열 및 통계물리2. 6주

열 및 통계물리 2. 6주

7장 양자 통계

조선대학교 물리학과 정진

분포함수

 계가 조건 Z ₁ ≫N을 만족하지 않는 경우 깁스 인자를 사용하자

 단일 입자 상태만으로 구성되는 “계”를 먼저 고려하자.

 계는 특별한 공간적 파동함수로 구성된다.

 (스핀을 갖는 입자에 대해서는 특정의 스핀방향을 고려함)

 정해진 에너지 파동함수를 가지고 작업을 하고 각각의 파동함수는 다른 파동함수와 공간을 공유한다.

 계와 열 저장체는 그림 7.5와 같이 공간을 차지한다.

 깁스인자에 사용된 수학이 계가 공간적으로 열 저장체와 구별되어 있는지 상관 없으므로 공식이 단일 입자 상태계 에서도 적용 할 수 있다.

상자 안의 한 입자와 같이 계의 단일 입자에 대해서 이야기해보자.

 단일입자로 점유될 때 그 상태의 에너지를 ɛ 라 하자 .

 상태가 점유되지 않을 때 에너지는 0.

 n개의 입자가 점유하게 되면 에너지는 n ɛ 이다 .

 그 상태가 n개의 입자로 점유될 확률은

 P(n)= ^𝟏𝟏

Ž e −(nɛ− n𝝁𝝁)/k𝑇𝑇 = ^𝟏𝟏

Ž e −n(ɛ− 𝝁𝝁)/k𝑇𝑇 ---(7.20)

; Ž는 큰분배함수 = 모든 가능한 𝑛𝑛에 대한 깁스 인자의합.

 입자들이 페르미온이면 n은 0이나 1이다.

 Ž = 1+ e −(ɛ− 𝝁𝝁)/k𝑇𝑇 (페르미온) ---(7.21)

 이것으로부터 상태가 점유되던지 안되든지 확률은 ɛ, 𝜇𝜇, T 함수로 구할 수 있 다 .

 상태내의 입자의 평균수 ( 상태의 점유율 ) 을 다음과 같이 계산할 수 있다.

ň= ∑ _𝑛𝑛 nP(n)= 0 · P(0) + 1 · P(1)= e ⁻⁽

^ɛ

^{− 𝝁𝝁)/k}

^𝑇𝑇

1+ e ⁻⁽

^ɛ

^{− 𝝁𝝁)/k}

^𝑇𝑇

= 1

e ⁽

^ɛ

^{− 𝝁𝝁)/k}

^𝑇𝑇

₊₁ ---- (페르미온) ---(7.22)

이 중요한 공식을 페르미 디락 분포 ň _FD = 1

e ⁽

^ɛ

^{− 𝝁𝝁)/k}

^𝑇𝑇

₊₁ - ---(7.23)라 쓸 수 있다.

 ɛ≫𝜇𝜇 일 때 페르미 디락 분포는 0이 되고, ɛ ≪ 𝜇𝜇 일 때 분포는 1이 된다.

𝜇𝜇 보다 큰 에너지를 가지는 상태는 점유되기 어렵고, 𝜇𝜇 보다 작 은 에너지를 갖는 상태는 점유되기 쉽다.

 에너지가 정확히 𝜇𝜇와 같은 경우 점유

 확률은 50%이고 1에서 0으로 감소하는 폭은 kT의 몇배정도.

 그림 7.6은 세개의 다른 온도에

대한 페르미 디락 분포와 ɛ사이의 그래프

 문제의 입자들이 보오존이면

 n은 음수가 아닌 어떤 정수라도 될 수 있어서 큰 분배함수

 Ž = 1+ e −(ɛ− 𝝁𝝁)/k𝑇𝑇 + e −2(ɛ− 𝝁𝝁)/k𝑇𝑇 + ---

= 1+ e −(ɛ− 𝝁𝝁)/k𝑇𝑇 + (e −(ɛ− 𝝁𝝁)/k𝑇𝑇 ) ² + ---(보오존)

= 1

1− e ⁻⁽

^ɛ

^{− 𝝁𝝁)/k}

^𝑇𝑇

이다 ---(7.24)

 깁스인자가 무한대로 증가 할 수 없으므로 𝜇𝜇는 ɛ 보다 작아야 하고 따라서 이 급수는 수렴 해야 한다 .

