8.1 통계적 추정의 기본 개념

수리정보과학과

제 8장 추정(estimation)

기초통계학 - 김대학 1 8.1 통계적 추정의 기본 개념

8.2 점추정

8.2.1 모평균(𝜇)의 추정 8.2.2 모분산(𝜎²)의 추정 8.2.3 모비율(𝑝)의 추정 8.2.4 엑셀을 이용한 점추정 8.3 구간추정

8.3.1 모평균 𝜇의 신뢰구간 8.3.2 모비율 𝑝의 신뢰구간

8.3.3 독립표본을 이용한 두 모평균의 차 𝜇₁− 𝜇₂에 대한 신뢰구간 8.3.4 짝 지워진 표본을 이용한 두 모 평균의 차 𝜇₁− 𝜇₂에 대한 신뢰구간

 통계적 추론(statistical inference)

① 추정(estimation)

모수에 가까울 값으로 찾는 방법

② 가설검정(hypothesis testing)

모수의 참값에 관한 주장이 옳은지

통계적 추론은 표본으로부터 얻은 정보를 이용하여 과학적으로 미

지의 모수를 추론하는 과정으로 추정과 검정의 두 방법이 있다.

수리정보과학과

8.1 통계적 추정의 기본 개념

 추정(estimation)

성치인 모수(parameter)를 추측하는 것

 가장 기본적인 추측의 대상

기초통계학 - 김대학 3

모집단의 평균, 표준편차,

비율 등과 같은 모집단의 특성치

 추정량(estimator) : 모수를 측정하기 위해 사용되는 통계량

 추정치(estimate) : 자료를 이용하여 계산한 통계량의 값

 점추정(point estimation) : 모집단의 특성치를 하나의 수치로 추정하는 것

 구간추정(interval estimation) : 모수의 참 값에 속하게 되는 범위를 구하여 추정 하는 것

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 점추정

 구간추정에 있어서는

신뢰도와 모수의 범위를 동시에 고려하여 나타냄

기초통계학 - 김대학 5

 모수(parameter)

: 모집단의 특성을 나타내는 수치

(예:모평균,모분산,모비율)

 통계량(estimatior)

: 표본의 특성을 나타내는 수치

(예:표본평균,표본분산,표본비율)

수리정보과학과

예제 8.1

 한 소비자 단체는 어떤 고급 볼펜의 수명을 추정하기를 원한다. 이 단체는 10개 의 볼펜을 사서 잉크가 모두 닳을 때까지 걸리는 시간을 기계를 이용하여 측정 하였다. 측정된 수명은 다음과 같다.

이 고급 볼펜의 수명의 평균과 분산은 얼마로 추정할 수 있을까?

기초통계학 - 김대학 7

26.3 35.1 23.0 28.4 31.6 30.9 25.2 28.0 27.3 29.2

예제 8.2

 한 자동차 회사는 자동차의 앞 범퍼를 새로 개발했다. 새로운 범퍼는 기존의 범퍼보다 충격을 더 잘 흡수하고 차의 손상도 더 작게 한다고 한다. 이를 확인 하기 위해 시속 15km로 달려서 벽에 부딪히는 자동차 충동실험을 25회 실시하 였다. 이 충동실험에서 15회는 앞 범퍼에 눈에 보이는 손상이 전혀 없었다. 이 범퍼를 갖춘 자동차들 중에서 실제 충돌 시에 손상을 입는 차량은 어느 정도일 까?

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8.2 점추정

 표본의 특성치인 통계량을 이용하여 모수의 참값이라고 추정되는 하나의 수치 를 결정하는 것

 모집단으로부터 표본을 추출하는 방법은 표본추출 개수와 추출 방법에 따라

무수히 많으며 그 때마다 통계량 또한 달라진다.

– 많은 통계량 중에서 어느 것을 선택하여 모수를 추정하는 것이 바람직할 것인가 하는 문제점 발생.

