ⓒ Korean Meteorological Society, 2007 1
3차원 변분법의 제한조건 적용을 통한 기상청 전지구 모델의 성층권 바람장 개선
주상원*․이우진 기상청 수치예보센터
(2006년 11월 21일 접수; 2007년 1월 2일 승인)
Improvement of the Stratospheric Wind Analysis with the Climatological Constraint in the Global Three-Dimensional Variational Assimilation at Korea Meteorological Administration
Sangwon Joo* and Woo-Jin Lee
Numerical Prediction Center, Korea Meteorological Administration (Manuscript received 21 November 2006; in final form 2 January 2007)
Abstract
A constraint based on climatology is introduced to the cost function of the three-dimensional variational assimilation (3dVar) to correct the error of the zonal mean wind structure in the global data assimilation system at Korea Meteorological Administration (KMA). The revised cost function compels the analysis fit to the chosen climatology while keeping the balance between the variables in the course of analysis. The constraint varies selectively with the vertical level and the horizontal scale of the motion. The zonally averaged wind field from European Centre for Medium-Range Weather Forecasts Re-Analysis 40 (ERA-40) is used as a climatology field in the constraint. The constraint controls only the zonally averaged stratospheric long waves with total wave number less than 20 to fix the error of the large scale wind field in the stratosphere. The constrained 3dVar successfully suppresses the erroneous westerly in the stratospheric analysis promptly, and has been applied on the operational global 3dVar system at KMA.
Key words: cost function, global data assimilation, variational assimilation, constraint, vertical resolution
*Corresponding Author: Dr. Sangwon Joo, Numerical Prediction Center, Korea Meteorological Administration, 460-81, Shindaebang-2dong, Dongjak-gu, Seoul, 156-720, Korea.
Phone : +82-2-2181-0518, Fax : +82-2-836-5474 E-mail: [email protected]
1. 서 론
슈퍼컴의 발달에 힘입어 기상 분야에 이용되는 수치 예보모델의 공간 분해능이 크게 증가하고 있다. 유럽 중기 예측 센터 (European Center for Medium-range Weather Forecast : ECMWF)가 TL799L91의 전지구
모델을 운영하고 있으며, 미국 기상청은 T382L64, 일 본 기상청은 TL319L40이다. 이와 같이 대부분의 현업 전지구 모델이 50 km 이하의 수평 분해능을 유지하고 있으며, 연직적으로도 모델의 상한이 성층권 상부까지 포함하고 있다. 기상청도 슈퍼컴 2호기 운영에 따라서 T426L40으로 수평 및 연직 분해능의 향상하였다.
전지구 모델의 연직층 증가는 성층권에 많은 층을 포함함으로써 좀더 세밀한 성층권의 구조를 예측할 수 있다. 그러나 성층권은 관측자료가 거의 없으므로, 관 측자료에 의한 직접적인 성층권 분석장의 개선은 기대 하기 어렵다. 하지만 최신의 분석기법인 변분법 등은 배경오차의 연직 상관에 의해서 성층권의 분석에 대류 권의 관측자료가 영향을 줄 수 있다. 이러한 효과를 파
악하기 위하여, 전지구 자료동화시스템이 이용되는 배 경오차의 연직 상관을 조사해본 결과, 대류권에서는 연직 상관이 크지만, 성층권은 안정층으로 연직 상관 이 거의 존재 하지 않는 것으로 나타났다 (윤기한 등, 2005). 결국 연직 오차 상관을 고려하는 변분법에서도 성층권 분석결과는 관측자료에 거의 영향을 받지 않고 배경자료에 의해 결정된다고 볼 수 있다.
배경장에 의존하는 성층권의 분석 결과는 주로 모델 의 물리 역학 과정에 의존하게 되고, 특히 성층권 온도분 포는 복사 평형에 의해 주로 유도되므로, 수치모델의 복 사 방법과 대기 조성에 의해 결정된다 (이해진 등, 2005).
수치모델의 물리 과정이 정확하다면, 관측자료가 부족 해도 복사평형에 의해서, 성층권 대기구조의 정확한 표 현이 가능하다. 그러나 모델의 대기 복사과정이 부정확 하다면, 관측자료의 영향이 없는 성층권에서는 다른 제 한 조건이 없으므로, 실제 대기와 점차 멀어지는 현상이 나타나게 된다. 특히 전지구 자료동화 시스템같이 자체 사이클을 수행하는 경우에는 그 효과가 증폭될 것이다.
분석된 성층권의 기후 특성이 실제 기후와 멀어지게 되면, 특별한 복원력이 없으므로, 성층권의 분석 결과는 실제 기후값과 차이를 유지하게 된다. 이러한 문제점 해 결을 위하여 변분법에서 제한조건을 추가하였다. 제한 조건은 분석과정에서 관측과 배경값에 의해서 제한되지 않는 특성을 조절하도록 고안되었다. 이미 미국 기상청 이나 유럽중기예측센터의 3차원 변분법은 비용함수에 발산과 관련된 제한항을 넣어서, 중력파를 조절하였다 (Parrish and Derber, 1992). 4차원 변분법에서는 수치 모 델이 관측연산자에 포함되면서, 비선형성이 일부 포함 되므로, 초기화 과정을 비용함수의 추가 조건으로 포함 하고 있다.
이 연구에서는 3차원 변분법에 직접 기후값을 제한 조건으로 추가하는 방안을 제안하였다. 이 방법은 기 후값을 일종의 평균 관측값으로서 분석에 이용하게 된 다. 그러므로 관측자료 등의 강제 조건이 부족한 지역 에서, 모델의 분석 결과가 기후값에서 멀어지는 것을 방지할 수 있다. 고안된 방법을 기상청 고분해능 전지 구 자료동화 시스템에 적용하여 성층권 분석값이 실제 기후값에서 멀어지는 것을 방지하고, 안정적인 전지구 자료동화시스템의 분석 결과 생산을 시도하였다. 2장 에는 고분해능 기상청 전지구 모델의 성층권 특성에 대하여 다루었고, 3장에는 비용함수에 제한조건을 추 가하는 방법과 제한조건의 특성을 살펴보았다. 4장에 는 제한조건의 추가에 따른 자료동화 시스템의 반응을
살펴보고, 5장에 결론 및 제안을 하였다.
