수학 <하>

정답과 풀이

Ⅰ . 집합과 명제

Ⅱ . 함수

Ⅲ . 경우의 수

수학 <하>

집합과 명제

빠른 정답 체크

유형 01^② 01-1 ^③ 01-2 ^③

유형 02 ^⑤ 02-1 456 유형 03 ^③ 03-1 ^①

유형 04 ^② 04-1 ^⑤

유형 05 ^④ 05-1 ^④

유형 06 ^③ 06-1 ^④ 06-2 ^①

01 ^⑤ 02 ^⑤ 03 ^④ 04 ^④ 05 ^⑤ 06 ^⑤ 07 ^④ 08 ^④ 09 ^③

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01 ^{집합의 뜻과 표현}

본문 09~11쪽

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빈출 유형 | | 빈출 유형 마무리 |

02 ^{집합의 연산}

유형 01 ④ 01-1 ③

유형 02 ^① 02-1 ¹ 02-2 ^⑤

유형 03 ⑤ 03-1 ④

유형 04 ^② 04-1 11 04-2 ¹⁰

유형 05 19 05-1 ①

유형 06 ⁹ 06-1 ¹⁷ 06-2 ¹⁰

본문 15~17쪽

|

빈출 유형 |

01 ④ 02 ④ 03 24 04 ② 05 ④ 06 ④ 07 ^① 08 ^② 09 ^④

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본문 18~19쪽

| 빈출 유형 마무리 |

03 ^명제

유형 01 ^② 01-1 ^① 01-2 23 유형 02 ^④ 02-1 ^④ 02-2 ^③

유형 03 ^② 03-1 ^②

유형 04 ^④ 04-1 ^④ 04-2 ^④

유형 05 ^② 05-1 2kÛ`-2k, 홀수 유형 06 ^④ 06-1 ^③

유형 07 ^① 07-1 ^③

유형 08 ^③ 08-1 ^① 08-2 ^②

본문 21~24쪽

|

빈출 유형 |

01 ^② 02 ^④ 03 ^④ 04 5 05 ^② 06 ^④ 07 ^⑤ 08 ⁴ 09 ^①

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본문 25~26쪽

| 빈출 유형 마무리 |

Speed Check

유형 01 ^③ 01-1 ^-;3!;ÉxÉ;2!; 01-2 ^①

유형 02 ^③ 02-1 ^⑤ 02-2 ^⑤

유형 03 ④ 03-1 ② 03-2 ④ 유형 04 ^③ 04-1 ^③ 04-2 ^②

유형 05 ⑤ 05-1 ⑤ 유형 06 ^④ 06-1 ^④

유형 07 -4Ék<-:Á4°: 07-1 ^⑤ 07-2 ^④

유형 08 ^④ 08-1 ^⑤

01 ^④ 02 ^③ 03 ^① 04 ^④ 05 ^① 06 ^⑤ 07 ^③ 08 ^④ 09 ^⑤

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04 ^{무리식과 무리함수}

본문 45~48쪽

|

빈출 유형 | | 빈출 유형 마무리 |

03 ^{유리식과 유리함수}

유형 01 ^③ 01-1 ^① 01-2 ^②

유형 02 ^④ 02-1 ^②

유형 03 ^④ 03-1 ⁸

유형 04 24 04-1 ^⑤ 04-2 ^①

유형 05 ⁴ 05-1 ^ㄱ

유형 06 ^{ㄱ, ㄴ} 06-1 ^{ㄴ, ㄷ} 06-2 ^⑤

유형 07 ^④ 07-1 ^③

유형 08 ^① 08-1 ^④ 08-2 6

본문 38~41쪽

|

빈출 유형 |

01 ^② 02 ^⑤ 03 ^⑤ 04 ^② 05 ^① 06 ^① 07 6 08 ^④ 09 ^②

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본문 42~43쪽

| 빈출 유형 마무리 |

유형 01 ③ 01-1 ① 01-2 ⑤ 유형 02 -1 02-1 ^③

유형 03 ④ 03-1 ① 03-2^④

유형 04 ^③ 04-1 ^② 04-2 9

01 ④ 02 ③ 03 ① 04 ③ 05 ③ 06 ④ 07 ³ 08 ⁵

본문 29~30쪽

|

빈출 유형 | | 빈출 유형 마무리 |

02 ^{합성함수와 역함수}

유형 01 ⁰ 01-1 ¹⁰ 01-2 ^①

유형 02 ^② 02-1 1

유형 03 ^④ 03-1 ^② 03-2 ³

유형 04 ^⑤ 04-1 -3 04-2 ^③

본문 33~34쪽

|

빈출 유형 |

01 ^② 02 ^③ 03 ^④ 04 ^③ 05 ^④ 06 ^① 07 ^④ 08 ① 09 10

10

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본문 35~36쪽

| 빈출 유형 마무리 |

빠른 정답 체크

Speed Check

03 ^조합

유형 01 ^② 01-1 ^⑤

유형 02 ^① 02-1 ^② 02-2 ^③

유형 03 ^④ 03-1 ^② 03-2 72 유형 04 ^③ 04-1 ^④

유형 05 ^③ 05-1 ^② 05-2 ^①

유형 06 360 06-1 630

본문 64~66쪽

|

빈출 유형 |

01 ^③ 02 ^③ 03 ^③ 04 ^⑤ 05 ^②

06 ¹⁹² 07 ^⑤ 08 ^⑤ 09 ^⑤

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본문 67~68쪽

| 빈출 유형 마무리 |

경우의 수

유형 01 ② 01-1 ① 01-2 ③ 유형 02 ^③ 02-1 ^④

유형 03 ② 03-1 20 03-2 ④ 유형 04 ^⑤ 04-1 ^③

유형 05 24 05-1 12 05-2 ⑤ 유형 06 ^① 06-1 ^④

01 ② 02 ④ 03 54 04 ③ 05 96 06 ⁵⁴⁰ 07 ^① 08 ²⁰

01 ^{경우의 수}

본문 53~55쪽

|

빈출 유형 | | 빈출 유형 마무리 |

02 ^순열

유형 01 ^③ 01-1 ^⑤

유형 02 ^③ 02-1 ^⑤ 02-2 ^⑤

유형 03 ⁵⁷⁶ 03-1 ^④ 03-2 ⁵⁷⁶

유형 04 ^③ 04-1 ^④

유형 05 ^② 05-1 ³⁰⁶ 05-2 ^③

유형 06 ^③ 06-1 ^④

본문 58~60쪽

|

빈출 유형 |

01 ^⑤ 02 ^① 03 ^③ 04 ^⑤ 05 ¹²⁰ 06 ^⑤ 07 11 08 ^② 09 288

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본문 61~62쪽

| 빈출 유형 마무리 |

Ⅰ. 집합과 명제

유형 01

집합 A의 원소 x에 대하여 '¶x 는 7보다 작은 자연수이므로 '¶x =1, 2, 3, 4, 5, 6

즉, x=1, 4, 9, 16, 25, 36

∴ A={1, 4, 9, 16, 25, 36}

따라서 집합 A의 원소가 아닌 것은 ② 5이다. ^{ ②} 01-1

1+i1-i =(1+i)(1+i)

(1-i)(1+i)=i이므로 자연수 n에 대하여 차례대로

i Ú`=i, i Û`=-1, i Ü`=-i, i Ý`=1, i Þ`=i, y

∴ A={i, -1, -i, 1}

따라서 집합 A의 원소가 아닌 것은 ③ 0이다.  ③

01-2

집합 A의 원소 a와 집합 B의 원소 b에 대하여 ab의 값을 구하면 다음 표와 같다.

a b -1 0 1

1 -1 0 1

2 -2 0 2

3 -3 0 3

따라서 C={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}이므로 집합 C의 원소의 합은

-3+(-2)+(-1)+0+1+2+3=0  ③

유형 02

50보다 작은 3의 양의 배수는 3, 6, 9, 12, y, 48의 16개이므로 n(A)=16

한편, 100의 양의 약수는

1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100의 9개이므로 n(B)=9

∴ n(A)+n(B)=16+9=25

보충 설명

100=2Û`_5Û`이므로 양의 약수의 개수는 (2+1)_(2+1)=3_3=9

∴ n(B)=9  ⑤

02-1

100 이하의 2의 양의 배수는 2, 4, 6, y, 100의 50개이므로

01 ^|

내신&수능 빈출 유형 ^{본문 09~11쪽}

집합의 뜻과 표현

n(A)=50

이때, n(A)=n(B)에서 k보다 작은 3의 양의 배수는 50개이므로 3_50=150, 3_51=153

에서 150<kÉ153

즉, 자연수 k는 151, 152, 153

따라서 구하는 모든 자연수 k의 값들의 합은

151+152+153=456  456

유형 03

A={1, 2, 3, 4, 5}라 하면

① ∅,A

② {3, 5},A

③ xÛ`-8x+12=0에서 (x-2)(x-6)=0

∴ x=2 또는 x=6

따라서 주어진 집합을 원소나열법으로 나타내면 {2, 6}이므로 {2, 6}øA

④ {1, 2, 3, 4, 5},A

⑤ 주어진 집합을 원소나열법으로 나타내면 {1, 2, 4}이므로 {1, 2, 4},A

따라서 집합 {1, 2, 3, 4, 5}의 부분집합이 아닌 것은 ③이다.

