벡터해석 (Vector Analysis)

특정 축에 대한 힘의 모멘트

a) 스칼라 해석과 b) 벡터 해석

을 통해 특정 축에 대한 힘의 모멘트를 구한다.

강의 내용:

• 예습 점검 퀴즈

• 응용 예

• 응용 예

• 스칼라 해석

• 벡터 해석

• 개념 정립 퀴즈

• 집단 문제 해결 능력

• 주의 환기 퀴즈

예습 점검 퀴즈

1. 특정 축에 대한 힘의 모멘트를 구할 때, 그 축은 다음 중 무엇을 따라야 한다.

A) x 축 B) y 축 C) z 축

D) 3-D 공간내의 어떤 선 E) 면상의 어떤 선

2. 삼중 스칼라 곱 u • ( r × F ) 결과는 다음 중 어떤 값으로 나타나는가?

A) 스칼라 량( + 혹은 - ). B) 벡터 량.

C) 0. D) 단위 벡터.

E) 허수.

응용 예

힘 F로 어떤 사람이 모멘트 M_A를 만들어 내고 있다.

모멘트 M_A 중 얼마 만큼이 소켓을 돌리는데 사용될까?

힘 F가 모멘트 M_O를

만들고 있다. M_O 의 얼마나 많은 부분이 파이프를

푸는데 작용할까?

스칼라 해석

임의의 점 A에 관한 힘 F의 모멘트는 M_A= F d_A로 주어지는 것을

기억하고 있다. 여기서 d_A 는 점 A에서 힘의 작용선 까지의 수직거리(또는 최단거리)이다.

따라서 이 개념은 임의의 축에 관한 힘의 모멘트를 구하는데도 사용 가능.

그러나 이러한 스칼라 계산은 언제나 간단하지는 않고,

대부분의 경우 벡터해석을 사용해 구하는 것이 바람직하다.

(왜냐하면, 일반적으로 3차원에서 수직거리를 구하는 것이 쉽지 않기 때문에)

위 그림에서, y-축에 관한 모멘트는 M_y= 20 (0.3) = 6 N·m이 된다.

(왜냐하면 y-축에서 힘의 작용선까지의 수직 거리가 0.3m임.)

벡터해석 (Vector Analysis)

목표는 축 a’-a축에 관한 힘 F의 모멘트(물체를 회전시키려는 경향)를 구하는 것이다.

1) 우선 벡터 외적(cross product) 을 사용하여, a’-a 축 상에 놓여 있는 임의 점 O에 관한 힘 F ^{의 모멘트} M_O 를 계산한다.

M_O = r × F

2) 그리고 나서, 모멘트 M_O 의 a’-a축을 따르는 성분, M_a 를 벡터내적(dot product)을 사용하여 구한다.

M_a = u_a • M_O= u_a •(r × F) u_a 는 a’-a축 방향 단위벡터임.

M_a 는 다음과 같이 구할 수 있다.

이 방정식을 삼중스칼라 곱(triple scalar product) 이라고 부른다.

벡터 해석 (계속)

scalar product) 이라고 부른다.

이 방정식에서,

u_a : a’-a 축 방향 단위벡터. ^{여기서, u}_ax^{, u}_ay^{, u}_az^{는 a-a’축의}

방향을 정의하는 단위벡터의 x, y, z방향 성분임

r

F : 힘 벡터, 를 각각 나타낸다.

여기서 삼중스칼라 곱 M_a는 크기를 나타내며, 양 또는 음의 스칼라 량이 된다.

부호는 a-a’축을 따라서 작용하는 M_a의

벡터 해석 (계속)

부호는 a-a’축을 따라서 작용하는 M_a의 방향을 나타내는데,

-양수이면 M_a는 u_a와 같은 방향을,

-음수이면 M_a는 u_a와 반대방향으로 작용한다.

따라서 모멘트를 벡터로 표시하면, M_a= M_au_a=[u_a•(r x F)] u_a

일련의 힘의 합 모멘트에 대하여는,

M_a=Σ [u_a•(r x F)] = u_a• Σ(r x F) 로 주어진다.