 상태내의 입자의 평균수는 ň= ∑ _𝑛𝑛 nP(n)= 0 · P(0) + 1 · P(1)+ 2 · P(2)+ -- ---(7.25) 이합을 계산하기 위해서 x ≡ ^{ɛ−𝜇𝜇} kT ^{로 두면}

 ň= ∑ _𝑛𝑛 n ^𝑒𝑒

^{−𝑛𝑛𝑛𝑛}

Ž = - ^𝟏𝟏

Ž ∑ _{𝑛𝑛 𝜕𝜕} ^𝜕𝜕 x e ^−nx = - ^𝟏𝟏 Ž ^𝜕𝜕 Ž

𝜕𝜕 x ---(7.26) 이공식이 페르미온에 성립

 보오존에 대하여 ň=-(1- e ^−x ) ^𝜕𝜕

𝜕𝜕 x ( 1- e ^−x ) ^-1 = (1- e ^−x ) (1- e ^−x ) ^-2 (e ^−x )

= 1

e ⁽

^ɛ

^{− 𝝁𝝁)/k}

^𝑇𝑇

₋₁ (보오존)---(7.27) ň _BE = 1

e ⁽

^ɛ

^{− 𝝁𝝁)/k}

^𝑇𝑇

₋₁ 보즈 아인슈타인 분포

페르미 디락 분포처럼 ɛ≫𝜇𝜇 일 때 보즈 -아인슈타인 분포는 0이 되고,

ɛ가 𝜇𝜇에 접근할수록 분포가 무한대 (그림7.7)참조.

 ɛ가 𝜇𝜇보다 작을 수가 있으면 분포는 음수 가 되지만 일어나지 않음.

 페르미 디락분포와 보즈 아인슈타인 분포를 더 잘 이해하기 위하여

 볼쯔만 통계를 따르는 ň 가 어떤 형인지 알아보자.

 임의 단일 입자가 에너지 ɛ인 어떤 상태에 있을 확률은

 P(s)= ^𝟏𝟏

Z ₁ e ^{−ɛ/𝑘𝑘𝑇𝑇} ( 볼쯔만) --- (7.29)

 합계 N 개의 독립적인 인자가 있으면 이 상태에 있을 평균수는 ň ^볼쯔만 = NP(s)= ^𝑵𝑵

Z ₁ e ^{−ɛ/𝑘𝑘𝑇𝑇} ---(7.30)

 계의 화학 퍼텐셜 값이 𝜇𝜇=-kTln(Z ₁ /N)이므로 평균 점유율은

 ň ^볼쯔만 = e ^𝜇𝜇/kT e ^{−ɛ/𝑘𝑘𝑇𝑇} = e −(ɛ−𝜇𝜇)/𝑘𝑘𝑇𝑇 ---(7.31) 쓸수 있다.

 Ɛ≫𝜇𝜇 이면 이지수가 매우 작아서 페르미 디락 분포나 보즈 아인슈타인 분포 의 분모에 있는 1을 무시할 수 있고, 모두 볼쯔만 분포(7.31) 로 환원된다.

 이 극한 (Ɛ 가 클때)에서 세 분포가 같아지는 것을 그림 7.7.은 보여주고 있다.

 세 분포가 같아지는 조건은 지수 ( ɛ−𝜇𝜇)/𝑘𝑘𝑇𝑇 ≫1 인 경우이다.

 만약 최소에너지상태를 ɛ≈0으로 하면,

𝜇𝜇≪-kT 즉 Z ₁ ≫N 일 때, 이 조건은 모든 상태에서 성립 한다.

 입자가 페리미온이든지 보오존 이든지 상관없이 단일입자 상태를

점유하는 입자의 평균수( ň )를 상태에너지(ɛ)와 온도(T)와 확학 퍼텐셜(𝜇𝜇) 의 함수로 계산하는 방법을 알고 있다.

 특정의 계에 적용하기 위하여 모든 상태의 에너지를 알 필요가 있는데 이는 양자역학의 문제이고 상당히 어렵다.

 이 책에서는 주로 하나의 상자(box)안에 있는 입자를 취급한다

 이들 입자의 양자역학적 파동함수는 간단한 사인파 파동이어서 대응하는 에너지를 바로 구 할수 있다.

