Ó Ó 19 13 18 12 17 11 10 16 09 15 08 07 14

(1)

본교재 | 6 쪽

개념 콕콕

1

⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ _

2

⑴ 8개 ⑵ 12개

1

⑴ 도형의 기본 요소는 점, 선, 면이다.

⑶ 직육면체와 같이 한 평면 위에 있지 않은 도형을 입체도형이라고 한다.

2

⑴ 교점의 개수는 직육면체의 꼭짓점의 개수와 같으므로 8개이다.

⑵ 교선의 개수는 직육면체의 모서리의 개수와 같으므로 12개이다.

본교재 | 7 쪽

대표 유형

1 13 1 ^-1³ 1 ^-2^③ 2 ^② 2 -1 ③, ④

1 -1

교점의 개수는 꼭짓점의 개수와 같으므로 a=6 교선의 개수는 모서리의 개수와 같으므로 b=9

∴ b-a=9-6=3  3

1 -2

주어진 입체도형의 면의 개수는 6개이므로 a=6 교점의 개수는 꼭짓점의 개수와 같으므로 b=8 교선의 개수는 모서리의 개수와 같으므로 c=12

∴ a-b+c=6-8+12=10  ③

2 -1

③ 선과 선이 만나면 교점이 생기고, 면과 면이 만나면 교선이 생긴다.

④ 교선은 직선일 수도 있고 곡선일 수도 있다.  ③, ④

직선, 반직선, 선분

02 개념

본교재 | 8 쪽

개념 콕콕

1

⑴ PQê ⑵ PQ³ ⑶ QP³ ⑷ PQÓ

2

⑴ 그림은 풀이 참조, = ⑵ 그림은 풀이 참조, =

⑶ 그림은 풀이 참조, +

2

⑴ _A _B _C _A _B _C

⑵ _A_A _B_B _C_C _A_A _B_B _C_C

⑶ _A_A _B_B _C_C _A_A _B_B _C_C

본교재 | 9 쪽

대표 유형

3 ^{③, ⑤} 3 -1 ①, ④ 3 -2 BCê와 BDê, CDÓ와 DCÓ, DB³와 DÕA³ 4 직선：3개, 반직선：6개

4 ^-1 직선：6개, 반직선：12개 4 -2 ④

3 -1

② AC³와 BD³는 시작점이 다르므로 AC³+BD³

③ ACÓ와 BCÓ는 한쪽 끝 점이 다르므로 ACÓ+BCÓ

⑤ CB³와 CD³는 방향이 다르므로 CB³+CD³

따라서 옳은 것은 ①, ④이다.  ①, ④ 3 -2

Ú BCê와 BDê：양쪽 방향으로 한없이 뻗은 직선이므로 BCê=BDê Û CDÓ와 DCÓ：양 끝점이 같으므로 CDÓ=DCÓ

Ü DB³와 DÕA³：시작점과 방향이 모두 같으므로 DB³=DA³

 BCê와 BDê, CDÓ와 DCÓ, DB³와 DA³

4 -1

직선은 ABê, ACê, ADê³, BCê, BDê, CDê의 6개

반직선은 AB³, AC³, AD³, BÕA³, BC³, BD³, CA³, CB³, CD³, DÕÕA³, DB³, DC³의 12개  직선：6개, 반직선：12개

보충 설명

어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 n개의 점 중 두 점을 지나는 서로 다른 직선, 반직선, 선분의 개수는 각각 다음과 같다.

① 직선, 선분의 개수： n_(n-1)2 (개)

② 반직선의 개수：n_(n-1)(개) 다른 풀이

(직선의 개수)= 4_(4-1)2 =6(개) (반직선의 개수)=4_(4-1)=12(개)

4 -2

직선은 ABê의 1개이므로 a=1

반직선은 AB³, BA³, BC³, CB³의 4개이므로 b=4 선분은 ABÓ, AÕCÓ, BCÓ의 3개이므로 c=3

∴ a+b+c=1+4+3=8  ④

Ⅰ. 기본 도형

1. ^{기본 도형}

점, 선, 면

01 개념

(2)

01

교점의 개수는 꼭짓점의 개수와 같으므로 a=12 교선의 개수는 모서리의 개수와 같으므로 b=18

∴ a+b=12+18=30  ②

02

③ 선과 선 또는 선과 면이 만나면 교점이 생긴다.

⑤ 칠각뿔의 교선의 개수는 모서리의 개수와 같으므로 14개이다.

 ③, ⑤

03

AC³와 시작점과 방향이 모두 같은 것은 AD³, AB³의 2개이다.

 2개

04

ABê, ADê, BDê, CDê의 4개  4개

05

두 점 B, C는 ADÓ를 삼등분하는 점이므로 ABÓ=BCÓ=CDÓ=;3!;ADÓ

④ ADÓ=ACÓ+CDÓ=ACÓ+ABÓ=ACÓ+;2!;ACÓ=;2#;ACÓ

⑤ CDÓ=ABÓ=;2!;ACÓ

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.  ④

06

두 점 M, N은 각각 ABÓ, BCÓ의 중점이므로 MòBÓ=;2!;ABÓ, BNÓ=;2!;BCÓ

∴ MòNÓ =MòBÓ+BNÓ=;2!;ABÓ+;2!;BCÓ=;2!;(ABÓ+BCÓÓ)

=;2!;ACÓ=;2!;_14=7(cm)  7`cm

07

점 M이 ABÓ의 중점이므로

MBÓ=AÕMÓ=9(cm), ABÓ=2AÕMÓ=2_9=18(cm) 이때 ABÓ=3BCÓ이므로

BCÓ=;3!;ABÓ=;3!;_18=6(cm) 점 N이 BCÓ의 중점이므로 BNÓ=;2!;BCÓÓ=;2!;_6=3(cm)

∴ MNÓ=MBÓ+BNÓ=9+3=12(cm)  ③ 두 점 사이의 거리

03 개념

본교재 | 10 쪽

개념 콕콕

1

⑴ 7`cm ⑵ 6`cm ⑶ 4`cm

2

⑴ 2, 2 ⑵ ;2!;, 4 ⑶ ;2!;, 2

본교재 | 11 쪽

대표 유형

5 ^⑤ 5 -1 ② 5 -2 ③ 6 ^④ 6 ^-1^③ 6 -2 20`cm

5 -1

① AÕMÓ=MBÓÓ=2NBÓ

② ANÓ=AÕMÓ+MNÓ=2MNÓ+MNÓ=3MNÓ

④ NBÓ=;2!;MBÓÓ=;2!;AÕMÓ

⑤ MNÓ+NBÓ=MBÓ=AÕMÓ

따라서 옳지 않은 것은 ②이다.  ②

5 -2

① ABÓ=CDÓ=2MDÓ

③ ACÓ=2ABÓ=2CDÓ=2_2 CÕMÓ=4 CÕMÓ

⑤ BDÓ=BCÓ+CDÓ=;3!;AÕDÓ+;3!;AÕDÓ=;3@;AÕDÓ

따라서 옳지 않은 것은 ③이다.  ③

6 -1

점 M이 ABÓ의 중점이므로

AÕMÓ=MBÓ=;2!;ABÓ=;2!;_24=12(cm) 점 N이 MBÓ의 중점이므로

MNÓ=;2!;MBÓ=;2!;_12=6(cm)

∴ ANÓ=AMÓ+MNÓ=12+6=18(cm)  ③ 6 -2

두 점 M, N은 각각 ABÓ, BCÓ의 중점이므로 ABÓ=2MBÓ, BCÓ=2BNÓ

∴ ACÓ =ABÓ+BCÓ=2MBÓ+2BNÓ=2(MBÓ+BNÓ)

=2MNÓ=2_10=20(cm)  20`cm

본교재 | 12 쪽

01

^②

02

^{③, ⑤}

03

^2개

04

^4개

05

^④

06

^7`cm

07

^③

배운대로

해결하기

Ⅰ- 1. 기본 도형

(3)