 ③

03-1

주어진 세 집합을 각각 원소나열법으로 나타내면 A={1, 2, 3, 6}, B={2, 4, 8},

C={1, 2, 3, 4, 6, 12}이므로 AøB

따라서 옳지 않은 것은 ①이다.  ①

유형 04

① {∅}은 집합 A의 원소이므로 {∅}<A

② ∅²A이므로 {∅, 1}øA

③ 1<A이므로 {1},A

④ 0<A, 1<A이므로 {0, 1},A

⑤ {0, 1}은 집합 A의 원소이므로 {0, 1}<A

따라서 옳지 않은 것은 ②이다.  ②

04-1

① 공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 ∅,A

② 0<A이므로 {0},A

③ {1, 2}는 집합 A의 원소이므로 {1, 2}<A

④ 1<A, 2<A이므로 {1, 2},A

⑤ {0, 1, 2}는 집합 A의 원소가 아니므로 {0, 1, 2}²A

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.  ⑤

유형 05

A,B이면 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속하므로 2<B이 다.

∴ aÛ`+1=2 또는 3a-7=2

Ú aÛ`+1=2, 즉 a=Ñ1일 때,

a=1이면 A={1, 2}, B={-4, 1, 2}이므로 A,B a=-1이면 A={-1, 2}, B={-10, 1, 2}이므로 AøB 따라서 주어진 조건을 만족시키는 a의 값은 1이다.

Û 3a-7=2, 즉 a=3일 때,

A={2, 3}, B={1, 2, 10}이므로 AøB 따라서 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

Ú, Û에서 a=1  ④

05-1

A=B이므로 -2<A, 4<A이다.

이때, a-5<a+1이므로 a-5=-2, a+1=4

∴ a=3

a=3을 각 집합에 대입하면 A={-2, 4, 3}, B={-2, 3, 4}

이므로 A=B

따라서 조건을 만족시키는 a의 값은 3이다.

다른 풀이

A=B이므로 3<B이다. 즉, aÛ`-6=3, aÛ`=9 ∴ a=Ñ3 Ú a=-3일 때,

A={-8, -2, 3}, B={-2, 3, 4}이므로 A+B

따라서 조건을 만족시키지 않는다.

Û a=3일 때,

A={-2, 4, 3}, B={-2, 3, 4}이므로 A=B

Ú, Û에서 a=3 ^{ ④}

유형 06

A,X,B이므로 집합 X의 개수는 집합 B={a, b, c, d, e}의 부분집합 중 a, b를 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수와 같다.

∴ 2^5-2=2Ü`=8  ③

06-1

집합 A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}의 부분집합 중 가장 큰 원소가 7이려면 집합 A의 원소 중에서 7은 반드시 포함하고, 8, 9, 10은 포함하지 않아야 한다.

따라서 구하는 부분집합의 개수는

2^10-1-3=2⁶=64  ④

06-2

집합 A의 부분집합의 개수는 2Ý`=16

집합 A의 원소 중에서 홀수인 원소는 1, 3이므로 홀수인 원소를 하나도 갖지 않는 집합 A의 부분집합의 개수는

2^4-2=4

따라서 집합 A의 부분집합 중 적어도 한 개의 홀수를 원소로 갖는

빈출 유형 마무리 ^{본문 12~13쪽}

01 ^⑤ 02 ^⑤ 03 ^④ 04 ^④ 05 ^⑤ 06 ^⑤ 07 ^④ 08 ^④ 09 ^③

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01

B={1, 2, 3, 4, 5}이므로

① 0N²B

② 10²B

③ n(B)=5

④ n(A)=8, n(B)=5이므로 n(A)+n(B)

⑤ B,A

따라서 옳은 것은 ⑤이다.  ⑤

02

ㄱ. ∅은 원소가 하나도 없는 집합이므로 0²∅ (거짓)

ㄴ. A={x|x는 10보다 작은 자연수}라 하면 A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

이므로 집합 {2, 5}는 집합 A의 부분집합이다. (참) ㄷ. n({1, 2, 5})=3, n({2, 3, 5, 7})=4이므로

n({1, 2, 5})<n({2, 3, 5, 7}) (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.  ⑤

03

a<N, 6a <N이어야 하므로 자연수 a는 6의 양의 약수이어야 한다.

따라서 A={1, 2, 3, 6}이므로

n(A)=4 ^{ ④}

04

자연수 n에 대하여 차례대로

i Ú`=i, i Û`=-1, i Ü`=-i, i Ý`=1, i Þ`=i, …이므로 A={i, -1, -i, 1}

집합 A의 두 원소 zÁ, zª에 대하여 zÁ+zª의 값을 구하면 다음 표 와 같다.

zÁ zª i -1 -i 1

i 2i -1+i 0 1+i

-1 -1+i -2 -1-i 0

-i 0 -1-i -2i 1-i

1 1+i 0 1-i 2

따라서 B={-2i, 2i, -1-i, -1+i, 1-i, 1+i, -2, 0, 2}

이므로 집합 B의 원소의 개수는 9이다.  ④ 부분집합의 개수는

16-4=12  ①

05

① 공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 ∅,A

② 1은 집합 A의 원소이므로 1<A

③ {1, 2}는 집합 A의 원소이므로 {1, 2}<A

④ 1<A이므로 {1},A

⑤ 2²A이므로 {2}øA

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.  ⑤

06

Aû=∅이려면 x에 대한 이차방정식 xÛ`-2kx+9k=0이 실근을 갖지 않아야 한다.

즉, 이차방정식 xÛ`-2kx+9k=0의 판별식을 D라 하면 D4 =kÛ`-9k<0

k(k-9)<0 ∴ 0<k<9

따라서 구하는 모든 정수 k의 값들의 합은

1+2+3+4+5+6+7+8=36  ⑤

07

A={1, 2, 3, 6}이고 A,B이므로 1<B, 2<B, 3<B, 6<B

따라서 a=3, b=6 또는 a=6, b=3이므로

a+b=3+6=9  ④

08

A,B이고 B,A이면 A=B이므로 -2<A, 5<A이다. 즉, a-6=-2, a+1=5 ∴ a=4

a=4를 주어진 집합에 대입하면

A={-2, 4, 5}, B={-2, 4, 5}이므로 A=B

따라서 조건을 만족시키는 a의 값은 4이다. ^{ ④}

09

A={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}이고, B,A이므로 a<A, a+5<A

이때, 집합 A의 원소 중에서 두 수의 차가 5인 두 원소는 1, 6 또는 5, 10 또는 10, 15이다.

Ú a=1, a+5=6일 때, B={1, 6, 30}이므로 n(B)=3

따라서 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

Û a=5, a+5=10일 때, B={5, 6, 10, 30}이므로 n(B)=4

Ü a=10, a+5=15일 때, B={6, 10, 15, 30}이므로 n(B)=4

Ú ~ Ü에서 구하는 a의 값들의 합은

5+10=15  ③

10

A,B이므로 자연수 n은 6의 배수이고 B,C이므로 자연수 n은 24의 약수이다.

따라서 6의 배수이면서 24의 약수인 수는 6, 12, 24이다.

이때, 세 집합 A, B, C는 서로 같지 않으므로

n=12  12

11

적어도 한 개의 홀수를 원소로 갖는 부분집합의 개수는 전체 부분 집합의 개수에서 짝수만을 원소로 갖는 부분집합의 개수를 뺀 것 과 같다.

이때, A={2, 3, 5, 7, 11}이고, 짝수인 원소는 2 하나뿐이므로 집합 A의 부분집합 중 짝수만을 원소로 갖는 부분집합의 개수는 2Ú`=2

따라서 구하는 부분집합의 개수는

2Þ`-2=32-2=30  ①

12

집합의 모든 원소의 곱이 홀수이려면 원소가 모두 홀수이어야 한다.

