해석개론 시험
2012 년 6 월 13 일
문제 1 함수 f : (a, b) → R 이 미분가능하고 그 도함수가 연속이라 하자. 만일 a < c < b 이고 f0(c) 6= 0 이면 함수 f 는 c 근방에서 역함수 g 를 가지고, g0(f (c)) = 1
f0(c) 임을보여라. 함 수 f 의 도함수가 연속이 아닌 경우에는 일반적으로 성립하지 않음을 보여라.
문제 2 함수의 ‘적분’과 ‘미분’이 서로 역산 관계임을 두 가지 측면 – 미분의 적분은 자기자신, 적분의 미분은 자기 자신 – 에서 명확하게 기술하고 이를 증명하여라. 실직선 위를 움직이는 점의 위치와 순간속도의 관계를 이용하여 미적분의 기본 정리가 그럴듯 함을 설명하여라.
문제 3 불연속점이 유한개인 함수 f : [a, b] → R 는 리만적분가능함을 보여라. 칸토르집합의 각 점에서는 함수값이 1 이고, 그 외의 점에서는 함수값이 0 인 함수 f : [0, 1] → R 이 리만 적분가능함을 보여라.
문제 4 C1-함수 f : R → R 가운데, 임의의 구간 [a, b] 위에서 함수의 넓이 Z b
a
f (x) dx 와 그래 프의길이
Z b a
p1 + f0(x)2dx 가 항상 같은 함수들을 모두 찾아라.
문제 5 유계함수 f : [a, b] → R 이 주어져 있을 때, 리만합의 극한에 대한 다음 두 가지 limP %Rba(f, P ) = A, lim
kP k→0Rba(f, P ) = A 에 대하여 다음 물음에 답하라.
(가) 두 극한의 의미를 명확하게 정의하고, 두 극한의 존재가 서로 동치임을 보여라.
(나) 위 극한에서 리만합 Rba(f, P ) 을 리만-스틸체스합 Sab(f, P, α) 로 바꾸었을 때, 그 극 한의 존재 여부가 달라지는 예를 들어라.
(다) 함수 f 가 연속이면 리만-스틸체스합 Sab(f, P, α) 에 대해서도 두 극한의 의미가 같 음을보여라.
문제 6 다음 적분값을 구하여라.
(가) Z 1
0
√xd(x2) (나) Z 1
0
xd 1
[1/x] (다) Z 1
−1
xd(−e|x|)
문제 7 리만적분 f 7→
Z 1 0
f 를 연속함수들로 이루어진 벡터공간에서 정의된 선형범함수로 이 해하면, 이 선형범함수는 단조증가함수 α들에 대한 리만-스틸체스 적분들의 선형결합
f 7→
n
X
i=1
ai
Z 1 0
f dαi
의 극한임을 설명하여라.
문제 8 아무 거나 써라.