04

각

개념

본교재 | 13 쪽

개념 콕콕

1

⑴ ∠BAC`(또는 ∠CAB) ⑵ ∠ABC`(또는 ∠CBA)

2

⑴ 37ù, 89ù, 10ù ⑵ 90ù ⑶ 120ù, 172ù ⑷ 180ù

3

⑴ 50ù ⑵ 40ù

3

⑴ 130Ùù+∠x=180ù이므로 ∠x=50ù

⑵ 90Ùù+∠x+50Ùù=180ù이므로 140Ùù+∠x=180ù ∴ ∠x=40ù

본교재 | 14 ~ 15 쪽

대표 유형

1 ^② 1 -1 ④ 1 -2 ∠x=55ù, ∠y=35ù

2 ^③ 2 -1 ⑤ 2 -2 33ù 3 ^⑤ 3^-1^② 3 -2 70ù 4 ^③ 4^-1^③

4 -2 ∠AOB=54ù, ∠BOC=36ù

1 -1

(4∠x-30ù)+(∠x+25ùÙ)=90Ùù이므로

5∠x-5ù=90ù, 5∠x=95ù ∴ ∠x=19ù  ④

1 -2

35ù+∠x=90ù이므로 ∠x=55ù

∠x+∠y=90ù이므로 55ù+∠y=90ù ∴ ∠y=35ù

 ∠x=55ù, ∠y=35ù

2 -1

3∠x+90ù+(∠x+22ù)=180ù이므로

4∠x+112ù=180ù, 4∠x=68ù ∴ ∠x=17ù  ⑤

2 -2

(∠x+27ù)+∠x+(3∠x-12ù)=180ù이므로

5∠x+15ù=180ù, 5∠x=165ù ∴ ∠x=33ù  33ù

3 -1

∠AOC+∠COD+∠DOE+∠EOB=180ù이므로 2∠COD+∠COD+∠DOE+2∠DOE=180ù 3(∠COD+∠DOE)=180ù, 3∠COE=180ù

∴ ∠COE=60ù  ②

3 -2

∠AOF=180ù-40ù=140ù이므로

∠AOC+∠COD+∠DOE+∠EOF=140ù

∠COD+∠COD+∠DOE+∠DOE=140ù 2(∠COD+∠DOE)=140ù, 2∠COE=140ù

∴ ∠COE=70ù  70ù

4 -1

∠y=180ù_ 5

4+5+6 =180ù_;3!;=60ù  ③

4 -2

∠AOB=90ù_ 33+2 =90ù_;5#;=54ùÙ

∠BOC=90ù_ 23+2 =90ù_;5@;=36ù

 ∠AOB=54ù, ∠BOC=36ù

05

맞꼭지각

개념

본교재 | 16 쪽

개념 콕콕

1

⑴ ∠DOE`(또는 ∠EOD) ⑵ ∠EOF`(또는 ∠FOE)

⑶ ∠AOF`(또는 ∠FOA) ⑷ ∠AOE`(또는 ∠EOA)

2

⑴ 40ù ⑵ 20ù ⑶ 65ù

3

⑴ ∠x=140ù, ∠y=40ù ⑵ ∠x=55ù, ∠y=60ù

⑶ ∠x=35ù, ∠y=95ù

2

⑵ 3∠x=60ù이므로 ∠x=20ù

⑶ 2∠x+15ù=145ù이므로 2∠x=130ù ∴ ∠x=65ù

3

⑶ 35ùÙ+∠y+50ù=180ù이므로 85ù+∠y=180ù ∴ ∠y=95ù

본교재 | 17 쪽

대표 유형

5 ^③ 5 -1 ⑤ 5 -2 38ù 6 ^④ 6 ^-1^③

6 -2 ∠x=15ù, ∠y=75ù

5 -1

3∠x+40ù=5∠x+20ù이므로

2∠x=20ù ∴ ∠x=10ù  ⑤

(4)

(∠x+26ù)+90Ùù=40Ùù+3∠x이므로

∠x+116ù=40ù+3∠x, 2∠x=76ù ∴ ∠x=38ù  38ù 6 -1

오른쪽 그림에서 _4x-10

°

3x+10° 2x 2x (4∠x-10ù)+2∠x+(3∠x+10ù)=180ù

이므로

9∠x=180ù ∴ ∠x=20ù

 ③

6 -2

오른쪽 그림에서

60° 60° ^y 7x-30° 3∠x+60ù+(7∠x-30ù)=180ù이므로 3x

10∠x+30ù=180ù, 10∠x=150ù

∴ ∠x=15ù

∴ ∠y=7∠x-30ù=7_15ù-30ù=75ù

 ∠x=15ù, ∠y=75ù

수직과 수선

06 개념

본교재 | 18 쪽

개념 콕콕

1

⑴ ⊥ ⑵ 수선 ⑶ O ⑷ COÓ

2

⑴ 변 AB ⑵ 점 B ⑶ 4`cm ⑷ 5`cm

2

⑶ 점 A와 BCÓ 사이의 거리는 ABÓ의 길이와 같으므로 4`cm이다.

⑷ 점 D와 ABÓÓ 사이의 거리는 ADÓ의 길이와 같으므로 5`cm이다.

본교재 | 19 쪽

대표 유형

7 ^④ 7 -1 ㄱ, ㄷ

8 21 8 ^-1^21.6 8 -2 ③

7 -1

ㄴ. ACê와 BCê는 수직으로 만나지 않으므로 ACê는 BCê의 수선이 아 니다.

ㄹ. 점 B와 CDÓ 사이의 거리는 BCÓ의 길이이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.  ㄱ, ㄷ

8 -1

점 A와 BCÓ 사이의 거리는 ADÓ의 길이와 같으므로 x=9.6 점 C와 ABÓ 사이의 거리는 ACÓ의 길이와 같으므로 y=12

∴ x+y=9.6+12=21.6  21.6

오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ에 내린 A

B C

D

H 12 cm

10 cm 8 cm 수선의 발을 H라고 하면 점 A와 BCÓ 사이

의 거리는 AÕHÓ의 길이와 같으므로 점 A와 BCÓ 사이의 거리는

AÕHÓ=DCÓ=10(cm)  ③

본교재 | 20 ~ 21 쪽

01

^②

02

^①

03

^27ù

04

^50ù

05

^④

06

^④

07

^6쌍

08

^162ù

09

^145ù

10

^⑤

11

^③

12

^②

13

^5`cm

배운대로

해결하기

01

48ù+∠x=90ù이므로 ∠x=42ù

∠x+∠y=90ù이므로 42ù+∠y=90ù ∴ ∠y=48ù

∴ ∠y-∠x=48ù-42ù=6ù  ②

02

(2∠x+14ù)+∠x+(3∠x+16ù)=180ù이므로

6∠x+30ù=180ù, 6∠x=150ù ∴ ∠x=25Ùù  ①

03

∠AOF=180Ùù-72Ùù=108Ùù

이때 ∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF이므로

∠COD=;4!;∠AOF=;4!;_108ù=27ù  27ù

04

∠AOC=90ù이므로 ∠COD=;3!;∠AOC=;3!;_90ù=30ù

∴ ∠DOB=180ù-(90ù+30ù)=60ù

이때 ∠EOB=2∠DOE이므로 ∠DOB=60ù에서

∠DOE+∠EOB=60ù, ∠DOE+2∠DOE=60ù 3∠DOE=60ù ∴ ∠DOE=20ù

∴ ∠COE=∠COD+∠DOE=30ù+20ù=50ù  50ù

05

∠COD=3∠AOC이므로 ∠AOC=;3!;∠COD

∠DOE=3∠EOB이므로 ∠EOB=;3!;∠DOE

이때 ∠AOC+∠COD+∠DOE+∠EOB=180ù이므로

;3!;∠COD+∠COD+∠DOE+;3!;∠DOE=180ù

;3$;(∠COD+∠DOE)=180ù, ;3$;∠COE=180ù

∴ ∠COE=135ù  ④

(5)

