수치해석을 이용한 적분 Integration with the Use of Numerical Analysis

(1)

한빛미디어 Engineering Numerical Analysis Learning by MATLAB 1^/50

수치해석을 이용한 적분

Integration with the Use of Numerical Analysis

방성완

중앙대학교 전자전기공학부

2012. 12. 31

(2)

사다리꼴 공식을 이용한 적분법

8.2

심슨 공식을 이용한 적분법

8.3

가우스 구적법

8.4

롬버그 적분

8.5

(3)

함수 곡선 아래의 사다리꼴 면적을 이용하는 사다리꼴 공식으로 적분값을 근사시킬 수 있다.

심슨 공식으로 사다리꼴 공식을 확장시켜 피적분함수를 근사시킬 수 있다.

함수의 값을 가중치 합으로 표현하는 가우스 구적법을 이용하여 적분값을 근사시킬 수 있다.

사다리꼴 공식에 외삽 공식을 이용하는 롬버그 적분법으로

적분값을 근사시킬 수 있다.

(4)

8.1 수치해석을 이용한 적분의 기초

적분의 기본 개념

: 함수 f(x) 곡선 아래의 두 개의 점 a와 b 사이의 면적 A 계산

x: 적분의 변수 f(x): 피적분 함수

a와 b: 적분의 하한과 상한 [그림 8-1] 함수 f(x)의 적분

(5)

8.1 수치해석을 이용한 적분의 기초

 정해진 구간 안의 면적을 여러 직사각형 조각으로 자른다.

 각각의 직사각형 면적을 더한다.

 식 (8.1)의 결과와 비슷하게 된다.

(6)

8.1 수치해석을 이용한 적분의 기초

정적분(definite integral) 계산

 F(x): F’(x) = f(x)인 역도함수

 모든 적분을 풀 수는 없다

 그래서 수치해석 방법을 이용하여 적분의 근사치를 구한다

뉴턴-코츠(Newton-Cotes) 공식

 가장 일반적 수치해석 적분 형식

 n등분 구간: [a=x₁, x₂, ∙∙∙, x_n-1, x_n=b]

 폐쇄 형태: 모든 점에서 함숫값을 사용, [x₁, x_n]에서 계산

 개방 형태: 끝점에서 함숫값을 사용하지 않음, [x₂, x_n-1]에서 계산

(7)

8.1 수치해석을 이용한 적분의 기초

 같은 간격을 가진 점들에서 피적분 함수의 값이 주어지면 매우 유용

(1) n 등분한 구간에서 새로운 간격 과 부분 함수 f_n = f(x_n)를 얻는다

(2) f(x_n)를 근사시키는 라그랑주 보간 다항식으로 대체 (3) 곡선 아래의 면적을 근사

(4) 한 개 혹은 여러 개로 나눈 적분값의 구간을 이용하여 근사치의 정확성 향상

(8)

8.2.1 점 두 개를 사용한 사다리꼴 공식

사다리꼴 공식

: 뉴턴 코츠 공식의 폐쇄 형태

 판이라고 부르는 여러 개로 나누어진 각각의 사다리꼴 조각 이용

점 두 개를 사용한 사다리꼴 공식

[그림 8-2] 사다리꼴 공식을 이용한 f(x)의 적분

 수평 바닥면과 두 개의 끝점 a와 b를 연결하는 경사진 윗면을 갖는 면적을 근사

(9)

8.2.1 점 두 개를 사용한 사다리꼴 공식

 복잡한 함수 f(x)를 근사시킨 함수 를 이용하여 적분값 계산

 식 (8.2) 형태로 다시 쓴 식 (8.3)

 함수 는 선형 보간법 혹은 2차 보간법을 이용하여 대체

 시작점 a와 끝점 b를 보간시키는 선형 보간법을 이용하여 얻은 1차 다항식

 [그림 8-2]의 경사진 윗면을 나타내는 직선 방정식

 식 (8.3)에 식 (8.5) 대입

(10)

8.2.1 점 두 개를 사용한 사다리꼴 공식

 사다리꼴 공식: 식 (8.6)의 적분값, [그림 8-2]의 사다리꼴 면적과 같은 값

 식 (8.7), 사다리꼴 공식의 새로운 표현

 T: 사다리꼴 영문명의 첫글자

 1: 두 점을 포함하는 구간 하나

 식 (8.7)을 이용하여 구간 에서 함수 f(x) = sin x에 대한 근사시킨 적분값

 를 직접 계산한 값 1과의 오차는 0.214602

 [그림 8-2]에서 함수 f(x)의 곡선 아랫 부분에서 색을 입힌 사다리꼴의 면적을 제외 한 부분

(11)