2. 성층권 분석 결과
기상청은 2005년 12월부터 고분해능의 전지구 수치 예측 모델을 개발하여 운영하고 있다. 고분해능 전지구 모델의 수평 분해능은 삼각절단파수가 426개이고 (약 30 km), 연직 분해능은 40층으로 최상층은 0.4 hPa이다.
Table 1에 40개 층의 기압과 하이브리드 연직 좌표계 계 산을 위한 계수값을 나타내었다. 연직 격자는 하이브리 드 시그마 층을 사용하고 있으며, 모델의 역학과정과 연 직 좌표계에 대한 설명은 박훈 등 (2002)에 자세히 나와 있다. 기상청의 전지구 모델은 분해능이 증가하면서 지 형을 좀더 현실적으로 표현하게 되어, 예측성능이 향상 될 것으로 예상된다.
2004년 10월부터 6시간 간격으로 기상청 전지구 자 료동화 시스템 (Global Data Assimilation and Prediction System; GDAPS)을 수행하여 2005년 4월 한달간 평 균된 대상평균 온도와 동서 바람장을 보였다 (Fig. 1b).
적도 성층권에 50 m/s 이상의 강풍대가 나타나고 있다.
적도 성층권 바람의 특성을 알아보기 위하여, ECMWF Re-Analysis 40 (ERA-40) 재분석 자료 (Uppala et al., 2005)와 비교하였다 (Fig. 1a). 4월 평균 ERA-40 자료 에서는 적도 성층권 바람이 약하게 나타나고 있다. 또 한 기후학적으로도 적도 성층권에는 동서 바람이 강하 지 않다. 그러므로 적도 성층권의 강한 동서 바람장은 GDAPS 의 문제점으로 파악되었다.
이러한 적도 성층권 바람장의 강화는 주로 수치 모델의 복사 과정과 성층권 연직 층 구성 방법과 관련된 문제로 알려져 있다. 이러한 적도 성층권의 바람장은 단기 예측에 있어서는 대류권과 어느 정도 분리되어 있어, 큰 영향은 없으나, 중․장기예측 혹은 기후 예측에서는 큰 영향을 줄 것으로 예상된다. 특히 동서 바람은 남북 온도 경도에 영 향을 주게 되고, 적도의 오차가 점차 중위도로 확대되어, 대류권의 단기 예측성능에도 영향을 주게 된다. 그러므로 변분법에 기후값을 제어조건으로 추가하는 방법을 고안하 고 적용하여, 적도 성층권의 강풍대를 제거하고자 한다.
3. 비용함수 제한조건의 추가 방법 3.1 비용함수
기상청 전지구 3차원 변분법은 증분 3차원 변분법
Table 1. Coefficients of hybrid sigma coordinate and half level pressure of GDAPS. Surface pressure is assigned to be 1013 hPa.
Index A B Pressure [hPa]
1 0.0000000000 1.0000000000 1013.0000000000 2 0.0000000000 0.9900000095 1002.8700096607 3 0.0000000000 0.9750000238 987.6750241518 4 0.0000000000 0.9549999833 967.4149830937 5 1.1056096554 0.9288944006 942.0756374598 6 4.6119542122 0.8953880668 911.6400658488 7 9.0642614365 0.8559357524 876.1271786094 8 14.4855003357 0.8115144968 836.5496855974 9 20.8627471924 0.7631372809 793.9208127856 10 28.1305770874 0.7118694186 749.2542981505 11 36.1580200195 0.6588419676 703.5649331808 12 44.7413482666 0.6052586436 657.8683542609 13 53.8116836548 0.5511882901 612.1654215455 14 63.0560150146 0.4979439974 567.4732843637 15 72.3235321045 0.4456764758 523.7938020527 16 81.4378204346 0.3945621848 481.1293136477 17 90.1928634644 0.3448071480 439.4825043678 18 98.1513061523 0.2978487015 399.8720407486 19 105.0948867798 0.2539051175 362.3007708192 20 110.9614486694 0.2120385468 325.7564965785 21 115.4385452271 0.1725614518 290.2432958931 22 118.1136093140 0.1368863881 256.7795204222 23 118.7773742676 0.1052226275 225.3678959459 24 117.2599792480 0.0777400210 196.0106205717 25 113.4470901489 0.0545529127 168.7091907263 26 107.2994918823 0.0357005075 143.4641059414 27 98.8765945435 0.0211234093 120.2746081352 28 88.3639984131 0.0106359981 99.1382644884 29 76.1050567627 0.0038949423 80.0506333602 30 62.6344299316 0.0003655684 63.0047507332 31 48.0999984741 0.0000000000 48.0999984741 32 35.2999992371 0.0000000000 35.2999992371 33 25.0000000000 0.0000000000 25.0000000000 34 17.0000000000 0.0000000000 17.0000000000 35 11.1999998093 0.0000000000 11.1999998093 36 7.0999999046 0.0000000000 7.0999999046 37 4.3299999237 0.0000000000 4.3299999237 38 2.5599999428 0.0000000000 2.5599999428 39 1.4600000381 0.0000000000 1.4600000381 40 0.8000000119 0.0000000000 0.8000000119
a)
b)
Fig. 1. Zonally averaged east-west wind (contour lines) and temperature (shaded with contours). a) ERA40 data at April, and b) GDAPS analysis at 18UTC 6 April 2005.
(Incremental 3dVar)으로 비용함수는 아래와 같다.
J = ηTη + ( HL η - D)TR- 1( HL η - D) (1)
여기서, η = L- 1( x - xb)로 표현되는 제어변수로서 배경오차로 정규화된 와도, 비균형 발산, 비습, 비균형 지상기압과 기온의 증분이다. L 은 배경오차 공분산을 촐레스키 분해한 하대각 성분이고, L은 L의 접선형,
는 분석 변수, 는 배경값이다. 분석 변수와 배경값 모 두 모델 층 파형공간에서의 와도, 발산, 온도, 지상기압, 습도로 표현된다. D는 관측증분 (observation increment) 으로 [yo- H( xb)] 이다. 기상청 전지구 3차원변분 법의 경우에는 파형 제어변수를 사용함으로써 수평 상 관은 제거되고, 변수간의 상관은 비균형 질량 변수를 사용함으로써 제거하게 된다 (Derber and Bouttier, 1999). 다만 동일 변수의 연직상관에 대하여만 명시적 으로 NMC 방법 (Parrish and Derber, 1992) 을 적용하 여 구하고 있다. 그러므로, L은 연직 상관만을 포함하 는 블록 대각 행렬이다. 기상청의 3차원 변분법은 연직 상관은 총 파수에만 의존하고 있으므로, 총 파수별로 다른 값이 적용된다. 외부분해능은 모델과 동일하게 T426L40 이고 내부분해능은 T106L40이다. 3차원 변 분법은 내부반복 (inner loop iteration)을 통하여, 조금 씩 초기 추정치를 수정하여 최종의 분석을 얻게 된다.