06

∠z=180ù_ 8

5+7+8 =180ù_;5@;=72ù  ④

07

ABê와 CDê로 만들어지는 맞꼭지각은

∠AOC와 ∠BOD, ∠AOD와 ∠COB의 2쌍 ABê와 EFê로 만들어지는 맞꼭지각은

∠AOE와 ∠BOF, ∠AOF와 ∠EOB의 2쌍 CDê와 EFê로 만들어지는 맞꼭지각은

∠COE와 ∠FOD, ∠EOD와 ∠COF의 2쌍

따라서 구하는 맞꼭지각은 모두 6쌍이다.  6쌍

08

5∠x-30ù=2∠x+6ù이므로 3∠x=36ù ∴ ∠x=12ù 또, (5∠x-30ù)+∠y=180ù이므로

(5_12ù-30ù)+∠y=180ù 30ù+∠y=180ù ∴ ∠y=150ù

∴ ∠x+∠y=12ù+150ù=162ù  162ù

09

(∠x+10ù)+(3∠x-20ù)+90ù=180ù이므로 4∠x+80ù=180ù, 4∠x=100ù ∴ ∠x=25ù

∴ ∠y =(3∠x-20ù)+90ù

=3_25ù-20ù+90ù=145ù  145ù

10

4∠x-45ù=120ù-∠x이므로 5∠x=165ù ∴ ∠x=33ù

또, (3∠y+15ù)+(120ù-∠x)=180ù이므로 3∠y+15ù+120ù-33ù=180ù, 3∠y+102ù=180ù 3∠y=78ù ∴ ∠y=26ù

∴ ∠x+∠y=33ù+26ù=59ù  ⑤

11

x 6x-15x° 3x-5° (6∠x-15ù)+∠x+(3∠x-5ù)=180ù

이므로

10∠x-20ù=180ù, 10∠x=200ù

∴ ∠x=20ù  ③

12

ㄷ. DEê는 BCÓ의 수직이등분선이다.

ㅁ. 점 D와 BCÓ 사이의 거리는 DEÓ의 길이이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.  ②

13

점 A와 직선 l 사이의 거리는 AÕMÓ의 길이와 같으므로 점 A와 직선 l 사이의 거리는

AÕMÓ=;2!;ABÓ=;2!;_10=5(cm)  5`cm

본교재 | 22 ~ 24 쪽

개념 넓히기로

마무리

01

^③

02

^⑤

03

^{②, ④}

04

^④

05

^③

06

^5`cm

07

^65ù

08

^④

09

^⑤

10

^②

11

^⑤

12

^③

13

¹⁸

14

¹⁹

15

^12`cm

16

^62ù

17

^6`cm

18

^40ù

19

^100ù

01

오각뿔의 면의 개수는 6개이므로 a=6 교점의 개수는 꼭짓점의 개수와 같으므로 b=6 교선의 개수는 모서리의 개수와 같으므로 c=10

∴ a+b+c=6+6+10=22  ③

02

⑤ 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 오직 하나뿐이다.  ⑤

03

② ACÓ와 BCÓ 는 한쪽 끝 점이 다르므로 ACÓ+BCÓ

④ BÕA³와 BC³는 방향이 다르므로 BÕA³+BC³  ②, ④

04

반직선은 AB³, AC³, AÕD³, AÕE³, BÕA³, BC³, BD³, BE³, CÕA³, CB³, CD³, CE³, DÕA³, DB³, DC³, DE³, EÕA³, EB³, EC³, ED³의 20개 선분은 ABÓ, ACÓ, ADÓ, AEÓ, BCÓ, BDÓ, BEÓ, CDÓ, CEÓ, DEÓ의

10개  ④

05

두 점 M, N은 각각 ABÓ, BCÓ의 중점이므로 MBÓ=;2!;ABÓ, BNÓ=;2!;BCÓ

∴ MNÓ =MBÓ+BNÓ=;2!;ABÓ+;2!;BCÓ=;2!;(ABÓ+BCÓ)

=;2!;ACÓ=;2!;_26=13(cm)  ③

06

ACÓ：CDÓ=2：1이므로 ACÓ=;3@;ADÓ=;3@;_30=20(cm) ABÓ：BCÓ=3：1이므로 BCÓ=;4!;ACÓ=;4!;_20=5(cm)  5`cm

(6)

07

∠AOB=90ù-∠BOC=∠COD이고 ∠AOB+∠COD=50ù 이므로 ∠AOB=;2!;_50ù=25ù

∴ ∠BOC=90ù-25ù=65ù  65ù

08

(3∠x+10ù)+(80ù-2∠x)+(5∠x-6ù)=180ù이므로 6∠x+84ù=180ù, 6∠x=96ù ∴ ∠x=16ù

∴ ∠DOB=5_16ù-6ù=74ù  ④

09

∠COE =∠COD+∠DOE=;4!;∠AOD+;4!;∠DOB

=;4!;(∠AOD+∠DOB)=;4!;_180ù=45ù  ⑤

10

네 직선을 각각 a, b, c, d라고 하면 직선 a와 직선 b, 직선 a와 직선 c, 직선 a와 직선 d, 직선 b와 직선 c, 직선 b와 직선 d, 직선 c와 직선 d로 만들어지는 맞꼭지각이 각각 2쌍이므로 맞꼭지각의 개수

는 6_2=12(쌍)  ②

11

2∠x+20ù=90ù+40ù이므로 2∠x=110ù ∴ ∠x=55ù (3∠y-10ù)+90ù+40ù=180ù이므로

3∠y+120ù=180ù, 3∠y=60ù ∴ ∠y=20ù

∴ ∠x+∠y=55ù+20ù=75ù  ⑤

12

95° 95°_2x-10° 4y+10°

x+5° (∠x+5ù)+95ù+(2∠x-10ù)=180ù이

므로 3∠x+90ù=180ù, 3∠x=90ù

∴ ∠x=30ù

4∠y+10ù=2∠x-10ù이므로 4∠y+10ù=2_30ù-10ù

4∠y=40ù ∴ ∠y=10ù  ③

13

오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ에 ^A

B C

D

F E H'

H

8 cm 6 cm 10 cm 10 cm 내린 수선의 발을 H라고 하면 점 A와

BCÓ 사이의 거리는 AHÓ의 길이와 같 으므로

AHÓ=DEÓ=8(cm) ∴ x=8

점 C에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H'이라고 하면 점 C와 ABÓ 사이 의 거리는 CH'Ó의 길이와 같으므로

CH'Ó=AFÓ=10(cm) ∴ y=10

∴ x+y=8+10=18  18

14

직선은 ABê, AEê, BEê, CEê, DEê의 5개이므로 a=5 …… 40%

반직선은 AB³, AE³, BA³, BC³, BE³, CB³, CD³, CE³, DC³, DE³, EÕA³, EB³, EC³, ED³의 14개이므로 b=14 …… 50%

∴ a+b=5+14=19 …… 10%

 19

15

ABÓ：BCÓ=3：2이므로 2ABÓ=3BCÓ ∴ BCÓ=;3@;ABÓ ^……^30%

MòNÓ =MòBÓ+BNÓ=;2!;ABÓ+;2!;BCÓ

=;2!;ABÓ+;2!;_;3@;ABÓ=;6%;ABÓ ^……^40%

∴ ABÓ=;5^;MòNÓ=;5^;_10=12(cm) ^……^30%

 12`cm

16

x x 2x-26° a

3x+38° (2∠x-26ù)+∠x+(3∠x+38ù)=180ù

이므로 6∠x+12ù=180ù, 6∠x=168ù

∴ ∠x=28ù …… 60%

이때 ∠a+∠x=90ù이므로

∠a+28ùÙ=90ù ∴ ∠a=62ù …… 40%

 62ù

17

PBÓ=;2!;APÓ이므로 APÓ=2PBÓ BQÓ=;2!; QCÓ이므로 QCÓ=2BQÓ

ACÓ=ABÓ+BCÓ=(APÓ+PBÓ)+(BQÓ+QCÓ)

=(2PBÓ+PBÓ)+(BQÓ+2BQÓ)=3(PBÓ+BQÓ)=3PQÓ

∴ PQÓ=;3!;ACÓ=;3!;_18=6(cm)  6`cm

18

∠AOD=7∠COD이고 ∠AOC+∠COD=∠AOD이므로 90ù+∠COD=7∠COD, 6∠COD=90ù ∴ ∠COD=15ù 이때 ∠DOB=180ù-(90ù+15ù)=75ù이고

∠DOB=3∠DOE이므로 75ù=3∠DOE ∴ ∠DOE=25ù

∴ ∠COE=∠COD+∠DOE=15ùÙ+25ùÙ=40ù  40ù

19

시계의 시침은 1시간에 360ùÖ12=30ù씩, 1분에 30ùÖ60=0.5ù씩 움직이고, 분침은 1분에 360ùÖ60=6ù씩 움직인다.

