• 저항연결 (Resistors in Series & Parallel)

27. 회로 (circuits)

• 기전력 - Electromotive fore (emf)

• Kirchhoff 법칙

– Loop Rule (Energy is conserved)

– Junction Rule (Charge is conserved)

• 저항연결 (Resistors in Series & Parallel)

= 0

∑

i

= 0

∑ Δ

closed

V

지난 시간에 …

전류밀도 (J)

^{i =} ∫ ^{J r ⋅ d A r J r = ( ne ) v r}

전기 저항 (resistance)

i R ≡ V

비저항 (resistivity)

J

≡ E ρ

전도도 (conductivity)

σ ≡ ρ ¹ J

E r r ρ

=

Ohm 법칙

V = iR

R R V

i iV

p

2

2

=

=

Power

=

기전력 (electromotive force : emf)

1. 기전력(electro-motive force: emf)

• 두 단자 사이에 전위차를 유지시켜 주는 능력(힘)

•

ε

전지, 발전기, 태양전지, 연료전지등

이들을 보통 “전원(battery)”이라고 부름

• Capacitors:

Purpose is to store charge (energy).

• We have calculated the capacitance of a system

• We had to modify Gauss' Law to account for bulk matter effects (dielectrics) … C ₌ κC₀

• We calculated effective capacitance of series or parallel combinations of capacitors

• Batteries (Voltage sources, sources of emf):

Purpose is to provide a constant potential difference between two points.

• Cannot calculate the potential difference from first principles... chemical ↔ electrical energy conversion. Non-ideal batteries will be dealt with in terms of an "internal resistance".

+ -

+ V - OR

27-3. 일, 에너지, 기전력

dW

ε ≡ dq ^{[J/C] =[V]}

기전력이란 :

단위 전하를 낮은 퍼텐셜에서 높은 퍼텐셜로 이동시키기 위해 필요한 일

27-4. 단일 고리회로에서의 전류

dW = ε dq = ε idt

에너지 보존법칙을 이용하기

기전력이 한 일 :

dE = Pdt = i Rdt

저항기에서 소모되는 열 에너지 :

2

=iR

idt i Rdt

ε = ⇒ ε

i R

= ε

27-4. 단일 고리회로에서의 전류

퍼텐셜 이용하기

= 0

∑ Δ

closed

V

회로규칙(loop rule) : 고리회로를 따라 퍼텐셜 차를 더해나가면 그 결과는 0 이다.

a a

V + − ε iR = V 0 ε − iR =

i R

= ε

a 에서 시작하여 전류방향으로 한바퀴 돌면,

a 에서 시작하여 전류방향 반대로 한바퀴 돌면,

0

iR − = ε

Kirchhoff의 회로규칙

= 0

∑ Δ

closed

V Energy conservation

a i b

R ΔV =V_b −V_a = −IR

a b

R i

IR V

V

V = _b − _a = Δ

a b

ε

^ε

a b

ε

^ε

a Æ b 로 가는 동안 R 과

e

퍼텐셜 변화

Loop Demo

a

d b

c e

f

ε

R

I

R

R

R

I

ε

⇒

4 3

2 1

2 1

R R

R I R

+ +

+

=

ε

ε

⇒ − IR

− IR

− ε

− IR

− IR

+ ε

= 0

∑

loop

Vn 0

From a,

기전력장치 (전원)의 내부저항

Vba = iR

ab ba

V =V ir iR

ε

2 2

i

ε

ε

내부저항

Internal resistance

i R r

⇒ =

ε

+ 일률(Power) :

내부저항에 의한 열소모

회로의 접지 (ground)

접지 (ground) :

전기적으로 도체인 축축한 흙이나 지하 암반에 연결하는 것

접지에서의 퍼텐셜 = 0

V_a = 0

V_b = 0 (a 에서의 퍼텐셜은?)

12 2 6

i V A

R r

=

ε

+ Ω

V_b = 0 이므로, V_a = -iR = -8.0 V

Kirchhoff 법칙 (rule)

1. ∑ Δ = 0

closed

V Energy conservation

2. ∑

i = 0 (접점-junction) Charge conservation

3 0

2

1 + + =

−

∑

3 2

1 i i

i = +

i₁

i₂

i₃

27-7. 다중 고리회로

접점 b 에서,

= 0

∑

i

2 1 3

i = + i i

(1) (2)

(1) 번 고리에서:

(2) 번 고리에서:

= 0

∑ Δ

closed

V ε

− ^{i R}

+ ^{i R}

= ⁰

= 0

∑ Δ

closed

V − i R

− i R

− ε

= 0

i₁ i₂ i₃

구할 수 있다.