기초통계학 - 김대학 9

점추정량의 성질

① 불편추정량(unbiased estimator)

: 모든 가능한 통계량의 값의 평균이 모수와 같게 되는 것

② 일치추정량(consistent estimator) : 표본의 크기가 커질수록 통계량의 값과 모 수가 점점 더 가까워지는 것

③ 효율추정량(efficient estimator) : 한 모수를 추정하는 통계량들 중에서 불편추 정량이 여러 개 있을 때 그 중에서 통계량의 분산이 가장 적은 성질을 갖는 통 계량

④ 충분추정량(sufficient estimator) : 모수에 대한 모든 정보를 포함

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8.2.1 모평균 (𝜇)의 추정

 평균이

𝜇

𝜎

기초통계학 - 김대학 11

추정량 : 𝜇� = 𝑋�

표준오차 : 𝑆𝑆 𝜇� = 𝑆𝑆 𝑋� =

표준오차의 추정량 : 𝑆𝑆 � 𝜇� = 𝑆/ 𝑛

(여기서 𝑆는 표본표준편차)

 모평균 𝜇을 추정할 때 추정량 표본평균 𝑋�의 성질

𝑆 𝑋� = 𝜇, 𝑠 𝑋� = 𝜎

𝑛

 추정량 𝜃̂의 기대값 𝑆 𝜃̂ 이 𝜃와 같으면 추정량 𝜃̂ 은 모수 𝜃 의 불편추정량이다.

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[모평균의 점추정 예]

다음 데이터는 위암에 걸린 환자들의 생존기간이다. 표본평균을 이용하여 평균 생존기간을 점추정 하라

.

위암 환자 생존기간 데이터(단위:일)

124 42 25 45 12 51 1112 46 103 876 146 340 396 (풀이)

∑

𝑥

= 3318 , 𝑥̅ =

= 255.23

(평균 255일 정도 생존하는 것으로 추정할 수 있음)

기초통계학 - 김대학 13

8.2.2 모분산 (𝜎

)의 추정

 표본분산 및 표본표준편차의 계산에 분모 𝑛대신 𝑛 − 1을 사용하는 이유는 추정량이 불편성을 만족하도록 하기 위해서이다

모분산의 추정량 𝜎 � = 𝑆

=

𝜎� = 𝑠 =

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8.2.2 모분산 (𝜎

)의 추정

 모분산 𝜎

의 추정량은 표본분산.

𝑆

= 1

𝑛 − 1 �(𝑋

− 𝑋�)

𝑛

𝑖=1

 만약 모평균 𝜇 를 알고 있다면, 모분산 𝜎

= 𝑆[ 𝑋 − 𝜇)

의 추정은

∑^𝑛_𝑖=1(𝑋_𝑖−𝜇)²

𝑛

를 이용

 추정량 𝑆

는 𝜎

의 불편추정량 : 𝑆 𝑆

= 𝜎

표준편차 𝜎 의 추정량은 𝑆

= 𝑆 를 사용

기초통계학 - 김대학 15

8.2.3 모비율 (𝑝)의 추정

 표본의 크기가 𝑛 인 데이터에서 관심 있는 속성을 가진 표본의 크기가 𝑋개일 때, 모비율에 대한 추정치로 표본비율을 사용하여 추정.

모비율의 추정량 : 𝑝̂ = 𝑋/𝑛

추정량의 표준오차 : 𝑆𝑆 𝑝̂ = 𝑝(1 − 𝑝)/𝑛

표준오차의 추정량 : 𝑆𝑆 � 𝑝̂ = 𝑝̂ 1 − 𝑝̂ /𝑛

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8.2.3 모비율 (𝑝)의 추정

 모비율 𝑝의 추정량

𝑝̂ = 𝑋 𝑛

 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝) 이므로 평균은 𝑛𝑝이고 표준편차는 𝑛𝑝(1 − 𝑝).