8.2.2 점 세 개를 사용한 사다리꼴 공식

[그림 8-3] 두 부분 구간에서 사다리꼴 공식을 이용한 f(x)의 적분

 세 점 a, b, c를 포함하는 두 부분

 c는 시작점 a와 끝점 b의 중간에 위치

 두 개의 부분 구간에 대한 직선 선분 거리:

(12)

8.2.2 점 세 개를 사용한 사다리꼴 공식

 둘로 나누어진 부분 구간에서 함수 f(x)를 근사시키는 사다리꼴 공식

 여기서

 식 (8.7)을 직접 이용한 식 (8.9) 우항의 두 적분 계산

 간격 크기 h: 새롭게 생성되는 구간 a와 b에 대한 점들 사이의 거리

 여기서

(13)

8.2.2 점 세 개를 사용한 사다리꼴 공식

 식 (8.11)을 이용하여 주어진 구간 에서 함수 f(x) = sin x에 대한 적분값을

두 개의 작은 부분 구간 와 나눈 후 근사시킨 값

 [그림 8-3]에서 함수 f(x)의 곡선 아랫 부분에서 사다리꼴의 면적을 제외한 부분

 [그림 8-2]와 [그림 8-3] 오차 비교: 부분 구간 두 개를 이용한 사다리꼴 방식이 오차 를 줄이는 데 더 효과적

(14)

8.2.2 점 세 개를 사용한 사다리꼴 공식

더 정확한 적분식 계산 하기

 적분 구간 [a, b]를 더 작은 부분 구간들 [a = x₀, x₁], [x₁, x₂], ∙∙∙ , [x_n-1, x_n = b]로 나눔

 사다리꼴 공식을 적용해서 모든 부분 구간의 면적을 더한다.

 사다리꼴 공식을 확장

 식 (8.7)을 이용하여 식 (8.12)를 푼다.

 j = 0, 1, 2, , n에 대한 간격 크기 h와 자료점 x

(15)

8.2.2 점 세 개를 사용한 사다리꼴 공식

 합성(composite) 사다리꼴 공식 또는 사다리꼴 공식

 작게 나누어진 부분 구간을 각각 적분

 서로 더하면 전체 적분값을 계산

(16)

8.2.3 점 네 개를 사용한 사다리꼴 공식

[그림 8-4] 합성 사다리꼴 공식을 이용한 f(x)의 적분

 부분 구간 세 개에 있는 자료점 네 개를 이용

 식 (8.15)에 n = 3의 값 대입

(17)

8.2.3 점 네 개를 사용한 사다리꼴 공식

 간격 크기와 각 자료점들

 부분 구간 세 개에 대하여 자료점 네 개를 대입한 결과

 [그림 8-4]에서 함수 f(x)의 곡선 아랫 부분에서 색을 입힌 사다리꼴의 면적을 제외 한 부분

 부분 구간의 수가 증가: 실제 적분의 값에 더욱 근접하는 적분 근사치

(18)

8.2.3 점 네 개를 사용한 사다리꼴 공식

예제

8-1

사다리꼴 공식을 이용한 사인함수 적분

사다리꼴 공식을 이용하여 적분 의 값을 소수점 네 자리까지 구하라. 이때 간격 크기는 로 놓는다.

Tip !

 식 (8.14)를 이용해서 부분 구간의 수를 구한다.

 각 자료점

(19)

8.2.3 점 네 개를 사용한 사다리꼴 공식

MATLAB

8-1

매트랩 함수를 이용한 사다리꼴 적분법

매트랩에서 사다리꼴 적분법을 실행할 수 있는 trapz 함수를 이용하여 [예제 8-1]를 실행하라.

