개념브리핑

(1)

거듭제곱근

⑴ 제곱근에대해서이미중학교에서배웠다. 이제, 세제곱근, 네제곱근, y에대하여알아보자.

2의제곱근HjjK 제곱해서 2가되는수 2의제곱근HjjK x¤ =2

2의제곱근HjjK x=—'2

8의세제곱근HjjK 세제곱해서 8이되는수 HjjK x‹ =8

HjjK x=2, -1—'3i

8의세제곱근은 3개이지만실수인것은 x=2 한개뿐이다.

또, 이것은 y=x‹ 과 y=8의교점의 x좌표와도같다.

16의네제곱근HjjK 네제곱해서 16이되는수 HjjK x› =16

HjjK x=—2, —2i

16의네제곱근은 4개이지만실수인것은 x=—2 두개뿐이다.

또, 이것은 y=x› 과 y=16의교점의 x좌표와도같다.

⑵ a의 n제곱근

방정식 x« =a의근, 즉 a의 n제곱근중에서고등학교에서는실수인것만다룬다.

① n이 짝수인 경우 ② n이 홀수인 경우

⁄ a>0일 때� —«'a ② �a의 부호에 관계없이 «'a 로 오직 한 개 존재

¤ a<0일 때� a의 n제곱근이 되는 실수는 ② �한다.

¤ 없다.

②

O 16

2

-2 x

y y=x›

y=16

O 8

2 x

y y=x‹

y=8

O 2

÷2

-÷2 x

y y=x¤

y=2

0 1

O a

n÷a

-ⁿ÷a x

y y=xⁿ

y=a

(a>0) ⁿ÷a

n÷a

y=a (a<0) O

a

x

y y=xⁿ

y=a (a>0)

(2)

⑶ «'ß-a (a>0)와 같이 근호 안의 값이 음수일 때

그 간단한 예로 ›'∂-2는 허수, ﬁ'∂-3=-ﬁ'3이다.

⑷ (« 'a)« 과 « "ça« 의 차이점

① (›'∂-3 )› =-3, (‹'∂-3 )‹ =-3과 같이 a의 부호에 관계없이 (« 'a)« =a이다.

② ›"√(-3)› =|-3|=3, ‹"√(-3)‹ =-3과같이 n이짝수이면 « "≈a« =|a|, n이홀수이면 « "≈a« =a이다.

거듭제곱근의 성질

⑴ 유리수의지수

① a‚ =1 (단, a+0)

② a^;m!:=µ 'ßa

③ a^;mN:=µ "ça«

④ a—« = (�음의 지수는 역수를 의미한다.)

⑤ 음의 지수의 활용 �a≈ _a—≈ =a≈ —≈ =a‚ =1

⑤⁄ a¤ ≈ +a—¤ ≈ =(a≈ +a—≈ )¤ -2

⑤¤ a‹ ≈ +a—‹ ≈ =(a≈ +a—≈ )‹ -3(a≈ +a—≈ )

⑵ a>0, b>0이고 m, n이 2 이상의 자연수일 때

① « 'ßa « 'ßb =« '∂ab

② =«æ

③ (« 'ßa )µ =« "çaµ

④ µ "ç«'ßa =« "çµ 'ßa =µ «'ßa

⑤ « π "çaµ π =« "çaµ (단, p는 자연수)

⑥ 거듭제곱근을 계산할 때는� 유리수의 지수, 즉 µ "ça« =a^;mN:으로 바꾸어 계산하면 편리하다.

⑥⁄ ‹'2_‹'4=2^;3!;_4^;3!;=2^;3!;_2^;3@;=2^;3!;+;3@;=2⁄ =2

⑥¤ "ç2 ‹'4 ='2 ¥"√‹'4 =2^;2!;_(4^;3!;)^;2!;=2^;2!;_(2^;3@;)^;2!;=2^;2!;_2^;3!;=2^;2!;+;3!;=2^;6%;

⑦ 밑을 같게 만들 수 없는 거듭제곱근의 대소 관계를 구할 때는

⑥⁄ 거듭제곱근 꼴을 지수가 분수인 꼴로 고친다.