𝑆 𝑝̂ = 𝑝, 𝑠𝑠 𝑝̂ = ^{𝑝(1−𝑝)}_𝑛

(표본비율 𝑝̂ 은 모비율 𝑝 의 불편추정량)

기초통계학 - 김대학 17

8.2.3 모비율 (𝑝)의 추정

 N이 클 경우 이항분포의 정규근사에 의해 𝑝̂ ≈ 𝑁 𝑝,^{𝑝 1−𝑝}_𝑛

추정량 𝑝̂ 의 표준오차 : 𝑆𝑆 𝑝̂ =

추정된 표준오차 : 𝑆𝑆 � 𝑝̂ =

95.4% 오차한계 : 2

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8.2.4 엑셀을 이용한 점추정

 엑셀에서

데이터분석 기능을 이용

① 첫 번째 열에 데이터를 입력한다.

② [도구]메뉴에서 [데이터분석]을 선택한다. 대화상자가 나타나면 “기술통계법”

을 선택한다.

③ 입력범위를 드래그하고 옵션 중에서 “요약통계량”을 선택한다. 나중에 신 뢰구간을 구하기 위해서 필요하기 때문에 “평균에 대한 신뢰수준”도 선택 한다.

④ 평균, 분산, 표준편차는 물론 평균의 오차도 출력된다.

기초통계학 - 김대학 19

8.3 구간추정

수리정보과학과

8.3 구간추정

 점추정량은 언제나 표본오차를 수반하므로 전적으로 신뢰할 수 없음

 구간추정은 점추정과 달리 모수가 빈번히 포함되는 범위를 제공하여 연구의 목적에 따라 원하는 만큼의 신뢰성을 가지고 모수를 추정할 수 있음.

 구간추정은 신뢰도를 고려하여 모수의 참값이 속하게 될 범위를 추정하는 것

 신뢰구간(confidence interval) : 구간추정으로 설정된 구간

 유의 수준

𝛼

 신뢰도

1 − 𝛼

기초통계학 - 김대학 21

구간추정의 용어

 추정량의 표본분포를 이용하여 신뢰구간을 설정하고 구간에 모수가 포함될 확률을 결정하는 것

𝑃 𝐿 ≤ 𝜃 ≤ 𝑈 = 1 − 𝛼 𝐿, 𝑈 ∶ 통계량 𝜃: 모수

 구간 [𝐿, 𝑈]는 100 1 − 𝛼 % 신뢰구간(confidence interval)

 신뢰수준 : 신뢰구간에 부여된 확률. 모든 가능한 표본 중 오차한계를 만족시키는 표본의 비율. 1 − 𝛼 는 신뢰수준(신뢰도, confidence level)

수리정보과학과

구간추정의 성질

1) 𝜎 가 커질수록 주어진 𝛼 에 대한 구간이 넓어진다.

2) 𝑛이 커질수록 구간이 좁아진다.

3) 주어진 𝑛, 𝜎 에 대해서, 1 − 𝛼 가 커지거나 또는 𝛼가 작아질수록 더 넓은 신뢰 구간을 갖는다.

기초통계학 - 김대학 23

8.3.1 모평균 𝜇의 신뢰구간

 신뢰수준 95%의 의미 : 표본추출을 20번 반복하여 각각의 신뢰구간을 구하면 그 중 95%인 19개의 신뢰구간은 모평균을 포함하게 되며, 5%인 1개의 신뢰구 간은 모평균을 포함하지 않을 수 도 있다는 의미

 100(1 − 𝛼)% 신뢰구간의 의미

한 번의 표본추출을 통해 추정된 모수에 대한 구간.

동일한 표집방법을 이용하여 구한 신뢰구간 중 100(1 − 𝛼)%는

모수를 포함함을 의미함.

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(1) 모분산 𝜎

을 알고 있는 경우

 모분산 𝜎

𝑋�~𝑁 𝜇,^𝜎_𝑛² , 𝑍 = _{𝜎/ 𝑛}^{𝑋�−𝜇} ~𝑁 0,1 .

 따라서 𝛼가 주어졌을 때 𝑧_𝛼와 표준정규분포의 성질로부터 𝑃 −𝑍^𝛼

2 ≤ 𝑍 ≤ 𝑍^𝛼

2 = 1 − 𝛼, 𝑃 −𝑍^𝛼

2 ≤ _{𝜎/ 𝑛}^{𝑋�−𝜇} ≤ 𝑍^𝛼

2 = 1 − 𝛼, 𝑃 𝑋� − 𝑍^𝛼

2

𝜎

𝑛 ≤ 𝜇 ≤ 𝑋� + 𝑍^𝛼

2

𝜎

𝑛 = 1 − 𝛼.