시침이 시계의 12를 가리킬 때부터 4시간 40분 동안 움직인 각의 크기는 30ù_4+0.5ù_40=140ù

분침이 시계의 12를 가리킬 때부터 40분 동안 움직인 각의 크기는 6ù_40=240ù

따라서 구하는 각의 크기는 240ù-140ù=100ù  100ù

(7)

Ⅰ. 기본 도형

2. ^{위치 관계}

평면에서의 위치 관계

01 개념

본교재 | 26 쪽

개념 콕콕

1

⑴ 점 A, 점 B ⑵ 점 C, 점 D

2

⑴ 변 AD, 변 BC ⑵ 변 AD

본교재 | 27 쪽

대표 유형

1 ^③ 1 -1 ②, ⑤ 1^-2^{ㄱ, ㄷ} 2 ^⑤ 2 ^-1^{③, ⑤} 2 -2 4개

1 -1

① 점 A는 직선 l 위에 있다.

③ 직선 l은 점 D 를 지난다.

④ 두 점 A, D를 지나는 직선은 직선 l 하나뿐이다.

따라서 옳은 것은 ②, ⑤이다.  ②, ⑤

1 -2

ㄴ. 점 D는 평면 P 위에 있다.

ㄷ. 직선 l 위에 있지 않은 점은 점 A, 점 C의 2개이다.

ㄹ. 평면 P 위에 있는 점은 점 B, 점 C, 점 D의 3개이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.  ㄱ, ㄷ 2 -1

③ ABê와 DCê는 한 점에서 만난다.

⑤ ADê와 BCê는 평행하므로 교선이 존재하지 않는다.  ③, ⑤ 2 -2

AFê, BCê, CDê, EFê의 4개  4개

공간에서 두 직선의 위치 관계

02 개념

본교재 | 28 쪽

개념 콕콕

1

⑴ 꼬인 위치에 있다. ⑵ 평행하다. ⑶ 한 점에서 만난다.

2

⑴ 모서리 AC, 모서리 AD, 모서리 BC, 모서리 BE

⑵ 모서리 DE ⑶ 모서리 CF, 모서리 DF, 모서리 EF

2

⑶ 모서리 AB와 만나지도 않고 평행하지도 않은 모서리는 모서리 CF, 모서리 DF, 모서리 EF이다.

본교재 | 29 쪽

대표 유형

3 ^③ 3 -1 ③ 3 -2 ④ 4 ^④ 4 ^-1^{②, ③} 4 -2 11

3 -1

모서리 AE와 만나지도 않고 평행하지도 않은 모서리는 모서리 BC, 모서리 CD, 모서리 FG, 모서리 GH이다.

따라서 모서리 AE와 꼬인 위치에 있는 모서리가 아닌 것은 ③ 모서

리 DH이다.  ③

3 -2

BDÓ와 만나지도 않고 평행하지도 않은 모서리는 모서리 AE, 모서리 CG, 모서리 EF, 모서리 FG, 모서리 GH, 모서리 HE의 6개이다.

 ④

4 -1

② 모서리 BC와 모서리 EF는 평행하다.

③ 모서리 BE와 모서리 DF는 꼬인 위치에 있다.  ②, ③ 4 -2

모서리 AF와 평행한 모서리는 모서리 BG, 모서리 CH, 모서리 DI, 모서리 EJ의 4개이므로 a=4

모서리 AE와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 BG, 모서리 CH, 모서리 DI, 모서리 FG, 모서리 GH, 모서리 HI, 모서리 IJ의 7개 이므로 b=7

∴ a+b=4+7=11  11

공간에서 직선과 평면의 위치 관계

03 개념

본교재 | 30 쪽

개념 콕콕

1

⑴ 모서리 AB, 모서리 BC, 모서리 CD, 모서리 DA

⑵ 모서리 EF, 모서리 FG, 모서리 GH, 모서리 HE

⑶ 모서리 AE, 모서리 BF, 모서리 CG, 모서리 DH

⑷ 면 ABFE, 면 BFGC ⑸ 면 AEHD, 면 CGHD

⑹ 면 ABCD, 면 EFGH

본교재 | 31 쪽

대표 유형

5 ^{③, ④} 5 -1 ⑤ 5 -2 8 6 17 6 -1 21

(8)

④ 면 ADEB와 평행한 모서리는 모서리 CF의 1개이다.

⑤ 면 DEF와 수직인 모서리는 모서리 AD, 모서리 BE, 모서리 CF의 3개이다.

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.  ⑤

5 -2

면 GHIJKL과 평행한 모서리는 모서리 AB, 모서리 BC, 모서리 CD, 모서리 DE, 모서리 EF, 모서리 FA의 6개이므로 a=6 모서리 AG와 수직인 면은 면 ABCDEF, 면 GHIJKL의 2개이므 로 b=2

∴ a+b=6+2=8  8

6 -1

점 A에서 면 CGHD에 내린 수선의 발이 점 D이므로 구하는 거리 는 ADÓ=FGÓ=9(cm) ∴ a=9

점 F에서 면 ABCD에 내린 수선의 발이 점 B이므로 구하는 거리 는 BFÓ=DHÓ=12(cm) ∴ b=12

∴ a+b=9+12=21  21

공간에서 두 평면의 위치 관계

04 개념

본교재 | 32 쪽

개념 콕콕

1

⑴ 면 ABFE, 면 BFGC, 면 CGHD, 면 AEHD

⑵ 면 EFGH

⑶ 면 ABCD, 면 ABFE, 면 EFGH, 면 CGHD

2

⑴ 3개 ⑵ 2개 ⑶ 1개

2

⑴ 면 ABED, 면 BEFC, 면 ADFC의 3개

⑵ 면 ABC, 면 DEF의 2개

⑶ 면 ABC의 1개

본교재 | 33 쪽

대표 유형

7 ^{①, ⑤} 7 -1 ③ 7 -2 ㄱ, ㄹ 8 ^⑤ 8 ^-1 모서리 CF, 모서리 DF, 모서리 EF 8 -2 6

7 -1

③ 면 BFGC와 면 AEHD는 평행하다.  ③

ㄴ. 면 ABGF와 면 BGHC는 수직이 아니다.

ㄷ. 면 CHID와 면 FGHIJ의 교선은 모서리 HI이다.

ㄹ. 면 AFJE와 수직인 면은 면 ABCDE, 면 FGHIJ의 2개이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.  ㄱ, ㄹ

8 -2

모서리 AD와 평행한 면은 면 BFGC, 면 EFGH의 2개이므로 a=2

모서리 BC와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AE, 모서리 DH, 모서리 EF, 모서리 GH의 4개이므로 b=4

∴ a+b=2+4=6  6

본교재 | 34 ~ 35 쪽

01

^⑤

02

^6개

03

^③

04

^③

05

모서리 CD, 모서리 DE

06

^⑤

07

⁷

08

^③

09

^②

10

^④

11

¹

12

^{ㄴ, ㄷ}

13

^{①, ③}

배운대로

해결하기

01

⑤ 두 직선 l, n의 교점은 점 D의 1개이다.  ⑤

02

ABê, BCê, CDê, EFê, FGê, GHê의 6개  6개

03

ㄱ. 오른쪽 그림과 같이 lm, mn이면

m n l ln이다.