기상청 3차원 변분법에 대한 자세한 내용은 신현철 (2003)을 참고하기 바란다.
식 (1)에서 우변의 첫째항은 배경장의 비용함수 (이 하 배경비용함수로 명명)로서, 배경장과 분석장의 차 이를 의미한다. 두 번째 항은 관측값의 비용함수 (이하
관측비용함수로 명명)로서 관측값과 분석장의 차이에 해당한다. 이 비용함수는 자승으로 이루어진 항들의 합으로 관측값과 배경장 이외에 다른 조건을 첨가하기 위해서는 단순하게 더해주면 된다. 추가 조건을 Jc 라 고 하고, 이 추가조건을 배경항에 더하면, 식 (2)와 같은 형태의 비용함수를 얻을 수 있다 (이하 Jc항을 제한조 건비용함수로 명명).
J = ηTη + ( HL η - D)TR- 1( HL η - D) + Jc (2)
일반적으로 최적 분석값은 비용함수가 최소가 되는 지 점에 해당하므로, 최적 분석값은 다음과 같은 조건을 만족한다.
∇J = η + LTHTR- 1( HL η - D) + ∂Jc
∂η = 0 (3)
식 (3)에서 -∇ 는 비용함수의 최소화 방향이고 제한 조건비용함수의 경도인 에 의해 최소화 방향이 수정된다. 또한 ≠ 이 되는 제어변수만이 제 한조건에 의해 조절이 된다. 일반적으로 3차원 변분법 은 제어변수 중 와도가 습도를 제외한 다른 분석변수 의 균형성분을 결정하고, 비균형 성분만 변수간 상관 이 없이 독립적으로 분석된다. 그러므로 와도를 제한 조건으로 이용하는 경우, 모델의 변수간 균형관계에 의해서 분석된 발산, 온도, 지상기압등도 변화하게 된 다. 이러한 변수 상호간의 관계는 와도와 발산의 경우 는 균형 질량방정식과 회귀식을 기준으로 하고 있으며,
그 외의 변수들은 회귀식에 의존한다. 자세한 내용은 윤기한 등 (2005)을 참고하기 바란다.
3.2 제한 조건
3차원 변분법의 와도에 대한 제어변수를 분리하여 표현하면
ηζ= L- 1ζ ( ζ - ζb) (4)
이 된다. 이때 Lζ은 L 중 와도 제어변수에 대한 성분 을 의미한다. 는 분석와도, 는 배경와도값이다. 와 도제어변수로 제한조건을 조절하기 위하여 식 (2)의 Jc
항을 다음과 같이 고안하였다.
Jc = [ ηζ- ηc]TC[ ηζ- ηc] (5)
여기에서, 는 제어변수 형태로 변환된 제한조건이 다. C는 Jc항에 대한 가중치로 대상파수가 0이 아닌 경 우는 0으로 하였다. 이에 따라 Jc항은 대상파수 0인 와 도의 변화만을 제어하게 되고, 와도와 균형을 이루는 발산과 온도 및 지상기압도 와도의 변화에 따라 변화 하게 된다. 전체 비용함수에서 제한조건비용함수의 영 향력은 가중치 C로 조정이 된다.
식 (5)의 제한조건인 항은 식 (6)과 같이 구성하였 다.
ηc= L- 1( ζc- ζb) (6)
식 (6)에서 는 3차원 변분법의 분석변수에 대한 제 한조건으로, ERA-40 자료의 월 평균값으로부터 계산 하였다. ERA-40자료는 월평균 자료이므로 매 분석 시 점에 대한 기후값은 아니다. 그러므로 특정 분석시각 에 대한 기후값을 추정하기 위하여, ERA-40의 월 평 균 기후값을 매 15일에 대한 값으로 가정하고, 특정 분 석 시각에 대한 시간 차이를 선형적으로 적용하여, 특 정일에 대한 기후값을 추정하였다. 즉 4월 1일에 대하 여 산출된 기후값은 ERA-40 재분석자료의 3월과 4월 기후값의 평균값에 해당된다. ECMWF 재분석 자료는 등압면, 등위경도 격자점의 바람 자료로 제공되므로, 제어변수와 동일한 차원인 시그마층의 T106 파형의 와도 성분으로 변환하여 이용하였다
3.3 가중함수
제한조건을 대류권은 제외하고 성층권에만 적용하 기 위하여 성층권에서 1이 되고 대류권에서는 0이 되 도록 연직 가중함수를 구하였다. 기저함수로 하이퍼볼 릭 탄제트 함수를 이용하였다 (Fig. 2). 그림에서 세로 축은 연직 방향인 z에 해당하고, 가로축은 하이퍼볼릭 탄젠트 함수로 -1에서 1까지 변화한다.
(7)
하이퍼볼릭 탄젠트 함수를 기준으로 하여 이 함수의 변곡점이 대류권계면에 위치하고 하이퍼볼릭 탄젠트 함수의 최대값이 1, 최소값이 0이 되도록, 가중함수를 재구성하였다. 먼저, 연직 차원은 고도나 기압대신 시 그마 층의 인덱스를 이용하였다. 시그마 층은 각 층간 의 질량이 비슷하도록 구성되므로, 시그마 층의 인덱 스를 이용하여 연직 분포를 결정하여도 무리가 없을 것이다. 또한 하이퍼볼릭 탄젠트 함수의 값이 대류 권 계면을 중심으로 그 상층인 성층권은 1, 대류권은 0이 되도록 교정하였다. 이러한 조건을 충족하도록 구성된 가중치의 최종식은 다음과 같다.
