제6장
6.1. 비교정태분석의 본질
: 변화 전 균형상태(초기)와 변화 후(최종) 균형상태만을 비교 (⇒ 불안정한 균형의 가능성을 논의에서 배제해야 성립)
￭ 정성적(qualitative)분석 : 변화의 방향
정량적(quantitative)분석: 변화의 크기 (정성적 정보 포함)
￭ 특정 파라미터 또는 외생변수의 변화에 대응하는 내생변수의 균형값의 변화율(rate of change)에 관심
∴ 도함수, 미분의 개념을 활용
6.2. 변화율과 도함수
: 내생변수의 균형값
: 특정 파라미터
1. 차분몫
￭ 변수 가 에서 으로 변화시 크기 : ( )
( : 차분, difference, 델타) [예]
→
￭ 차분몫(difference quotient)
= 의 변화율
[예]
일때 라면, 의 평균변화율은? (답) 30
2. 도함수
: 가 매우 작을 때 의 변화율
[예]
→ 일때
→
⇒
lim
→
lim
→
￭
lim
→ : “가 0에 접근시, ...의 극한”
￭ 도함수(derivative)
→일때, 차분몫
의 극한이 존재, 그 극한을 함수 의 도함수라 한다.
≡ ′ ≡
lim
→
(※ 문자 는 그리스문자 (델타)에 해당, 가 0에 접근할 때,
의 극한이
라는 것)
[예제]
1. 함수 가 주어져 있을 때,
(1) 와 의 함수인 차분계수를 구하라. (대신 를 사용한다.) (2) 도함수
를 구하여라.
(3) ′ ′를 구하여라.
2. 함수 가 주어졌을 때,
(1) (1) 와 의 함수인 차분계수를 구하라.
(2) 도함수
를 구하여라.
(3) ′ ′를 구하여라.
3. 함수 가 주어져 있을 때, (1) 차분계수
를 구하여라. 그것은 어떠한 형태의 함수인가?
(2) 가 위의 함수
에 나타나지 않는다고 해서 이것이 가 크냐 작으냐에 따라
값에 어떤 차이를 발생시키는가? 결과적으로 가 0에 접근할 때, 차분계수의 극한 은 무엇인가?
6.3. 도함수와 곡선의 기울기
[그림 6-2]
6.4. 극한의 개념
lim
→
lim
→
단 ≡
는 ≡ 는
1. 왼쪽극한과 오른쪽극한
￭ 극한(limit)의 개념은
“한 변수가 어떤 특정한 값(예: 0)에 접근함에 따라 다른 변수()가 어떤 값을 갖는가”
￭
lim
→
은
lim
→
에서 인 특수한 경우에 불과
: 의 극한 존재 여부는 → ∞ 또는 → ∞ 일때, 가 유한한 값에 접근할 것인가의 여부에 전적 으로 의존
2. 그래프에 의한 설명(p.132)
① 매끄러운 곡선, 왼쪽극한=오른쪽극한, ⇒ ∴
lim
→
② 매끄럽지 ×, 〃 ⇒ 〃 (극한이 존재)
③ 계단함수(step function), 왼쪽극한()≠오른쪽극한() ⇒ → 에 따른 의 극한이 존재×
④ 쌍곡선, 점근선(asymptotie)에 접근, 왼쪽극한( ∞ ) ≠ 오른쪽극한(∞ ) ⇒
lim
→
(×) (but,
lim
→ ∞
lim
→ ∞
)
[예제]
1. 함수
≠ 에서 가 7에 접근할 때, 의 왼쪽극한과 오른쪽극한을 구하여라. 이 답에서 가 7에 접근할 때, 는 극한을 갖는다고 말할 수 있는가?
2. 함수가
≠ 일때, 다음을 구하여라.
(1)
lim
→
(2)
lim
→
(3)
lim
→
3. 함수가
≠ 일때, 다음을 구하여라.
(1)
lim
→∞
(2)
lim
→ ∞
6.5. 극한에 관한 정리
1. 단일함수
[정리1] 일 때,
lim
→
lim
→
[정리2] 이면,
lim
→
이다. ⇒ 상수함수의 극한은 그 함수의 상수가 됨.
[정리3] 만약 일때,
lim
→
2. 두 함수 일때, 극한
lim
→
lim
→ (단, 는 두 유한한 수)
[정리4]
lim
→± ±
함수의 연속성의 3가지 조건
(1) 점 N이 함수 정의역 내에 존재 ( 이 정의) (2) 함수는 → 일때, 극한 존재 (
lim
→ 존재) (3) 그 극한은 과 일치 (
lim
→ )
→
[정리6]
lim
→
≠
[예제]
1. 함수 의 극한을 구하여라.
(1) →
(2) →
(3) →
2. 함수 의 극한을 구하여라.
(1) → (2) →
(3) →
3. 함수
의 극한을 구하여라.
(1) →
(2) →
(3) →
6.6. 함수의 연속성과 미분가능성
1. 연속성(continuity)
의 → 에 접근함에 따라 극한을 갖고, 과 일치시( 에서 함수 값), 그 함 수는 N에서 연속
⇒ 특정구간에서 연속된 함수는 그 구간에서 펜을 종이에서 떼지 않고 그래프를 그릴 수 있 어야 한다.
(첨점이 존재하는 경우에도 가능하나, 틈은 존재하면 안됨)
[예1]
, 정의역(-∞, ∞)로 모든 유한 실수에 대해서 정의
lim
→
lim
→
lim
→
[예2]
, ± 에서 불연속 ⇒l 두값에서는 틈을 보이게 되지만 함수는 (정의역 내에 있는) 다른 값들에 대해서는 연속임
2. 함수의 미분가능성
[연속성 조건]
lim
→
[미분가능성 조건] ′
lim
→
≡
lim
→
첨점도 배제
연속성은 단지 틈이 존재하는 것 배제
∴ 미분가능성은 함수의 연속성뿐만 아니라 매끄러움도 필요로 함
[예제]
1. 연속성에 관한 3가지 조건 중에서 한 조건이라도 에서 성립하지 않는 경우에는 함수 는 에서 불연속이다. 각각의 조건이 성립하지 않는 경우를 3개의 그 림을 그려서 설명하여라.
2. 함수 의 정의역이 모든 유한실수의 집합일 경우 (1) 가 임의의 유한 실수 에 접근할 때, 의 극한을 구하여라.
(2) 이 극한이 과 같은지의 여부를 구하여라.
(3) 함수가 에서, 그리고 정의역에서, 연속인지의 여부를 판단하여라.
3. 함수가
일때, (1) 극한정리를 이용하여
lim
→를 구하여라. 단, 은 유리실수 (2) 이 극한이 과 같은지의 여부를 검증하라.
(3) 에서, 그리고 정의역(-∞, +∞)에서 함수 의 연속성을 점검하여라.
4. 함수
에서
(1) →일 때, 이 함수의 극한을 구하기 위해서 몫의 극한정리를 적용할 수 있는가?
(2) 일 때, 이 함수는 연속인가? 그 이유는?
(3) ≠ 일 때, 위의 함수와 동치인 함수를 구하고, 이 동치인 함수로부터 →일때, 의 극한을 구하여라.
