5장 행렬식과 연립방정식

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5장 행렬식과 연립방정식

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제1절 행렬식의 개념과 속성

■ 행렬식(Determinant)이란 행렬과는 달리 하나의 숫자(스 칼라)로서 정방행렬에서만 정의된다. 정방행렬 A에 대한 행렬식은 det A 또는 |A|로 표시한다.

■ 행렬식의 계산법

1) 사루스(Sarus)법칙

우측 대각요소를 곱하여 차례로 합한 값에서 좌측 대각요소의 곱을 차례로 합하여 뺀 값

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2) 라플라스 전개(Laplace Expansion)

- 라플라스 전개를 위한 임의의 기준행(또는 열)의 원소와 여 인수의 곱의 합으로 행렬식을 계산하는 방법

- 여인수(=여인자 cofactor): C_ij

 소행렬 M_ij에 (-1)^(i+j)를 곱한 것 C_ij= (-1)^(i+j)M_ij

- 소행렬식(minor matrix): M_ij

– 정방행렬(n×n)에서 M_ij는 i행 j열의 원소를 제외하고 남은 원소들을 그 대로 배열한 (n-1)×(n-1)행렬의 행렬식

- 전개방식은 어떤 행 또는 어떤 열에 대하여 전개하여도 행렬 식은 동일함.

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- 정방행렬 A행렬의 원소를 a_ij라 할 때 A의 행렬식은

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※ 행렬식을 이용한 비특이행렬 판별

- 정방행렬 A가 역행렬을 가지면 비특이행렬이라 함.(Nonsingular matrix)

- 정방행렬 A가 역행렬을 가지지 않으면 특이행렬 이라 함.(Singular matrix)

- 비특이 행렬이면 방정식의 해를 가진다는 의미

|A| ≠ 0일 때

- A는 비특이행렬 - 역행렬 존재

- A의 모든 열벡터(행벡터)는 일차 독립임.

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※ 행렬식의 특성

1. 임의의 정방행렬 A가 0의 행(또는 열)을 하나이상 가지고 있으 면 행렬식은 0이다.

2. 임의의 정방행렬 A의 두행(또는 열)이 같다면 행렬식은 0이다.

3. 임의의 정방행렬 A의 행과 열을 서로 바꾸더라도 행렬식의 값 은 변하지 않는다. A의 전치행렬식과 A의 행렬식은 같다.

4. 임의의 정방행렬 A의 어떤 행(또는 열)이 다른 행(또는 열)의 상수배와 같다면(일차종속) 행렬식은 0이다.

5.임의의 정방행렬 A의 두 행(열)을 바꾸었을 때, 그 행렬식의 값 은 -1을 곱한 값과 같다.

6. 임의의 정방행렬 A의 한 행(열)에 k를 곱해주면 그 행렬식의 k 배와 같다.

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7. 임의의 정방행렬 A에 대하여 i번째 행(열)을 k배하여 j번 째 행(열)에 더해도 행렬식의 값은 변화 없다.

8.임의의 정방행렬 A가 삼각행렬이면 행렬식은 주대각 원 소를 곱한 값과 같다.

9. 임의의 두 정방행렬 A,B에 있어 두 행렬을 곱한 행렬식 값은 각 행렬의 행렬식 값을 곱한 값과 같다.(교환법칙 성립)

10. 타여인수를 사용하여 행렬식을 전개한다면 그 행렬식 의 값은 항상 0이다.

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※ 역행렬의 도출방법 1) 가우스-조던 소거법

정방행렬 A의 우측에 동일차원의 단위행렬을 추가시켜 기본행 연산을 수행하여 좌측의 행렬을 단위행렬로 변화시키면 우 측의 단위행렬의 변화가 일어나는데 좌측의 행렬이 단위행 렬이 되었을 때 변화된 우측의 행렬이 역행렬임.

 기본행 연산이란?

- 행렬의 임의의 두행을 서로 바꾸거나

- 임의의 한행에 0이 아닌 상수를 곱하거나.

- 한 행에 0이 아닌 상수를 곱하여 다른 행에 더하거나 빼는 것

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2) 수반(부수)행렬(adjoint matrix) 이용법 수반행렬: 여인수 행렬의 전치행렬 adj A

AC'=

= _{타여인수에 의한}

행렬식

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※수반행렬을 이용한 역행렬 도출 순서 1. A의 행렬식으로부터 비특이 판정

2. 여인수 행렬을 구한다.

3. 여인수 행렬의 전치행렬을 구한다.(수반행렬)

4. A

^-1

= 를 적용하여 구함.

_A¹ ^adj ^A

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수반행렬을 이용하여 다음 행렬의 역행렬을 구하시오.



























































 



 



 



 













































1 5

1

0 1

0

1 7

2

1

1 5

1

0 1

0

1 7

1 2

1 0

2 1

3 1

2 1 3

1

1 0

0 0

1 1

2 1

1 1

2 1

0 0

0 1

1 2

2 3

1 2

2 3

0 1

1

1 1

1

3 3 2 3

1 3

3 2 2 2

1 2

3 1 2 1

1 1

3 3 2 3

1 3

3 2 2 2

1 2

3 1 2 1

1 1 1

A

A A

M M

M

M M

M

M M

M C A

C C

C

C C

C A

A A A adj

이므로 여기서

(15)

(16)

(17)











































































































n

j

j jn n

j

j j n

j

j j

n n n n n

n

n n

n n n

n n

b C

A b

b b

C C

C

C C

C

C C

C

A x

x x

A B A X adj

B A AX

A

B AX

b b b B

x x x X

a a

A

1 1

2 1

1

2 1

2 3 1 3

2 2 2

1 2

1 2 1

1 1 2

1

1 1

2 1 2

1

3 2

1

2 2 3

2 2 2 1

1 1 3

1 2 1 1

1 1

] [

 















때 할 라고 크래머공식유도

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























































A x A

A A A

A x

x x

j A

A

b C C

b C

b a

a a

b

a a

a b

a a

a b A

A b

C

n n

j

n

j

j j n

n

nn n

n n

n n n

j

j j

 









2 2

1 1

2 1 2

1

1 1 1

31 3 21

2 11

1

3 2

2 23

22 2

1 13

12 1

1

1 1

1

. 그러므로

행렬식이다 대체시킨

상수행렬로 열을

의 행렬식

는 따라서

하면 라고

여기서

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