해석개론 시험
2012 년 12 월 13 일
문제 1 구간 [−π, π] 위에서 함수 f (x) = x 의 푸리에급수를 구하고, 이를 이용하여 무 한급수
∞
X
n=1
1
n2 의값을 구하여라. 또한, 구간 [−π, π] 위에서 함수 f (x) = x2 의 푸리 에 급수를 구하고, 이를 이용하여 무한급수
∞
X
n=1
1
n4 의값을 구하여라.
문제 2 C∞-주기함수의 푸리에계수 {cn: n = 0, ±1, ±2, . . . } 은 다음 조건
n→±∞lim |nkcn| = 0, k = 1, 2, . . .
을 만족함을 보여라. 역으로, 위 조건이 만족되면, 각 n = 0, ±1, ±2, . . . 에 대하여 f (n) = cb n 인 C∞-주기함수 f 가 존재함을 보여라.
문제 3
(가) 잴수있는 함수의 정의를 써라.
(나) 위 정의에 입각하여 잴수있는 두 함수의 합이 잴수있는 함수임을 보여라.
(다) 잴수있는 함수 f ≥ 0은 단조증가하는 담순함수열의 점별극한함수로 표시할 수 있음을 보여라.
문제 4
(가) 단조수렴정리, 파투정리, 르벡수렴정리 및 레비정리를 써라.
(나) 다음 등식을 증명하되, 각 단계에서 어떤 정리를 어떻게 사용하였는지 명확하 게 밝혀라.
Z 1 0
log 1
1 − xdx =
∞
X
n=1
1 n
Z 1 0
xndx = 1 문제 5
(가) 노음공간 L2[−π, π] 가 완비공간임을 보여라.
(나) 임의의 c ∈ `2(Z) 에 대하여 bf = c 인 f ∈ L2[−π, π] 가 존재함을 보여라.
문제 6 실직선 위에 정의된 르벡측도 µ 와 잴수있는 집합 E, 그리고 잴수있는 함수 f ≥ 0에 대하여 르벡적분
Z
E
f dµ의 정의를 써라.
문제 7 잴수있는 적분가능함수 g : R → [0, ∞)와 잴수 있는 집합 E ⊂ R에 대하여 ν(E) =
Z
E
gdµ, α(x) = ν((−∞, x]) 라정의하자.
(가) ν가 측도이고, α는 단조증가함수임을 보여라.
(나) 이 측도 ν에 대하여 문제 6과 같이 적분을 정의하면, 잴수있는 함수 f ≥ 0에 대하여
Z
E
f dν = Z
E
f g dµ임을 보여라. [도움말: 단순함수부터 생각하라.]
(다) 구간 [a, b] 위에서 정의된 연속함수 f : [a, b] → R에 대하여 Z
[a,b]
f dν 는 리 만–스틸체스 적분
Z b a
f dα와 같음을 보여라.
(라) 함수 α가 미분가능하고 그 도함수가 연속이면, α0 = g임을 보여라.
문제 8 아무 거나 써라.