 이 입자들은 금속 내 전자, 중성자별의 중성자, 저온의 유체내의 원자, 뜨 거운 물체의 광자, 고체안의 진동에너지의 양자단위인 포논등이 될 수 있 다.

 이들의 어떤 응용에 대해서도 페르미 디락분포나 보즈 아인슈타인 분포를 적용 하기 전에 화학 퍼텐셜을 알아야 한다.

 𝜇𝜇 는 계의 총 입자수에 의해서 간접적으로 결정 되는 것이 보통이다.

축퇴(DEGENERACY) 페르미 기체



양자 통계와 페르미 디락 분포의 두번째 응용으로 매우 낮은 온도 내에서의 페르미온으로 형성된 기체 를 고려하자.



페르미온중에 친숙한 금속 내 전도 전자를 생각하여 이 절에서는 전자에 대해서 이야기를 하자.



실온의 전자에 대한 양자 부피는 v_Q=(

h

2𝜋𝜋𝑚𝑚𝑚𝑚𝑇𝑇

)³ =(4.3nm)³ ---(7.32)



전형적인 금속에서는 하나의 원자에 대략 하나의 전도전자가 있어서, 전도 전자당 부피는 대략

원자의 부피 (0.2nm)³ 정도이다.

온도는 매우 낮아서 볼쯔만 통계를 적용할 수 없다. 많은 목적에 쓸 수 있는 반대 극한인 T=0인

전자기체를 고려해보자

T=0



T=0에서는 페르미-디락 분포가 계단함수가 된다( 그림 7.9)



𝜇𝜇미만의 에너지를 갖는 모든 단일 입자 상태는 점유되고 , 𝜇𝜇이상의 에너지를 갖는 모든 상 태는 비어있다.



이런 맥락에서 𝜇𝜇를 페르미 에너지 ɛ_F 로 표시한다. ɛ_F ≡𝜇𝜇(T=0) ---(7.33)



페르미 기체가 매우 차가워서 ɛ_F 밑의 모든 상태는 채워져 있고, ɛ_F 위의 모든 상태는 비어 있을때 축퇴 (degenerate)되었다 라고 한다.



같은 에너지를 갖는 양자상태의 집합을 겹쳐(degenerate) 있다 와 같은 단어이지만 완전 무관하다.



ɛ_F 값은 존재하는 전자의 총수에 의해 결정된다.



빈 상자에 전자를 하나씩 넣지만 다른 에너지는 출입하지 못한다고 가정하자



각 전자는 가능한 최저에너지 상태로 들어가서 마지막 전자는 ɛ_F 바로 밑의 에너지 를 갖는 상태로 들어간다.



하나의 전자를 더 넣으려면 ɛ_F =𝜇𝜇 인 에너지를 주어야 한다.

𝜇𝜇= (

^{𝜕𝜕𝑼𝑼} _𝜕𝜕

N)_S,V 는 물리적 의미

dN=1일때 dU= 𝜇𝜇이기떄문이다( 모든전자가 최저 에너지 상태에 몰려 들어갈 때를 S=0)



전자기체의 총 에너지나 압력과 같은 양과 마찬가지로 ɛ_F 를 계산하기 위하여 전 자들이 부피 V=L³인 사자 내부에 갖혀 있고 어떤 힘도 받지 않는 자유입자라 하자



금속내의 전도전자는 정확하지 않다.

 상자안의 자유 전자의 확정된 파동함수는 6.7절의 기체분자와 마찬가지로 사인파 이다.

 1차원 상자에 대하여 허용된 파장과 운동량은 𝜆𝜆 _n = ^{𝟐𝟐𝟐𝟐} n , p ⁿ = 𝜆𝜆 ^𝒉𝒉 _n = 2L ---(7.34) ^{𝒉𝒉𝒉𝒉}

 3차원 상자에서는 p _x = 2L , p ^{𝒉𝒉𝒙𝒙 y} = 2L , p ^{𝒉𝒉𝒚𝒚 z} = 2L ---(7.35) ^{𝒉𝒉𝒛𝒛}

 허용된 에너지는 ɛ= 2 ^{𝒑𝒑𝟐𝟐 𝒎𝒎} = 8 ^{𝒎𝒎 𝟐𝟐 𝒉𝒉}

^{𝟐𝟐 𝟐𝟐}

( n x 2 + n _y ² + n _z ² ) ---(7.36)

 허용되는 상태의 집합을 나타내기 위하여 축이 nx, ny, nz 인 3차원 공간(그림

7.10)

 이 두방정식을 합하면 V=L ³ 의 함수로서 페르미 에너지를 알 수 있다

 각각의 허용되는 n벡터는 양의 정수 좌표를 갖는 이 공간안의 한점에 대응.

