※ 행렬대수의 특이성
￭ 스칼라의 경우 방정식 ⇒ a 혹은 b가 적어도 하나는 항상 0
￭ 행렬은 A나 B 자체가 영행렬이 아니더라도 곱은 영행렬 가능
D≠E 임에도 불구하고, CD=CE가 성립
(cf. 스칼라의 경우는 cd=ce (c≠0)는 d=e임을 의미)
⇒ 이러한 특이한 결과들을 “특이행열(singular matrix)"라 함
※ p⇒q와 p⇒w는 동시에 성립 가능한가?
제5장
5.1. 행렬의 비특이성 조건(non singular matrix)
￭ 행렬의 형태가 “정방” ⇒ 역행렬 이 존재하기 위한 필요조건일 뿐(not 충분조건)
1. 필요조건과 충분조건
(1) 필요조건 : 본질적으로 “전제조건”
￭ p ⇒ q (p이면 q이다.)
￭ 어떤 한 명제 p는 명제 q가 참일때만[전제] 참 이때 q는 p의 필요조건
￭ “p는 q일 경우에 한해서 성립”
[예제]
(1) p: 그 사람은 아버지이다.
q: 그 사람은 남자이다.
(2) p: 그 사람은 유럽에 갈 수 있다.
q: 그 사람이 유럽행 비행기를 탄다.
(3) p: 그 달의 일수는 30보다 적다.
q: 그 달은 2월이다.
(2) 충분조건
￭ q ⇒ p (q이면 p이다.)
￭ p는 q일 경우에만 성립한다.
￭ q는 p를 의미한다.
(3) 필요충분조건
￭ p ⇔ q (p는 q일 경우에, 그리고 그 경우에 한해서(p iff q) 성립한다.)
2. 비특이성의 조건
￭ 비특이행렬의 충분조건 : 행이나 열들이 선형독립이 되어야 한다.
￭ 〃 필요조건: 행렬의 형태가 정방성 조건
⇒∴ 필요충분조건 = 정방성 + 선형독립성
※ 행렬 사이에서 선형독립성 조건 의의
⇒ 유일한 해의 존재 조건
￭ 방정식의 수 = 미지수의 수
(이 조건만으로도 유일한 해가 존재 불충분)
￭ 방정식들은 서로 모순되지 않고 함수적으로 독립되어야 함 [예제1]
방정식 체계가 가
계수행렬은 선형종속인 행들로 구성
⇒ 행뿐만 아니라 열도 선형종속임
①
⇒ 첫 번째 방정식은 두 번째 방정식에 2를 곱 (한개는 불필요함 → ∴ 사실상 무수한 해) [예]
② ≠
[예]
⇒ 모순 (해 존재 ×)
[결론]
if 계수행렬 A의 행들이 선형종속인 한 (두 가지 가능성 중 어떤 경우에도) 유일 한 해는 존재하지 않음
∴ 선형독립인 경우에만
① A는 비특이행렬이 되고
② 역행렬이 존재하며,
③ 유일한 해는
3. 행렬의 위수(rank)
￭ m×n의 직사각형 행렬에서 선형독립인 행들의 최대수 (m과 n의 중에서 작은것보다 클수 는 없음)
￭ n×n 비특이 행렬 A ⇒ n개의 선형독립인 행(or 열)지님 ⇒ 위수는 n
￭ 위수가 n인 n×n 행렬은 비특이행렬
5.2. 행렬식에 의한 비특이성 산정
1. 행렬식과 비특이성 (1) 정의
￭ 정방행렬 A의 행렬식(determinant) :
1) , ⇒ ① 정방행렬에 대해서만 정의 ② 스칼라 (수)
1) 행렬식은 정의에 따라서 스칼라(하나의 수), 행렬은 수치가 아니다. (하나의 수들의 집합) 또한 행렬식은 정방행렬에 대해서만 정의되나 행렬은 아니다.
[예제] 행렬식을 구하고, 선형종속과의 관계를 설명하여라.
(1)
(2)
￭
라면,
(=스칼라)⇒ 행렬 A차원에 비추어 보아 2계 행렬식(second-order determinant)
[예제] 행렬식을 구하여라.
(1)
(2)
(2) 의미
① 행렬식의 값이 0이면, 선형종속을 의미(선형독립, 비특이성 검증기준)
② 행렬식의 값
는 역행렬 을 구하는데 이용(3) 3계 행렬식으로의 확장
￭ 위수가 3인 행렬식(3×3)행렬
=※ 여인수(cofactor)
: 소행렬식에 “대수부호”를 붙인것
①
②
[예제]
(1)
에서
를 구하면(2)
에서
를 구하면(4) 라플라스 전개
￭ 앞의 "소행렬식(minor)"
⇒
: 주어진 행렬식의 번째의 행과 번째 열을 삭제하여 얻어진 소행렬식
[1]
′
⇒행렬A의 행렬식과 전치행렬 ′의 행렬식은 같은 값[2] 임의의 두 행(열)을 서로 교환하면 행렬식의 부호는 변하나 수치는 불변 [3] 임의의 한 행(열)에 스칼라 를 곱하면 행렬식의 값은 배가 된다.