 모평균 𝜇의 100 1 − 𝛼 %의 신뢰구간

기초통계학 - 김대학 25

𝑋� − 𝑍

2

𝜎

𝑛 , 𝑋� + 𝑍

2

𝜎

𝑛

수리정보과학과

예제 8.3

 [예제 8.1]에서 𝜎 = 3으로 알고 있을 경우 90%신뢰구간을 구하여라 (풀이) 위의 식을 이용하여

𝑥̅ − 𝑧_0.05 𝜎

𝑛, 𝑥̅ + 𝑧_0.05 𝜎 𝑛

= 28.5 − 1.645 3

10, 28.5 − 1.645 3

= 28.5 − 1.5606, 28.5 + 1.5606 10

= (26.9394, 30.0606).

 한편 엑셀의 함수마법사의 통계함수 NORMINV를 선택하여 표준정규분포의 𝑧_𝛼 값을 계산할 수도 있다.

기초통계학 - 김대학 27

엑셀을 이용하여 신뢰구간의 너비를 구하는 방법

 표준도구모음줄에서 “함수마법사”단추를 누른다.

 대화상자가 나타나면 함수 종류 중에서 “통계”를 클릭한다. 함수이름에서는 오른쪽의 이동막대를 조정하여 𝐶𝐶𝑁𝐶𝐶𝐶𝑆𝑁𝐶𝑆를 클릭한다.

 선택이 끝나면 <확인>단추를 누른다.

수리정보과학과

(2) 모분산의 𝜎

의 값을 모르고 소표본인 경우

 𝑡 −분포

평균이

𝜇

𝜎

𝑡 =

의 표본분포는 자유도 𝑛 − 1의 𝑡 −분포(𝑡 −distribution) 를 따른다.

기초통계학 - 김대학 29

(2) 모분산의 𝜎

을 모르고 소표본인 경우

 모집단이 정규분포를 따르고 표본의 크기 𝑛이 30미만인 소표본의 경우에 통계량 𝑡 = _{𝑆/ 𝑛}^{𝑋�−𝜇}는 자유도가 𝑛 − 1인 𝑡 − 분포를 따름을 이용하여

𝛼 값이 주어질 때, 𝑃 −𝑡^𝛼

2,𝑛−1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡^𝛼

2,𝑛−1 = 1 − 𝛼가 성립한다.

따라서 𝑃 −𝑡^𝛼

2,𝑛−1 ≤ _{𝑆/ 𝑛}^{𝑋�−𝜇} ≤ 𝑡^𝛼

2,𝑛−1 = 1 − 𝛼가 성립되며, 𝜇에 대해 정리하면 𝑃 𝑋� − 𝑡^𝛼

2,𝑛−1 𝑆

𝑛 ≤ 𝜇 ≤ 𝑋� + 𝑡^𝛼

2,𝑛−1 𝑆

𝑛 = 1 − 𝛼이다.

 모평균 𝜇의 100 1 − 𝛼 %의 신뢰구간

수리정보과학과

 𝑃 −𝑡 _{𝑛−1,𝛼 2⁄} < 𝑡 _𝑛−1 < 𝑡 _{𝑛−1,𝛼 2⁄} = 1 − 𝛼

기초통계학 - 김대학 31

예제 8.4

 [예제 8.1]에서 𝜎를 모른다고 할때 모평균의 신뢰구간을 구하여라.

(풀이) 𝑡

2,𝑛−1 𝑆

𝑛

는 신뢰수준 95.0%에서 8.2.4절의 엑셀 결과를 참조하면 2.4677이다. 따라서 모평균의 95% 신뢰구간은

28.5 − 2.4677, 28.5 + 2.4677 = (26.0323, 30.9677).

