1.4 연습 문제

1.4 연습 문제

1. 자유공간 내에서 전류 가 원점을 중심으로 반지름 인 원주를 따라 시계반대 방향으로 흐르고 있을 경우 축상에서 다음 각각을 구하시오.

① 근원점   에 흐르고 있는 미소 전류소 ′ ′ _ 에 의한 작용점   에서 미소 자기장의 세기   ;

② 작용점   에서의 (전체) 자기장의 세기   ;

③ 작용점   에서의 (전체) 자기장의 세기   ;

2. 자유공간 내에서 무한직선 전류 가 무한대(infinity)에서 축을 거슬러 원점으로 흘러 들어와서 다시 축을 따라 무한대로 흘러 나갈 경우에 다음 각각을 구하시오.

① 작용점   에서의 자기장의 세기    ;

② 작용점   에서의 자기장의 세기    ;

3. 자유공간 내에서 무수히 많은 무한직선 전류 가 축을 양의 방향으로 평행하게 따라가며 흐르고 있을 경우에 다음 각각을 구하시오.

① 근원점    및    를 관통해 흐르는 두 무한직선 전류 에 의한 작용점   에서의 자기장의세기    ;

② 무수히 많은 무한직선 전류  가 흐르고 있을 경우[단, 이런 경우 는 표면전류밀도  ^_ 를 도입해   ′를 이용]

작용점   에서의 (전체) 자기장의 세기   ;

[1. Ⓘ 및 ② 문제 풀이]

(1) 축 상에서의 대칭성 고려/원주좌표계 :

   _^__^__^__  _

(2) 근원점   의 위치벡터 ′ _

(3) 작용점   의 위치벡터    _  

(4) 점에서  점까지의 벡터 거리    ′   _

(5) 거리  및 방향 벡터 _ :

 ,

_  



  _

(6) 미소 자기장의 세기    :

 _{ }

^

′ × _

  ^

′ _× _

  

_{′ }

_

(7) 작용점   에서의 (전체) 자기장의 세기    :





_{ ′  }^{   }



_{ ′  }^{ }_^{′  }_^{ }

∴     

 _

_ 

[1. ③ 문제 풀이]

(1) 축 상에서의 대칭성 고려/원주좌표계 :

   _^__^__^__  _

(2) 근원점   의 위치벡터 ′ _

(3) 작용점   의 위치벡터    _

(4) 점에서  점까지의 벡터 거리    ′  _  _

(5) 거리  및 방향 벡터 _ :





^^ ^,

_  



 



^_^ ^

 _  _

(6) 미소 자기장의 세기    :

_{ }

^

′ × _

 ^ ^



^^ ^

′ _× _  _

 ^ ^^

′ _ _

(7) 작용점   에서의 (전체) 자기장의 세기    :





_{ ′  }^{  }



_{ ′  }^{ ′ }_^_{ }^{ }_^{ }_^_{ }^_^{ }

∴     ^ ^^

^ _ 

(확인) 만약      이면 문제 ②에 해당 :

  _{  } ^ ^^

^ __{  }   ^^

^ _  

 _

_

[2. ① 문제 풀이]

(1)    평면 상에서의 대칭성 고려/직각좌표계 :

   _^__^__^__  _

(2) 축 상의 유한 전류 



^≤  ′ ≤ _



에 의한 자기장의 세기 _ :

_{ }

 _





^{sin }_ sin __

 

^



_

여기서 _ ,

sin__ ^

 ,

sin __   

,



^



_ ^



^× _



_^



^{ }



^{× } _

그러므로

_{ }

 





^^_





^

^

^{ }

^  ^

^

^

^{ }

^

^{  }

^

^

(3) 축 상의 유한 전류 



^≤  ′ ≤ _



에 의한 자기장의 세기 _ :

_{ }

 _





^{sin }_ sin __

 

^



_

여기서 _ ,

sin__  

,

sin __  ^

 ,



^



_ ^



^× _



_^{ }× _ _

그러므로

_{ }

 



 ^

^

^

^



^{ }^_



 ^

^

^

^{ }

^

^{  }

^

^

(4) 작용점   에서의 자기장의 세기    :

 _ _

 





^  



^_ 





^  



^_

∴      





^_{  }



^_ 

[2. ② 문제 풀이]

