웨이블릿: 기본 개념 및 데이터 압축에의 응용

ISBN 89-5884-329-2 98560

웨이블릿: 기본 개념 및 데이터 압축에의 응용

허 영 주 (Young Joo Hur

)

[email protected]

Visualization Team, Supercomputing Center

수식 차례

수식 III-1. Haar 기저함수 정의 ··· 6 수식 III-2. 표준 내적의 정의 ··· 6 수식 III-3. Haar 웨이블릿 함수 ··· 7 수식 III-4. 기저 함수의 정규화 ··· 10 수식 IV-1. 2차원 기저함수 ··· 16 수식 IV-2. 2차원 표준 Haar 기저함수 ··· 16 수식 V-1. Chaikin의 알고리즘 ··· 21 수식 V-2. Splitting과 Averaging ··· 22

수식 V-3. n+1차원의 B-spline을 생성하는 averaging mask ··· 23

수식 VI-1. D4 필터의 계수 ··· 34

수식 VI-2. 웨이블릿 변환 ··· 34

수식 VI-3. 웨이블릿 복원 ··· 35

W1

V

2

[0, 1 )

V

2

V

1

V

0

_W

0

V0 _W0 _W1 _V2

φ

0₀

ψ

0 0

ψ

10

ψ

1 1

u (x )

<

u

│u > = 1

φ

j_i

(x) :=

√

2φ (2

j

x

− i )

ψ

j_i

(x) :=

√

2ψ (2

j

x

− i )

(

√

2 )

j

procedure Decomposition(c:array[1..2j] of reals) c<- c/2j^(1/2) (normalize input coefficients) g<- 2j while g≥2 do DecompositionStep(c[1..g]) g<- g/2 end while end procedure

procedure Reconstruction(c:array[1..2j] of reals) g<- 2 while g≤2j do ReconstructionStep(c[1..g]) g<- 2g end while c<-c*2j^(1/2) end procedure

procedure StandardDecomposition(c:array[1..2j,1..2k] of reals) for row <- 1 to 2j do Decomposition(c[row, 1..2k]) end for for col <- 1 to 2k do Decomposition(c[1..2j,col]) end for end procedure

procedure NonStandardDecomposition(c:array[1..2j,1..2j] of

reals)

f

0

(x )

f

1

(x ), f

2

(x ),

f (x )

Vj

V

j

= span φ

j₀

(x), φ

j₁

(x),

, φ

j₂j_{− 1}

(x)

Φ

j₀

(x ), , Φ

j_{2j − 1}

(x )

V

j

φ

j_i−1

(x ) = 1

φ

j_2i

(x ) + 1

φ

j_{2i + 1}

(x )

protected void transform(double a[], int n) { if (n>=4) { int i, j; int half = n >> 1;

double tmp[] = new double[n]; i = 0;

for (j = 0; j<n-3; j = j+2) {

tmp[i] = a[j]*h0 + a[j+1]*h1 + a[j+2]*h3 + a[j+3]*h3; tmp[i+half] = a[j]*g0 + a[j+1]*g1 + a[j+2]*g2 + a[j+3]*g3; i++;

}

tmp[i] = a[n-2]*h0 + a[n-1]*h1 + a[0]*h2 + a[1]*h3; tmp[i+half] = a[n-2]*g0 + a[n-1]*g1 + a[0]*g2 + a[1]*g3;

for(i=0; i<n; i++) {

a[i] = tmp[i]; }

}

protected void invTransform(double a[], int n) { if (n>=4) { int i, j; int half = n >> 1;

int halfPls1 = half + 1;

double tmp[] = new double[n];

tmp[0] = a[half-1]*lh0 + a[n-1]*lh1 + a[0]*lh2 + a[half]*lh3; tmp[1] = a[half-1]*lg0 + a[n-1]*lg1 + a[0]*lg2 + a[half]*lg3;

j = 2;

for (i = 0; i<half-1; i++) {

tmp[j++] = a[i] * lh0 + a[i + half] * lh1 + a[i + 1] * lh3 + a[halfPls1] * lh3; tmp[j++] = a[i] * lg0 + a[i + half] * lg1 + a[i + 1] * lg2 + a[halfPls1] * lg3; }

for(i=0; i<n; i++) {

a[i] = tmp[i]; }

}

procedure Compress(c:array [1..m] of reals; ε:real) τmin <- min{|c[i]|} τmax <- max{|c[i]|} do τ <- (τmin + τmax)/2 s <- 0 for i<-1 to m do

if |c[i]|<τ then s<-s+|c[i]|2 end for

if s<ε2 then τmin <- τ else τmax <- τ until τmin ≃ τmax

for i<-1 to m do

if |c[i]| < τ then c[i] <- 0 end for