ㄴ. 오른쪽 그림과 같이 lm, l⊥n이면

m l

n m⊥n이다.

ㄷ. 오른쪽 그림과 같이 l⊥m, l⊥n이면

l

m n

mn이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.  ③

04

①, ②, ④, ⑤ 한 점에서 만난다.

③ 꼬인 위치에 있다.  ③

Ⅰ- 2. 위치 관계

(9)

06

주어진 전개도로 삼각뿔을 만들면 오른쪽 그림 A(C, E)

D

B F

과 같으므로 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모 서리는 모서리 DF이다.

 ⑤

07

모서리 AE와 평행한 모서리는 모서리 BF, 모서리 CG, 모서리 DH의 3개이므로 a=3

모서리 CD와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AE, 모서리 BF, 모서리 FG, 모서리 EH의 4개이므로 b=4

∴ a+b=3+4=7  7

08

① BDÓ와 평행한 면은 면 EFGH의 1개이다.

② 모서리 BC와 수직인 면은 면 ABFE, 면 CGHD의 2개이다.

③ 면 BFHD와 평행한 모서리는 모서리 AE, 모서리 CG의 2개 이다.

④ 면 EFGH와 수직인 모서리는 모서리 AE, 모서리 BF, 모서리 CG, 모서리 DH의 4개이다.

⑤ FHÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AB, 모서리 BC, 모 서리 CD, 모서리 DA, 모서리 AE, 모서리 CG의 6개이다.

09

면 AEHD와 평행한 모서리는 모서리 BF, 모서리 FG, 모서리 GC, 모서리 CB의 4개이므로 a=4

모서리 DC를 포함하는 면은 면 ABCD, 면 DHGC의 2개이므로 b=2

모서리 BF와 수직인 면은 면 ABCD, 면 EFGH의 2개이므로 c=2

∴ a+b+c=4+2+2=8  ②

10

점 A에서 면 EFGH에 내린 수선의 발이 점 E이므로 구하는 거리 는 AEÓ=BFÓ=14(cm) ∴ a=14

점 E에서 면 CGHD에 내린 수선의 발이 점 H이므로 구하는 거리 는 EHÓ=ADÓ=7(cm) ∴ b=7

∴ a+b=14+7=21  ④

11

면 BHIC와 평행한 면은 면 FLKE의 1개이므로 a=1

면 BHIC와 수직인 면은 면 ABCDEF, 면 GHIJKL의 2개이므로 b=2

∴ b-a=2-1=1  1

12

ㄱ. 모서리 AB와 모서리 AC는 수직으로 만나지 않는다.

ㄴ. 모서리 BC와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AD, 모서리 DE, 모서리 DF의 3개이다.

ㄹ. 면 BCFE와 수직인 면은 면 ABC, 면 ADFC, 면 DEF의 3 개이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.  ㄴ, ㄷ

13

① 모서리 AB와 모서리 CD는 꼬인 위치에 있다.

③ 면 ABC와 모서리 AD는 한 점에서 만나지만 수직이 아니다.

 ①, ③

동위각과 엇각

05 개념

본교재 | 36 쪽

개념 콕콕

1

⑴ ∠e ⑵ ∠c ⑶ ∠e ⑷ ∠d

2

⑴ 110ù ⑵ 70ù ⑶ 110ù ⑷ 95ù

2

⑴ ∠b의 동위각은 ∠e이고 ∠e=110ù (맞꼭지각)

⑵ ∠c의 동위각은 ∠f 이고 ∠f=180ù-110ù=70ù

⑷ ∠d의 엇각은 ∠c이고 ∠c=95ù (맞꼭지각)

본교재 | 37 쪽

대표 유형

1 ^② 1 -1 ②, ④ 1 -2 ㄱ, ㄷ 2 ^④ 2 -1 ③ 2 -2 155ù

1 -1

① ∠a와 ∠f 는 엇각이 아니다.

③ ∠c의 엇각은 ∠e, ∠i이다.

⑤ ∠h의 엇각은 ∠b이다.  ②, ④

1 -2

ㄴ. ∠b의 동위각은 ∠f, ∠i이다.

ㄹ. ∠h의 엇각은 ∠b, ∠j이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.  ㄱ, ㄷ 2 -1

① ∠a의 동위각은 ∠e이고 ∠e=180ù-105ù=75ù

③ ∠c의 동위각은 ∠f 이고 ∠f=180ù-105ù=75ù

④ ∠d의 엇각은 ∠b이고 ∠b=130ù (맞꼭지각)

⑤ ∠f 의 엇각은 ∠a이고 ∠a=180ù-130ù=50ù

(10)

오른쪽 그림과 같이 lmpq가 되도 ₄₅_° 45°

35° 35° 15°

15° l

p q m 록 두 직선 p, q를 그으면

∠x=35ù+15ù=50ù

 ②

5 -1

∠GFE=180ù-125ù=55ù

ADÓBCÓ이므로 ∠DEF=∠GFE=55ù

∠GEF=∠DEF=55ù (접은 각)

따라서 삼각형 EGF에서 55ù+∠x+55ù=180ù이므로

∠x+110ù=180ù ∴ ∠x=70ù  70ù 5 -2

∠EAG=90ù이므로 ∠FAG=90ù-22ù=68ù

∠FGC=∠AGF=∠x (접은 각)

ADÓBCÓ이므로 ∠AFG=∠FGC=∠x (엇각) 따라서 삼각형 AGF에서 68ù+∠x+∠x=180ù이므로

2∠x=112ù ∴ ∠x=56ù  56ù

6 -1

ㄱ. 오른쪽 그림에서 동위각의 크기가 같지 않

50° 50°

55° l

m 으므로 두 직선 l, m은 평행하지 않다.

ㄴ. 오른쪽 그림에서 동위각의 크기가 같으므로 ₉₅_° 85° l

m 95° lm

ㄷ. 오른쪽 그림에서 엇각의 크기가 같으므로

35° 35° 145° l m lm

ㄹ. 오른쪽 그림에서 동위각의 크기가 같지 않 105° 100°

100° l

m 으므로 두 직선 l, m은 평행하지 않다.

따라서 두 직선 l, m이 평행한 것은 ㄴ, ㄷ이다.  ③

본교재 | 41 쪽

01

^⑤

02

^④

03

^④

04

^23ù

05

^④

06

^⑤

07

^{lm, pq}

배운대로

해결하기

01

③ ∠b의 동위각은 ∠f 이고 ∠f=180ù-110ù=70ù (∠x의 엇각의 크기)=180ù-120ù=60ù

(∠y의 동위각의 크기)=180ù-85ù=95ù

따라서 구하는 각의 크기의 합은 60ù+95ù=155ù  155ù

평행선의 성질

06 개념

본교재 | 38 쪽

개념 콕콕

1

⑴ ∠x=40ù, ∠y=40ù ⑵ ∠x=65ù, ∠y=115ù

2

⑴ 같지 않다, 평행하지 않다 / 55 ⑵ 같다, 평행하다 / 80

1

⑴ ∠x=40ù (엇각), ∠y=40ù (동위각)

⑵ ∠x=65ù (엇각), ∠y=180ù-∠x=180ù-65ù=115ù

본교재 | 39 ~ 40 쪽

대표 유형

3 ^① 3 -1 ④ 3 -2 70ù 4 ^③ 4 ^-1^⑤ 4 -2 ② 5 ^100ù 5 -1 70ù 5 -2 56ù 6 ^③ 6 -1 ③

3 -1

6x-40°

x+10° x+10° l

m (6∠x-40ù)+(∠x+10ù)=180ù

7∠x-30ù=180ù, 7∠x=210ù

∴ ∠x=30ù

 ④

3 -2

오른쪽 그림에서 삼각형의 세 각의 크기 _x

65° 65° 45°

45° l

m 의 합이 180ù이므로

∠x+45ù+65ù=180ù

∠x+110ù=180ù ∴ ∠x=70ù

 70ù

4 -1

오른쪽 그림과 같이 lmn이 되도록

63° 63° 32°₃₂

° l

n

m 직선 n을 그으면

∠x=32ù+63ù=95ù

 ⑤

(11)