이때, 집합 A에서 홀수인 원소는 1, 3, 5, 7의 4개이다.

따라서 홀수만을 원소로 갖는 집합 A의 부분집합의 개수는 공집 합은 제외되므로

2Ý`-1=15  ③

13

집합 P(A)는 집합 A의 부분집합을 원소로 갖는 집합이다.

n(A)=3이므로 집합 A의 부분집합의 개수는 2Ü`=8

∴ n(P(A))=8

따라서 집합 P(A)의 부분집합의 개수는

2¡`=256  ③

14

집합 A의 원소 x와 집합 B의 원소 y에 대하여 x+y의 값을 구하 면 다음 표와 같다.

y x 1 2 3 4 a

1 2 3 4 5 a+1

3 4 5 6 7 a+3

5 6 7 8 9 a+5

∴ X={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a+1, a+3, a+5}

이때, n(X)=10이 되려면

a+1, a+3, a+5 중 하나만 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 중 하나와 같 은 수이어야 한다.

자연수 a가 최댓값을 가지려면 a+1, a+3, a+5 중 가장 작은 값이 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 중 가장 큰 값과 같으면 되므로

a+1=9 ∴ a=8  8

531 Project Speedy

15

가장 작은 원소에 따라 집합 S의 부분집합의 개수를 구하면 다음 과 같다.

Ú 가장 작은 원소가 1인 경우,

1을 원소로 갖는 부분집합 중 원소의 개수가 2 이상인 집합이 므로 집합 {2, 3, 4, 5}의 공집합이 아닌 부분집합의 개수와 같다.

∴ 2Ý`-1=15

Û 가장 작은 원소가 2인 경우,

2를 원소로 갖고 1은 원소로 갖지 않는 부분집합 중 원소의 개 수가 2 이상인 집합이므로 집합 {3, 4, 5}의 공집합이 아닌 부 분집합의 개수와 같다.

∴ 2Ü`-1=7

Ü 가장 작은 원소가 3인 경우,

3을 원소로 갖고 1, 2는 원소로 갖지 않는 부분집합 중 원소의 개수가 2 이상인 집합이므로 집합 {4, 5}의 공집합이 아닌 부 분집합의 개수와 같다.

∴ 2Û`-1=3

Ý 가장 작은 원소가 4이고 원소의 개수가 2 이상인 부분집합은 {4, 5} 하나뿐이다.

Þ 가장 작은 원소가 5이고 원소의 개수가 2 이상인 부분집합은 존재하지 않는다.

Ú ~ Þ에서 각 집합의 가장 작은 원소를 모두 더한 값은

1_15+2_7+3_3+4_1=42  ①

16

10 이하의 자연수 n에 대하여 f(n)은 n을 반드시 원소로 갖고, 1, 2, y, n-1은 원소로 갖지 않는 집합 X의 부분집합의 개수이 므로

f(n)=2^10-n

ㄱ. f(8)=2^10-8=4 (참)

ㄴ. a<b이면 10-a>10-b이므로 2^10-a>2^10-b

∴ f(a)> f(b) (거짓)

ㄷ. f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+f(9)

=2á`+2à`+2Þ`+2Ü`+2Ú`=682 (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.  ③

Ⅰ. 집합과 명제

유형 01

A={1, 2, 4}, A;B={4}이므로 1²B, 2²B, 4<B

한편, A={1, 2, 4}, A'B={1, 2, 3, 4, 5, 6}이므로 3<B, 5<B, 6<B

∴ B={3, 4, 5, 6}

다른 풀이

B-A=(A'B)-A={3, 5, 6}

∴ B =(A;B)'(B-A)

={4}'{3, 5, 6}={3, 4, 5, 6}

다른 풀이

주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타내면 다음 그림과 같다.

B A 1

2 4 3 5 6

∴ B={3, 4, 5, 6}  ④

01-1

A={1, 3, 5}, A-B={1, 5}이므로 A;B={3}

즉, 1²B, 3<B, 5²B 한편, B-A={2, 6}이므로 2<B, 6<B

∴ B={2, 3, 6}

다른 풀이

A-B=A-(A;B)에서 A;B =A-(A-B)

={1, 3, 5}-{1, 5}

={3}

∴ B =(A;B)'(B-A)

={3}'{2, 6}

={2, 3, 6}

다른 풀이

주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.

B A 1

5 3 2

6

∴ B={2, 3, 6}  ③

02 ^|

내신&수능빈출 유형 ^{본문 15~17쪽}

집합의 연산

유형 02

A;B={1, 3}이므로 3<A 따라서 aÛ`-6=3에서 aÛ`-9=0

(a+3)(a-3)=0 ∴ a=-3 또는 a=3 Ú a=-3일 때,

A={1, 2, 3}, B={1, 3, 4}이므로 A;B={1, 3}

Û a=3일 때,

A={1, 2, 3}, B={4, 7, 15}이므로 A;B=∅

따라서 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

Ú, Û에서 a=-3 ^{ ①}

02-1

A;B={-1, 2}이므로 2<A

따라서 aÛ`+a=2에서 aÛ`+a-2=0이므로 (a+2)(a-1)=0 ∴ a=-2 또는 a=1 Ú a=-2일 때,

A={-1, 0, 2}, B={2, 5, 7}이므로 A;B={2}

따라서 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

Û a=1일 때,

A={-1, 0, 2}, B={-1, 2, 4}이므로 A;B={-1, 2}

Ú, Û에서 a=1  1

02-2

A-B=A-(A;B)={5}이므로 A;B={1, 2, 2a-b}

B={1, 7, a-2b}이므로 2a-b=7, a-2b=2

두 식을 연립하여 풀면 a=4, b=1

∴ a+b=4+1=5  ⑤

유형 03

A;B=A이므로 A,B

① A,B이면 A'B=B

② A,B이면 A-B=∅

③ A,B이면 B‚` ,A‚` ``

④ A,B이면 A‚` 'B=U

⑤ U={1, 2, 3}, A={1}, B={1, 2}일 때,

A‚` ;B=B-A={2}+∅

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.  ⑤

03-1

A'B=A이므로 B,A

① B,A이면 A;B=B

② B,A이면 A‚` ,B‚` ``

③ B,A이면 B-A=∅

④ U={1, 2, 3}, A={1, 2}, B={1}일 때,

A‚` 'B={1, 3}+U

⑤ B,A이면 A‚` ;B=B-A=∅

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.  ④

U B

A≤B A

U A

B≤A B

유형 04

(A;B);(A‚` ;B‚` )‚` =(A;B);{(A'B)‚` }‚` `

=(A;B);(A'B)

=A;B={1, 6}

따라서 구하는 집합의 원소의 개수는 2이다.  ②

04-1

{A;(A‚` 'B)}'{(A‚` 'B‚` )‚` ;C}

={(A;A‚` )'(A;B)}'{(A;B);C}

={∅'(A;B)}'(A;B;C)

=(A;B)'(A;B;C)

=A;B

주어진 벤다이어그램에서 A;B={5, 6}

따라서 구하는 집합의 모든 원소의 합은

5+6=11 ^{ 11}

04-2

A°;(A¢'AÁ¼) =(A°;A¢)'(A°;AÁ¼) yy ㉠ A°;A¢={20, 40, 60, y}=Aª¼

A°;AÁ¼={10, 20, 30, y}=AÁ¼

㉠에서

A°;(A¢'AÁ¼)=Aª¼'AÁ¼={10, 20, 30, y}=AÁ¼

따라서 전체집합 U의 원소 중 10의 배수는 10, 20, 30, y, 100 이므로 구하는 원소의 개수는 10이다.  10

유형 05

n(A-B)=n(A)-n(A;B)이므로 n(A;B)=n(A)-n(A-B)=15-12=3

∴ n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B)

=15+7-3=19

다른 풀이

n(A-B)=n(A'B)-n(B)에서

n(A'B)=n(A-B)+n(B)=12+7=19 ^{ 19} 05-1

A‚` ;B‚` =(A'B)‚` 이므로

n(A‚` ;B‚` )=n((A'B)‚` )=n(U)-n(A'B)

∴ n(A'B) =n(U)-n(A‚` ;B‚` )

=35-5=30

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서 n(A;B) =n(A)+n(B)-n(A'B)

=18+13-30=1  ①

유형 06

어느 학급의 학생 전체의 집합을 U, 버스를 이용하여 통학하는 학 생의 집합을 A, 지하철을 이용하여 통학하는 학생의 집합을 B라 하면

n(U)=30, n(A)=18, n(B)=13, n(A;B)=10

∴ n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B)

