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수리‘가’형 정답
1 ③ 2 ③ 3 ③ 4 ④ 5 ⑤
6 ④ 7 ① 8 ⑤ 9 ② 10 ①
11 ② 12 ③ 13 ⑤ 14 ② 15 ① 16 ⑤ 17 ④ 18 19 20
21 22 23 24 25
해 설
1. [ ] 지수를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.
×
×
2. [출제의도] 무리방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.
식의 양변을 제곱하여 정리하면
∴ 또는 (∵ 은 무연근) 따라서 모든 실근의 합은 이다.
3. [출제의도] 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
P ∪ P P P P
4. [출제의도] 분수부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.
( )이므로
≦ ( ≠) 따라서 구하는 정수 의 개수는 이다.
5. [출제의도] 타원을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.
AF , OF
, AO
이므로
6. [출제의도] 두 평면이 이루는 각의 크기를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
접점으로 이루어진 도형을 포함하는 평면의 법선벡 터는 이고,
평면의 법선벡터는 이므로 cos
×
⋅
7. [출제의도] 삼차함수의 극댓값을 구할 수 있는가를 묻 는 문제이다.
로 놓으면
′
∴
이므로∆ACB
ADBC
× ×극댓값
이다.
따라서 극댓값은 이다.
8. [출제의도] 벡터의 내적을 이해하고 있는가를 묻는 문 제이다.
ㄱ. (반례) ⋅ 이지만 , 인 경우가 있다. (거짓)
ㄴ. , 이면 두 벡터 , 는 수직 이 될 수 없다. ∴ ⋅ ≠ (참)
ㄷ. 주어진 도형을 좌표평면에서 생각하면 , 의 성 분은 모두 정수이므로 ⋅는 항상 정수이다. (참) 9. [출제의도] 함수의 연속성을 이해하고 있는가를 묻
는 문제이다.
ㄱ. lim
→
lim
→
(참) ㄴ. lim
→ (참)
ㄷ. (반례) ≠
이면 lim
→ lim
→
이지만
에서 불연속이다. (거짓)
10. [출제의도] 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
, ⋯ ㉠
⋯ ㉡
㉠, ㉡에서
,
에서
∵ 이므로
에서
11. [출제의도] 직선과 삼각형이 만날 조건을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
삼각형 ABC는 평면 위에 있으므로 직선의 방 정식에 을 대입하면 삼각형 ABC를 품는 평면과 직선 의 교점의 좌표는 이다.
평면 과 선분 CA, CB의 교점의 좌표가 각각
이므로 ≦ ≦ 에서 ≦ ≦ 따라서 구하는 정수 의 개수는 이다.
12. [출제의도] 행렬의 연산의 성질을 이해할 수 있는 가를 묻는 문제이다.
ㄱ. 이므로 이다. (참) ㄴ. (반례) 이면 이지만 행렬 의 역행렬이 존재한다. (거짓)
ㄷ. 대우 ‘의 역행렬이 존재하면 의 역행렬이 존재한다.’는 참이므로 주어진 명제는 참이다. (참) 13. [출제의도] 수열의 극한을 추론할 수 있는가를 묻
는 문제이다.
주어진 식을 이용하여 각 항을 차례로 나열하면
⋯
ㄱ. 이 홀수이면 이므로 이다. (참) ㄴ. 이므로 lim
→∞
이다. (참) ㄷ. (은 자연수)일 때
lim
→∞
lim
→∞
→ ∞lim
(은 자연수)일 때 lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
∴ lim
→∞
(참)
14. [출제의도] 이항정리를 이용하여 명제를 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.
(가) (나) C (다) ≦ ≦ 15. [출제의도] 도형의 넓이에 관한 무한급수의 합을
구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
D P , ∆D PD∆BCD이므로 D D
∴
한편, 정사각형 B CDA의 한 변의 길이는
이므
로 각 정사각형의 넓이는 공비가
인 등비 수열을 이룬다.
∴
∞
16. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 이해 할 수 있는가를 묻는 문제이다.
직선 위의 한 점 P를 라 하면 A B 이므로
,
∴
17. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.
․
에서 이므로
에서
이다.
∴
18. [출제의도] 삼차함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
′ 에서
, , 이므로 최댓값과 최솟 값의 합은 이다.
19. [출제의도] 함수가 연속일 조건을 구할 수 있는가 를 묻는 문제이다.
lim
→
lim
→
이어야 하므로
에서
, 또는 , 이므로
20. [출제의도] 정적분을 계산할 수 있는가를 묻는 문 제이다.
