3-4 힘의 평형과 부정정 문제
부정정 문제(problem of statically indeterminate)
정역학적 평형방정식의 수 < 미지반력의 수
[예제 3-6] 양단고정된 그림 6의 봉이 중간
mn
단면에 하중P
를 가할 때mn
단면의 변위량을 구하라.부정정문제 FBD
풀이 양단에서 하중 P에 의해 반력 R1 , R2가 생기므로 그림 (a)와 같이 FBD를 작성한다. 이 그림에서
∑Px=0의 평형방정식을 적용시킨다.
식(1)에는 미지수가 두 개이므로 조건식이 하나 더 있어야 한다. 그러나 나머지 평형방정식은 적용 불가능.
따라서 P로 인한 변형 후의 모양은 mn단면이 그림 (b) 처럼 δ만큼 P방향으로 늘어날 것이므로 길이 a부분은 δ만큼 늘어나고, 길이 b부분은 그림 (c)처럼 δ만큼 축소 되므로 식(2)과 같이 후크 법칙을 적용시킨다.
식 (1), (2)에서 반력R! , R2를 식 (3)처럼 구한다.
1 2 0
P − − R R =
1 2
R a R b AE AE
δ = =
(1)
(2)
따라서 탄성변형량 δ는 식 (2)에서 구한다.
이와 같이 부정정 문제에서는 평형방정식의 수보다 많은 미지반력을 과잉반력(redundant reaction)이라 한다.
별해 예제에서 R2를 과잉반력으로 두면 그림 (d)처럼 탄성한계 내에 있으므로 중첩원리를 이용할 수 있다. 즉, 그림 (e)에서 P에 의해 늘어난 길이는 식 (5) 으로 된다.
1 b ,
R P
∴ = l 2 a
R P
= l
abP
δ AEl
∴ =
(3)
(4)
L
Pa
δ = AE (5)
[예제 3-8] 그림 8에서 봉 1과 봉 2의 단면적 A, 탄성계수 E일 때 각
봉에서 생기는 반력 R1과 R2를 구하라. 또, 점 C의 수직변위를 구하라.
단, 보 BD는 강체.
(정정문제의 예제임)
그림 8
그림 (a)처럼 FBD를 작성한다. 여기서 봉 1, 봉 2의 힘을 R
풀이 1, R
2라 하면 평형방정식을 적용한다. 그러면 두 미지수를 구할 수 있으므로 정정문제 이다.
(1)
(2) 또한, R1, R2는 구했지만, δc는 그림 (b)와 같은 탄성변형에서 구할 수 있다.
(3)
여기서 δ1, δ2는 후크 법칙에서 구하여 위 식에 대입한다.
(4)
3-5 응력집중계수
응력집중(stress concentration)현상
: 힘을 받는 부재중, 단면의 형상이 변하는 부분은 단면의 변화가 없는 부분에 비해 상당히 큰 응력이 발생하는 현상.
노치(notch)
: 기계 및 구조물에서 구조상 부득이 홈, 구멍, 나사, 돌기, 자국 등 단면의 치수와 형상이 급격히 변화하는 부분
그림 3-10 노치부의 응력집중 현상
응력집중계수(stress concentration factor, K t )
: 최대응력 σmax 와 공칭응력 σ와의 비.
형상계수(form factor) 하며 식 (3-14)로 표현된다.
응력집중과 하중과의 관계
• 정하중을 받는 경우
연성재료에서는 크게 문제되지 않으나, 취성재료에서는 영향이 크다.
• 반복하중을 받는 경우 노치에 의한
응력집중
피로현상
피로균열 발생, 성장
불의의 파괴
max max
( ) K t σ τ
σ τ
= =
(3-14)[예제 3-9] 그림 9와 같은 강철로 된 두께 t = 2cm의 판이 힘 P를 받고
0.04cm 늘어날 때 최대응력을 구하라. 다만 응력집중에 의한 신량의 영향 은 무시한다. 또 구멍과 필릿 부분의 응력집중계수 Kt는 3과 2.5이다.
그림 9
풀이 구멍이 있는 부재와 없는 부재로 나누어서 δ를 구하여 합한다.
σ = 2,100kgf/cm2
45 60 20
2 3 2 2 6
P P P
E E E
δ = × × + × =
× × × ×
2.1 10
60.04
4, 200
20 20
P = E δ = × × = kgf
4, 200
22.5 1, 750 /
t
2 3
K P kgf cm
σ = A = =
×
3 2,100 /
22(6 3)
P kgf cm
σ = =
−
(필릿부의 응력) ( 구멍이 있는 단면의 응력 )