 공간파동함수에 대하여 두 개의 독립적인 스핀방향을 가지므로 n공간에서 임의 상 태 에너지는 원점으로 부터 거리의 제곱 n _x ² + n _y ² + n _z ² 에 비례

 n 공간의 점유 영역은 구의 1/8이다. 구의 반지름을 n _max 라고 하자

 전자의 총수 N, ɛ _F = 𝜇𝜇. ɛ F 는 n공간안의 공의 표면에 있는 상태의 에너지

 ɛ _F = ^𝒉𝒉

^𝟐𝟐

n

_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛}

²

8 ^{𝒎𝒎 𝟐𝟐}

^𝟐𝟐

---(7.37) 간격이 1, 점유된 상태의총수는 (두개의 스핀 방

향때문에) 이부피의 두배

 N=2 ×(팔분구의 부피)=2× 8 × ^𝟏𝟏 3 𝜋𝜋 n ^{𝟒𝟒 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 3} = 𝜋𝜋 n

_{𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛}

³

3 ---(7.38)

 이방정식을 합하면 N과 상자의 부피V=L ³ 의 함수로서 페르미 에너지를 알수 있다

 ɛ _F = 8 ^{𝒉𝒉 𝒎𝒎}

^𝟐𝟐

( 𝜋𝜋 ^{𝟑𝟑𝑵𝑵 𝑽𝑽} ) ³

^𝟐𝟐

---(7.39)

 이양은 전자의 수밀도 N/V에 의존. 같은 수밀도에 대응하는 더 많은 전자를 가진 큰 용기에 대해서 ɛ _F 는 같다

 정육면체뿐만 아니라 어떤 금속덩어리에서도 똑같이 적용할수 있다.



페르미 에너지는 모든 전자들이 갖는 최고 에너지이다.



평균적으로 전자들은

^𝟏𝟏

2ɛ 약간 큰값을 갖는다.



모든 전자의 총 에너지를 구하기 위해서는 적분을 해야 한다.



평균값은 총 에너지를N으로 나눈값.

모든 전자의 총 에너지를 계산하기 위해서 모든 점유 상태안에 있는 전자들의 에너지를 더한다.



이것은n_x, n_y, n_z에대한3중합으로 다음과 같이 쓸 수 있다.



U=2 ∑_{𝑛𝑛𝑚𝑚} ∑_{𝑛𝑛𝑦𝑦} ∑_{𝑛𝑛𝑧𝑧} ɛ(n)=2ʃʃʃɛ(n) d𝑛𝑛_𝑚𝑚 d𝑛𝑛_𝑦𝑦 d𝑛𝑛_𝑧𝑧 ---(7.40)이다.



벡터n의 스핀 방향이 up, down이므로 2를 곱하였다.



3중 적분을 해결하기 위하여 구 좌표를 이용해보자.



부피요소d𝑛𝑛_𝑚𝑚d𝑛𝑛_𝑦𝑦d𝑛𝑛_𝑧𝑧 를n²sin𝛳𝛳dnd𝛳𝛳d𝜙𝜙로 변환하여 총에너지는 U=2 ʃ₀^nmaxdn ʃ₀^𝜋𝜋/2d𝛳𝛳 ʃ₀^𝜋𝜋/2d𝜙𝜙 n²sin𝛳𝛳ɛ(n)---(7.41)



각에 대한 적분은𝜋𝜋/2이고

이것은 단 위구의 표면 넓이의1/8이므로



U=𝜋𝜋ʃ₀^nmaxɛ(n) n²dn=8

^{𝜋𝜋𝒉𝒉 𝒎𝒎 𝟐𝟐}

^{𝟐𝟐 𝟐𝟐} ʃ₀^nmaxn⁴dn

=

^{𝜋𝜋𝒉𝒉}

^𝟐𝟐n⁵𝒎𝒎𝒎𝒎𝒙𝒙

40

^{𝒎𝒎 𝟐𝟐}

^𝟐𝟐 =5 Nɛ

^𝟑𝟑

^F ---(7.42)



전자들의 평균에너지는 페르미 에너지의 3/5



몇 개의 수치를 대입하면 전형적인 금속내의 전도전자의 페르미 에너지가 수eV가 됨을 알 수 있고, 실온에서

입자의 평균열에너지의

대략값 (kT≈1/40 eV)에 비하여 매우 크다.