저항 연결

직렬연결

1 1 2 2 3 3

1 2 3 1

0

n

eq j

eq j

i R i R i R i R R

R R R R

ε ε

ε

=

− − − = → = = → =

+ + ∑

Æ 전류가 동일

병렬연결

Æ 퍼텐셜 차가 동일

1 2 3

1 2 3 1

1 1 1 1

1

eq eq j j

i i i i

R R R R R R

ε ε

=

⎛ ⎞

= + + = ⎜ + + ⎟ = → =

⎝ ⎠ ∑

The World’s Simplest (and most useful) circuit:

Voltage Divider

? V =

0

2 2

1 2

V IR V R

R R

⎛ ⎞

= = ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠

0

2 1

V= V R = R 2

2 1

V=V

R >> R

2 1

V=0 R << R

By varying R

we can controllably adjust the output voltage!

V₀

R₁

R₂ V

Question

• Consider the circuit shown.

– The switch is initially open and the current flowing through the bottom resistor is I₀. – After the switch is closed, the current

flowing through the bottom resistor is I₁. – What is the relation between I₀ and I₁?

(a) I

< I

(b) I

= I

(c) I

> I

• Write a loop law for original loop:

12V − I

R = 0 I

= 12V/R

• Write a loop law for the new loop:

12V +12V − I

R − I

R = 0 I

= 12V/R

R

12V

12V R

12V

a

b

I₀ I₁

( 예 제 )

a b

14 V

4Ω e

c

d f

10 V 6Ω

2Ω + −

− +

I₁

I₂

I₃

3 2

1

I I

I + =

⇒

( ) ( ) ^{6 2 0}

10 V − Ω I

− Ω I

=

= 0

∑ ⁱ

= 0

∑ Δ

abcda

V

( ) ^{4 Ω}

^{− 14 +} ( ) ^{6 Ω}

^{− 10 = 0}

− I V I V

= 0

∑ Δ

befcb

V

A I

, A I

, A

I

= 2

= − 3

= − 1

( 예 제 )

I₁ I₃

I₂

I₃

I₁

a b

5Ω

e

c d

f

3 V

3Ω

+ −

− +

− +

4 V

8 V

6μF

g

+ − h

I=0 5Ω

3 2

1 I I

I + = 0 ⇒

∑

( )

( )

4V − Ω I₂ − Ω I₃ =

= 0

∑

defcd

V

( )

( )

= 0

∑

cfgbc

V

A .

I , A .

I , A .

I₁ =1 38 ₂ = −0 364 ₃ =1 02 0 3

8 +Δ − =

− V V_c V

= 0

∑

abgha

ΔV_c V

V V_c =11 Δ

C V

C

Q = ⋅Δ _c = μ

⇒ 66

각 저항에 흐르는 전류는?

축전기에 충전된 전하량은?

27-8. 전류계와 전압계

전류계

- 회로 속에 끼워 넣어 전류를 잼

- 내부저항이 아주 작아야 잰 값이 정확함 (왜?)

전압계

- 탐침을 두 점에 붙여 전위차를 잼

- 내부저항이 아주 커야 잰 값이 정확함 (왜?)

27-9. RC 회로

축전기의 충전 : switch가 a 에 있을 때

q 0 iR C

ε − − =

i dq

= dt dq q

R dt + C = ε

( ) 1

t

q t = C ε ^⎛ ⎜ − e

^⎞ ⎟

⎝ ⎠

( )

t

i t e

R

ε

= ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠

τ = RC

(시간상수)

시간상수 :

( ) 1

t

q t = C ε ^⎛ ⎜ − e

^⎞ ⎟

⎝ ⎠ ( )

t

i t e

R

ε

= ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠

τ = RC

t T q

q I

q V

q I

RC V ⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡

⋅ Δ

= Δ

τ

F C

,

R =10Ω =1μ ⇒ τ = RC =10⁻⁵ sec

37

1 0 . e⁻ =

RC 회로 : 방전

축전기의 방전 : switch가 b 에 있을 때

dq q 0

R dt + C =

( )

t

q t = q e

( )

t

q

i t e

RC

⎛ ⎞

= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

{ q

= q t ( = 0) = CV

}

27. Summary

Kirchhoff 법칙 (rule)

1. ∑ Δ = 0

closed

V Energy conservation

2. ∑

i = 0 (접점-junction) Charge conservation

1 n

eq j

j

R R

=

= ∑

1

1

1

eq j j

R = ∑

R 저항 연결

직렬 _(series)

병렬 _(parallel)