14.3 고계 편도함수
각각의 편도함수는 와 의 2변수함수이다.
Schwarz 의 정리
2변수 함수 = (, ) 와 그의 1계편도함수 , , (, ) 및 2계편도함수 , , (, ) 가 모두 연속일 때
, = (, )
의 2계편도함수를 구하라.
같은 방법으로 2계, 3계, 등 고계편도함수를 구할 수 있다.
=
=
=
=
일 때, 을구하라.
가 라플라스방정식을 만족함을 보여라
14.4 전미분 (Total Differential)
1변수함수 = () 의 전미분
= 근방에서의 = () 의 1차 근사식
2변수함수 = (, ) 의 전미분
, 근방에서의 = (, ) 의 1차 근사식
근방에서의 1차 근사식
2,
근방에서의 , = tan 의 1차 근사식
= (, , ⋯ , ) 의 전미분
=
+
+ ⋯ +
= (, ) 의 2계전미분
14.5 편도함수에 대한 연쇄법칙(Chain Rule)
1변수함수의 연쇄법칙
= , = ()
= ℎ()
=
+
= , = (, )
= ℎ(, )
=
+
=
+
=
+
=
+
= , , ⋯ , = (, , ⋯ , )
=
+
+ ⋯ +
라 하면
Example: = ( − , − ) 일 때
,
+
= 0
임을 보여라.따라서
Example: = ( , ) 일 때,
+
=
임을 보여라.
= (, ) = =
=
+
=
=
+
=
=
+
=
+
+
=
Example: z = , = cos , = sin
=
+
= cos
+ sin
=
+
= − sin
+ cos
+ 1
=
+
14.6 음함수의 미분법
방정식 , = 0 에서 는 의 음함수라 하자.
= (, ) 라 하면
= 0 이므로
= 0 =
+
=
+
따라서
= −
Example: sin + cos = 0 일 때,
를 구하여라.
Example: + + + 3 = 0 일 때,
,
를 각각 구하여라
.
가 , 의 음함수로 정의 된다. 방정식의 양변을 로 미분하면 방정식 + + + 3 = 0 에 의하여
3 + 3
+ 3 + 3
= 0 3 + 3
= −(3 + 3 )
= −3 + 3
3 + 3