Tip !

 linspace 함수: 간격 크기가 인 자료점 다섯 개의 배열 표시에 사용

 trapz 함수: 기본 구문 trapz(x, fx)

x는 부분 구간에 있는 자료점들에 대한 배열, fx는 피적분 함수 f(x) = sin x

(20)

8.2.4 사다리꼴 공식의 오차

사다리꼴 공식의 오차

: n개 부분 구간에 대한 사다리꼴 공식의 오차

 f(x)는 구간 a ≤ x ≤ b에서 두 번 연속적으로 미분 가능

 간격 크기:



x

: 구간 [a, b] 안에 있는 임의의 알 수 없는 점 표시

 오차는 h²만큼씩 비례하여 감소

 부분 구간 n의 수를 두 배 늘리면, 즉 간격 크기 h를 반으로 줄이면

 사다리꼴 공식을 확장

 반으로 줄인 이후 오차는 h를 반으로 줄이기 이전에 생성되었던 오차보다

값으로 준다.

(21)

8.2.4 사다리꼴 공식의 오차

예제

8-2

사다리꼴 공식의 오차

사다리꼴 공식을 이용하여 적분 의 값을 구할 때 발생하는 경계 오차를 측정하라. 이때 간격 크기는 이고 소수점은 네 자리까지 나타내라.

Tip !

 경계 오차 이용하여 식 (8.17) 다시 쓰면 다음과 같이 된다.

(22)

8.3 심슨 공식을 이용한 적분법

심슨 공식을 이용한 적분법

: 사다리꼴 공식을 확장시켜서 2차 다항식에 대한 피적분함수 근사

 사다리꼴 공식: 함수 f(x)에 근사되었지만, 여전히 매끄럽지 못함

 2차 보간 다항식: 포물선 형태로 f(x)에 좀 더 매끄럽게 겹쳐짐 [그림 8-6] 심슨 공식을 이용한 f(x)의 적분

(23)

8.3 심슨 공식을 이용한 적분법

 자료점 세 개 를 이용하여 f(x)를 근사

 구간 [a, b]에서 a는 시작점, c는 중앙점, b는 끝점

 2차 보간법을 이용하여 얻은 2차 다항식

 간격 크기

 식 (8.3)에 함수 대신 P₂(x)를 대입

(24)

8.3 심슨 공식을 이용한 적분법

 식 (8.20)의 우항 적분식 계산

 위 식에 b = a + 2h와 c = a + h를 대입

(25)

8.3 심슨 공식을 이용한 적분법

 간단하게 풀기 위해서 시작점 a = 0으로 가정하면 식 (8.20)은 다음과 같다.

 [그림 8-6]에서 색칠한 면적의 값

 심슨(Simpson) 공식

S: 심슨 영문명의 첫글자 2: 구간 두 개 표시

 위 식에 b = a + 2h와 c = a + h를 대입

(26)

8.3 심슨 공식을 이용한 적분법

 를 직접 계산한 값 과의 오차는 -0.0028

 실제 적분한 값보다 큰 값으로 계산된 이유

 부분 구간 [a, c]에서 P₂(x)의 곡선 아래에 f(x)의 곡선이 놓여 있다.

 부분 구간 [c, b]에서 f(x)의 곡선 아래에 P₂(x)의 곡선이 놓여 있다.

 위 식에 b = a + 2h와 c = a + h를 대입

(27)

8.3 심슨 공식을 이용한 적분법

더 정확한 적분식 계산 하기

 적분 구간 [a, b]를 더 작은 부분 구간들 [a = x₀, x₁], [x₂, x₄], ∙∙∙ , [x_n-2, x_n = b]로 나눔

 심슨 공식을 적용해서 모든 부분 구간의 면적을 더한다.

 심슨 공식을 확장

 식 (8.21)을 이용하여 식 (8.23)을 푼다.

 j = 0, 1, 2, , n에 대한 간격 크기 h와 자료점 x

(28)

8.3 심슨 공식을 이용한 적분법

 합성 심슨 공식 또는 심슨 공식

 자료점 세 개를 포함하는 각 부분 구간을 적분

 서로 더하면 전체 적분값을 계산

(29)

8.3 심슨 공식을 이용한 적분법

예제

8-3

심슨 공식을 이용한 사인함수 적분

심슨 공식을 이용하여 적분 의 값을 소수점 네 자리까지 구하라. 이때 간격 크기는 로 놓는다.

Tip !

 식 (8.25)를 이용해서 부분 구간의 수를 구한다.

 네 개 부분 구간: (x₀, x₁, x₂), (x₁, x₂, x₃), (x₂, x₃, x₄), (x₃, x₄, x₅)

 각 자료점

(30)

8.3 심슨 공식을 이용한 적분법

MATLAB

8-2

매트랩 함수를 이용한 심슨 공식 실행

매트랩에서 심슨 적분법을 실행할 수 있는 simpson 함수를 이용하여 [예제 8-3]을 실행하라.