④ ∠c의 엇각은 ∠e이고 ∠e=110ù (맞꼭지각)

⑤ ∠d의 동위각은 ∠g이고 ∠g=180ù-110ù=70ù

02

x y

100° ⁸⁰° ⁴⁵° ₁₃₅° l

m

∠x=45ù (엇각), ∠y=80ù (동위각)

∴ ∠y-∠x=80ù-45ù=35ù

 ④

03

오른쪽 그림에서 삼각형의 세 각의 크기의

x

x-15° x-15° 75° l

m 합이 180ù이므로

75ù+∠x+(∠x-15ù)=180ù 2∠x+60ù=180ù, 2∠x=120ù

∴ ∠x=60ù  ④

04

오른쪽 그림과 같이 lmn이 되도록

x x 38° l

m n 38° 직선 n을 그으면

38ù+∠x=61ù ∴ ∠x=23ù

 23ù

05

오른쪽 그림과 같이 lmpq가 되도록

25° ²⁵° 30°₃₀

75° ° 105° 75° l p q m 두 직선 p, q를 그으면

∠x=105ù+25ù=130ù

 ④

06

∠FEC=∠GEF=∠x (접은 각)

ADÓBCÓ이므로 ∠GFE=∠FEC=∠x (엇각) 따라서 삼각형 GEF에서 40ù+∠x+∠x=180ù이므로

2∠x=140ù ∴ ∠x=70ù  ⑤

07

오른쪽 그림에서 두 직선 l, m이 직선 q

60°

65°

115°

120°

l m n

p q

120° 65° 와 만날 때, 엇각의 크기가 65ù로 같으므

로 lm

두 직선 p, q가 직선 n과 만날 때, 동위각 의 크기가 120ù로 같으므로 pq

 lm, pq

본교재 | 42 ~ 44 쪽

개념 넓히기로

마무리

01

^{ㄱ, ㄹ}

02

^⑤

03

^{①, ③}

04

^②

05

^4쌍

06

^{ㄱ, ㄴ}

07

⁹

08

^③

09

∠a=60ù, ∠b=120ù

10

^③

11

^45ù

12

^④

13

^57ù

14

^④

15

¹⁰

16

^130ù

17

^90ù

18

^⑤

19

^{①, ④}

20

^90ù

01

ㄴ. 점 D는 직선 l 위에 있지만 점 E는 직선 l 위에 있지 않다.

ㄷ. 직선 l 밖에 있는 점은 점 A, 점 B, 점 E의 3개이다.

ㄹ. 평면 P 위에 있는 점은 점 B, 점 C, 점 D, 점 E의 4개이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.  ㄱ, ㄹ

02

⑤ 꼬인 위치에 있는 두 직선은 한 평면 위에 있지 않으므로 평면이

하나로 정해지지 않는다.  ⑤

03

① BDÓ와 한 점에서 만나는 모서리는 모서리 AB, 모서리 BC, 모 서리 CD, 모서리 DA, 모서리 BF, 모서리 DH의 6개이다.

② 모서리 BF와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AD, 모서리 DC, 모서리 EH, 모서리 HG의 4개이다.

③ FHÓ와 수직인 모서리는 모서리 BF, 모서리 DH의 2개이다.

④ 모서리 AB와 수직인 면은 면 AEHD, 면 BFGC의 2개이다.

⑤ 면 BFHD와 평행한 모서리는 모서리 AE, 모서리 CG의 2개 이다.

따라서 옳지 않은 것은 ①, ③이다.  ①, ③

04

주어진 전개도로 만든 삼각기둥은 오른쪽 그림 ^J ^H I(A, G)

D(B, F)

C E

과 같다.

면 CDE와 한 점에서 만나는 모서리는 모서리 JC, 모서리 AB, 모서리 HE의 3개이므로 a=3 모서리 AB와 평행한 면은 면 JCEH의 1개이 므로 b=1

∴ 2a+b=2_3+1=7  ②

05

서로 평행한 두 면은 면 ABCDEF와 면 GHIJKL, 면 ABHG와 면 DJKE, 면 BHIC와 면 EKLF, 면 CIJD와 면 AGLF의 4쌍이

다.  4쌍

(12)

06

ㄱ. 오른쪽 그림과 같이 lm, l⊥P이면 ^l ^m m⊥P이다. P

ㄴ. 오른쪽 그림과 같이 l⊥P, m⊥P이면 lm이 ^l ^m

P 다.

ㄷ. 오른쪽 그림과 같이 l⊥P, PQ이면 l⊥Q이 ^l

P Q 다.

ㄹ. 오른쪽 그림과 같이 P⊥Q, R⊥Q

P P

Q Q

R R

이면 두 평면 P, R는 평행하거나 한 직선에서 만난다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.  ㄱ, ㄴ

07

면 ADGC와 평행한 모서리는 모서리 BE, 모서리 EF, 모서리 FI, 모서리 IH, 모서리 HB의 5개이므로 a=5

면 ABHJC와 수직인 면은 면 ABED, 면 BEFIH, 면 JIFGC, 면 ADGC의 4개이므로 b=4

∴ a+b=5+4=9  9

08

③ ∠d의 동위각은 ∠h, ∠k이다.  ③

09

오른쪽 그림에서 ∠a+28ù=88ù(동위각) l a

m b

88° 28° 이므로 b

∠a=60ù

이때 ∠a+∠b=180ù이므로 60ù+∠b=180ù ∴ ∠b=120ù

 ∠a=60ù, ∠b=120ù

10

오른쪽 그림과 같이 lmn이 되도록 ^l n

m 3x

3x xx 180°^-3x 직선 n을 그으면

∠x+(180ù-3∠x)=130ù 180ù-2∠x=130ù, 2∠x=50ù

∴ ∠x=25ù  ③

11

오른쪽 그림과 같이 lmn이 되도록 직 l n m

x 60°

75° 75°

30° 30° 선 n을 그으면 삼각형의 세 각의 크기의 합

이 180ù이므로 60ù+∠x+75ù=180ù

∠x+135ù=180ù ∴ ∠x=45ù

 45ù

12

오른쪽 그림과 같이 lmpq가 되도

a b

c d

a

a+b a+b+c pl

q m 록 두 직선 p, q를 그으면

∠a+∠b+∠c+∠d=180ù

 ④

13

∠EAG=90ù이므로 ∠FAG=90ù-24ù=66ù

∠FGC=∠AGF=∠x (접은 각)

ADÓBCÓ이므로 ∠AFG=∠FGC=∠x (엇각) 따라서 삼각형 AGF에서 66ù+∠x+∠x=180ù이므로

2∠x=114ù ∴ ∠x=57ù  57ù

14

① ∠a=∠c (맞꼭지각)이므로 ∠a=∠g이면 ∠c=∠g 즉, 동위각의 크기가 같으므로 lm

② ∠c=∠e이면 엇각의 크기가 같으므로 lm

③ ∠a+∠b=180ù이므로 ∠b+∠e=180ù이면 ∠a=∠e 즉, 동위각의 크기가 같으므로 lm

④ lm이면 ∠b=∠f (동위각) 즉, ∠b+90ù이면 ∠b+∠f+180ù

⑤ lm이면 ∠c=∠g=180ù-∠h

15

모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 CH, 모서리 DI, 모서리 EJ, 모서리 GH, 모서리 HI, 모서리 IJ, 모서리 JF의 7개

이므로 a=7 …… 60%

면 AFJE와 평행한 모서리는 모서리 BG, 모서리 CH, 모서리

DI의 3개이므로 b=3 …… 30%

∴ a+b=7+3=10 …… 10%

 10

16

오른쪽 그림과 같이 lmpq가 되도 ^l p q

m 40° 40° 90° 90°

35° 35° 록 두 직선 p, q를 그으면 …… 50%

∠x=90ù+40ù=130ù …… 50%

 130ù

(13)

17

∠GFE=180ù-150ù=30ù

ADÓBCÓ이므로 ∠FEC=∠GFE=30ù (엇각)

∴ ∠x=30ù …… 45%

∠GEF=∠FEC=30ù (접은 각)

삼각형 GEF에서 ∠y+30ù+30ù=180ù이므로

∠y+60ù=180ù ∴ ∠y=120ù …… 45%

∴ ∠y-∠x =120ù-30ù

=90ù …… 10%

 90ù

18

주어진 전개도로 만든 정육면체는 오른

A(M, I)

B(D, H) N

C F

E(G) L(J)

K 쪽 그림과 같다.