=18+13-10=21

01

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}에서 A‚` ={4, 5, 7, 8, 9, 10}

B‚` ={2, 4, 6, 8, 10}

∴ A‚` ;B‚` ={4, 8, 10}

따라서 집합 A‚` ;B‚` 의 모든 원소의 합은 4+8+10=22

다른 풀이

드모르간의 법칙에 의하여 A‚` ;B‚` =(A'B)‚`

빈출 유형 마무리 ^{본문 18~19쪽}

01 ④ 02 ④ 03 24 04 ② 05 ④ 06 ④ 07 ^① 08 ^② 09 ^④

10

11

12

13

14

15

16

버스와 지하철 중 어느 것도 이용하지 않는 학생의 집합은 A‚` ;B‚` 이므로

n(A‚` ;B‚` ) =n((A'B)‚` )

=n(U)-n(A'B)

=30-21=9  9

06-1

현진이네 반 학생들 중 시를 제출한 학생의 집합을 A, 산문을 제 출한 학생의 집합을 B라 하면

n(A'B)=40, n(A)=28, n(B)=23

∴ n(A;B) =n(A)+n(B)-n(A'B)

=28+23-40=11

이때, 시만 제출한 학생의 집합은 A-B이므로 n(A-B) =n(A)-n(A;B)

=28-11=17

보충 설명

n(A-B)=n(A'B)-n(B)=40-23=17  17

06-2

어느 학급의 학생 전체의 집합을 U, 수학을 좋아하는 학생의 집합 을 A, 영어를 좋아하는 학생의 집합을 B라 하면

n(U)=40, n(A)=15, n(B)=20, n(A;B)=5

∴ n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B)

=15+20-5=30

두 과목 중 어느 것도 좋아하지 않는 학생의 집합은 A‚` ;B‚` 이므 로

n(A‚` ;B‚` ) =n((A'B)‚` )

=n(U)-n(A'B)

=40-30=10  10

이때, U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}이고, A'B={1, 2, 3, 5, 6, 7, 9}이므로

(A'B)‚` ={4, 8, 10}

따라서 집합 A‚` ;B‚` 의 모든 원소의 합은

4+8+10=22  ④

02

A;X=X이므로 X,A

(A;B)'X=X이므로 (A;B),X

∴ (A;B),X,A yy ㉠

이때, A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B={3, 5, 7}이므로 A;B={3, 5}

즉, ㉠을 원소나열법으로 나타내면 {3, 5},X,{1, 2, 3, 4, 5, 6}

따라서 집합 X의 개수는 집합 A의 부분집합 중 3, 5를 반드시 원 소로 갖는 부분집합의 개수와 같다.

∴ 2^6-2=2Ý`=16 ^{ ④}

03

조건 ㈎에 의하여 전체집합 U={1, 2, 3, 4}의 부분집합 중 원소 의 개수가 2인 집합은 {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}이므로 집합 A의 개수는 6이다.

만일 A={1, 2}라 하면 조건 ㈏에 의하여 A;B=∅이므로 집 합 B는 1, 2를 원소로 갖지 않는다.

즉, 집합 B의 개수는 전체집합 U의 부분집합 중 1, 2를 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수이므로

2^4-2=2Û`=4

마찬가지 방법으로 집합 A가 {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}일 때, 집합 B의 개수는 각각 4이다.

따라서 두 집합 A, B의 순서쌍 (A, B)의 개수는

6_4=24  24

04

① A‚` ;(B'C) ③ A;(B'C)

A

B C

U

`

A

B C

U

④ A‚` ;(B-C) ⑤ A‚` ;(C-B)

A

B C

U

`

A

B C

U

따라서 벤다이어그램의 색칠한 부분이 나타내는 집합은 ②이다.

 ②

05

A¤'AÁª={6, 12, 18, y}=A¤

즉, A¤,Ap를 만족시키는 p는 6의 약수이므로 자연수 p의 최댓 값은 6이다.

A£;A¢={12, 24, 36, y}=AÁª

즉, Aq,AÁª를 만족시키는 q는 12의 배수이므로 자연수 q의 최솟 값은 12이다.

따라서 구하는 자연수 p의 최댓값과 자연수 q의 최솟값의 합은

6+12=18  ④

06

A'(B'C‚` )‚` =A'(B‚` ;C)

=A'(C-B)

이때, A={1, 3, 5}, C-B={2, 7}이므로 A'(C-B)={1, 2, 3, 5, 7}

따라서 집합 A'(B'C‚` )‚` 의 원소의 개수는 5이다. ^{ ④}

07

(A-B)'(B-A)=(A'B)-(A;B)이므로 (A'B)-(A;B)={0, 1}

한편, 2<B, 2²{(A'B)-(A;B)}이므로 2<(A;B)

∴ 2<A

Ú a+1=2, 즉 a=1일 때,

A={0, 2, 3}, B={1, 2, 3}이므로 (A-B)'(B-A)={0, 1}

Û aÛ`-1=2, 즉 a=Ñ'3일 때,

a='3이면 A={2, 1+'3, 3}, B={'3, 2, 3}이므로 (A-B)'(B-A)={'3, 1+'3}

따라서 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

a=-'3이면 A={1-'3, 2, 3}, B={-'3, 2, 3}이므로 (A-B)'(B-A)={-'3, 1-'3}

따라서 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

Ú, Û에서 a=1

∴ A={0, 2, 3}

따라서 집합 A의 모든 원소의 합은 0+2+3=5

다른 풀이

(A-B)'(B-A)={0, 1}에서 (A'B)-(A;B)={0, 1}이므로 0<B 또는 1<B

Ú a=0일 때, A={-1, 1, 3}, B={0, 2, 3}이므로 (A-B)'(B-A)={-1, 0, 1, 2}

따라서 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

Û a=1일 때, A={0, 2, 3}, B={1, 2, 3}이므로 (A-B)'(B-A)={0, 1}

Ú, Û에서 a=1이므로 A={0, 2, 3}

따라서 집합 A의 모든 원소의 합은

0+2+3=5  ①

08

(A;B‚` )'(A‚` ;B)

=(A-B)'(B-A)

이므로 벤다이어그램으로 나타내면 오 른쪽 그림과 같다.

이때, 1<A, 4<A이므로 9<B

∴ aÛ`-4a-6=9 또는 a+3=9 Ú aÛ`-4a-6=9일 때,

aÛ`-4a-15=0

∴ a=2Ñ'¶19

그런데 A,U이므로 a는 자연수이어야 한다.

따라서 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

Û a+3=9, 즉 a=6일 때,

A={1, 4, 6}, B={6, 9}이므로 (A;B‚` )'(A‚` ;B)={1, 4, 9}

Ú, Û에서 a=6  ②

09

A;B=B이므로 B,A B,A이면 A'B‚` =U이므로

(A'B‚` );(A‚` 'B) =U;(A‚` 'B)

=A‚` 'B  ④

10

A‚` ;(A'B) =(A‚` ;A)'(A‚` ;B)

=∅'(A‚` ;B)

=A‚` ;B

=B-A

즉, A-B={2, 7}, B-A={10}이므로 집합 A는 2, 7을 반드 시 원소로 갖고, 10을 원소로 갖지 않는다.

∴ A={2, 7} 또는 A={2, 3, 7}

Ú A={2, 7}일 때, 집합 A의 모든 원소의 합은 9 Û A={2, 3, 7}일 때, 집합 A의 모든 원소의 합은 12

Ú, Û에서 집합 A의 모든 원소의 합의 최댓값은 12이다.  12

11

집합 A={a, b, c} (a<b<c)라 하면

집합 B의 원소 중 최솟값은 집합 A의 가장 작은 원소 a를 서로 더한 것이므로

a+a=2a=6에서 a=3

또한 최댓값은 집합 A의 가장 큰 원소 c를 서로 더한 것이므로 c+c=2c=22에서 c=11

∴ A={3, b, 11}

즉, 집합 A의 두 원소 x, y에 대하여 x+y의 값을 구하면 다음 표 와 같다.

A U

B

x y 3 b 11

3 6 b+3 14

b b+3 2b b+11

11 14 b+11 22

∴ B={6, b+3, 14, 2b, b+11, 22}

이때, n(B)=5이므로 집합 B의 네 원소 b+3, 14, 2b, b+11 중 두개는 서로 같다.