Tip !

 simpson 함수: 현재 사용 중인 매트랩 디렉토리에 저장 (디폴트 함수가 아님)

 simpson 함수: 기본 구문 simpson(f, a, b, n)

 f는 피적분 함수, a와 b는 전체 구간의 시작점과 끝점, n은 부분 구간의 수를 표시

 f=@(x)sin(x): f(x) = sin x에서 변수 x를 벡터 형태로 미리 지정할 필요가 없다.

(31)

8.3 심슨 공식을 이용한 적분법

심슨 공식의 오차

: 부분 구간의 수 n이 짝수 개인 심슨 공식의 오차

 f(x)는 구간 a ≤ x ≤ b에서 네 번 연속적으로 미분 가능

 간격 크기:



x

: 구간 [a, b] 안에 있는 임의의 알 수 없는 점 표시

 점근(asymptotic) 오차 공식으로 추정하여 식 (8.27) 다시 표시

 오차는 h⁴만큼씩 비례하여 감소

 부분 구간 n의 수를 두 배 늘리면, 즉 간격 크기 h를 반으로 줄이면

 반으로 줄인 이후 오차는 h를 반으로 줄이기 이전에 생성되었던 오차보다

값으로 준다. (사다리꼴 공식보다 더 정확)

(32)

8.3 심슨 공식을 이용한 적분법

예제

8-4

심슨 공식의 오차

심슨 공식을 이용하여 적분 의 값을 구할 때 발생하는 경계 오차를 측정하라. 이때 간격 크기는 이고 소수점은 네 자리까지 나타내라.

Tip !

 경계 오차 이용하여 식 (8.27) 다시 쓰면 다음과 같이 된다.

(33)

8.4.1 한 점 가우스 구적법 n = 1

가우스 구적법

: 함수의 값을 가중치(weight) 합으로 표시하여 적분

 일반화된 n점 가우스 구적법

 높은 차수의 다항식 이용

 정확하게 미지수인 가중치 w_j 와 자료점 x_j를 찾을 수 있다

 더욱 정확하게 적분값 계산

 n 의 값에 의해서 다른 공식이 유도

 각각 n개의 미지수 x₁, x₂, ... , x_n와 w₁, w₂, ... , w_n를 풀려면

 2n – 1차 다항식 필요

 자료점의 간격이 균일하다는 제한이 없는 경우에 더 좋은 결과 획득

(34)

8.4.1 한 점 가우스 구적법 n = 1

한 점 가우스 구적법 n = 1

 구간 [a, b]에서 근사시킨 적분

 미지수 w₁과 x₁을 찾기 위한 1차 다항식

 식 (8.31)의 적분

(35)

8.4.1 한 점 가우스 구적법 n = 1

 식 (8.31)을 식 (8.30)에 대입

 변수처럼 작용하는 임의적

a

₀,

a

₁를 식 (8.32)와 비교

 한 점 가우스 구적법 공식

 식 (8.34)를 식 (8.30)에 대입

(36)

8.4.2 두 점 가우스 구적법 n = 2

두 점 가우스 구적법 n = 2

 사다리꼴 공식 근사치의 연장

 미지의 변수 x₁과 x₂에 의해서 구간 a와 b가 결정

 네 개의 미지수 x₁, x₂, w₁, w₂ 찾기 위한 3차 다항식

 식 (8.36)의 좌항에 대입한 적분 결과

(37)

8.4.2 두 점 가우스 구적법 n = 2

 식 (8.36)의 정리

 변수처럼 작용하는 임의적

a

₀,

a

₁,

a

₂,

a

₃를 식 (8.38)과 비교

 두 점 가우스 구적법 공식: 식 (8.40)을 식 (8.36)에 대입

 한 점과 두 점 가우스 구적법 과정을 확장 해석

 식 (8.29)의 n점 가우스 구적법에 대한 적분을 해석

(38)

8.4.2 두 점 가우스 구적법 n = 2

예제

8-5

가중치를 이용한 가우스 적분

다음과 같이 주어지는 가우스 구적법 공식에 대한 가중치 w₁, w₂의 자료점 x₁을 결정하 라.

Tip !