(가)에서
(다)에서 ′ , 이므로
(∵ ′ )
∴
21. [출제의도] 세 평면의 교점을 구할 수 있는가를 묻 는 문제이다.
주어진 네 평면 중 세 평면이 만나는 점이 사면체의 꼭짓점이므로 A , B , C 이다.
따라서 사면체 OABC의 부피는
×
× ×
× ∴
22. [출제의도] 이항분포의 확률을 구할 수 있는가를 묻 는 문제이다.
P , P ≧ 이므로
즉, 이다.
따라서
이므로 이다.
23. [출제의도] 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문 제이다.
(ⅰ) 두 사람이 모두 비기는 경우 : (가지) (ⅱ) 갑이 승 패 무인 경우 : (가지) (ⅲ) 갑이 승 패 무인 경우 :
(가지) 따라서 구하는 경우의 수는 (가지) 24. [출제의도] 수열의 성질을 이해하여 계산할 수 있
는가를 묻는 문제이다.
⋯
⋯
×
×
⋯ ×
25. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
에서
⋯ 이다.
행렬 의 성분은 이므로 이다.
잎
[ 적분]
26 ② 27 ① 28 ④ 29 ⑤ 30
26. [출제의도] 배각공식을 알고 있는가를 묻는 문제이다.
lim
→ ∞
tan
lim
→∞
이므로
lim
→ ∞
tanlim
→∞ tan
tan
⋅
27. [출제의도] 합성함수의 미분을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.
′ 이므로 lim
→
′
lim
→
′ ′
⋅
″ ′ ″⋅
∴ ″ 1
28. [출제의도] 로그함수의 극한을 구할 수 있는가를 묻 는 문제이다.
A ln 이라 하면 →∞일 때 →이다.
ln ,
이므로
lim
→ ∞
lim
→
ln
29. [출제의도] 회전체의 부피의 변화율을 구할 수 있는 가를 묻는 문제이다.
그릇에 남은 물의 부피는 원 과 직선
sin로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시킨 입체의 부피와 같다.
ㄱ. sin (참)
ㄴ. 수면의 반지름의 길이는 cos이므로
cos이다. (참) ㄷ.
si n
이므로
cos sin cos
cos cos (참)
30. [출제의도] 변화율을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
∠PAB 라 하면 BP sin, AQ cos
BP cos
에서
cos
AQ sin
sin cos
sin
일 때, sin
이므로 sin
이다.
⋅
이므로 이다.
[확률과 통계]
26 ④ 27 ④ 28 ② 29 ① 30
26. [출제의도] 줄기와 잎 그림을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.
수정한 후의 줄기와 잎 그림은 다음과 같다.
ㄱ. 평균이 작아진다. (참) ㄴ. 범위는 변하지 않는다. (거짓) ㄷ. 중앙값이 에서 로 작아진다. (참) 27. [출제의도] 확률밀도함수를 이해하고 있는가를 묻
는 문제이다.
ㄱ. P ≧ ≦ P ≧ (참) ㄴ. (반례) 의 확률밀도함수가 이면
P ≧ P ≦ (거짓) ㄷ.
∴ (참)
28. [출제의도] 모비율을 이용하여 확률을 구할 수 있는가 를 묻는 문제이다.
×
이므로
P ≦ ≦ P
≦ ≦
P ≦ ≦
29. [출제의도] 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
점 P가 세 번 이동할 때 두 점 A, P 사이의 거리는
또는 이다.
점 P가 세 번 이동하는 방법의 수는 (가지) 이때, 두 점 A, P 사이의 거리가 인 방법의 수는
× × (가지) 따라서 구하는 확률은
이다.
30. [출제의도] 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
한 학생의 통학 시간을 확률변수 라 하면
P ≧ P
≧
따라서 명 중 통학 시간이 분 이상인 학생의 수를 확률변수 라 하면 는 이항분포 B
를 따르므로 근사적으로 정규분포 N 을 따른다.
이때, P ≧ P
≧
P ≧ 이어야하므로
이다.
∴
[이산수학]
26 ④ 27 ② 28 ① 29 ③ 30
26. [출제의도] 수열의 점화관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.
수열 은 ⋯이므로 수열 은 ⋯이다.
∴
×
27. [출제의도] 그래프를 적절하게 색칠할 수 있는가를 묻는 문제이다.
주어진 그래프의 꼭짓점을 적절하게 색칠할 수 있는 최소의 색의 수는 이다.
ㄱ. 개 ㄴ. 개 ㄷ. 개
28. [출제의도] 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문 제이다.