그런데 3<b<11에서 3+b<14, 2b<b+11이므로 14=2b ∴ b=7

이때, A={3, 7, 11}, B={6, 10, 14, 18, 22}이므로 B-A=B

따라서 집합 B-A의 모든 원소의 합은

6+10+14+18+22=70  70

12

전체집합 U에 대하여

A={1, 2, 3, 6, 9, 18}, B={3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20}

이므로

A;B={3, 6, 9, 18}

이때, A‚` 'B‚` =(A;B)‚` 이므로 n(A‚` 'B‚` ) =n((A;B)‚` )

=n(U)-n(A;B)

=20-4=16  ③

13

어느 학급의 학생 전체의 집합을 U, 농구를 좋아하는 학생의 집합 을 A, 축구를 좋아하는 학생의 집합을 B라 하면

n(U)=50, n(A)=28, n(B)=37 A,(A'B),U, B,(A'B),U이므로 37Én(A'B)É50

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서 37É28+37-n(A;B)É50

∴ 15Én(A;B)É28 따라서 M=28, m=15이므로

M+m=28+15=43  43

14

{1, 2, 3};A=∅을 만족시키려면 집합 A는 전체집합 U에서 1, 2, 3을 제외한 원소로 이루어진 집합 {4, 5, 6}의 부분집합의 개 수와 같다.

따라서 구하는 집합 A의 개수는

2Ü`=8  8

15

X'A=X에서 A,X X;B‚` =X에서 X,B‚` 이므로 A,X,B‚`

이때, A={1, 2}이고 B‚` =U-B

={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}-{3, 4, 5}

={1, 2, 6, 7, 8}

이므로 집합 X는 1, 2를 반드시 원소로 갖는 집합 {1, 2, 6, 7, 8}의 부분집합이다.

따라서 구하는 집합 X의 개수는

2^5-2=2Ü`=8  8

16

어느 고등학교의 2학년 학생 212명의 집합을 U, 문학 체험을 신 청한 학생들의 집합을 A, 역사 체험을 신청한 학생들의 집합을 B, 과학 체험을 신청한 학생들의 집합을 C라 하자.

n(U)=212

조건 ㈎에서 n(A)=80, n(B)=90 조건 ㈏에서 n(A;B)=45

∴ n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B)

=80+90-45=125 조건 ㈐에서 n(A‚` ;B‚` ;C‚` )=12이고, A‚` ;B‚` ;C‚` =(A'B'C)‚` 이므로

n(A'B'C) =n(U)-n((A'B'C)‚` )

=212-12=200 따라서 과학 체험만 신청한 학생의 수는

n(A'B'C)-n(A'B)=200-125=75 ^{ 75}

명제 p 2Ú q가 참이 되려면 P,Q이

5 -3

-k-2 k-2

QP

어야 하므로 이를 수직선에 나타내 x

면 오른쪽 그림과 같다.

-k-2É-3, k-2¾5 k¾1, k¾7

∴ k¾7

따라서 양수 k의 최솟값은 7이다. ^{ ③}

유형 03

① 모든 정사각형은 직사각형이므로 명제는 참이다.

② [반례] 2는 소수이지만 짝수이므로 명제는 거짓이다.

③ 모든 실수 x에 대하여 xÛ`¾0이므로 명제는 참이다.

④ 짝수 4의 제곱은 16으로 8의 배수이므로 명제는 참이다.

⑤ x= 32 이면 1<x<2이므로 명제는 참이다.

따라서 거짓인 명제는 ②이다.  ②

03-1

명제 ‘모든 실수 x에 대하여 xÛ`+5¾k이다.’가 참이므로 부등식 xÛ`+5¾k, 즉 xÛ`¾k-5가 모든 실수 x에 대하여 성립하려면 k-5É0이어야 하므로

kÉ5 yy ㉠

또한 명제 ‘어떤 실수 x에 대하여 1-xÛ`¾k이다.’는 거짓이므로 부등식 1-xÛ`¾k, 즉 xÛ`É1-k를 만족시키는 실수 x가 존재하지 않아야 한다.

따라서 1-k<0이어야 하므로

k>1 yy ㉡

㉠, ㉡에서 1<kÉ5

따라서 정수 k는 2, 3, 4, 5로 그 개수는 4이다.  ②

유형 04

① 역 : aÛ`=1이면 a=1이다. (거짓) [반례] a=-1

② 역 : ab>0이면 a<0이고 b<0이다. (거짓)

[반례] a=1, b=1이면 ab>0이지만 a>0이고 b>0이다.

③ 역 : a+b¾2이면 a¾1이고 b¾1이다. (거짓) [반례] a=3, b=-1이면 a+b¾2이지만 b<1이다.

④ 역 : a=b이면 ac=bc이다. (참)

⑤ 역 : a가 12의 약수이면 a는 6의 약수이다. (거짓) [반례] a=12이면 a는 12의 약수이지만 6의 약수는 아니다.

따라서 그 역이 참인 명제는 ④이다.  ④

04-1

주어진 명제가 참이므로 그 대우

‘a¾k이고 b¾3이면 a+b¾7이다.’도 참이다.

a¾k이고 b¾3이면 a+b¾3+k 이때, a+b¾7이 참이므로 3+k¾7

∴ k¾4

따라서 구하는 실수 k의 최솟값은 4이다.  ④

Ⅰ. 집합과 명제

유형 01

‘~p 또는 q’의 부정은 ‘p 그리고 ~q’이다.

p：0<xÉ3, ~q：x>2이므로

‘p 그리고 ~q’는 2<xÉ3이다.  ②

01-1

‘p 그리고 ~q’의 부정은 ‘~p 또는 q’이다.

~p：x>1, q：-2Éx<4이므로

‘~p 또는 q’는 x¾-2이다.  ①

01-2

조건 p에서 xÛ`-5x+6=0, (x-2)(x-3)=0

∴ x=2 또는 x=3

조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={2, 3}

U={1, 2, 3, 4, 6, 12}이므로 ~p의 진리집합은 P‚` ={1, 4, 6, 12}

따라서 집합 P‚` 의 모든 원소의 합은

1+4+6+12=23 ^{ 23}

유형 02

명제 p 2Ú ~q가 참이면 P,Q‚`

①, ④ P;Q=P-Q‚` =∅

② P,Q‚` 에서 Q,P‚`

③ P,Q‚` 이므로 P'Q‚` =Q‚` +U

⑤ Q,P‚` 이므로 P‚` ;Q=Q

따라서 옳은 것은 ④이다.  ④

02-1

P;Q‚` =∅에서 P-Q=∅이므로 P,Q

P'Q‚` =U에서 P‚` ;Q=∅이므로 Q-P=∅ ∴ Q,P P,Q이고 Q,P이므로 P=Q

ㄱ. P,Q이므로 명제 p 2Ú q는 참이다.

ㄴ. P‚` øQ이므로 명제 ~p 2Ú q는 거짓이다.

ㄷ. Q,P이므로 P‚` ,Q‚` , 즉 명제 ~p 2Ú ~q는 참이다.

따라서 참인 명제는 ㄱ, ㄷ이다.  ④

02-2

|x+2|Ék에서 k는 양수이므로

-kÉx+2Ék ∴ -k-2ÉxÉk-2 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|-3<x<5}

Q={x|-k-2ÉxÉk-2}

U Q P

03 ^|

내신&수능 빈출 유형 ^{본문 21~24쪽}

명제

04-2

명제 r 2Ú ~q가 참이므로 그 대우 q 2Ú ~r도 참이다.

두 명제 ~p 2Ú q, q 2Ú ~r가 참이므로 명제 ~p 2Ú ~r가 참 이고, 그 대우 r 2Ú p도 참이다.

따라서 반드시 참인 것은 ④이다.  ④

유형 05

b가 0 이 아니라고 가정하면 a+b'2=0에서 '2=- ab이고 a, b가 유리수이므로 - ab는 유리수이다.

즉, '2는 유리수 이고 이것은 '2가 무리수 라는 사실에 모순이다.

따라서 b는 0 이고 이를 등식 a+b'2=0에 대입하면 a는 0 이 다.

∴ ㈎：0 ㈏：유리수 ㈐：무리수 ㈑ ：0 ㈒：0

주어진 보기 중 알맞은 것이 아닌 것은 ②이다.  ②

05-1

n=2k-1이므로

nÛ`=(2k-1)Û`=4kÛ`-4k+1=2( 2kÛ`-2k )+1 즉, nÛ`은 홀수 이다.

∴ ㈎：2kÛ`-2k ㈏：홀수  2kÛ`-2k, 홀수

유형 06

① a>b>0이면 aÛ`>bÛ` ∴ p jjK q

‘aÛ`>bÛ`이면 a>b>0이다.’는 거짓이므로 q vj/jK p [반례] a=-2, b=-1

따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.