⑥¤ 지수의 분모의 최소공배수를 구하여 지수끼리 통분한다.

b a

« 'ßb

« 'ßa 1 a«

① n이 4 이상의 짝수이면�허수이므로 다루지 않는다.

② n이 홀수이면 �« '∂-a=-« 'a

0 2

(3)

지수법칙

⑴ 확장된 지수법칙 (실수의 지수) a>0, b>0이고 x, y이 실수일 때

① a≈ _a¥ =a≈ ±¥

② a≈ ÷a¥ =a≈ —¥

③ (a≈ )¥ =a≈ ¥

④ (ab)≈ =a≈ b≈

⑤ { }≈

=

⑥ 위의 지수법칙은 지수가 정수일 때는 밑 a, b의 부호에 관계없이 성립하지만, 지수가 유리수 또는 무 리수로 확장될 때는 a>0, b>0인 경우에만 성립한다.

⑵ 지수의 활용

우리는 자연 현상과 사회 현상 속에서 지수함수를 흔히 보게 된다. 예를 들면, 인구의 증가, 복리법에 의한 원리합계, 투자의 증가, 인플레이션, 박테리아의 증식, 방사능 물질의 자연 붕괴 등의 문제에서 찾아볼 수 있다. 다음 그림은 이들을 해결하는데 도움이 된다.

11⁄ 11⁄ 1⁄ y

11⁄ 11⁄ 1⁄ y 1⁄

⑶ 원리합계

원금과 이율에 따른 이자를 합하여 원리합계라 하며, 그 계산방법에는 단리법과 복리법의 두 가지 방법이 있다. 원금을 1000원, 연이율 10%의 이율로 생각하여 n년 후의 원리합계를 비교하여 보자.

단리법에서는 1년 동안의 이자는 항상 1000원에 대한 10%, 즉 100원이고 복리법에서는 1년 동안의 이자는 100원, 110원, 121원, y 으로 해가 거듭될수록 점점 많아진다. 즉, 1년이 지날 때마다 원리합 계를 새로운 원금으로 보아 그 다음 해의 이자를 계산한다.

1000 100 1100

1210 1331 1000(1+0.1)ⁿ

(이자)

110 121

…

복리법

1000 100 1100 1200 1300 1000+100n

n년 후 3년 후

2년 후 1년 후

원금

(이자)

100 100

…

단리법

A(1+r)«

A(1+r)¤

A(1+r) A

A {1+;10P0;}{1-;10Q0;}

A{1+;10P0;}

A

A(1+r¡)(1-r™) A(1+r¡)

A

b≈

a≈

b a

증가율 r¡

증가율 p%

증가율 r

감소율 r™

감소율 q%

증가율 r

0 3

(4)

원금을 a, 1년마다의 이율이 r일 때, 복리법에 의한 원리합계는 다음과 같다.

복리법에 의한 원리합계의 계산처럼, 일정한 기간마다 일정한 비율로 증가 또는 감소하는 여러 가지 상황 을 가정할 수 있다. 예를 들면, 인구의 증감, 생산량의 증감, 오염 정도의 증감, 세포 수의 증감과 같이 증감 의 비율이 변화된 양에 대하여 일정하게 적용될 때에도 복리법에 의한 계산을 하게 된다.

로그

⑴ 로그의정의

① a>0, a+1이고 N>0일 때, a≈ =N HjK x=logåN

② 밑과 진수의 조건

logå N이 정의되려면 �반드시 (밑)=a>0, (밑)=a+1이고 (진수)=N>0이어야 한다.

a≈ =N HjK x=logåN에서

⁄ a≈ =N은 a>0일 때 정의된다. �밑 조건：a>0

¤ a≈ =N에서 a=1일 때 의미가 부여되지 않는다. �밑 조건：a+1

‹ a≈ =N에서 x가 양수, 0, 음수 어느 경우에도 N>0이다. �진수 조건：N>0

⑵ 로그의성질

① a>0, a+1, M>0, N>0이고 p가 실수일 때

①⁄ logå 1=0, logå a=1

①¤ logå MN=logå M+logå N

①‹ logå =logå M-logå N

①› logå Mπ =p logå M

② 착각하기쉬운잘못된공식

로그의계산에서공식을순간적으로착각하여사용하는경우가종종있다.