- d

특정 축에 관한 힘의 모멘트 요점

- 특정 축에 대한 힘의 모멘트는 힘의 작용선까지의 수직거리 d_a만 결정되면 구할 수 있다.

- 벡터해석을 사용하면, 삼중스칼라 곱 M_a로 나타낼 수 있고,

M_a=u_a•(r x F) 이며, 여기서 u_a 는 축의 방향을 나타내고, r은 축 상의 어느 점으로부터 힘의 작용선까지의 위치벡터를 나타낸다.

- M_a의 결과가 음의 스칼라이면, M_a의 방향은 u_a의 반대 방향이다.

- 모멘트 M_a를 직교벡터로 나타내면, M_a= M_au_a이다.

예 제

A

B

주어진 값: 가스 밸브를

열기 위해 공구에 힘 F 가 작용하고 있다.

목표: 밸브의 z-축에 관한 힘 F에 의한 모멘트의 크기를 구하라.

1) 모멘트를 구하기 위해 M_z = u • (r × F) 를 사용하는 것이 필요하다.

2) z-축 방향벡터는 u = 1 k.

3) 벡터 r은 A에서 B까지의 위치벡터이다.

4) 힘 F 는 이미 직교벡터 형식으로 주어져 있다.

. 계획 (풀이):

예 제 (계속)

u = 1 k

r_AB = {0.25 sin 30° i + 0.25 cos30° j} m

= {0.125 i + 0.2165 j} m F = {-60 i + 20 j + 15 k} N

A

B

M_z = u • (r_AB

×

0 0 1

0.125 0.2165 0 -60 20 15

Created with the Trial Edition of SmartDraw 5.M_z =

= 1{0.125(20) – 0.2165(-60)} N·m

= 15.5 N·m

개념 확립 퀴즈

1. 벡터 연산 (P × Q) • R 과 같은 것은?

A) P • (Q × R).

B) R • (P × Q).

C) (P • R) × (Q • R).

C) (P • R) × (Q • R).

D) (P × R) • (Q × R ).

2. 힘 F 가 선분 DC를

따라서 작용하고 있다.

봉 BA에 관한 힘 F 의 모멘트를 구하기

위해서 삼중 곱을 할 때, 다음 위치벡터 중

개념 확립 퀴즈

때, 다음 위치벡터 중 사용할 수 없는 것은?

A) r_BC B) r_AD C) r_AC D) r_DB E) r_BD

주의환기 퀴즈

1. x-축에 관한 힘 F 의 모멘트를 구하기 위한 삼중 스칼라곱 계산에서 위치벡터는 ___

이다.

A) r_ACAC B) r_BABA C) r_AB D) r_BC

2. 만약 r = {1 i + 2 j} m, F = {10 i + 20 j + 30 k} N라면, y-축에 관한 힘 F 의 모멘트는 ____ N·m이다.

A) 10 B) -30

C) -40 D) 답 없음.

예제 예제 44--88

F = {-40 i + 20 j +10 k }의 힘이 점 A에 작용한다. x-축 및 a축에 대한 이 힘의 모멘트를 구하라.

M_x = u_x •(r_A × F) u_x = i

r = -3 i + 4 j + 6 k

M_a = u_a •(r_A × F) u_a= -0.6 i + 0.4 j r = -3 i + 4 j + 6 k r_A = -3 i + 4 j + 6 k

F = -40 i + 20 j + 10 k

r_A = -3 i + 4 j + 6 k F = -40 i + 20 j + 10 k

스칼라 해석의 예

예제 예제 44--99

F = (-600 i + 200 j - 300 k)의 힘에 의해 발생하는 모멘트 M_AB를 구하라.

M_AB = u_B •(r_D × F) r_AB = 0.4 i + 0.2 j r_AB = 0.4 i + 0.2 j

u_AB= r_AB/r_AB = 0.894 i + 0.447 j r_D = 0.2 j

F = -600 i + 200 j - 300 k