페르미 에너지를 평균 열에너지와 비교하는 것은 양자부피를 입자당 평균 부피와 비교하 는 것 과 같다. ^𝑽𝑽

N≪ v^Q 는 kT≪ ɛ_F 와 같다 ---(7.43)



이 조건이 성립하면T≈0의 근사는 많은 부분에서 정확하고, 이 기체는 축퇴 되어 있다고 말한다.



페르미 기체가 ɛ_F 와 같은 값의 kT를 온도를

페르미 온도

라 한다. 즉 (T_F

≡ ɛ k

^F).



금속은 T_F 에 도달하기 전에 액화하고 기화하므로 이 온도는 금속내의 전자에 대해서는 순전히 가상적인 온도이다.



열역학적인 항등식으로 부터 유도할 수 있는 p=-(^{𝜕𝜕𝑼𝑼}

𝜕𝜕V)_S,N 를 써서 축퇴 한 전자기체의 압력 을 계산 할 수 있다.

 P=

^𝝏𝝏

𝝏𝝏

V [

^𝟑𝟑

5 N

^𝒉𝒉

𝟐𝟐

8

𝒎𝒎

(

^{𝟑𝟑𝑵𝑵}

𝝅𝝅

)

^2/3

V

^-2/3

]=

^{𝟐𝟐𝑵𝑵}

ɛ

_F

5V =

^{𝟐𝟐𝑼𝑼}

3V

---(7.44) 축퇴압력



축퇴된 전자기체를 압축할 때 모든 파동함수의 파장이 감소한다. 파동함수의 에너지가 증가하므로 압력은 양의 값이다. 축퇴된 압력은 전자와 양성자를 뭉치게 하려는 큰 정전 기력에 의해서 물질이 붕괴하는 것을 막아준다.



전자들 사이의 정전기 척력과 무관.



일반적으로 전형적인 금속에 대하여 축퇴 압력은 수십억 N/m²이 된다.



직접적으로 측정할 수 없고 금속 안에서 전자를 붙어주는 정전기력과 상쇄된다.

측정할 수 있는 양은 체적 탄성률(물질을 압축할때 압력의 변화를 부피변화로 나눈값)



B = -V(^{𝜕𝜕𝑷𝑷}

𝜕𝜕V)_T= ^{𝟏𝟏𝟎𝟎}

𝟗𝟗 𝑼𝑼

𝑽𝑽 ---(7.45)



이양은 매우 크지만 정전기력과 완전히 상쇄 되지 않는다.

저온



T=0 의 근사를 써서 계산 할 수 없는 페르미 기체의 성질은 열용량 인데 계의 에너지(U)가 온도 T에 의존하는 척도이기 때문이다.



온도가 매우 낮으나 영도는 아닐때의 상황을 고려하자



온도 T에서 모든 입자들은 전형적으로 kT의 열에너지를 갖는다.



그러나 축퇴된 전자기체에서는 대부분의



전자들은 작은양의 에너지를 가질 수 없고 이유는 전자들이 뛰어 들어갈

모든 상태들이 이미 점유되어 있기 때문이다.

오른쪽 그림 참조 (페르미 디락분포)



열에너지를 조금 얻을 수 있는 전자들은 페르미

에너지에서 약 kT의 범위 내에서 이미 들어와 있는 것 들이다.

관관 ID관 rId2관 관관관 관관관 관관관관 관관 관 관관관관.

이 전자들은 페르미 에너지 ɛ_F 위의 미점유 상태로 뛰어 올라 갈수 있다.



T의 증가에 의해서 영향을 받을 수 있는 전자의 수는 T에 비례한다.

이수는 크기 변수이므로 N에 비례 한다. 온도가 0에서 T로 상승할 때 축퇴된 전자기체가 얻는 추가적 에너지는 T의 제곱에 비례.