⁄ logå(M+N)+logå M+logå N

¤ logå (M-N)+logå M-logå N

①‹ logå M¥logå N+logå M+logå N

› (logå M)« +n logå M

①ﬁ logå M+logå M-logå N logå N

M N

n년 후 3년 후

2년 후 1년 후

원금 이자

… a(1+r)ⁿ

a(1+r)‹

a(1+r)¤

a+ar a(1+r)+a(1+r)r

a(1+r)

a(1+r)r a ar

0 4

(5)

③ 로그의 성질은 두 로그의 밑(a)이 같고 진수(M, N)가 양수일 때만 성립함에 유의한다.

따라서 log x¤ =2 log x가 성립할 조건은 x>0이다.

④ logå N의 꼴을 계산할 때는�N을 거듭제곱의 꼴로 나타낸 후, 로그의 성질을 이용하여 계산한다.

⑶ 밑변환의공식

① a>0, a+1, b>0, c>0, c+1일 때

①⁄ logå b=

①¤ logå b= (단, b+1) (�logå b¥log∫ a=1, logå b log∫ c logç a=1)

①‹ loga«bµ = logå b

② a^{logå b}=b (�지수의 밑 a와 로그의 밑 a가 같을 때, 성립한다.)

③ a^{log∫ c}=c^{log∫ a} (� 지수의 밑 a와 로그의 진수 c를 서로 바꾸어도 같다.)

상용로그

⑴ 밑을 10으로 하는 로그, 즉 log¡º N을 상용로그라 하고, 밑 10을 생략하여 log N으로 쓴다.

⑵ 상용로그의 지표와 가수

log A=n+a (n은 정수, 0{a<1)일 때 지표：n 가수：a

⑶ 지표의 성질

log 3.45=0.5378임을 알 때, 34.5 또는 345 등과 같이 숫자의 배열이 같고, 소수점의 위치만 다른 수 의 상용로그는 로그의 기본 성질을 이용하여 구할 수 있다.

log 3.45=0.5378이므로

log 34.5=log (10_3.45)=1+log 3.45=1.5378 log 345=log (10¤ _3.45)=2+log 3.45=2.5378 log 0.345=log (10—⁄ _3.45)=-1+log 3.45=1Æ.5378 log 0.0345=log (10—¤ _3.45)=-2+log 3.45=2Æ.5378 yyy

이로부터 다음을 알 수 있다.

① A>1인 A는 정수 부분이 n자리의 수이다.

HjK (logA의지표)=n-1

HjK logA=(n-1)+a (0{a<1) HjK n-1{logA<n

m n 1 log∫ a logç b logç a

log� �y�=(n-1).___

HjK 지표：n-1

‚

n자리

0 5

(6)

② 0<A<1인 A는 소수 n째자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나온다.

HjK (logA의지표)=-n HjK logA=-n+a (0{a<1) HjK -n{logA<-n+1

③ log A의 지표가 n이다.

HjK [logA]=n (단, [x]는 x를넘지않는최대정수이다.) HjK n{logA<n+1

HjK 10« {A<10« ±⁄

④ 자연수 N을 m진법의 수로 나타내면 몇 자리의 수인가?

④3진법의 수 a¡a™a£yan(3)=a¡_3« —⁄ +a™_3« —¤ +a£_3« —‹ +y+a«–¡_3+a«으로 나타낼 수 있 으며 a‘=0, 1, 2 (i=1, 2, 3, y, n)이므로

④밑을 3으로 하는 로그를 취하면

log£(a¡_3« —⁄ ){log£ a¡a™a£yan(3)<log£ 3«

(n-1)+log£ a¡{log£ a¡a™a£yan(3){n

∴ log£ a¡a™a£yan(3)=(n-1)+a`(a=log£ a¡, 0{a<1)

④즉, n자리의 3진법의 수에 밑을 3으로 하는 로그를 취하면 정수 부분은 n-1이 됨을 알 수 있다.