② ab<0이면 a+0이고 b+0이므로 aÛ`+bÛ`>0 ∴ p jjK q ‘aÛ`+bÛ`>0이면 ab<0이다.’는 거짓이므로 q j/jK p

[반례] a=1, b=2

따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.

③ aÛ`+bÛ`=0이면 a=0이고 b=0이므로 a+b=0 ∴ p j/jK q ‘a+b>0이면 aÛ`+bÛ`=0이다.’는 거짓이므로 q j/jK p

[반례] a=1, b=0

따라서 p는 q이기 위한 충분조건도 필요조건도 아니다.

④ ‘ab=0이면 a=0이고 b=0이다.’는 거짓이므로 p j/jK q [반례] a=0, b=1

a=0이고 b=0이면 ab=0 ∴ q jjK p 따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.

⑤ a>1이고 b>1이면 ab>1 ∴ p jjK q

‘ab>1이면 a>1이고 b>1이다.’는 거짓이므로 q j/jK p [반례] a= 12, b=3

따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.

그러므로 p는 q이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것은

④이다.  ④

06-1

① ‘x>1이면 x>2이다.’는 거짓이므로 p j/jK q [반례] x= 32

x>2이면 x>1 ∴ q jjK p 따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.

② ‘x+y=0이면 xÛ`+yÛ`=0이다.’는 거짓이므로 p j/jK q [반례] x=1, y=-1

xÛ`+yÛ`=0이면 x=0이고 y=0이므로 x+y=0 ∴ q jjK p 따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.

③ x=3, y=2이면 xy=6 ∴ p jjK q

‘xy=6이면 x=3, y=2이다.’는 거짓이므로 q j/jK p [반례] x=1, y=6

따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다.

④ ‘x가 홀수이면 x는 3의 배수이다.’는 거짓이므로 p j/jK q [반례] x=5

‘x가 3의 배수이면 x는 홀수이다.’는 거짓이므로 q j/jK p [반례] x=6

따라서 p는 q이기 위한 충분조건도 필요조건도 아니다.

⑤ ‘x가 4의 배수이면 x는 6의 배수이다.’는 거짓이므로 p j/jK q [반례] x=4

‘x가 6의 배수이면 x는 4의 배수이다.’는 거짓이므로 q j/jK p [반례] x=6

따라서 p는 q이기 위한 충분조건도 필요조건도 아니다.

따라서 p는 q이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아닌 것은 ③

이다.  ③

유형 07 a>b>0이므로

AÛ`-BÛ`=('Äa+b)Û`-('a-'b)Û` 

=(a+b)-(a-2'¶ab+b) 

=2'¶ab>0

∴ AÛ`>BÛ`

그런데 A>0, B>0이므로 A>B이다.  ①

07-1

① xÛ`¾0이므로 xÛ`+1¾0

② xÛ`-x+1={x- 12}Û`+ 34 ¾0

③ [반례] x=0이면 주어진 부등식이 성립하지 않는다.

④ xÛ`-4x+5=(x-2)Û`+1¾0

⑤ |x|¾0이므로 |x|Û`¾0이고 |x|Û`+|x|¾0

따라서 항상 성립하는 부등식이 아닌 것은 ③이다.  ③

유형 08 {4x+ 1y}{1

x +4y}‌‌=4+16xy+ 1 xy +4

=8+16xy+ 1xy

이때, xy>0, 1xy >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

③ [반례] 세 변의 길이가 각각 1, 1, '2인 삼각형은 이등변삼각형 이지만 정삼각형은 아니다. (거짓)

④ x=2이면 x는 소수이고 xÛ`은 짝수이다. (참)

⑤ [반례] x=0이면 xÛ`=0이다.

즉, xÛ`>0을 만족시키지 않는 실수 x가 존재한다. (거짓)

따라서 참인 명제는 ④이다.  ④

03

④ P=U, U+∅이므로 ‘어떤 x에 대하여 p이다.’는 참이다.

 ④

04

세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R라 하면 P={x|-1<xÉ3 또는 x>6}

Q={x|x>a}

R={x|x>b}

두 명제 p 2Ú q, r 2Ú p가 참이 되려면

6 3

a -1 b

P Q P

R x

P,Q, R,P이어야 하므로 R,P,Q

∴ aÉ-1, b¾6

따라서 a의 최댓값은 -1이고 b의 최솟값은 6이므로 그 합은

-1+6=5  5

05

세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P,

-4 -3 3 4 x P

P R

Q, R라 하면 Q

P ={x||x|>4}

={x|x<-4 또는 x>4}

Q={x|xÛ`-9É0}={x|-3ÉxÉ3}

R={x|xÉ3}

ㄱ. Q,R이므로 명제 q 2Ú r는 참이다.

ㄴ. Q‚` ={x|x<-3 또는 x>3}이므로 P,Q‚`

즉, 명제 p 2Ú ~q는 참이다.

ㄷ. P‚` ={x|-4ÉxÉ4}이므로 RøP‚`

즉, 명제 r 2Ú ~p는 거짓이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.  ②

06

① PøQ이므로 p 2Ú q는 거짓이다.

② QøR이므로 q 2Ú r는 거짓이다.

③ RøQ이므로 r 2Ú q는 거짓이다.

④ Q,P에서 P‚` ,Q‚` 이므로 ~p 2Ú ~q는 참이다.

⑤ RøQ‚` 이므로 r 2Ú ~q는 거짓이다.

따라서 항상 참인 것은 ④이다.  ④

07

네 조건 p, q, r, s에 대하여 세 명제 01

두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={2, 4, 6, 8, 10}, Q={1, 2, 3, 4, 6}

이때, 두 조건 ~p, ~q의 진리집합은 각각 P‚` , Q‚` 이므로 A=P‚` ={1, 3, 5, 7, 9},

B=Q‚` ={5, 7, 8, 9, 10}

따라서 A;B={5, 7, 9}이므로

n(A;B)=3 ^{ ②}

02

① [반례] x=-2일 때, xÛ`-2x-8=0이지만 2x-3=-7이다.

(거짓)

② [반례] x=0, y=1일 때, xy=0이지만 xÛ`+yÛ`=1이다. (거짓)

빈출 유형 마무리 ^{본문 25~26쪽}

01 ^② 02 ^④ 03 ^④ 04 ⁵ 05 ^② 06 ^④ 07 ^⑤ 08 ⁴ 09 ^①

10

11

12

13

14

15

8+16xy+ 1xy ¾8+2¾Ð16xy_ 1 xy

=8+2_4=16

{단, 등호는 16xy= 1xy , 즉 xy=1

4 일 때 성립}

따라서 주어진 식의 최솟값은 16이다.  ③

08-1

x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 x+2y¾2'Äx_2y=2'¶2xy

xy=8이므로

x+2y¾2'¶16=8 (단, 등호는 x=2y, 즉 x=4, y=2일 때 성립)

따라서 x+2y의 최솟값은 8이다.  ①

08-2

a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 2a+3b¾2'Ä2a_3b=2'Ä6ab

그런데 2a+3b=20이므로

20¾2'Ä6ab (단, 등호는 2a=3b일 때 성립)

∴ 'Ä6abÉ10 한편,

('¶2a+'¶3b)Û` =2a+3b+2'Ä6ab (∵ a>0, b>0) É20+20=40

이므로

0<'¶2a+'¶3bÉ2'¶10

따라서 '¶2a+'¶3b의 최댓값은 2'¶10이다. ^{ ②}

p 2Ú ~q, r 2Ú q, ~s 2Ú r가 참이므로 그 대우 q 2Ú ~p, ~q 2Ú ~r, ~r 2Ú s도 참이다.

ㄱ.   명제 p 2Ú ~q가 참이므로 그 대우 q 2Ú ~p는 참이다. 

즉, 명제 q 2Ú p는 참인지 거짓인지 알 수 없다.

ㄴ.  두 명제 ~s 2Ú r, r 2Ú q가 참이므로 명제 ~s 2Ú q는 참이다.

ㄷ.    두 명제 p 2Ú ~q, ~q 2Ú ~r가 참이므로 명제 p 2Ú ~r는   참이고, 두 명제 p 2Ú ~r, ~r 2Ú s가 참이므로 명제 p 2Ú s 는 참이다. 

따라서 항상 참인 명제는 ㄴ, ㄷ이다.   ⑤

08

1<x<5는 -1Éx<a이기 위한 충

5

-1 1 a x

분조건이므로 명제 ‘1<x<5이면 -1Éx<a이다.’가 참이다. 

∴ a¾5

x¾b는 -1Éx<a이기 위한 필요조

b -1 a x

건이므로 명제 ‘-1Éx<a이면 x¾b 이다.’가 참이다.