 한편, 엑셀 함수마법사의 통계함수 TINV를 선택하여 구할 수도 있다. 이렇게 구 한 값은 𝑡_0.025,9이다. 이 값에 표준오차(=표본표준편차 / 𝑛)을 곱하여 주면 마찬 가지로

수리정보과학과

(3) 모분산 𝜎

을 모르고 대표본인 경우

 표본의 크기가 30이상인 대표본의 경우 중심극한정리에 의해 𝑡 분포 대신 정규 분포를 사용하여 모평균 𝜇의 신뢰구간을 구할 수 있다. 즉, 𝑎의 값이 주어졌을 때

𝑃 −𝑧^𝛼

2 ≤ 𝑋� − 𝜇

𝑆/ 𝑛 ≤ 𝑧^𝛼

2 = 1 − 𝛼 가 성립되며, 이를 𝜇에 대해 정리하면

𝑃 𝑋� − 𝑧^𝛼

2

𝑆

𝑛 ≤ 𝜇 ≤ 𝑋� + 𝑧^𝛼

2

𝑆

𝑛 = 1 − 𝛼.

 모평균 𝜇의 100(1 − 𝛼)%의 신뢰구간

기초통계학 - 김대학 33

𝑋� − 𝑧

2

𝑆

𝑛 , 𝑋� + 𝑧

2

𝑆

𝑛

8.3.2 모비율 𝑝의 신뢰구간

 모비율 𝑝인 모집단으로부터 𝑛개의 랜덤표본 𝑋

, 𝑋

, ⋯ , 𝑋

을 추출할 때 이들 중 특정한 속성을 갖는 개수를 𝑋라고 하면 𝑋의 분포는 이항분포 𝐵 𝑛, 𝑝 이다.

 𝑝̂의 평균 : 𝑆 𝑝̂ = 𝑆

=

× 𝑛𝑝 = 𝑝

확률변수 𝑋의 기댓값 : 𝑆 𝑋 = 𝑛𝑝

확률변수 𝑋의 분산 : 𝑉𝑎𝑉 𝑋 = 𝑛𝑝 1 − 𝑝 모비율 𝑝의 추정량 𝑝̂ : 𝑝̂ = ^𝑋_𝑛

수리정보과학과

 일반적으로 모비율 𝑝를 알 수 없기 때문에 표본비율 𝑝̂ 을 대신 사용

 표본의 크기 𝑛이 충분히 큰 경우에 중심극한정리에 의하여 𝑝̂의 분포는 근사적 으로 정규분포 𝑁 𝑝̂, ^1−𝑝�_𝑛 를 따른다.

 표본비율의 표준화와 주어진 𝛼 값을 이용하여 𝑃 −𝑧^𝛼

2 ≤ 𝑝̂ − 𝑝 𝑝̂(1 − 𝑝̂)

𝑛

≤ 𝑧^𝛼

2 = 1 − 𝛼.



모비율 𝑝의 100 1 − 𝛼 %의 신뢰구간

기초통계학 - 김대학 35

𝑝̂ − 𝑧^𝛼

2 × 𝑝̂ 1 − 𝑝̂

𝑛 , 𝑝̂ + 𝑧^𝛼

2 × 𝑝̂ 1 − 𝑝̂

𝑛

예제 8.5

 어떤 정치 법안에 대해 국민의 찬반을 조사하기 위해 임의로 뽑은 100명에게 찬반 을 물었다. 그 중 60명이 찬성하였는데 전체 국민의 찬성률은 대략 어느 정도라고 할 수 있을지 95% 신뢰도로 구간추정 하시오.

(풀이) 100명 중 찬성자수 𝑋는 이항분포 𝐵(100, 𝑝)를 따른다. 여기서 𝑝는 찬성률이다.

한편 𝑝� = 60/100 = 0.6이므로 95% 신뢰구간은 다음과 같다.