④같은 방법으로, m진법의 수 A(m)이 n자리의 수이면, logmA(m)의 정수 부분은 n-1이 됨을 알 수 있다. 예를 들어, log™ 4⁄ ‚ =log™ 2¤ ‚ =20이므로 4⁄ ‚ 을 이진법의 수로 나타내면 21자리의 정수이다.

④이상을 정리하면 다음과 같다.

자연수 N을 m진법의 수로 나타낼 때, n자리 정수이면

logµ N=(n-1)+a (n은 정수, 0{a<1) HjK n-1{logµN<n

⑷ 가수의 성질

log A=n+a`(n은 정수, 0{a<1)일 때

① 3.45, 34.5, 345, 3450, 0.0345, y와 같이 소수점의 위치만 다르고 숫자 배열이 같은 수는 그 상 용로그의 가수가 서로 같다.

② A, B의 상용로그의 가수가 같으면� (log A-log B)=(정수)

⑸ 로그표 찾기 (비례부분의 법칙) 2.846의 상용로그의 값을 구해보자.

로그표에서 log 2.84=0.4533, log 2.85=0.4548

오른쪽 그림에서 진수의 변화가 작으므로 호 AC와 선분 AC가 거의 일치하는 것으로 생각한다. 즉, DF”? DE”이다.

한편, AD”：DE”=AB”：BC”이므로

DE”= = =0.0009

∴ log 2.846=0.4542

0.006_0.0015 0.01 AD” ¥ BC”

AB”

O 2.84 2.846 2.85

A B

D E

C F 0.4533

0.4548

x y

y=logx

log 0.000y0�y=nÆ.___

HjK 지표：-n (nÆ)

소수 n째 자리ø

(7)

이와 같이 진수 x의 변화가 작을 때, 이에 대응하는 상용로그의 값의 변화가 x의 값의 변화에 비례한다 고 보는 것을 비례부분의 법칙이라고 한다.

⑹ 자리수, 맨 앞에 나오는 숫자, 일의 자리의 숫자 찾기

① 지표의 이용

3¤ ‚은 몇 자리의 수일까?

log A=n+a`(n은 정수, 0{a<1)이면 A의 자리수는 n+1이므로

①log 3¤ ‚ =20 log 3=20_0.4771=9.542에서

①log 3¤ ‚의 지표가 9이므로 3¤ ‚ 은 10자리의 자연수이다.

② 지수의 이용

3¤ ‚의 맨 앞에 나오는 숫자는 무엇일까?

①log A의 가수와 log B의 가수가 같으면 A와 B는 숫자의 배열이 똑같으므로

①①에서 log 3¤ ‚ =9.542 ∴ -9+log 3¤ ‚ =0.542 yy`㉠

①한편, log 3=0.4771, log 4=2 log 2=2_0.3010=0.6020 yy`㉡

①㉠, ㉡에서

① 한편, 0.4771<0.542<0.6020, log 3<-9+log 3¤ ‚ <log 4

① 한편, 9+log 3<log 3¤ ‚ <9+log 4 ∴ 3_10· <3¤ ‚ <4_10·

①따라서, 3¤ ‚ 의 맨 앞에 나오는 숫자는 3임을 알 수 있다.

③ 3¤ ‚ 의 일의 자리의 숫자는 무엇일까?

③3⁄ , 3¤ , 3‹ , 3› , y의 일의 자리 숫자를 차례로 구해 보면

① 한편, 3, 9, 7, 1 / 3, 9, 7, 1 / 3, y

③과 같이 계속 반복되므로 3¤ ‚ 의 일의 자리의 숫자는 1이다.

log 2.846=0.4533 6log 2.86 14⁄ 9 log 2.846=0.4542