①, ④ 평행하다.

②, ③ 한 점에서 만난다.

 ⑤

19

② 다음 그림과 같이 공간에서 한 직선에 수직인 서로 다른 두 직선 은 한 점에서 만나거나 평행하거나 꼬인 위치에 있다.

③ 오른쪽 그림과 같이 공간에서 한 직 선에 평행한 서로 다른 두 평면은 만 나거나 평행하다.

⑤ 다음 그림과 같이 공간에서 한 평면에 평행한 서로 다른 두 직선 은 한 점에서 만나거나 평행하거나 꼬인 위치에 있다.

따라서 옳은 것은 ①, ④이다.  ①, ④

20

오른쪽 그림과 같이 lmn이 되도록 직

l aa a b bb n

m B E

F C

A D 선 n을 긋고 ∠DAC=∠BAC=∠a,

∠ABC=∠CBE=∠b라고 하면

∠ACF=∠DAC=∠a (엇각),

∠FCB=∠CBE=∠b (엇각)

∴ ∠ACB =∠ACF+∠FCB

=∠a+∠b

삼각형 ABC에서 ∠a+∠b+(∠a+∠b)=180ù이므로 2(∠a+∠b)=180ù ∴ ∠a+∠b=90ù

∴ ∠ACB=∠a+∠b=90ù  90ù

Ⅰ. 기본 도형

3. ^{작도와 합동}

작도, 길이가 같은 선분의 작도

01 개념

본교재 | 46 쪽

개념 콕콕

1

⑴ _ ⑵ _ ⑶ ◯ ⑷ ◯ ⑸ ◯

2

^{㉡ → ㉠ → ㉢}

1

⑴ 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 도형을 그리는 것을 작도라 고 한다.

⑵ 작도할 때에는 눈금 없는 자를 사용하므로 자로 선분의 길이를 잴 수 없다.

본교재 | 47 쪽

대표 유형

1 ^{②, ③} 1 -1 ② 2 ^⑤ 2 -1 ③

2 -1

점 C를 작도하기 위해서는 직선 l 위에 ABÓ의 길이를 한 번 옮기면

되므로 사용되는 도구는 컴퍼스이다.  ③

크기가 같은 각, 평행선의 작도

02 개념

본교재 | 48 쪽

개념 콕콕

1

⑴ ㉢, ㉡, ㉣, ㉤ ⑵ OBÓ, PDÓ,CDÓ,∠CPD

2

⑴ ㉠, ㉡, ㉥, ㉢, ㉣ ⑵ 동위각

본교재 | 49 쪽

대표 유형

3 ^③ 3 -1 ㄱ, ㄷ

4 ^{③, ④} 4 ^-1^④ 4 -2 ②, ⑤

3 -1

ㄱ. 두 점 O, P를 중심으로 반지름의 길이가 같은 원을 각각 그리므 로 OAÓ=PCÓ

ㄴ. OXÓ=OYÓ인지는 알 수 없다.

(14)

로 ABÓ=CDÓ

ㄹ. ∠OAB=∠CPD인지는 알 수 없다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.  ㄱ, ㄷ

4 -1

① 두 점 A, P를 중심으로 반지름의 길이가 같은 원을 각각 그리므 로 ABÓ=ACÓ=PQÓ=PRÓ

② 두 점 B, Q를 중심으로 반지름의 길이가 같은 원을 각각 그리므 로 BCÓ=QRÓ

③ ∠BAC=∠QPR, 즉 엇각의 크기가 같으므로 ACêPRê

④ ∠ABC=∠BAC인지는 알 수 없다.

4 -2

두 점 A, P를 중심으로 반지름의 길이가 같은 원을 각각 그리므로 ABÓ=ACÓ=PQÓ=PRÓ

따라서 ACÓ와 길이가 같은 선분이 아닌 것은 ②, ⑤이다.  ②, ⑤

본교재 | 50 쪽

01

^③

02

^⑤

03

컴퍼스, AB Ó, 정삼각형

04

^{②, ⑤}

05

㉥ → ㉡ → ㉤ → ㉠ → ㉣ → ㉢ 또는 ㉥ → ㉤ → ㉡ → ㉠ → ㉣ → ㉢

06

^⑤

07

^②

배운대로

해결하기

01

ㄱ. 작도할 때에는 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용한다.

ㄹ. 주어진 각과 크기가 같은 각을 작도할 때에는 눈금 없는 자와 컴 퍼스를 사용한다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.  ③

02

㉣ 눈금 없는 자를 사용하여 직선을 긋는다.

㉡ 직선 위에 점 C를 잡는다.

㉠ 컴퍼스를 사용하여 ABÓ의 길이를 잰다.

㉢ 점 C를 중심으로 반지름의 길이가 ABÓ인 원을 그려 직선과의 교 점을 D라고 한다.

따라서 작도 순서는 ㉣ → ㉡ → ㉠ → ㉢이다.  ⑤

04

① 두 점 B, D를 중심으로 반지름의 길이가 같은 원을 각각 그리므 로 ABÓ=CDÓ

② OAÓ=CDÓ인지는 알 수 없다.

로 OAÓ=OBÓ=OÕ'CÓ=OÕ'DÓ

④ 크기가 같은 각을 작도한 것이므로 ∠XOY=∠X'O'Y'

⑤ ㉡ 점 O를 중심으로 원을 그려 OX³, OY³와의 교점을 각각 A, B 라고 한다.

㉤ 점 O'을 중심으로 반지름의 길이가 OAÓ인 원을 그려 OÕ'Y'³과 의 교점을 D라고 한다.

㉠ 컴퍼스를 사용하여 ABÓ의 길이를 잰다.

㉣ 점 D를 중심으로 반지름의 길이가 ABÓ인 원을 그려 ㉤의 원 과의 교점을 C라고 한다.

㉢ OÕ'C³를 긋는다.

즉, 작도 순서는 ㉡ → ㉤ → ㉠ → ㉣ → ㉢이다.

이때 ㉡과 ㉤의 순서를 바꾸어 작도해도 된다.

따라서 옳지 않은 것은 ②, ⑤이다.  ②, ⑤

05

㉥ 점 P를 지나는 직선을 그어 직선 l과의 교점을 A라고 한다.

㉡ 점 A를 중심으로 원을 그려 APê, 직선 l과의 교점을 각각 B, C 라고 한다.

㉤ 점 P를 중심으로 반지름의 길이가 ABÓ인 원을 그려 APê와의 교 점을 Q라고 한다.

㉠ 컴퍼스를 사용하여 BCÓ의 길이를 잰다.

㉣ 점 Q를 중심으로 반지름의 길이가 BCÓ인 원을 그려 ㉤의 원과의 교점을 R라고 한다.

㉢ PRê를 긋는다.

따라서 작도 순서는 ㉥ → ㉡ → ㉤ → ㉠ → ㉣ → ㉢이다.

이때 ㉡과 ㉤의 순서를 바꾸어 작도해도 된다.