∴ bÉ-1

따라서 a의 최솟값은 5이고 b의 최댓값은 -1이므로 그 합은

5+(-1)=4   4

09

Ú n=3k-1일 때,

 nÛ`=(3k-1)Û`=9kÛ`-6k+1=3( 3kÛ`-2k )+1 Û n=3k-2일 때,

 nÛ`=(3k-2)Û`=9kÛ`-12k+4=3( 3kÛ`-4k+1 )+1

∴ ㈎：3kÛ`-2k  ㈏：3kÛ`-4k+1

따라서 알맞은 것을 차례대로 나열한 것은 ①이다.   ①

10

Ú   A의 진술만이 참이라면 B, C, D의 진술이 거짓이므로   B는 범인이고, C는 범인이 아니고, C는 범인이고, D는 범인 이다. 따라서 범인이 1명이라는 조건에 모순이다.

Û   B의 진술만이 참이라면 A, C, D의 진술이 거짓이므로   B는 범인이 아니고, C는 범인이고, C는 범인이고, D는 범인 이다.따라서 범인이 1명이라는 조건에 모순이다.

Ü   C의 진술만이 참이라면 A, B, D의 진술이 거짓이므로  B는 범인이 아니고, C는 범인이 아니고, C는 범인이 아니고,  D는 범인이다. 따라서 모순이 없고 범인은 D이다.

Ý   D의 진술만이 참이라면 A, B, C의 진술이 거짓이므로   B는 범인이 아니고, C는 범인이 아니고, C는 범인이고, D는  범인이 아니다.따라서 C는 범인이 아니고 범인이라는 것이 모순 이다.

Ú ~ Ý에서 범인은 D이다.  ^{ D}

11

ㄱ.    (|a|+|b|)Û`-|a+b|Û`   

=(|a|Û`+2|a||b|+|b|Û`)-(a+b)Û`  

=(aÛ`+2|ab|+bÛ`)-(aÛ`+2ab+bÛ`)   

=2(|ab|-ab)¾0 (∵ |ab|¾ab)   

∴ (|a|+|b|)Û`¾|a+b|Û`

   그런데 |a|+|b|¾0, |a+b|¾0이므로   

|a|+|b|¾|a+b| (단, 등호는 ab¾0일 때 성립) (참) ㄴ. [반례] a=1, b=-2이면 

   |a+b|=1, |a-b|=3이므로 |a+b|<|a-b| (거짓) ㄷ.    Ú   |a|¾|b|일 때,   

|a-b|Û`-(|a|-|b|)Û`

=(aÛ`-2ab+bÛ`)-(aÛ`-2|ab|+bÛ`)   

=2(|ab|-ab)¾0 (∵ |ab|¾ab)  

∴ |a-b|Û`¾(|a|-|b|)Û` 

 그런데 |a-b|¾0, |a|-|b|¾0이므로    

|a-b|¾|a|-|b| 

 (단, 등호는 |a|¾|b|이고 ab¾0일 때 성립) ㄷ. Û   |a|<|b|일 때  , 

|a-b|>0, |a|-|b|<0이므로   

|a-b|>|a|-|b|

ㄷ. Ú, Û에서 |a-b|¾|a|-|b| (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.    ④

12

x+ 4x-1  =x-1+ 4 x-1  +1

x>1일 때, x-1>0,  4x-1  >0이므로 산술평균과 기하평균의 관 계에 의하여

x-1+ 4x-1  +1  ¾2¾Ð(x-1)_ 4

x-1  +1   

=4+1=5

이때, 등호는 x-1= 4x-1  일 때 성립하므로 (x-1)Û`=4, x-1=Ñ2

∴ x=3 (∵ x>1)

따라서 x+ 4x-1  는 x=3에서 최솟값 5를 가지므로 a=3, m=5

∴ a+m=3+5=8    ②

13

주어진 명제 ‘a¾'3이면 aÛ`¾3이다.’의 대우는

② aÛ`<3이면 a<'3이다.   ^{ ②}

14

주어진 명제에서 두 조건 p, q를 각각 p : 모든 양의 실수 x 

q : x-a+4>0

이라 하고, 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|x는 x>0인 실수}

Q={x|x는 x>a-4인 실수}

이때, P,Q이어야 하므로 a-4É0

a-4 0 Q P

따라서 구하는 자연수 a는 1, 2, 3, 4 x

로 그 개수는 4이다.

 ④

15

이차함수 f(x)=xÛ`-2ax의 그래프와 직선 g(x)=1

a x가 만나는 점 A의 좌표를 구해 보면

xÛ`-2ax= 1a x에서 x-2a= 1a (∵ x>0) x=2a+ 1a , y=2+1 aÛ`

∴ A{2a+ 1a , 2+1 aÛ` }

이차함수 f(x)=xÛ`-2ax=(x-a)Û`-aÛ`의 그래프의 꼭짓점 B 의 좌표는 (a, -aÛ`)이므로 선분 AB의 중점 C의 좌표는 { 32 a+ 1

2a , 1+ 1

2aÛ` - aÛ` 2 }이다.

이때, 선분 CH의 길이는 a>0이므로 점 C의 x좌표와 같다.

CHÓ= 32 a+ 1 2a ¾2¾Ð3

2 a_ 1 2a ='3 {단, 등호는 32 a= 1

2a , 즉 a='3

3 일 때 성립}

따라서 선분 CH의 길이의 최솟값은 '3이다. ^{ ①}

531 Project Speedy

Ⅱ. 함수

유형 01

주어진 대응을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

① ^f

X Y

1 2 3

1 2 3 4

X의 각 원소에 Y의 원소가 오직 하나씩 대응하므로 함수이다.

② ^f

X Y

1 2 3

1 2 3 4

X의 각 원소에 Y의 원소가 오직 하나씩 대응하므로 함수이다.

③ ^f

X Y

1 2 3

1 2 3 4

X의 원소 1에 대응하는 Y의 원소가 없으 므로 함수가 아니다.

④ f

X Y

1 2 3

1 2 3 4

X의 각 원소에 Y의 원소가 오직 하나씩 대응하므로 함수이다.

⑤ f

X Y

1 2 3

1 2 3 4

X의 각 원소에 Y의 원소가 오직 하나씩 대응하므로 함수이다.

따라서 X에서 Y로의 함수가 아닌 것은 ③이다.  ③

01-1

f(-1)=(-1)Û`-4=-3 f(3)=-3+2=-1

∴ f(-1)+ f(3)=(-3)+(-1)=-4  ①

01-2

정의역이 {-2, -1, 0, 1, 2}이므로

f(-2)=-(-2)Û`+1=-3, f(-1)=-(-1)Û`+1=0, f(0)=-0Û`+1=1, f(1)=1+2=3, f(2)=2+2=4

따라서 함수 f의 치역이 {-3, 0, 1, 3, 4}이므로 치역의 모든 원 소의 합은

(-3)+0+1+3+4=5  ⑤

01 ^|

내신&수능 빈출 유형 ^{본문 29~30쪽}

함수

유형 02

f(1)=g(1)에서 1-a=2a+b

∴ 3a+b=1 yy ㉠

f(2)=g(2)에서 4-2a=4a+b

∴ 6a+b=4 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-2

∴ a+b=1+(-2)=-1  -1

02-1

f(1)=g(1)에서 4=3+b

∴ b=1 ∴ g(x)=3x+1 f(a)=g(a)에서 2aÛ`+2=3a+1 2aÛ`-3a+1=0, (2a-1)(a-1)=0

∴ a= 12 (∵ a+1)

∴ a+b= 12+1=3

2 ^{ ③}

유형 03

a>0이므로 함수 f 가 일대일대응이 되려면 f(-1)=2, f(1)=6이어야 한다.

f(x)=ax+b이므로 -a+b=2, a+b=6

두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=4

∴ ab=2_4=8  ④

03-1

함수 f(x)가 일대일대응이고, f(1)=5이므로 5를 제외한 Y의 서로 다른 두 원소 a, b에 대하여 f(4)=a, f(3)=b로 놓을 수 있다.