개, 개로 나누어 저장하는 경우는 가지이고,
개, 개로 나누어 저장하는 경우는 C×C 가 지이므로 (가지)이다.
29. [출제의도] 그래프를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.
그래프 는 오른쪽과 같다.
ㄱ. 변의 개수가 8이므로 모든 꼭짓점 의 차수의 합은 16이다. (참) ㄴ. 모든 꼭짓점의 차수가 짝수이므로
오일러회로가 존재한다. (참) ㄷ. 해밀턴회로는 존재하지 않는다. (거짓) 30. [출제의도] 그래프를 활용할 수 있는가를 묻는 문
제이다.
위 그래프에서 구하는 최소의 작업 일수는 각 경로에 필요한 작업 일수의 최댓값과 같으므로 (일)이다.
수리‘나’형 정답
1 ③ 2 ④ 3 ③ 4 ① 5 ②
6 ④ 7 ⑤ 8 ④ 9 ② 10 ⑤
11 ① 12 ③ 13 ⑤ 14 ② 15 ① 16 ⑤ 17 ④ 18 19 20
21 22 23 24 25
26 ② 27 ④ 28 ① 29 ③ 30
해 설
1. ‘가’형과 같음.
2. [출제의도] 행렬을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.
,
이므로
따라서 모든 성분의 합은 이다.
3. ‘가’형과 같음.
4. [출제의도] 수열의 규칙을 이해하여 그 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
수열 은 , , , , , ⋯
이때, 을 으로 나눈 나머지는 차례로 다음과 같다.
, , , , , , , ⋯ 따라서
이다.
5. [출제의도] 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
두 눈의 수의 곱이 짝수인 경우의 수는
(가지)이고, 짝수를 포함한 두 수의 합이 또는 인 경우는 , , , , 이므로 구 하는 확률은
이다.
6. [출제의도] 순서도를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.
×
7. [출제의도] 이항정리를 이해하고 있는가를 묻는 문 제이다.
C C ( ≦ ≦ ) 이때, , 을 만족하는 순서 쌍 은 이다.
따라서 의 값들의 합은 이다.
8. [출제의도] 정규분포를 이해하고 있는가를 묻는 문 제이다.
P ≦ ≦ P ≦ ≦ 이므로 수출한 과일은 × (개)이다.
9. [출제의도] 행렬의 연산을 이용하여 그 성질을 추론 할 수 있는가를 묻는 문제이다.
ㄱ. 두 행렬만
이다. (참)ㄴ. 이면 또는 이므로 항상
가 성립한다. (참) ㄷ. (반례)
∉ (거짓)10. [출제의도] 조합의 성질을 이용하여 직사각형의 개 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
⋯
CCC ⋯ CC
11. [출제의도] 수열을 이용하여 나누어진 영역의 개수 를 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.
⋯
이다.
12 17. ‘가’형과 같음.
18. [출제의도] 로그부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문 제이다.
log
에서 즉, 이므로 이다.
19. [출제의도] 최댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
함수 에서 지수의 최솟값은 이 므로 즉, 이다. 이때, 지수의 최댓값은
이므로 의 최댓값은 이다.
20. [출제의도] 행렬의 곱셈을 이용하여 조건을 만족하 는 행렬의 개수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
따라서 을 만족하는 의 값은 ,
, , …, 등의 모두 개이다. 을 만족하는 경우의 행렬은 개이고 그 이외의 경우는 모두 개 씩 있으므로 구하는 행렬의 개수는 모두 (개)이다.
21. [출제의도] 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
선분 AH의 길이는
이므로
∞
이므로
이다.
22～25. ‘가’형과 같음.
26. [출제의도] 가수를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.
log ( )라 하면 log
log 이므로
에서
일 때 최솟값
을 갖는다.
27. [출제의도] 등차수열의 성질을 이해하여 그 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
에서
, ∴
28. [출제의도] 경우의 수를 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.
비밀번호에 쓸 수 있는 숫자는 이다.
첫째 자리가 이고 마지막 두 자리가 의 배수인 경 우는 ×가지이고, 첫째 자리가 인 경우도 ×가 지이다. 따라서 구하는 경우의 수는 × 이다.
29. [출제의도] 로그의 성질을 이해하여 로그의 값을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.
ㄱ. log log log log이므로
≦ log
∴ log (참)
ㄴ. (반례) log ∈이지만
log log log이므로
log ∉이다. (거짓) ㄷ. log∈이므로
≦ log
log
이므로 log
∈이다. (참) 30. [출제의도] 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
구하는 확률은
이므로 이다.
