이 낮을수록 안정하다.
◾
무게 중심의 높이가 같다면 바닥면이 넓을수록 안정하다.
◾
바닥면의 넓이가 넓고 무게 중심이 낮을수록 안정하다, .
※
안정한 평형
▶
그릇에 물체를 놓고 옆으로 조금 이동시키면 물체에 작용하는 중력과 수직 항력의 합력이 처음 위치 중심( )
◾
를 향하므로 물체가 원래 위치로 되돌아간다.
연필 모양 물체를 놓고 옆으로 조금 밀면 무게 중심이 올라가면서 물체의 퍼텐셜 에너지가 증가한다 이때.
◾
물체를 놓으면 물체에는 처음 위치로 향하는 돌림힘이 작용하므로 원래 위치로 되돌아간다.
안정한 평형 불안정한 평형
불안정한 평형
▶
그릇을 엎어 놓고 그 위에 물체를 놓은 다음 옆으로 조금 이동시키면 물체에 작용하는 중력과 수직 항력의
◾
합력이 처음 위치에서 멀어지는 쪽으로 작용하므로 물체는 아래로 떨어진다.
안정한 평형과 불안정한 비교
▶
안정한 평형에 있을 때
◾
물체를 조금 기울여도 물체의 무게 중심의 작용선이 바닥면 안쪽 에 있어 넘어지지 않는다 물체를 기울이는 동안에 무게 중심이. 높아진다.
불안정한 평형에 있을 때
◾
물체를 조금 기울이면 물체의 무게 중심의 작용선이 바닥면 바깥 쪽으로 벗어나 넘어진다 물체를 기울이는 동안 무게 중심이 낮아. 진다.
구조물의 안정성
▶
구조물이 안정하려면 다음의 조건을 충족해야 한다.
구조물에 작용하는 모든 힘과 돌림힘이 평형을 이루어야 한다.
◾
구조물이 평형 상태에서 조금 벗어나더라도 구조물의 무게 중심의 작용선이 바닥면을 벗어나지 않아야 하
◾
고 무게 중심의 높이는 높아져야 한다, .
