t2− 1
i + 2t j이므로, Z C F · dr = Z 1 −1  1 i + t2j

2013년 1학기 다변수미분적분학: 덕성여자대학교 수학과 최성우 1

다변수미분적분학 기말고사 문제풀이

1. 3차원 곡선 C가 r(t) = ¹₃t³− t
i + t²j + k, −1 ≤ t ≤ 1로 주어졌을 때, 다음을 구하시오. (각 5점) (1) F = z i + y j + x k일 때,R

CF · dr.

r⁰(t) = t²− 1
i + 2t j이므로, Z

C

F · dr = Z 1

−1



1 i + t²j + 1 3t³− t

 k



· r⁰(t) dt

= Z 1

−1



1 i + t²j + 1 3t³− t

 k



·

t²− 1
i + 2t j dt

= Z 1

−1

 t²− 1
+ 2t³ dt = 1 2t⁴+1

3t³− t

1

−1

= 0 +2

3 − 2 = −4 3. (2) ρ(x, y, z) = y가 C의 선밀도일 때, C의 질량.

|r⁰(t)| =

 t²− 1
i + 2t j =

q

(t²− 1)²+ 4t²=p

t⁴+ 2t²+ 1 = t²+ 1 이므로,

C의 질량 = Z

C

ρ ds = Z 1

−1

ρ (r(t)) · |r⁰(t)| dt = Z 1

−1

t²· t²+ 1
dt

= 1 5t⁵+1

3t³

¹

−1

= 2 5+2

3 = 16 15.

2. 2차원 벡터필드 F = sin(xy) (y i + x j)에 대하여 다음에 답하시오.

(1) F는 conservative인가? 맞을 경우 F의 potential 함수 ϕ를 구하시오. (8점) F = P i + Q j로 놓으면, P = y sin(xy), Q = x sin(xy)이고,

∂Q

∂x = 1 · sin(xy) + x · y sin(xy) = 1 · sin(xy) + y · x sin(xy) = ∂P

∂y 이므로, F는 conservative이다.

∇ϕ = F, 즉 ^∂ϕ_∂x = y sin(xy), ^∂ϕ_∂y = x sin(xy)이므로,

ϕ = Z

y sin(xy) dx = y ·



−1

y cos(xy)



+ g(y) = − cos(xy) + g(y) 를 얻는다. 이를 y에 대하여 미분하면

x sin(xy) = Q =∂ϕ

∂y = x sin(xy) + g⁰(y) 이므로, g⁰(y) = 0, 즉 g(y) = c (c: 상수)이다. 따라서

ϕ = − cos(xy) + c, c : 상수.

(참고: 상수 c는 아무거나 잡아도 됨.)

(2) r(t) = t³i + πt²j, −1 ≤ t ≤ 1로 매개변수화된 곡선 C에 대하여 R

CF · dr을 구하시오. (6점) F가 conservative이므로, 선적분의 기본정리를 사용하면

Z

C

F · dr = ϕ (r(1)) − ϕ (r(−1)) = ϕ(1, π) − ϕ(−1, π) = (− cos π) − (− cos(−π)) = 0.

2 2013년 1학기 다변수미분적분학: 덕성여자대학교 수학과 최성우

3. 평면곡선 C는 단위원 x²+ y² = 1이고(방향은 반시계 방향), F = 

e^x2− 3y

i + cos y³
j일 때, 선적분H

CF · dr의 값을 구하시오. (6점)

P = e^x2 − 3y, Q = cos y³
, D를 곡선 C로 둘러싸인 영역 x²+ y² ≤ 1로 놓고 Green정리을 이용하면

I

C

F · dr = ZZ

D

 ∂Q

∂x −∂P

∂y

 dA =

ZZ

D







∂ cos y³

∂x −

∂

e^x2− 3y

∂y





 dA

= ZZ

D

3 dA = 3 · (D의 면적) = 3π.

4. 곡면 S가 함수 z = 1 − x²− y², z ≥ 0의 그래프로 주어졌을 때(orientation은 “위쪽”), 다음을 구하시오. (각 8점)

(1) S의 면밀도가 ρ(x, y, z) = 1 − z일 때, S의 질량.

S를 다음과 같이 매개변수화하자:

r(x, y) = x i + y j + 1 − x²− y²
k, (x, y) ∈ D :=(x, y) ∈ R²| x²+ y²≤ 1 . rx= 1 i + 0 j − 2x k,

ry= 0 i + 1 j − 2y k, rx× ry= 2x i + 2y j + k,

|r_x× r_y| =p

4x²+ 4y²+ 1 이므로,

S의 질량 = ZZ

S

ρ dS = ZZ

D

1 − 1 − x²− y²
|rx× ry| dA

= ZZ

D

x²+ y²
p4x²+ 4y²+ 1 dA

= Z 2π

0

Z 1 0

r²p

4r²+ 1 · r dr dθ (← 극좌표)

= Z 2π

0

1 8

Z 5 0

1

4(t − 1) · t¹²dt dθ ← 치환: t = 4r²+ 1, dt = 8r dr

= 1 32

Z 2π 0

 2 5t⁵² −2

3t³²

⁵

0

dθ

= 1 32

Z 2π 0

 2 5 · 25√

5 − 2 3· 5√

5



dθ = 1 16

 5 −1

3

√

5 · 2π = 7√ 5π 12 . (2) F = x i + y j −p

x²+ y²k일 때, S를 통과하는 F의 fluxRR

SF · dS.

rx× ry = 2x i + 2y j + k이고 곡면 S의 orientation이 윗쪽이므로, 구하는 flux는 ZZ

S

F · dS = ZZ

D

F · (r_x× ry) dA

= ZZ

D

x i + y j −p

x²+ y²k

· (2x i + 2y j + k) dA

= ZZ

D

n

2x²+ 2y²−p

x²+ y²o dA

= Z 2π

0

Z 1 0

2r²− r
· r dr dθ (← 극좌표)

= Z 2π

0

 1 2r⁴−1

3r³

1 0

dθ = Z 2π

0

1 6dθ = 1

6 · 2π =π 3.