𝑝� − 𝑧^𝛼

2 × 𝑝� 1 − 𝑝�

𝑛 , 𝑝� + 𝑧^𝛼

2 × 𝑝� 1 − 𝑝�

𝑛

= 0.6 − 1.96 0.6 × 0.4 0.6 × 0.4

수리정보과학과

카이제곱분포의 소개

기초통계학 - 김대학 37

카이제곱분포의 모양은 자유도에 따라 변하며,

자유도가 커지면 분포의 모양도 좌우대칭에 가까워짐

8.3.3 독립표본을 이용한 두 모평균의 𝜇

− 𝜇

에 대한 신뢰구간

 두 모집단의 모평균의 차 𝜇₁ − 𝜇₂에 대한 신뢰구간을 구하기 위해

– 독립인 두 확률표본을 이용하는 경우

– 짝 지워진 표본(paired sample)을 이용하는 경우

 독립표본의 경우는 서로 다른 두 독립모집단을 비교하고자 할 때 가장 손쉽게 생각할 수 있는 방법으로서, 각각의 모집단에서 표본을 랜덤추출하여 추정.

수리정보과학과

(1) 두 모분산 𝜎

과 𝜎

을 알때의 두 정규모집단의 경우

 두 모집단이 각각 𝑁 𝜇₁, 𝜎₁² , 𝑁 𝜇₂, 𝜎₂² 을 따를 때 크기가 각각 𝑛₁과 𝑛₂인 독 립적인 두 랜덤표본 𝑋₁, 𝑋₂, ⋯ , 𝑋_𝑛1 과 𝑋₁, 𝑋₂, ⋯ , 𝑋_𝑛2 를 얻고 이들의 표본평균을 각각 𝑋�와 𝑌�라 두자

 모분산 𝜎₁²과 𝜎₂²이 알려져 있는 경우 표본평균 𝑋�와 𝑌�의 분포는 정규분포의 특 성에 의해서 각각 𝑋�~𝑁 𝜇₁,^𝜎_𝑛¹²

1 , 𝑌�~𝑁 𝜇₂,^𝜎_𝑛²²

2 이 성립한다. 따라서 두 표본평 균의 차 𝑋� − 𝑌�의 분포는 정규분포의 특성과 표본의 독립성에 의해서

𝑋� − 𝑌�~𝑁(𝜇₁ − 𝜇₂,^𝜎_𝑛¹²

1 + ^𝜎_𝑛²²

2)로 된다.

기초통계학 - 김대학 39

 𝑋� − 𝑌�~𝑁(𝜇₁ − 𝜇₂,^𝜎_𝑛¹²

1 + ^𝜎_𝑛²²

2) 를 표준화하여 𝑍 = ^{𝑋�−𝑌� −(𝜇1−𝜇2)}

𝜎12𝑛1 +^𝜎22_𝑛2 ~𝑁 0,1 로 된다.

따라서 𝑝 −𝑧^𝛼

2 ≤ ^{𝑋�−𝑌� − 𝜇1−𝜇2}

𝜎12𝑛1+^𝜎22_𝑛2 ≤ 𝑧^𝛼

2 = 1 − α .

 𝜇

− 𝜇

에 대해 정리하면 두 모평균의 차 𝜇

− 𝜇

의 100(1 − 𝛼)%의 신뢰구간

𝑋� − 𝑌� − 𝑧 ×

+

, 𝑋� − 𝑌� + 𝑧 ×

+

.

수리정보과학과

예제

 금년에 기업체에 취업한 대졸 사원들의 초임을 남녀별로 조사하였다. 랜덤으로 추 출한 15명의 남자 대졸사원의 월별 초임의 평균은 752,000원 14명의 여자 대졸 사원 의 초임평균은 695,000원이었다. 모집단은 표준편차가 각각 22,000원과 31,000원인 정규분포를 따른다고 할 때 두 모평균의 차에 대해 95% 신뢰도로 구간추정 하시오.

(풀이) 𝑋� − 𝑌� − 𝑧^𝛼

2 × ^𝜎_𝑛¹²

1 +^𝜎_𝑛²²

2 , 𝑋� − 𝑌� + 𝑧^𝛼

2 × ^𝜎_𝑛¹²

1 + ^𝜎_𝑛²²

2

= 57,000 − 1.96 × ^22,000₁₅ ² + ^31,000₁₄ ², 57,000 + 1.96 × ^22,000₁₅ ² + ^31,000₁₄ ² = 57,000 − 19,689, 57,000 + 19,689 = (37,311, 76,689).