(8)
a1은 식 (8)로 표현되는 가중함수 값의 변화 범위를 조 정하는 함수로, 이 연구에서는 0.5를 사용하였다. 이 에 따라 가중치의 값이 -0.5에서 0.5까지 변화한다. a2
는 가중 함수의 최소값과 최대값을 조정하는 인자로 서 0.5를 적용하여, 식 (8)의 함수값이 0부터 1까지 변 화하도록 조정했다. 는 분석의 연직 총 층수로 기상청 전지구모델을 이용한 이 연구에서는 40이 된 다. k는 연직층 인덱스로 하층은 1 최상층은 40이 된 다. 와 은 하이퍼볼릭 탄젠트 함수의 변곡점 이 나타나는 층 (즉 k 값)을 조절한다. 변곡점에서는
을 만 족하므로, 변곡점이 나타나는 층
(9)
Fig. 2. Diagram of hyperbolic tangent function.
Fig. 3. Weighting function of the constraint term applied in GDAPS 3dVar.
가 된다. 그러므로 가 일정한 경우, 와
의 차이가 커질수록 k값이 작은 층 (하층)에서 변곡점이 나타나고, 반대로 와 의 차이가 작아질수록 k 값이 큰 층 (상층)에서 변곡점이 나타난다. 예를 들어 Fig. 2의 경우 는 10, 는 -10, 는 21이므 로, 변곡점에서의 z 축의 값은 0이고, 연직 인덱스 k는 11이 된다. 이 연구에서는 가중함수의 변곡점이 대류 권계면 (연직층으로 약 200-100 hPa)에서 나타나도록
는 5, 은 -15로 하였다. 이 연구에서 사용된 가중함수의 연직분포는 Fig. 3과 같다. 100 hPa 이하 에서는 함수값이 0으로 나타나고 있으며, 100 hPa 이 상의 층에서는 함수값이 증가하여 10 hPa에서 1로 수 렴한다. 그러므로 제한조건비용함수의 가중치는 대류
권에서는 0이 되고, 성층권에서는 배경값과 동일한 크 기로 작동하게 된다. 성층권에 관측자료가 거의 없다 고 할 때, 식 (5)의 가중치인 C는 1이 되어, 대상평균된 와도의 분석값은 배경장과 기후값의 중간값이 된다.
4. 결과
4.1 ECMWF 기후값
ERA-40는 등압면, 등위경도 격자상의 바람자료이 다. 그러므로 기상청 3차원 변분법의 제어변수에 대한 제한조건으로 이용하기 위해서는 시그마층의 파형자 료로 변환해야 한다. Fig. 4에 ERA-40 재분석 자료로 부터 변환한 와도의 제어변수와 기상청의 배경장으로 부터 구한 와도제어변수를 보였다. 기상청의 배경장은 2005년 3월 30일 12UTC에 대한 값이고, ERA-40 자 료는 특정일에 대한 자료가 없으므로, 3월과 4월의 월 평균 기후 자료로부터 시간에 대하여 선형 내삽 하여, 2005년 3월 30일 12UTC에 대한 와도제어변수 값을 구한 후 비교하였다.
Table 1을 참조하면 28번째 층이 약 100 hPa로 성층 권 하부에 해당되고, 35층이 약 10 hPa에 해당되어, 기 상청 전지구모델의 적도 성층권 강풍대가 나타나는 고 도에 해당된다. 대류권에서는 GDAPS와 ECWMF 재 분석 결과의 차이가 거의 없다. GDAPS와 ECMWF 재분석의 와도제어변수 값은 모두 특징적으로 대류권 의 23층 부근 (약 250 hPa)의 총파수 5에서 -0.6으로 그 절대값이 가장 크다. 이는 대류권에서는 제트류와 관련되어 나타나는 와도가 가장 크기 때문인 것으로 설명된다. 즉 위도 30°N 부근에 제트류가 존재하므로, 적도와 30°N 사이에는 음의 와도가 발생하고, 30°N 이상에서는 양의 와도가 발생하게 되어 르장드르 다항 식의 5차 함수로 표현이 된다. 또한 북반구의 제트류는 서풍으로, 북반구 적도와 중위도 사이의 와도가 음의 값이 되므로, 위상이 르장드르 함수와 반대가 되어 와 도제어변수 값은 음수가 된다.
대류권에 비하여 성층권에서는 GDAPS와 ECMWF 분석의 와도 제어변수값의 차이가 크다. 특히 GDAPS 대상평균 바람장에서 강한 서풍이 나타나는 시그마층 35 부근 (약 10 hPa)에서 차이가 크다 (Fig. 1b 참조).
파동의 규모에 해당하는 총파수에 따른 차이를 보면 성층권에서 총 파수가 20이내인 장파에서만 GDAPS 와 ECMWF의 차이가 크게 나타나고 있다. 상대적으
a)
b)
c)
Fig. 4. Spectral coefficients of zonally averaged vorticity at 12UTC 30 March 2005. Vertical axis is the total wave number and horizontal axis is the index of sigma level (see the Table 1). a) ECMWF ERA 40 dataset, b) KMA's GDAPS forecast, and c) the difference between a) and b).
로 작은 규모의 운동에서는 유사한 것으로 나타나고 있어, 본 연구에서는 총 파수 20개 이내의 장파에 대해 서만 제한조건을 적용하도록 결정하였다.
GDAPS에서 계산된 와도제어변수는 총 파수가 홀 수인 경우 음과 양의 값이 교대로 나타나고, 짝수인 경 우는 0에 가까운 값을 보이고 있다 (Fig. 4b). 반면에 ERA-40에서 계산된 와도제어변수는 성층권에서 총 파수에 따른 진동이 나타나지 않고 있다 (Fig. 4a). 그 에 따라서 GDAPS와 ECMWF 분석의 와도제어변수 값의 차이는 총파수가 홀수인 경우에만 주로 나타난다 (Fig. 4 c). 이러한 차이는 GDAPS 분석에서만 나타나 는 10 hPa 부근의 강한 서풍대 때문인 것으로 판단된 다. GDAPS 분석은 ERA-40와 다르게 성층권 10 hPa 부근에 강한 서풍대가 존재하므로, 적도를 중심으로 북쪽에는 양의 와도, 남쪽에는 음의 와도를 유도하게 된다. 그에 따라서 적도를 중심으로 구면조화 함수의
부호가 바뀌는 홀수의 총 파수에서 GDAPS의 와도 제 어변수값은 큰 진폭을 갖게 되고, GDAPS와 ERA-40 의 와도제어변수 차이도 커지게 된다. 또한 총파수 1, 5, 9인 르장드르 다항식은 적도 남쪽에서 음의 값을 갖 게 되므로, GDAPS의 와도제어변수와 동일한 위상으 로 양의 부호가 되고, 총파수 3, 7은 그와 반대 경우로 서 음의 부호가 된다.