(1) 직각좌표계를 이용 [단,    이라 가정] :

    _  __  __  _

(2) 축 상의 유한 전류 



^≤  ′ ≤ _



에 의한 자기장의 세기 _ :

_{ }

 _





^{sin }_ sin __

 

^



_

여기서 _



^^ ^,

sin__  



^_^  ^

 ,

sin __   

,



^



_ ^



^× _



_





^{ }



_{× }



^^ ^



^{ } _



  



^^ ^

 _ 



^^ ^

 _

그러므로

_

  



^^ ^





^



^^ ^





^

^

^{ }

^ 

^



^^ ^

 _ 



^^ ^

 _



 



^ ^







^



^^ ^





^^ ^

 ^

^{   }

^

(3) 축 상의 유한 전류 



^≤  ′ ≤ _



에 의한 자기장의 세기 _ :

_{ }

 _





^{sin }_ sin __

 

^



_

여기서 _ 



^_^ ^,

sin __  

,

sin__   



^^  ^

 ,



^



_ ^



^× _



_

 _× 



^^ ^



^{ } _



  



^^ ^

 _ 



^^ ^

 _

그러므로

_

  



^^ ^





^



^{ }



^^  ^





^



^^ ^

 _ 



^^ ^

 _



 



^ ^







^



^^ ^





^^ ^

 ^

^{  }

^

(4) 작용점   에서의 자기장의 세기    :

 _ _

 



^ ^







^



^^ ^





^^ ^

 ^

^{   }

^

^

^

^{   }

^

 



^ ^







^



^^ ^





^^ ^

 ^

^{    }

^

∴   

 



^ ^







^



^^ ^





^^ ^

 ^

^{     }

^

^{}

(확인) 만약      이면 문제 ①에 해당 :

       

 



^ ^







^



^^ ^





^^ ^

 ^

^{     }

^

^     

 





^^_

 ^

 ^

^{     }

^

 





^  



^_

[3. Ⓘ 문제 풀이]

(1)  축 상에서의 대칭성 고려/직각좌표계 :

   _^__^__^__  _

(2)   를 관통하는 에 의한 자기장의 세기 _ :

_{ }

 _





^



_

여기서 _



^^ ^



^



_^



^×_



_^{ }× 



^^ ^

 _ _

 



^^ ^

 _ _

그러므로

_{  }





^_^ ^

 ^





^{ }

^

^{  }



^{ }

^

^{ }

^

^{  }

^

^

^

(3)    를 관통하는 에 의한 자기장의 세기 _ :

_{ }

 _





^



_

여기서 _ 



^^ ^



^



_ ^



^×_



_ ^{ }× 



^^ ^

 _ _

 



^^ ^

 _ _

그러므로

_{  }





^^ ^

 ^





^{ }

^

^{  }



^{ }

^

^{ }

^

^{  }

^

^

^

(4) 작용점   에서의 자기장의 세기    :

  _ _{  }





^ ^







^{ }  _



 



^ ^







^{ }  _



 



^ ^



 _

∴     



^ ^



 _



[3. ② 문제 풀이]

(1)  축 상에서의 대칭성 고려/직각좌표계 :

   _^__^__^__  _

(2)   ′  및    ′ 를 관통하는

  ′에 의한 자기장의 세기 _   :

_    



^  ′^



 _

 



^  ′^



 ′  _

(3) 평면 상 표면전류밀도  ^_ 곧 무수히 많은 무한직선전류

  ′( ∞   ′  ∞)에 의한 (전체) 자기장의 세기    :

   



_{ ′  }^{∞  }



_{ ′  }^{∞ }_^

_

_^{ ′  }_{  ′}^

_

^{}

_



_{ ′  }^{∞ }_

_

^_^{  ′}_{  ′}^

_

(4) _를 구하기 위해 tan  ′  

 ′ 라고 치환하면

 ′   tan  ′

 ′   sec^ ′  ′

^  ′^ ^ ^tan^ ′  ^  tan^ ′  ^sec^ ′ 그러므로

_ 



_{ ′  }^{∞ }_

_

^_^{ ′}_{  ′}^

_





_{ ′  }^{ }_

_ ^

_^sec_sec^{ ′ ′}_{ ′}

_ ^

^{ }_^{ }

∴     

 ^_ 