 미지수 세 개를 풀기 위해서 세 개의 단항식이 필요

(39)

8.4.2 두 점 가우스 구적법 n = 2

한정된 구간 [a, b]에서 가중함수 w(x)를 갖는 구적법 공식

 f(x): 연속 미분 가능 함수

 식 (8.29)와 식 (8.42)의 차이점

 가중함수 w(x)가 피적분함수 f(x)에 곱해짐

 가중함수는 하나의 함수로 표시

 가중함수는 반드시 적분 가능

(40)

8.4.2 두 점 가우스 구적법 n = 2

MATLAB

8-3

매트랩 함수를 이용한 가우스 구적법

매트랩에서 제공하는 가우스 구적법 함수 quad와 quadl를 이용하여 적분 의 값을 구하라.

Tip !

 식 (8.41) 이용

 함수 quad와 quadl의 기본 구문

 f(x)를 나타내는 사용자정의함수 quadfun.m 작성

(41)

8.4.2 두 점 가우스 구적법 n = 2

MATLAB

8-4

매트랩의 심볼릭 도구 상자를 이용한 적분 계산

매트랩의 심볼릭 도구 상자에서 제공하는 함수 int를 이용하여 적분 의 값을 구하라.

Tip !

 함수 int의 기본 구문

 심볼릭 도구 상자를 이용한 결과는 항상 문자열로 표시

 문자열은 다시 숫자로 변환

(42)

8.5 롬버그 적분

롬버그 적분

: 사다리꼴 공식에 리차드슨(Richardson) 외삽 공식을 이용한 적분 방법

리차드슨 외삽

: 사다리꼴 공식을 이용한 적분보다 더 좋은 근사치를 얻기 위해서 이용

 추정된 부분 구간 n 개인 사다리꼴 공식에서 실제 오차

 c: 적절한 비례의 근사상수

 (8.43)에서 부분 구간의 수를 두 배로 증가

(43)

8.5 롬버그 적분

 식 (8.43)과 식 (8.44)을 정리

 실제 적분 I로 나타낸 리차드슨 외삽 공식

 롬버그 적분은 리차드슨 외삽 공식과 동일

 반복적 알고리즘 사용

 다시 쓰여진 식 (8.46)

 식 (8.46)의 I는 (T_2n)_R로 대체

 식 (8.46)의 근사값( ) 은 식 (8.47)에서 등호(=)로 바뀜

(44)

8.5 롬버그 적분

 실제값의 추정치

 ch⁴: 실제 오차의 근사치

 식 (8.47)의 수정

 반복해서 부분 구간의 수를 2배 증가 (간격의 크기를 반으로 줄임)

 식 (8.46)과 식 (8.47)을 이용한 실제 적분 I

(45)

8.5 롬버그 적분

 일반화시킨 롬버그 적분 공식

 k는 외삽의 차수

 k = 1: 사다리꼴 공식으로 얻어지는 값

 k = 2: 실제 추정하는 차수 h² 이상의 항들을 더해 얻어지는 값

 색인 j

 정확한 근사치 결정에 사용

 같은 k에 대해서 j 값이 크면 근사치는 실제값에 보다 정확하게 추정

(46)

8.5 롬버그 적분

 적분값을 향상시키는 전개 과정을 나타내는 도식

 낮은 단계의 적분들이 결합하여 더 정확한 추정치를 찾아가는 과정

(47)

8.5 롬버그 적분

 도식에서 ①열의 값 찾기

 j = 1, 2, 3, ∙∙∙, n에 대한 부분 구간 2^j-1을 갖는 사다리꼴 공식 (8.15)이용

 구간 [a, b]에서 풀이 과정

 도식에서 ②열의 값 찾기 (반복 과정으로 더욱 정확한 근사치 추정)

 ①열에서 구한 값들을 결합하여 식 (8.15) 이용

 ②열의 값들은 1차수 외삽의 결과

(48)

8.5 롬버그 적분

예제

8-6

롬버그 적분을 이용한 적분의 근사치 구하기

롬버그 적분을 이용하여 각각 1, 2, 4개로 나누어진 부분 구간에 대한 적분 의 값을 근사시켜라.

Tip !

 식 (8.51)과 식 (8.52)를 이용

(49)

8.5 롬버그 적분

MATLAB

8-5

매트랩 함수를 이용한 롬버그 적분

매트랩을 이용하여 [예제 8-6]의 롬버그 적분을 실행하라.

Tip !

 부록에서 제공하는 사용자정의함수 romberg를 현재 사용중인 매트랩 디렉토리에

 romberg 함수의 기본 구문

(50)