4.2 비용함수의 변화
비용함수에 제한조건을 적용하고 3차원 변분법의 최소화 과정 동안의 내부 반복횟수에 따른 비용함수의 변화를 보았다 (Fig. 5). 그림에서 가로축은 비용함수 의 각항에 해당한다. 1번이 총비용함수, 2번이 배경비 용함수, 3번이 관측비용함수이고, 4번이 제한조건비용 함수이다. 5번에서 10번까지는 관측비용함수로서 각
Fig. 5. Value of cost functions at 12UTC 30 March 2005.
Vertical axis is iteration number in 3dVar and horizontal axis stands for each of the cost functions. The indices of horizontal axis correspond to each cost function, which is illustrated in the text.
Fig. 6. Time series of the cost function. The vertical axis is the value of the cost function and horizontal axis is the time index increasing every 6 hours from 12UTC 30 March 2005 to 06UTC 3 April 2005. a) 2nd iteration and b) 50th iteration in the 3dVar inner loop. Jb, Jo, and Jc stand for the background, observation, and constraint cost function respectively.
각 지위고도, 동서바람, 남북바람, 온도, 상대습도, 지 상기압에 대한 값이다. 세로축은 3차원 변분법의 내부 반복 횟수이다. Fig. 5의 가로축의 1번에 해당하는 총 비용함수의 크기는 제한조건비용함수의 크기와 거의 유사하게 나타나고 있고, 제한조건비용함수가 관측비 용함수나 배경비용함수보다 크다. 이는 GDAPS의 배 경장과 ECMWF 재분석 자료의 차이가, 배경장과 분 석장의 차이보다 크다는 것으로 의미한다. 또한 제한 조건비용함수는 관측비용함수와 비교해서도 크게 나 타나고 있어, 초기 분석에서 대부분의 분석이 제한 조 건에 의해 조정됨을 알 수 있다.
Fig. 6에는 제한 조건을 적용한 3차원 변분법을 이 용하여 6시간 전지구 자료동화 사이클을 수행하면서 두 번째 내부 반복과 50번째 내부 반복된 비용함수의 시계열을 보였다. 기상청의 전지구 자료동화 사이클은 00UTC를 기준으로 하여 매 6시간 마다 수행된다. 변 분법에서 첫 번째 반복 시에는 배경값을 제어변수로 이용하므로 배경비용함수가 0이 되기 때문에 두 번째 반복시의 결과를 보였다. 제한조건의 적용 초기에는 비 용함수의 최소화에서 제한 조건의 영향이 가장 크게 나타나고 있으나, 4번의 사이클 진행 후 (1일 이후)에 는 관측에 의한 효과가 가장 큰 것으로 나타났다. 관측 비용함수 값이 6시간 간격으로 변동하는 이유는 관측 자료의 양이 12UTC와 00UTC에 06UTC나 18UTC보 다 많기 때문이고, 배경 비용함수도 관측 비용함수가 변화에 따라, 유사한 형태를 보이게 된다. 제한조건비 용함수는 주로 성층권 상부의 영향을 받게 되므로 관
측자료의 수에 민감하지 않은 형태를 보인다.
자료동화 사이클이 진행됨에 따라 제한조건비용함 수는 급격하게 그 크기가 줄어들게 되고 약 10번의 사 이클 진행 후에는 1000 이하의 값을 보인다. 또한 배경 비용함수도 제한조건비용함수와 유사하게 10번의 사 이클 진행 후 일정한 값을 유지한다. 이는 제한 조건이 자료동화 사이클 초기에 모델 배경장을 크게 변동시키 지만, 10번 정도의 사이클 진행 후에는 그 영향이 매우 약화된다는 것을 의미한다. 즉 GDAPS 배경장의 대상 평균된 장파 성분이 ECMWF 기후 값과 유사하게 변 화했다고 볼 수 있다. 다만 관측의 비용함수값이 사이 클 진행과정동안 거의 일정하게 유지되는 것은 비용함 수 제한 조건에 따른 효과가 지배적인 성층권에서의 관측은 거의 없기 때문인 것으로 판단된다.
제한조건비용함수는 제어변수 중 총파수 20이하의 와도 성분에만 적용하므로 제어변수의 모든 파수에 영 향을 받는 배경비용함수와의 직접적인 크기 비교는 어 렵다. 그러나 제한조건 비용함수는 배경비용함수보다 더 적은 수의 제어변수만을 더한 값이므로, 배경비용 함수 값과 제한조건비용함수 값이 똑같은 정도로 분석 장과 차이가 난다면, 제한조건비용함수 항이 배경비용 함수 항보다 작아야만 한다. 그러나 2회 내부반복 값을
a) b)
c) d)
Fig. 7. Gradient of cost function for the constraint at (b) 2nd iteration and (d) 50th iteration and that of the background at (a) 2nd iteration, and (c) 50th iteration at 12UTC 30 March 2005. Vertical axis is total wave number, and horizontal axis is the index of vertical sigma levels (see table 1 for details).
보면, 배경비용함수보다 제한조건비용함수항이 오히려 큰 값을 보이고 있다. 이것은 초기 배경장과 ECMWF 기후값의 차이가 매우 크다는 것을 의미하고, 모델 적 분 시 기상청 전지구 모델 결과가 ECMWF 기후값과 멀어지는 경향이 있다는 것을 의미한다. 그러나 3차원 변분법에서 내부 반복을 50번 수행한 경우에는 제한조 건비용함수가 배경 비용함수보다 작은 값을 보이게 되 는데, 이는 제한조건이 부가된 분석과정을 통해서, 분 석장이 ECMWF 기후값에 가깝게 형성된다는 것을 의 미한다. 그러므로 사이클 수행을 하면서 GDAPS 모델 의 예보장은 ERA-40 기후값에서 멀어졌다가, 제한조 건을 포함한 분석에 의해서 분석값은 ERA-40 기후값 에 다시 가깝게 형성되는 순환을 반복하게 된다.