추가에너지∝ (영향을 받는 전자들의 수 )×(각전자가 얻는 에너지) ∝ (NkT) ×(kT) ∝ N(kT)² ---(7.46)



N(kT)² 은(에너지)²의 단위를 갖고 있으므로 (에너지) 단위를 갖기 위하여 에너지단위 로 나눠 보자.



페르미 에너지ɛ_F 로 (7.46)을 나누면, 추가에너지 N(kT)² / ɛ_F 와 상수계수가 1이 되도 록𝜋𝜋²/4 를 곱하면



U=

^𝟑𝟑

5 N ɛ^F + 𝜋𝜋4 N² (kT)2

ɛ_F ---(7.47)



이 결과로 부터 정적 열용량 C_V값을 계산할 수 있다



C_V =(

^{𝜕𝜕𝑼𝑼}

𝜕𝜕

T)_V = 𝜋𝜋²Nk²T

2ɛ_F ---(7.48) 열역학 3법칙에서 T=0에서 C_V =0이다.

0에 접근하는 모양은 T에 선형이고, 저온의 금속에 대한 실험과도 잘 일치 된다.

상태 밀도

 0도가 아닌 저온에서 페르미 기체의 거동을 시각화 하기 위하여 에너지 적분인 (7.42)에서 변수 n을 ɛ로 바꾸어보자.



ɛ =8^{𝒎𝒎 𝟐𝟐𝒉𝒉𝟐𝟐 𝟐𝟐}n² , n= 8mLh^{2 2} ɛ , dn= 8mLh^{2 2} 2 ɛ^𝟏𝟏 dɛ ---(7.49)

 0도에서 페르미 기체에 대한 에너지 U= ʃ ₀ ^ɛF ɛ[ ^{𝜋𝜋 𝟖𝟖𝒎𝒎𝟐𝟐} 2h

^{𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟑𝟑/𝟐𝟐}

ɛ]dɛ (T=0) ----(7.50)



^{𝜋𝜋 𝟖𝟖𝒎𝒎𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟑𝟑/𝟐𝟐}

2h^𝟐𝟐 ɛ을

에너지당 단일 입자의수이고 이를 상태밀도 g( ɛ) 라 한다

 g( ɛ)= ^{𝜋𝜋 𝟖𝟖𝒎𝒎} 2h ³

^{𝟑𝟑/𝟐𝟐}

V ɛ = 2ɛ ^{𝟑𝟑𝑵𝑵} _F ^3/2 ɛ ---(7.51)

 자유입자의 3차원 상자에 대하여 g( ɛ) ∝ ɛ 에 비례한다.이 함수의 그림은 아래 와 같다

.

 오른쪽으로 열린 포물선 에너지 ɛ ₁ 과 ɛ ₂ 사이에 얼마나

많은 상태가 있는지 알려면 이 함수 를 적분하면 된다 . 상태 밀도의 방법은 식(7.51)과 그림 7.13은 고정된 공간에 갖혀 있으나 다른

종류의 힘을 받지 않는 자유 전자의 기체의 특별한 경우이다

.

 금속의 실제적인 경우에는 결정 살창의 양의이온을 향하여 전자를 끄는 힘 을 고려해야 하므로 파동함수와 에너지는 매우 다르고 g( ɛ)는 더욱 복잡한 함수이다

 g 를 결정하는 일은 양자역학 문제이고 열 효과나 온도와 무관 0도의 전자 기체에 대하여 상태밀도를 페르미 에너지까지 적분하여 전자의 총수를 구 할 수 있다.

 N= ʃ ₀ ^ɛF g( ɛ)dɛ (T=0) ---(7.52)

 U= ʃ ₀ ^ɛF ɛ[ ^{𝜋𝜋 𝟖𝟖𝒎𝒎𝟐𝟐} 2h

^{𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟑𝟑/𝟐𝟐}

ɛ]dɛ (T=0) ----(7.50) 자유전자에 대한 에너지와 같은 식이 지만 ^{𝜋𝜋 𝟖𝟖𝒎𝒎𝟐𝟐}

^{𝟐𝟐 𝟑𝟑/𝟐𝟐}

2h

^𝟐𝟐

ɛ=g(ɛ) 비교하면 ɛ 인수만 차이가 있다.

 T≠0이면 g(ɛ) 를 채워진 상태의 에너지 확률(페르미 디락 분포함수)와 곱 할 필 요가 있으므로 무한대 까지 적분할 필요가 있다 .