이때, f(4)-f(3)=2이므로 a-b=2

3, 4, 6 중에서 이를 만족시키는 경우는 a=6, b=4

따라서 f(4)=6, f(3)=4이고, 함수 f 는 일대일대응이므로 f(2)=3

∴ f(2)+f(3)=3+4=7  ①

03-2

f(x)는 항등함수이므로 f(1)=1, f(3)=3 g(x)는 상수함수이므로 g(2)=g(3)=f(3)=3

∴ f(1)+g(2)=1+3=4 ^{ ④}

유형 04

X에서 Y로의 함수가 되기 위하여

원소 a의 함숫값이 될 수 있는 것은 1, 2 중 하나이므로 2개 원소 b의 함숫값이 될 수 있는 것은 1, 2 중 하나이므로 2개 원소 c의 함숫값이 될 수 있는 것은 1, 2 중 하나이므로 2개

따라서 구하는 함수의 개수는

2_2_2=8  ③

04-1

Ú X에서 Y로의 함수의 개수

집합 X의 원소 1, 2, 3에 대응할 수 있는 집합 Y의 원소는 각 각 4개씩이므로 함수의 개수 l은

l=4_4_4=64

Û X에서 Y로의 일대일함수의 개수

원소 1에 대응할 수 있는 집합 Y의 원소는 a, b, c, d의 4개

원소 2에 대응할 수 있는 집합 Y의 원소는 a, b, c, d 중 원소 1에 대응한 원소를 제외한 3개 원소 3에 대응할 수 있는 집합 Y의 원소는

a, b, c, d 중 원소 1, 2에 대응한 원소를 제외한 2개 즉, 일대일함수의 개수 m은

m=4_3_2=24

Ü X에서 Y로의 상수함수의 개수

집합 Y의 원소의 개수와 같으므로 상수함수의 개수 n은 n=4

Ú~Ü에서

l+m+n=64+24+4=92 ^{ ②}

04-2

f(x)=f(-x)이므로 f(-1)=f(1)

f(-1)의 값이 될 수 있는 것은 -1, 0, 1 중 하나이므로 3개 f(0)의 값이 될 수 있는 것은 -1, 0, 1 중 하나이므로 3개 f(1)의 값은 f(1)=f(-1)에서 f(-1)의 값과 같으므로 1개 따라서 f(x)=f(-x)를 만족시키는 함수 f의 개수는

3_3_1=9 ^{ 9}

빈출 유형 마무리 ^{본문 31쪽}

01 ^④ 02 ^③ 03 ^① 04 ^③ 05 ^③ 06 ^④ 07 3 08 5

01

집합 X에서 집합 Y로의 함수 f 가 정의되려면 X의 각 원소에 Y 의 원소가 오직 하나씩 대응해야 한다.

이때, 함수 y=f(x)의 그래프는 직선이고, 직선 y=2x+k의 기 울기는 양수이므로 함수 f(x)는 x=1일 때 최솟값 2+k, x=3일 때 최댓값 6+k를 갖는다.

또한 `f(1)=2+k와 f(3)=6+k가 모두 공역에 포함되어야 하 므로

3É2+kÉ7, 3É6+kÉ7 1ÉkÉ5, -3ÉkÉ1

∴ k=1 ^{ ④}

02

f(x+y)=f(x) f(y)의 양변에 x=1, y=0을 대입하면 f(1)=f(1) f(0), 3=3 f(0) ∴ f(0)=1

f(x+y)=f(x) f(y)의 양변에 x=-1, y=1을 대입하면 f(0)=f(-1) f(1), 1= f(-1)_3

∴ f(-1)= 13 ^{ ③}

03

3은 유리수이므로 `f(3)='2_3=3'2 3'2 는 무리수이므로 f(3'2)=1-3'2

∴ f(3)+f(3'2)=3'2+(1-3'2)=1 ^{ ①}

04

f=g 이려면 정의역의 모든 원소 x에 대하여 f(x)=g(x)이어야 하므로

xÛ`-2x=x+4에서

xÛ`-3x-4=0, (x+1)(x-4)=0

∴ x=-1 또는 x=4

따라서 집합 X는 집합 {-1, 4}의 공집합이 아닌 부분집합이므 로 그 개수는 {-1}, {4}, {-1, 4}의 3이다.  ③

05

주어진 함수를 각각 좌표평면 위에 그래프로 나타낸 후, 직선 y=k`(k는 상수)와의 교점의 개수를 살펴본다.

ㄱ. 직선 y=k와의 교점이 항상 1개이므로 일 대일함수이다.

ㄴ. 직선 y=k와의 교점이 없거나 2개일 수 있으므로 일대일함수가 아니다.

ㄷ. x¾0에서 y=|x|=x

직선 y=k (k¾0)와의 교점이 항상 1개 이므로 일대일함수이다.

따라서 일대일함수는 ㄱ, ㄷ이다.

 ③ O

y y=ax+b

x k y=k

O

y y=ax@+bx+c

x k y=k

O

y y=|x|{x 0}

x y=k k

531 Project Speedy

06

집합 X에서 집합 Y로의 함수의 개수는 2Þ`=32

이 함수 중 치역과 공역이 같지 않은 함수는 치역의 원소가 하나뿐 인 경우, 즉 치역이 {1} 또는 {2}인 경우로 2개이다.

따라서 구하는 함수의 개수는

32-2=30 ④

07

f(x+y)=f(x)+f(y)의 양변에 다음과 같은 x, y의 값을 각각 대입하면

x=0, y=0일 때, f(0)=f(0)+f(0)이므로 f(0)=0

x=1, y=-1일 때, f(0)=f(1)+f(-1)이므로 0=f(1)+f(-1) ∴ f(-1)=-f(1) x=1, y=1일 때, f(2)=f(1)+f(1)이므로

f(2)=2 f(1)

x=2, y=-2일 때, f(0)=f(2)+f(-2)이므로 0=f(2)+f(-2) ∴ f(-2)=-f(2)

즉, f(1)의 값이 정해지면 정의역의 나머지 원소에 대한 함숫값이 f(0)=0, f(-1)=-f(1), f(2)=2 f(1), f(-2)=-f(2) 로 각각 정해진다.

따라서 f(1)의 값이 될 수 있는 것은 -1, 0, 1의 3개이므로 구하

는 함수의 개수는 3이다. 3

08

함수 y=g(x)의 그래프에서 g(4)=3, f(4)=2이므로 h(4)=3

그런데 f(3)Ég(3)이면 h(3)=g(3)=3이므로 함수 h(x)가 일 대일대응이라는 조건에 모순이다.

즉, f(3)>g(3)

∴ f(3)=4, h(3)=4

이때, g(2)=1인데 `f(2)=2이면 h(2)=2이고 g(1)=2이므로

`f(1)이 어떤 값을 갖더라도 h(1)¾2가 되어 h(x)는 일대일대응 이 되지 않는다.

즉, `f(2)=1이어야 하고, h(1)=2이어야 하므로 `f(1)=1 또는 f(1)=2이어야 한다.

∴ f(2)+h(3)=1+4=5

보충 설명

함수 h는 다음과 같다.

X f X

1 2 3 4

1 2 3 4

X h X

1 2 3 4

1 2 3

4 5

Ⅱ. 함수

유형 01

( f½f )(x) =f( f(x))=f(ax+b)

=a(ax+b)+b=aÛ`x+ab+b 이때, ( f½f )(x) =4x-6이므로

aÛ`x+ab+b=4x-6

위의 등식은 x에 대한 항등식이므로 aÛ`=4, ab+b=-6

a=2 (∵ a>0)이므로 3b=-6 ∴ b=-2

∴ a+b=2+(-2)=0 0

01-1

두 함수 f(x)=ax-2, g(x)=2x+b에 대하여 f(1)=1이므로 a-2=1 ∴ a=3

∴ f(x)=3x-2

( f½g)(x)와 (g½f)(x)를 각각 구하면

( f½g)(x) =f(g(x))=f(2x+b)=3(2x+b)-2

=6x+3b-2

(g½f)(x) =g( f(x))=g(3x-2)=2(3x-2)+b

=6x-4+b

f½g=g½f이므로 6x+3b-2=6x-4+b 3b-2=-4+b ∴ b=-1

∴ aÛ`+bÛ`=3Û`+(-1)Û`=10 10

01-2

g(2)=3_2+a=6+a이므로 f(g(2))=f(6+a)=2(6+a)+3=5 12+2a+3=5, 2a=-10

∴ a=-5 ①

유형 02

( f½g)(x)=f(g(x))=g(x)-3

( f½g)(x)=h(x)이므로 g(x)-3=-2x+1

∴ g(x)=-2x+4 ^②

02-1

(g½ f )(x)=g( f(x))=2x-1에서

g(3x+2)=2x-1 yy ㉠

3x+2=t로 놓으면 x= t-2 3 x= t-2 3 를 ㉠의 양변에 대입하면 g(t)=2_ t-2

3 -1=2 3 t-7

3

02 ^|

내신&수능빈출 유형 ^{본문 33~34쪽}

합성함수와 역함수