4.3 비용함수의 경도
비용함수의 경도는 분석과정에서 제어변수에 대한
비용함수의 민감도를 의미하므로 비용함수가 주로 어 떤 제어 변수의 변동에 영향을 받는지 파악 하는데 도 움이 된다. Fig. 7에 와도 제어변수에 대한 비용함수의 경도를 연직층 별, 총파수 별로 보였다. 제한조건비용 함수는 첫 번째 반복 시부터 총 파수 1인 경우, 성층권 에 해당하는 시그마층 30 (10 hPa) 이상의 와도가 변 화를 주도한 것으로 나타났다. 성층권에서 크게 나타 나는 이유는 제한조건비용함수의 가중치가 하이퍼볼 릭 탄제트로 성층권에서만 1이 되도록 고안하였기 때 문이다. ECMWF와 기상청의 와도 제어변수의 차이는 대상파수 3에서 가장 큰 것으로 나타났으나, 비용함수 의 민감도는 크지 않은 것으로 나타났고, 오히려 총 파 수 1에서 민감도가 가장 크게 나타나고 있다. 이는 제 한조건비용함수에서 가중치로 사용한 배경오차 공분 산의 오차 특성에 기인하는 것으로 추정된다. 일반적 으로 총파수 1인 경우 배경오차가 작고, 파수가 커지면 서 오차가 증가하게 된다 (윤기한 등 2005). 그러므로
a)
b)
c)
Fig. 8. Zonally averaged east-west wind(contour lines) with the contour interval of 5m/s and temperature (shaded with contour lines) with the contour interval as is shown in the shaded bar at 12UTC 30 March 2005. a) is analysis without 3dVar constraint, b) is with 3dVar constraint and c) is the zo- nal averaged east-west wind difference between b) and a).
제한조건비용함수의 경도는 총파수 1인 경우의 배경 오차 공분산이 작아서, 그 크기가 상대적으로 커지게 된다. 총파수 3인 경우에는 배경와도와 ECMWF 기후 와도와의 차이는 크게 나타나지만 (Fig. 4c), 배경오차 공분산 역시 커서 민감도가 작게 나타난 것으로 추정 된다.
배경 비용함수의 경우 최초 내부반복 시에는 민감 도가 성층권 및 대류권에서도 크게 나타나고 있다. 주 로 총파수가 6 이하인 장파가 변화를 유도하고 있다.
그러나 내부반복횟수가 증가하여 50회가 되면 성층권 의 총파수 1인 와도에 의한 변화가 주로 나타나게 되어 제한 조건비용함수와 유사한 형태의 민감도를 보인다.
변분법에서 내부 반복을 통하여 비용함수가 갱신되는 동안 배경오차 공분산은 고정되어 있으므로, 내부반복 에 따른 비용함수 경도의 변화는 분석값과 배경값의 차이에 의해 결정된다. 그러므로 50회 반복 시에도 대 상파수 1인 성층권 와도값에 대한 배경비용함수 경도 가 크다는 것은 대상파수 1인 성층권에서의 분석값이 배경값과 여전히 큰 차이를 보이고 있다는 것을 의미 한다. 이러한 차이가 나타나는 이유는 제한 조건 적용 때문이다. 이 연구에서 적용된 제한조건비용함수와 배 경비용함수의 가중치가 성층권에서는 동일한 크기로 적용 되므로, 성층권 총파수 1의 와도 제어변수가 배경 비용함수와 제어비용함수를 똑같은 크기로 영향을 주 게 되고, 분석값은 배경값과 제한조건인 기후값의 중 앙에 형성되므로, 성층권 분석값이 배경값과 차이를 보 이게 된다.
4.4 분석에서의 효과
제한 조건을 적용한 분석 결과와 제한 조건을 적용 하지 않은 분석 결과를 비교하였다 (Fig. 8). 가장 큰 차 이점은 적도 성층권 상공의 강한 서풍이 크게 약화되 었다는 점이다. 제한 조건을 적용한 경우, 적도 성층권 에서 바람이 최고 60 m/s 가 감소하였으며, 대부분 성 층권에서 차이가 크게 나타나고 있다. 대류권에서는 제트류가 약 10 m/s 정도 강해지는 현상이 나타나고 있다. 비록 대류권의 변화를 의도하지는 않았으나, 바 람장에 대한 배경오차의 연직 상관 관계가 작용하였 고, 연직 가중함수가 대류권 상부와 성층권의 연속성 을 유지하기 위하여 미분가능한 형태를 유지하므로, 일부 대류권 상부에 바람장의 변화가 유도되었다. 이 러한 바람장의 변화는 ECMWF의 기후값에 근사한 형
태로 작동하게 되므로, 심각한 문제를 초래하지는 않 은 것으로 보인다.
GDAPS에서 적도 성층권의 강한 바람이 유지되면 서, 질량장과의 균형을 이루기 위해 적도 성층권 하층 에서는 온도 하강이 유도된다. 이에 따라 남쪽과 북쪽 에서는 온도가 상승하여 온도의 남북 이차 미분이 양 의 값으로 나타나게 되어, 대류권계면의 213도 선이 아래로 볼록한 형태를 보인다 (Fig. 8a). 제한 조건의 적용에 따른 바람장의 개선에 의해서 이러한 온도의 비현실적인 모양도 개선되어, 대류 권계면 상부의 오 목한 부분이 점차 제거 되었다 (Fig. 8b). 이는 바람과 온도의 오차 상관에 의해서 바람장의 변화가 온도장의 변화를 유도했기 때문이다.
제한조건 적용을 통해 성층권의 바람장이 성공적으 로 개선되는 것을 보였다. 사이클 수행을 하는 4차원 자 료동화 시스템에서 제한조건 항의 적용에 따른 안정성 을 알아보기 위하여, 2005년 4월 7일 00UTC부터 제 한조건비용함수의 가중치를 배경오차와 동일하게 적 용하여 2005년 4월 10일 18UTC까지 사이클 실험을 수 행하였다. 실험의 초기인 2005년 4월 7일 00UTC와 12UTC, 그리고 실험의 마지막 날인 2005년 4월 10 일 18UTC에 대하여 대상 평균된 온도와 바람 분석장, ERA-40 기후값을 Fig. 9에 보였다. 제한조건비용함수의 적용에 의해 적도 성층권의 바람장과 온도장은 ERA-40 기후값과 유사하게 변화되었다. 적도 성층권에 강하게 나타나던, 서풍역은 모두 사라지게 되었고, ERA-40 평균장과 거의 유사하게 변화하였다. 또한, 기상청의 전 지구 모델의 경우, 대류권계면의 온도가 지나치게 높 게 형성되는 문제점이 있었는데 (주상원 등, 2005) 대 류권계면의 온도도 점차 하강하여 점차 ECMWF 분석 장에 가깝게 형성되고 있어 바람장과 함께 대류권계면 고도에서의 온도장 개선도 이루어진 것으로 보인다 (Fig. 9c와 e).