 N= ʃ ₀ ^∞ g( ɛ)ň _FD ( ɛ)dɛ =ʃ ₀ ^∞ g( ɛ) 1

e ⁽

^ɛ

^{− 𝝁𝝁)/k}

^𝑇𝑇

₊₁ dɛ (임의의T) ---(7.53)

 ň _FD ( ɛ)= 1

e ⁽

^ɛ

^{− 𝝁𝝁)/k}

^𝑇𝑇

₊₁ ---(7.22) (페르미온에서 상태의 점유율)

 전자의 총에너지를 구하기위하여 U=Nɛ = ʃ ₀ ^∞ ɛg(ɛ)ň _FD ( ɛ)dɛ =ʃ ₀ ^∞ ɛg(ɛ) 1

e ⁽

^ɛ

^{− 𝝁𝝁)/k}

^𝑇𝑇

₊₁ dɛ (임의의T) ---(7.54)

 그림 7.14는 0이 아닌 온도 T의 자유기체에 대해서 N적분 (7.53)의 피 적 분함수 그래프이다.

 ɛ _F =ɛ 에서 단위에너지당 전자수 kT의 몇 배의 값을 갖는 폭을 갖고 서서히 떨어 진다 .

 화학 퍼텐셜 𝜇𝜇 는 점유되는 상태확률이 ½가 되는 점이고 𝜇𝜇(T)≠ ɛ _F (T=0 이외의 점에서 )

 페르미 디락 분포함수가 ɛ = 𝜇𝜇 대칭적

 𝜇𝜇보다 큰 상태 가 점유되는 확률은 𝜇𝜇보다 작은 상태에서 같은 양의

점유되지 않는 확률과 같다 .

 T가 0으로 증가할수록 𝜇𝜇는 일정하게 된다고 가정하자 . 상태밀도가 𝜇𝜇 의 오른쪽이 왼쪽보다 크므로 , ɛ> 𝜇𝜇 에서

더할 전자수가 ɛ < 𝜇𝜇 로부터 잃을 수보다 클 것이다.

화학퍼텐셜이 약간 감소 , 확률은 약간 낯추게 된다.

좀머필트 전개



자유 전자의 화학 퍼텐셜과 총에너지 를 구하기 위하여 계산하는 방법을 설명하자



kT≪ ɛ_F의 극한에서 자유 전자의 화학 퍼텐셜과 총에너지 를 좀머펠트 방법으로 구해 보자. N에 적분에서 부터 출발해보자



N= ʃ₀ ^∞ g(ɛ)ň_FD(ɛ)dɛ= g₀ʃ₀ ^∞ɛ^1/2 ň_FD(ɛ)dɛ ---(7.56) ( 2ɛ

^{𝟑𝟑𝑵𝑵}

_F^3/2 = g₀ ) --7.51



흥미있는 영역ɛ=𝜇𝜇 에서 ň_FD(ɛ) 는 (T≪ ɛ_F 에 대해서)빠르게 감소



이 영역을 고립시켜서 N= 3 g

^𝟐𝟐

⁰ɛ^3/2 ň_FD(ɛ)]₀ ^∞ + 3g

^𝟐𝟐

⁰ ʃ₀ ^∞ ɛ^3/2 (-

^𝒅𝒅

ň_FD

dɛ ) dɛ ---(7.57)

 ^𝒅𝒅

ň_FD

dɛ 는ɛ=𝜇𝜇 근방의 영역을 제외하고 무시될 수 있다(그림 7.15참조)



-

^𝒅𝒅

ň_FD

dɛ = -

^𝒅𝒅

ɛ

dɛ (e^{(ɛ-𝜇𝜇)/kT} +1)^-1 =kT

^𝟏𝟏

e^𝑛𝑛

(e^x+1)² ---(7.58) 이 되고 (ɛ-𝜇𝜇)/kT =x치환하였다



N= 3g

^𝟐𝟐

⁰ ʃ₀ ^∞kT

^𝟏𝟏

e^𝑛𝑛

(e^x+1)²ɛ^3/2 dɛ

=3g

^𝟐𝟐

⁰ ʃ_-𝜇𝜇/kT^∞kT

^𝟏𝟏

e^𝑛𝑛

(e^x+1)²ɛ^3/2 dx ---(7.59)



피 적분함수| ɛ-𝜇𝜇 |≫ kT 일 때 지수 함수적으로 감소하므로 두 가지 근사를 취할 수 있다.