기초통계학 - 김대학 41

(2) 두 모분산이 미지이고 𝜎

= 𝜎

인 두 정규모집단의 경우

 표본크기가 𝑛₁과 𝑛₂ 인 두 독립표본들의 표본평균을 𝑋�와 𝑌�, 표본분산을 𝑆₁² = _𝑛¹

1−1∑ (𝑋^𝑛_𝑖=1¹ _𝑖 − 𝑋�)², 𝑆₂² = _𝑛 ¹

2−1∑ (𝑌^𝑛_𝑖=1² _𝑖 − 𝑌�)² 으로 두면 통계량 𝑇 = ^{𝑋�−𝑌� − 𝜇1−𝜇2}

𝑆_𝑝^{2 1}_𝑛1+_𝑛2¹

의 표본분포는 자유도가

𝑛

+ 𝑛

− 2

𝑡 − 분포

 두 공통분산(

의 추정치로 합동분산(pooled sample variance)

을

사용한다.

수리정보과학과

 이 표본분포를 이용하여 두 모평균의 차이에 대한 신뢰구간을 추정.

 두 모평균의 차 𝜇

− 𝜇

에 대한 100(1 − 𝛼)% 신뢰구간

기초통계학 - 김대학 43

𝑋� − 𝑌� − 𝑡^𝛼

2,𝑛₁+𝑛₂−2× 𝑆_𝑝^{2 1}_𝑛

1 + _𝑛¹

2 , 𝑋� − 𝑌� + 𝑡^𝛼

2,𝑛₁+𝑛₂−2× 𝑆_𝑝²(_𝑛¹

1 + _𝑛¹

2) .

예제 8.7

 어떤 두 정규모집단에서 어린 아이가 혼자 걷기 시작하는 나이에 차이가 있는지를 알아보기 위하여 다음과 같은 자료를 수집하였다. (단위 : 개월)

(풀이) 모분산이 같다고 가정할 때, 모평균의 차에 대해 95% 신뢰도로 구간추정 하시오.

(풀이) 미지의 동일한 두 모분산과 정규모집단의 경우이므로 95% 신뢰구간은 다음과 같다.

𝑋� − 𝑌� − 𝑡^𝛼

2,𝑛¹+𝑛₂−2× 𝑆_𝑝² 1 𝑛₁ + 1

𝑛₂ , 𝑋� − 𝑌� + 𝑡^𝛼

2,𝑛¹+𝑛₂−2× 𝑆_𝑝²( 1 𝑛₁ + 1

𝑛₂) A집단 9.5, 10.5, 9.0, 9.75, 10.0, 13.0, 10.0, 13.5, 10.0, 9.5, 10.0, 9.75 B집단 12.5, 9.5, 13.5, 13.75, 12.0, 13.75, 12.5, 9.5, 12.0, 13.5, 12.0, 12.0

수리정보과학과

(3) 모분산 𝜎

과 𝜎

을 알고 𝜎

≠ 𝜎

인 두 정규모집단의 경우

 두 정규모집단 𝑁(𝜇₁, 𝜎₁²)과 𝑁 𝜇₂, 𝜎₂² 으로부터 크기가 각각 𝑛₁과 𝑛₂이고 독립 인 두 확률표본들의 각 표본평균을 𝑋�와 𝑌�라고 하고 표본분산을 𝑆₁², 𝑆₂²으로

두면

𝑇 =

𝑆12𝑛1 +^𝑆22_𝑛2

( 자유도

𝑣 =

𝑛12 𝑛1−1 + ^𝑠24

𝑛22 𝑛2−1

)