자료동화 실험을 수행하면서 남반구 성층권에서 점 차 온도가 하강하고 있는데, ERA-40 자료의 계절변동과 유사한 것으로 나타났다 (Fig. 9d-f). 그러나 ECMWF 재 분석에 비하여 남반구 성층권 하부 (60°S, 100 hPa)에 온난 편차가 나타났다 (Fig. 9c). 이러한 온도 편차가 제한조건 적용에 의한 것인지 알아보기 위하여 제한조 건 적용 전인 2005년 4월 6일 18UTC의 대상평균 온도 와 바람 분석장을 제한조건을 처음 적용한 2005년 4월 7 일 00UTC의 분석장 비교하였다 (Fig. 10). 제한 조건 의 적용에 따라서 남반구 성층권 하부 (60°S, 100 hPa)
의 온난편차가 강화 되는 현상이 나타나게 되는데 이 지역을 Fig. 10 b)에 원으로 표시하였다. 즉 제한 조건 이 적용되지 않은 2005년 4월 6일 18UTC에 비하여 제한 조건이 적용된 2005년 4월 7일 00UTC에 남반구 성층권 하부의 온도 편차가 증가한 것으로 나타났다.
제한 조건에서는 직접적으로 와도의 성분만을 조절하 게 된다. 그러나 온도의 변화는 와도제어변수가 회귀 계수에 의해 기상학적 균형을 유지하면서 온도로 변 환되어 영향을 미치게 된다 (Derber and Bouttier, 1999).
그러므로 온도편차의 증가는 단순히 와도의 차이만으 로는 파악하기 어렵고, 회귀계수에 대한 특성도 함께 고려해야한다. 특히 본 연구에서와 같이 성층권 하부 에 약하게 온도 차이가 발생하는 경우에는 와도에 대 한 제한 조건의 적용을 통해서 온도를 조절하기는 어 려운 것으로 판단된다.
4.5 가중치에 대한 민감도 분석
4.4절에 나타난 온도의 편차 증가가 제한 조건의 과 도한 적용 때문인지 알아보기 위하여, 제한 조건의 가 중치를 대류권까지 영향을 미치도록 조절하여 분석을 수행하였다. 조절된 가중치의 형태를 Fig. 11b)에 보였 고, 비교를 위하여 Fig. 11a)에는 4.4절에서 사용된 가 중함수를 보였다. 설명의 편의를 위하여, 4.4절의 가중 함수를 이용한 분석 실험을 EXP1이라 명명하고, 대류 권까지 영향을 주도록 수정한 가중함수를 이용한 실험 을 EXP2라고 명명하였다. EXP1과 EXP2의 분석 결 과와 그 차이를 Fig. 12에 보였다. EXP2 분석 결과는 EXP1 분석에 비하여, 남반구 60도 100 hPa 의 온도가 0.03도 높게 나타나고 있어, 온난 편차를 더욱 증가시 키게 된다 (Fig. 12). EXP2가 제한 조건의 영향을 대류 권 상부까지 확장한 결과이므로, 가중함수의 영향에 의해서 온도의 편차가 유도된 것으로 추정할 수 있다.
그러므로 대류권의 온도 변화를 최소화하기 위해서는 제한 조건의 영향이 대류권에 미치지 않도록 해야 한 다.
대류권에서 제한 조건에 의한 영향을 최소화하기 위하여, 비용함수의 가중치를 약화시켰다. 식 (8)의 제 안함수의 가중치 항에서 a1= 0.1로 하여 3절에서 제안 된 동일한 형태의 가중함수의 크기를 10분의 1로 줄였 다. 이에 따라 제한 조건비용함수는 배경비용함수의 10분의 1 정도의 크기로 분석에 영향을 주게 된다.
이렇게 가중함수를 10분의 1로 줄이고 다른 조건은
a)
c)
e)
b)
d)
f)
Fig. 9. Zonally averaged east-west wind (contour lines) with the contour interval of 5m/s and temperature (shaded colour with contours) with the contour interval as is shown in the shaded bar. The GDAPS analysis with the constraint at (a) 00UTC 7 April 2005, (b) 12UTC 7 April 2005, and (c) 18UTC 10 April 2005. The monthly averaged ERA-40 data in (d) March, (e) April, and (f) May.
a) b)
Fig. 10. Zonally averaged east-west wind (contour lines) with the contour interval of 5m/s and temperature (shaded area with contour) with the contour interval as is shown in the shaded bar for the analysis field of the GDAPS at (a) 18UTC 6 April 2005 and (b) 00UTC 7 April 2005.
a)
b)
Fig. 11. Weighting functions used for the constraint in the 3dVar. a) Vmax=5 and Vmin=-15, and b) Vmax=8 and Vmin=-12.
The Vmax and Vmin are explained in the text.
Fig. 13. The same as in Fig.12 except for EXP3.
Fig. 12. Zonally averaged temperature analysis at 18UTC 12 April 2005. Shaded area with contour interval as is shown in the shaded bar are for the EXP1 experiment and contour lines with the interval of 0.03 degree are the difference between EXP2 and EXP1.
EXP1과 같이 수행한 실험의 분석결과를 설명의 편의 를 위하여 EXP3라고 명명하였다. Fig. 13에 EXP3 분 석과 EXP1 분석결과의 차이를 보였다. EXP3의 남반 구 60도 100 hPa 부근의 온도가 EXP1에 비하여 약 0.2 도 낮게 분석되었다. 즉 가중함수를 약화시킴에 따라 서 남위 60도 100 hPa의 온난 편차가 약화되어, 제한 조건의 영향이 성층권 상부에만 한정된 것으로 판단된 다. 제한조건의 가충치를 줄임으로써, 대류권으로의
제한조건의 영향을 최소화 하였으나, 성층권의 바람장 에 대한 제한조건의 영향도 줄어들게 된다. 그러나 Fig. 6a)에 보였듯이, 제한조건 비용함수가 이미 안정 화되었으므로, 가중치가 약회되었어도 성층권 적도의 강풍대 제거에는 문제가 없을 것으로 판단 할 수 있다.