1. 적분의 하 극한을 - ∞ 으로 하여 적분을 대칭 할 수 있다



2. 함수 ɛ^3/2 를ɛ=𝜇𝜇 근방에서 테일러 급수로 전개하여 처음의 몇 항만 취한다.



ɛ^3/2=𝜇𝜇^3/2 + (ɛ-𝜇𝜇) dɛ ɛ

^𝒅𝒅

^3/2|_ɛ=𝜇𝜇+

^𝟏𝟏

2(ɛ-𝜇𝜇)²

^𝒅𝒅

2

dɛ²ɛ^{3 /2}|_ɛ=𝜇𝜇 +---



=𝜇𝜇^3/2+2 (ɛ-𝜇𝜇) 𝜇𝜇

^𝟑𝟑

^1/2+8 (ɛ-𝜇𝜇)

^𝟑𝟑

² 𝜇𝜇^−1/2 +---(7.60) 근사적분은N = 3g

^𝟐𝟐

⁰ ʃ

∞

∞ e^𝑛𝑛

(e^x+1)² [𝜇𝜇^3/2+2 (ɛ-𝜇𝜇) 𝜇𝜇

^𝟑𝟑

^1/2+8 (ɛ-𝜇𝜇)

^𝟑𝟑

²𝜇𝜇^−1/2 +---]dx (7.61)



적분을 항 별로 계산 할 수 있다.



첫번째항은ʃ

-∞

∞ e^𝑛𝑛

(e^x+1)²dx = ʃ

−∞

∞-dɛň

^𝒅𝒅

^FD= ň_FD(-∞)-ň_FD(∞)=1-0=1 (7.62)



두 번째 항은 피적분 함수가x의 홀 함수 이기 때문에 ʃ

-∞

∞ xe^𝑛𝑛

(e^x+1)² dx = ʃ

-∞

∞ x

(e^x+1)(e^−x+1) dx =0 ---(7.63)



세번째 적분은 부록B 에 와 같이 계산하면 ʃ

-∞

∞ x²e^𝑛𝑛

(e^x+1)² dx =𝜋𝜋3 ---(7.64)^𝟐𝟐



(7.61)을 다시 정리하면 N= 3g

^𝟐𝟐

⁰ 𝜇𝜇^3/2+4 g

^𝟏𝟏

⁰ (k𝑇𝑇)² 𝜇𝜇^−1/2𝜋𝜋^𝟐𝟐

3 +----



= N(𝜇𝜇ɛ_F)^3/2 +N𝜋𝜋8 (^𝟐𝟐

^(k𝑇𝑇

)²

ɛ_F^3/2𝜇𝜇^1/2) + −− − (7.65) 이다. ( 2ɛ

^{𝟑𝟑𝑵𝑵}

_F^3/2= g₀ )---(7.51))

 N을 제거하면 𝜇𝜇 ɛ _F 가 근사적으로 1이고, 보정치가 ( ^k𝑇𝑇 ɛ _F ) ² (매우 작다고 가정함)에 비례

 보정항이 매우 작으므로 𝜇𝜇≈ ɛ _F 근사를 취해서 𝜇𝜇 ɛ _F =[1- 𝜋𝜋 8 (

^𝟐𝟐

^k𝑇𝑇 ɛ _F ) ² +----] ^2/3

= 1- 𝜋𝜋 12 (

^𝟐𝟐

^k𝑇𝑇 ɛ _F ) ² + ---(7.66)를 얻을 수 있다.

 총 에너지에 대한 적분을 적분(7.54)와 같은 방법을 써서 얻을 수 있다.

 결과는 U=35N ɛ ^𝜇𝜇 _F

^{𝟓𝟓/𝟐𝟐𝟑𝟑/𝟐𝟐}

+ 3𝜋𝜋 8 N

^𝟐𝟐

^(k𝑇𝑇)

2

ɛ _F + ---(7.67)

𝜇𝜇에 대한 공식 (7.66)을 넣어서 계산을 하면 U= 5 N ɛ ^{𝟑𝟑 F} + 𝜋𝜋 4 N ² (kT)2

ɛ _F + --(7.68)

얻을 수 있다. 식(7.47)동일.