해석개론 시험
2012 년 5 월 7 일
문제 1 코시수열의 정의를 써라. 코시수열이 수렴하는 부분수열을 가지면, 그 코시수열이 수 렴함을 증명하여라.
문제 2 각 n = 1, 2, . . . 에 대하여 an≥ 0인 수열 hani 에 대하여 α = lim inf
n→∞
log an
log1n 이라 두자.
(가) 만일 α > 1 이면 급수P
nan이 수렴함을보여라.
(나) 이를 이용하여, p > 1 일 때 급수P
n
log n
np 가 수렴함을 보여라.
문제 3 옹골집합의 정의를 써라. 무한집합들 가운데 옹골집합이 되는 예를 하나 들고, 정의에 입각하여 이를 증명하여라.
문제 4 연결집합의 정의를 써라. 무한집합들 가운데 연결집합이 되는 예를 하나 들고, 정의에 입각하여 이를 증명하여라.
문제 5 함수 f : X → Y 에 대하여 다음 두 명제가 동치임을 보여라.
(가) 함수 f 가 연속이다.
(나) V 가 Y 의 열린집합이면 f−1(V )는 X의 열린집합이다.
문제 6 연속함수 f : (0, 1] → R에 대하여 다음 물음에 답하여라.
(가) 만일 lim
x→0+f (x) = 0이면 함수 g(x) = f (x) sin1
x가 구간 (0, 1] 위에서 고른연속임을 보여라.
(나) 위 명제의 역이 성립하는지 살펴보아라.
(다) 구간 (0, 1) 위에서 고른연속이고 미분가능하지만 그 도함수는 유계가 아닌 예를 들 어라.
문제 7 구간 (0, 1) 안에 있는 유리수 전체를 {r1, r2, . . . }와 같이 늘어놓고 f (x) =
∞
X
n=1
(x − rn) + [x − rn]
2n , x ∈ (0, 1) 과 같이 정의하자. 단, [x]는 x는 넘지 않는 최대 정수를 의미한다.
(가) 함수 f : (0, 1) → R이 증가함수임을 보여라.
(나) 함수 f 가 유리수점에서 불연속임을 보여라.
(다) 함수 f 가 무리수점에서 연속인지 살펴보아라.
문제 8 아무 거나 써라.
다 풀지 못한 문제를 마저 풀어서 제출하고 싶은 학생은 5월 8일(화요일) 오전 10시까지 조교실(27-427)에 제출하기 바랍니다.