2013년 1학기 다변수미분적분학: 덕성여자대학교 수학과 최성우 3

5. 곡면 S가 x²+ y²+ z²= 1, z ≥ 0 (orientation은 “위쪽”)이고, S의 경계를 이루는 곡선을 C라고 할 때, 다음을 구하시오. (각 8점)

(1) F = x cos y²z
i + y cos z²x
j + z cos x²y
k일 때, RR_Scurl F · dS.

C는 다음과 같이 매개변수화된다:

C : r(t) = cos t i + sin t j + 0 · k, 0 ≤ t ≤ 2π.

Stokes 정리를 이용하면, 구하는 값은

ZZ

S

curl F · dS = I

C

F · dr

= Z 2π

0

cos t · cos sin²t · 0
i + sin t · cos 0²· cos t
j + 0 · cos cos²t sin t
k · r⁰(t) dt

= Z 2π

0

(cos t i + sin t j) · (− sin t i + cos t j) dt = Z 2π

0

(− cos t sin t + sin t cos t) dt = 0.

(2) G = z²+ yz sin(xyz)
i + x²+ zx sin(xyz)
j + y²+ xy sin(xyz)
k일 때, H_CG · dr.

curl G =      

i j k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

z²+ yz sin(xyz) x²+ zx sin(xyz) y²+ xy sin(xyz)      

= {(2y + x sin(xyz) + xy cos(xyz) · xz) − (x sin(xyz) + zx cos(xyz) · xy)} i + {(2z + y sin(xyz) + yz cos(xyz) · xy) − (y sin(xyz) + xy cos(xyz) · yz)} j + {(2x + z sin(xyz) + xz cos(xyz) · yz) − (z sin(xyz) + yz cos(xyz) · xz)} k

= 2 (y i + z j + x k)

이고, 곡면 S1을 x²+ y²≤ 1, z = 0(orientation은 “위쪽”)이라고 하면, C는 S1의경계이고, S1

의 unit normal은 k이다. Stokes 정리를 이용하면

I

C

G · dr = ZZ

S₁

curl G · dS = ZZ

S₁

2 (y i + z j + x k) · k dA = 2 ZZ

S₁

x dA

= 2 Z 2π

0

Z 1 0

r cos θ · r dr dθ (← 극좌표)

= 2 Z 2π

0

cos θ dθ · Z 1

0

r²dr = 2 [sin θ]^2π₀ · 1 3r³

¹

0

= 2 · 0 ·1 3 = 0.

참고: 곡면 S1대신 주어진곡면 S를 이용하면 다음과 같다.

S를 r(θ, φ) = sin φ cos θ i + sin φ sin θ j + cos φ k, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ ^π₂로 매개변수화하면, S 의법선벡터(윗쪽) n도 n = r(θ, φ) = sin φ cos θ i + sin φ sin θ j + cos φ k 이고 dS = sin²φ dθ dφ

4 2013년 1학기 다변수미분적분학: 덕성여자대학교 수학과 최성우

이므로, Stokes 정리를 이용하면 I

C

G · dr = ZZ

S

curl G · dS = ZZ

S

2 (y i + z j + x k) · n dS

= 2 Z ^π₂

0

Z 2π 0

(sin φ sin θ i + cos φ j + sin φ cos θ k)

· (sin φ cos θ i + sin φ sin θ j + cos φ k) sin²φ dθ dφ

= 2 Z ^π₂

0

Z 2π 0

sin²φ sin θ cos θ + sin φ sin θ cos θ + sin φ cos φ cos θ
sin²φ dθ dφ

= 2 Z ^π₂

0

sin⁴φ dφ · Z 2π

0

sin θ cos θ dθ + 2 Z ^π₂

0

sin³φ dφ · Z 2π

0

sin θ cos θ dθ

+ 2 Z ^π₂

0

sin³φ cos φ dφ · Z 2π

0

cos θ dθ

= 2 Z ^π₂

0

sin⁴φ dφ · 1 2sin²θ

^2π

0

+ 2 Z ^π₂

0

sin³φ dφ · 1 2sin²θ

^2π

0

+ 2 Z ^π₂

0

sin³φ cos φ dφ · [sin θ]^2π₀ = 0.

6. S는 정육면체 E =(x, y, z) ∈ R³| 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 의 표면이고, F = (zx + tan(yz)) i+

(xy + tan(zx)) j + (yz + tan(xy)) k이다. S를 빠져나오는 F의 fluxRR

SF · dS를 구하시오. (8점)

div F =∂ {zx + tan(yz)}

∂x +∂ {xy + tan(zx)}

∂y +∂ {yz + tan(xy)}

∂z = z + x + y 이므로, Divergence 정리에 의하여

ZZ

S

F · dS = ZZZ

E

div F dV = Z 1

0

Z 1 0

Z 1 0

(x + y + z) dx dy dz

= Z 1

0

Z 1 0

Z 1 0

x dx dy dz + Z 1

0

Z 1 0

Z 1 0

y dy dx dz + Z 1

0

Z 1 0

Z 1 0

z dz dx dy

= Z 1

0

Z 1 0

 1 2x²

¹

0

dy dz + Z 1

0

Z 1 0

 1 2y²

¹

0

dx dz + Z 1

0

Z 1 0

 1 2z²

¹

0

dx dy

= 1 2· 1 +1

2 · 1 +1 2 · 1 =3

2.