의 표본분포는 자유도가

𝑣

𝑡 − 분포

기초통계학 - 김대학 45

 이 경우

두 모평균의 차 𝜇

− 𝜇

의 100(1 − 𝛼)% 신뢰구간

𝑋� − 𝑌� − 𝑡^𝛼

2,𝑣× 𝑆₁²

𝑛₁ + 𝑆₂²

𝑛₂ , 𝑋� − 𝑌� + 𝑡^𝛼

2,𝑣× 𝑆₁²

𝑛₁ + 𝑆₂² 𝑛₂

수리정보과학과

(4) 두 모분산 𝜎

과 𝜎

이 알려져 있지 않고 대표본인 경우

 두 모평균의 차 𝜇

− 𝜇

의 100(1 − 𝛼)% 신뢰구간 (정규분포를 이용하여 계산)

기초통계학 - 김대학 47

𝑋� − 𝑌� − 𝑧^𝛼

2× 𝑆₁²

𝑛₁ + 𝑆₂²

𝑛₂ , 𝑋� − 𝑌� + 𝑧^𝛼

2× 𝑆₁²

𝑛₁ + 𝑆₂² 𝑛₂

8.3.4 짝진 표본을 이용한 모평균의 차 𝜇

− 𝜇

에 대한 신뢰구간

 한 집단으로부터 랜덤하게 추출한 𝑛개의 개체들을 대상으로 관심이 있는 바를 서로 다른 두 시점에서 각각 측정하여 얻은 크기가 𝑛인

짝 지워진 특정 표본을

수리정보과학과

 짝 지워진 표본의 경우, 관찰된 𝑛쌍의 차 𝐶_𝑖를 계산해서 평균 𝐶�와 표준편차 𝑆_𝐷 를 구한다.

기초통계학 - 김대학 49

모집단 1의 표본(𝑋_𝑖)

모집단 2의

표본(𝑌_𝑖) 차이 𝐶_𝑖 = 𝑋_𝑖 −𝑌_𝑖

𝑋₁ 𝑌₁ 𝐶₁ = 𝑋₁ −𝑌₁

𝑋₂ 𝑌₂ 𝐶₂ = 𝑋₂ −𝑌₂

⋮ ⋮ ⋮

𝑋_𝑛 𝑌_𝑛 𝐶_𝑛 = 𝑋_𝑛 −𝑌_𝑛

𝐶_𝑖의 평균 𝐶_𝑖의 분산

𝐶� = � 𝐶_𝑖/𝑛 𝑆_𝐷² = �(𝐶_𝑖 − 𝐶�)²/𝑛

 𝐶₁, 𝐶₂, ⋯ , 𝐶_𝑛 은 모평균이 𝜇_𝐷 = 𝜇₁ − 𝜇₂이고 모분산이 𝜎_𝐷²인 모집단으로부터 얻은 크기가 𝑛인 확률표본으로 간주

 짝 지워진 표본을 이용하여 모평균 𝜇_𝐷 = 𝜇₁ − 𝜇₂에 대한 100 1 − 𝛼 %인 신뢰 구간을 추정하는 경우

– 모분산 𝜎_𝐷² 이 알려져 있는 정규모집단인 경우

– 모분산 𝜎

이 알려져 있지 않은 정규모집단인 경우

로 구분하여 추정.

수리정보과학과

모분산 𝜎

이 알려져 있지 않은 경우 모집단의 모평균 𝜇

에 대한 신뢰구간

 통계량 𝑇 = (𝐶� − 𝜇_𝐷)/(𝑆_𝐷/ 𝑛)는

자유도가 𝑛 − 1인 𝑡 − 분포

기초통계학 - 김대학 51

(𝐶� − 𝑡

2,𝑛−1

𝑆

𝑛 , 𝐶� + 𝑡

2,𝑛−1

𝑆

𝑛 )

모평균 𝜇

= 𝜇

− 𝜇

에 대한 100 1 − 𝛼 % 근사 신뢰구간

 표본크기가 𝑛 ≥ 30이면, 모집단이 정규분포를 따르지 않더라도 흔히 이 모집 단의 모평균 𝜇_𝐷 = 𝜇₁ − 𝜇₂에 대한 100 1 − 𝛼 % 근사 신뢰구간으로 다음구간을 이용한다.

(𝐶� − 𝑧

2,𝑛−1

𝑆

𝑛 , 𝐶� + 𝑧

2,𝑛−1

𝑆

𝑛 )