5. 결론 및 토의
기상청 전지구 모델의 연직 층수를 기존의 30층에 서 40층으로 늘리면서, 적도 성층권 상공에서 강한 서 풍이 발달하게 되었고, 그에 따라서 대류권계면의 온 도 구배가 변형되는 문제점이 발견되었다. 적도 성층 권의 강한 서풍은 실제로는 나타나지 않지만 성층권을 포함하는 수치모델의 경우 자주 나타난다. 성층권은 관측자료가 부족하고 특별한 제한 조건이 없으므로, 초기의 작은 변동에 의해서 생성된 바람장의 변화가 지속적으로 유지되면서, 점차 강화 되는 경향을 보였 다. 이러한 바람장의 변화는 성층권 복사 과정과 밀접 한 관련이 있을 것으로 생각된다. 그러나 이 연구에서 는 모델의 물리과정의 개선보다는 분석 과정에서 제한 조건을 추가함으로써 성층권의 평균적 구조를 유지하 는 방법을 제안하고자 하였다.
기상청 3차원 변분법에서 제한 조건으로 대상 평균 된 기후값을 이용하는 방법을 고안하였다. 기후값은 ECMWF 재분석인 ERA-40 바람장을 파수공간의 와 도로 변형하여 이용하였다. 비용함수에 ERA-40 결과 를 제한 조건으로 추가하여 분석장이 ERA-40 결과에 서 지나치게 멀어지지 않도록 하였다. 그러나 대상 평 균된 와도의 장파 성분 (총파수 20이하)만 조절하여 작 은 규모의 변동을 조절하지 않도록 고안하였다. 또한 하이퍼볼릭 탄젠트 함수를 이용하여 성층권에만 제한 조건이 영향을 주고 대류권에는 영향을 주지 않도록 가중함수를 구성하였다.
기상청의 3차원 변분법은 변수간 상관을 제거하기 위하여, 비균형 성분을 이용하게 되는데, 균형성분으 로 와도를 이용한다. 와도와 균형을 이루는 발산, 온도 와 지상기압 등은 전지구 모델의 예측 결과를 토대로 만들어진 통계적 상관관계에 의존한다. 그러므로 기상 청의 3차원 변분법에서 와도장의 수정은 모델의 특성 에 맞게 발산과 온도, 지상기압 등을 수정하게 되고 그 수정 정도는 기상청의 모델 특성에 의존하게 된다. 만 약 ERA-40를 수행한 ECMWF 전지구 모델과 기상청 전지구 모델의 물리 역학적 균형의 차이가 크다면, 제
한조건에 의해 발생하는 와도의 변동으로 유도되는 다 른 변수의 변화는 분석에서 바람직하지 않은 방향으로 형성될 수 있다. 본 연구의 실제 사례에 대한 적용에서 도 제한조건비용함수와 배경 비용함수의 가중치를 같 은 크기로 한 결과 남반구 성층권 하부 (60°S, 100 hPa) 에 온난 편차가 실제와 다르게 유도된 것으로 나타났 다. 그러므로 제한조건비용함수에 대한 가중치는 작은 값을 적용하는 것이 바람직한 것으로 판단되었으며, 배경오차비용함수 가중치에 비하여 10분의 1로 조정 하여 적용하였다.
3차원 변분법에서 제한 조건의 성공적인 적용에 따 라서, 적도 성층권의 비정상적인 서풍이 모두 제거 되 었으며, 3차원 변분법의 오차 공분산의 특성에 의해서, 대류권계면의 온도분포도 개선되었다. 또한 제한 조건 은 주로 총 파수 20이하의 장파만 수정하게 되고, 모델 이 갖는 시공간적 세밀한 변동 구조를 유지하면서 전 지구 모델의 기후적인 특성이 개선되었다. 특히 제한 조건비용함수는 사이클 실험 초기에는 큰 영향을 주어 분석장의 변화를 주도하였으나, 점차 모델의 배경장이 ERA-40에 유사해짐에 따라서, 그 효과가 줄어들게 되 어, 약 2일 이후에는 안정화되는 모습을 보여주고 있 다. 실험결과를 토대로 하여, 제한 조건을 기상청 고분 해능 전지구 자료동화시스템에 적용하였다.
성층권 분석은 관측 등과 같이 분석결과를 수정할 수 있는 제한조건이 없으므로, 전적으로 모델물리과정 에 의존하게 된다. 이때 만약 모델의 물리과정이 부정 확하다면, 자료동화 사이클을 거치면서 성층권 분석장 은 점차 실제 대기에서 멀어지게 된다. 현업기관에서 는 안정적인 운영을 위해서 모델이나 혹은 자료동화 부분에서의 제한 조건이 필요하게 된다. 본 연구에서 는 비용함수에 기후값을 제한조건으로 적용하여 성층 권 분석의 문제를 해결하였다. 그러나 성층권 분석의 근본적인 개선을 위해서는 성층권의 물리 역학과정에 대한 세밀한 이해와 복사 과정 및 대기 조성에 대한 개 선이 선행되어야 한다. 또한 성층권의 유일한 관측 자 료인 위성자료의 효과적인 사용이 중요할 것이다. 특 히 성층권 층을 높이는 경우, 지나치게 연직 층을 성글 게 구성하면, 성층권 바람장의 묘사가 비현실적으로 강화 된다고 알려져 있다 (Harris et al., 2005). 향후 고
분해능 모델 구성에 있어서 연직층 구성에 대한 연구 가 필요할 것이다.
본 연구에서 고안된 변분법에서의 제한 조건 적용 방법은 좀더 다양한 응용이 가능하다. 이 연구에서는 제한 조건으로 기후값을 이용하였으나, 다양한 형태의 제한조건 적용이 가능하다. 또한 변분법의 변수 상관 과 공간 상관에 의하여, 모델의 균형 특성에 따르는 모 델 초기 입력 자료를 생산할 수 있다. 그러므로 이 방법 의 적용을 통하여, 분석된 대기를 원하는 형태로 변형 하고, 수치모의를 통해서 그 효과를 검증하는 실험이 가능할 것이다. 특히 태풍 보거싱과 같이 배경장의 변 형이 요구되는 경우 태풍의 중심부근의 대칭 성분에 대한 정보를 3차원 변분법의 제한조건으로 적용하게 되면, 변수간 균형을 유지하면서 태풍 보거싱을 수행 할 수 있다.
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