[4] 어떤 행의 배수를 다른 행에 더하거나 빼도 행렬식의 값은 변하지 않는다.
[5] 어떤 한 행(열)이 다른 행(열)의 배수이면 행렬식의 값은 0이다.
(두개의 행(열)이 동일하면 행렬식 값은 0이다.)
[6] 두 행렬의 곱 AB가 정의될 때,
가 성립 [예제1]
(1) 첫 번째 행에 대해서 전개하면 (2) 첫 번째 열에 대해서 전개하면
⇒ 모두 -27이 되어야 함.
[예제2]
<Tip> 행렬식 계산시는 0과 1이 가장 많이 포함된 행이나 열 선택시 유리
2. 행렬식의 기본성질
⇒ 행렬식의 계산과정을 쉽게 하는데 도움
[예제]
[1]
(1)
(2)
[2]
(1)
(2)
[3]
[4]
[5]
[6]
[예제1]
의 방정식 체계에서
⇒ 유일한 해를 지니기 위해서는 A가 비특이행렬 (A의 행들이 선형독립)이 되는 것
⇒ 2번째 행이 첫 번째 행의 5배 ∴ 선형종속
[예제2]
′
′
′
⇒ ′ ′ ′ (선형종속)
⇒ 2번째 행이 0 벡터가 되어
[참고1]
와
는 구별되어야 (행렬식의 인수분해와 행렬의 인수분해)
[참고2]
[성질5]는 [성질4]를 이용하면
⇒ 변형된 행렬식은 행과 열에 0을 포함하여 0에 의한 라플라스 전개는 0의 값이 됨
3. 행렬식에 의한 비특이성의 판정
≠ ⇔ A의 행(열)은 독립
⇔ A는 비특이행렬
⇔
가 존재
⇔ 유일한 해
가 존재
[예제3]
다음 방정식 체계는 유일한 해를 갖는가?
≠ 4. 행렬의 위수의 재정의
￭ “위수(rank)"는 행렬A의 선형독립인 행들의 최대수
⇒m×n 행렬의 위수는 그 행렬의 행들과 열들을 구성될 수 있는 0이 아닌 값을 행 렬식들 중에서 그 계수가 가장 큰 것의 계수(order)
￭ ≤
"A의 위수는 두 수 m과 n으로 이루어진 집합의 극소값보다 작거나 같다.“
￭ ≤ ( 두 행렬의 곱의 위수)
5.3. 역행렬을 구하는 방법
￭
에서
가 비특이 행렬 ⇒
가 존재 ⇒
￭
≠ 일때,
의 여인수
를 원소로 하는 여인수 행렬의 전치행렬을 부 수행렬(adjoint)
라 하면
[예제1]
의 역행렬을 구하여라.
① 역행렬 존재여부 :
②
③
[예제2]
의 역행렬을 구하여라.
① 역행렬 존재여부 :
②
③
<Tip> 검산방법
5.4. 크래머의 법칙(Cramer's rule)
￭ 선형방정식체계를 주는데 편리하고 실제적
￭ 역행렬을 이용한 방법은 모든 내생변수에 대한 해를 한 번에 모두 구할 수 있지 만 (는 벡터), 크래머의 법칙을 이용하면 오직 하나의 내생변수의 해를 구할 수 있음.(는 스칼라)
⇒but, 크래머의 법칙은 역행렬 개념을 기초
￭
≠ (⇒ 크래머의 법칙이 성립하기 위한 필요조건)일 때￭ 의 해는
[예제1]
⇒
[예제2]
⇒
꼭 풀어볼 문제
1. 다음의 쌍을 이룬 명제에서 첫 번째를 p, 두 번째를 q라고 하자. 각 경우에 필요충분조건을 설 명하여라.
(1) 휴일이다. ; 추수감사절이다.
(2) 어떤 도형이 4개의 변을 가지고 있다. ; 그것은 직사각형이다.
(3) 두 개의 순서쌍(a,b)와 (b,a)는 같다. ; a는 b와 같다.
(4) 4×4 행렬은 비특이행렬이다. ; 그 행렬의 위수는 4이다.
(5) 내 자동차의 가솔린 탱크는 비었다. ; 나는 내 자동차를 움직일 수 없다.
(6) 그 편지는 우표를 부족하게 붙였기 때문에 보낸 이에게 되돌아 왔다. ; 보낸 이는 편지 봉투에 우표 붙이는 것을 잊었다.
2. 다음의 각 경우에 행들이 선형독립인가? 열들은 어떤가? (행과 열에 대해서 판단하여라.)
3. 다음의 행렬식을 구하여라.
4. 다음 행렬식의 값을 구하여라.
5. 앞 문제의 첫 번째 행렬식에서 원소 9에 대한 여인수의 값을 구하여라.
6. 다음 행렬이 비특이인가의 여부를 검증하고, 위수는 어떻게 되는가?
7. 다음 행렬의 역행렬을 구하여라.
8. 크래머의 법칙을 이용하여 다음 방정식체계를 풀어라.