 ㉥ → ㉡ → ㉤ → ㉠ → ㉣ → ㉢ 또는 ㉥ → ㉤ → ㉡ → ㉠ → ㉣ → ㉢

06

①, ② 두 점 A, P를 중심으로 반지름의 길이가 같은 원을 각각 그 리므로

ABÓ=ACÓ=PQÓ=PRÓ

③ 두 점 B, Q를 중심으로 반지름의 길이가 같은 원을 각각 그리므 로 BCÓ=QRÓ

④ 크기가 같은 각을 작도한 것이므로 ∠QPR=∠BAC

⑤ ∠PQR=∠QPR인지는 알 수 없다.

03

삼각형

개념

본교재 | 51 쪽

개념 콕콕

1

⑴ 3`cm ⑵ 4`cm ⑶ 45ù

2

⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ _

Ⅰ- 3. 작도와 합동

(15)

본교재 | 54 쪽

대표 유형

3 ^⑤ 3 -1 ④

3 -2 ㉠ ∠A ㉡ A, c, B ㉢ A, b, C 3 -3 ㄱ

3 -1

㉡ 직선 l 위에 한 점 B를 잡고 점 B를 중심으로 반지름의 길이가 a인 원을 그려 직선 l과의 교점을 C라고 한다.

㉢ 두 점 B, C를 중심으로 반지름의 길이가 각각 c, b인 원을 그려 두 원의 교점을 A라고 한다.

㉠ 점 A와 점 B, 점 A와 점 C를 이으면

△

ABC가 작도된다.

따라서 작도 순서는 ㉡ → ㉢ → ㉠이다.  ④ 3 -3

세 변의 길이를 그대로 옮기는 작도만 하면 되므로 이용되는 작도

방법은 길이가 같은 선분의 작도이다.  ㄱ

삼각형이 하나로 정해지는 경우

05 개념

본교재 | 55 쪽

개념 콕콕

1

⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ _ ⑷ _ ⑸ ◯ ⑹ _ ⑺ ◯

1

⑴ 8=6+2이므로

△

ABC가 만들어지지 않는다.

⑵ 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어졌으므로

△

^{ABC가 하} 나로 정해진다.

⑶ ∠C는 ABÓ, BCÓ의 끼인각이 아니므로

△

ABC가 하나로 정해 지지 않는다.

⑷ ∠B+∠C=180ù이므로

△

⑸ 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어졌으므로

△

^ABC가 하나로 정해진다.

⑹ 모양은 같지만 크기가 다른

△

ABC가 무수히 많이 만들어진다.

⑺ ∠A=180ù-(∠B+∠C)=180ù-(30ù+40ù)=110ù 즉, 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어졌으므로

△

^ABC 가 하나로 정해진다.

본교재 | 56 쪽

대표 유형

4 ^③ 4 ^-1^{ㄴ, ㄷ}

5 ^② 5 -1 ㄱ, ㄷ 5 -2 ①, ④

2

⑴ 4=1+3이므로 삼각형을 만들 수 없다.

⑵ 6<2+5이므로 삼각형을 만들 수 있다.

⑶ 3<3+3이므로 삼각형을 만들 수 있다.

⑷ 10>4+5이므로 삼각형을 만들 수 없다.

본교재 | 52 쪽

대표 유형

1 ^② 1 -1 ①

2 ^④ 2 -1 ③, ⑤ 2 -2 ①

1 -1

∠A의 대변은 변 BC이므로 BCÓ=7`cm 변 AB의 대각은 ∠C이므로

∠C=180ù-(65ù+75ù)=40ù  ① 2 -1

① 14>5+8 ② 15>5+90 ③ 12<7+8

④ 17=8+9 ⑤ 20<9+12

따라서 삼각형의 세 변의 길이가 될 수 있는 것은 ③, ⑤이다.

 ③, ⑤

2 -2

Ú 가장 긴 변의 길이가 a`cm일 때 a<3+8 ∴ a<11

Û 가장 긴 변의 길이가 8`cm일 때 8<3+a ∴ a>5

Ú, Û에서 5<a<11이므로 a의 값이 될 수 없는 것은 ①이다.

 ①

삼각형의 작도

04 개념

본교재 | 53 쪽

개념 콕콕

1

⑴ _ ⑵ ◯

1

⑴ ∠A는 BCÓ, ACÓ의 끼인각이 아니므로 삼각형을 하나로 작도할 수 없다.

⑵ 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어졌으므로 삼각형을 하 나로 작도할 수 있다.

(16)

02

① 9<3+7 ② 5<4+5 ③ 10=4+6

④ 8<6+7 ⑤ 12<7+7

따라서 삼각형의 세 변의 길이가 될 수 없는 것은 ③이다.  ③

03

Ú 가장 긴 변의 길이가 a`cm일 때 a<6+12 ∴ a<18

Û 가장 긴 변의 길이가 12`cm일 때 12<6+a ∴ a>6

Ú, Û에서 6<a<18이므로 a의 값이 될 수 없는 것은 ①이다.

 ①

04

(2`cm, 3`cm, 4`cm), (2`cm, 4`cm, 5`cm),

(3`cm, 4`cm, 5`cm)의 3개  3개

05

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 경우 삼각형의 작도는 다음과 같은 순서로 한다.

Ú 한 변의 길이 → 끼인각의 크기 → 다른 한 변의 길이(①, ⑤) Û 끼인각의 크기 → 한 변의 길이 → 다른 한 변의 길이(③, ④) 따라서

△

ABC를 작도하는 순서로 옳지 않은 것은 ② 이다.  ②

06

① 세 변의 길이가 주어졌으므로

△

ABC가 하나로 정해진다.

② ∠C는 ABÓ, BCÓ의 끼인각이 아니므로

△

③ ∠B는 ACÓ, BCÓ의 끼인각이 아니므로

△

④ ∠B=180ù-(∠A+∠C)=180ù-(30ù+90ù)=60ù 즉, 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어졌으므로

△

⑤ 모양은 같지만 크기가 다른

△

따라서

△

ABC가 하나로 정해지는 것은 ①, ④이다.  ①, ④

07

ㄱ. ∠C는 ABÓ, ACÓ의 끼인각이 아니므로

△

ㄴ. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어졌으므로

△

ㄷ. ∠A+∠C=180ù이므로

△

ㄹ. ∠A=180ù-(∠B+∠C)=180ù-(60ù+70ù)=50ù 즉, 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어졌으므로

△

따라서 더 필요한 조건은 ㄴ, ㄹ이다.  ㄴ, ㄹ 4 -1

ㄱ. 모양은 같지만 크기가 다른

△

ㄴ. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어졌으므로

△

ㄷ. ∠B=180ù-(∠A+∠C)=180ù-(60ù+80ù)=40ù 즉, 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어졌으므로

△

ㄹ. 9=3+6이므로

△

따라서

△

ABC가 하나로 정해지는 것은 ㄴ, ㄷ이다.  ㄴ, ㄷ 5 -1

ㄱ. 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어졌으므로

△

ㄴ. ∠B는 ABÓ, ACÓ의 끼인각이 아니므로

△

ㄷ. ∠B, ∠C의 크기가 주어지면 ∠A의 크기가 정해진다.

즉, 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어졌으므로

△

ㄹ. ∠A는 ABÓ, BCÓ의 끼인각이 아니므로

△

따라서 더 필요한 조건은 ㄱ, ㄷ이다.  ㄱ, ㄷ 5 -2

① 세 변의 길이가 주어졌으므로

△

ABC가 하나로 정해진다.

② 13>10+2이므로

△

③, ⑤ ∠A, ∠C는 ABÓ, BCÓ의 끼인각이 아니므로

△

^{ABC가 하나로} 정해지지 않는다.

④ 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어졌으므로

△

^{ABC가 하} 나로 정해진다.

따라서 나머지 한 조건이 될 수 있는 것은 ①, ④이다.  ①, ④

본교재 | 57 쪽

01

^④

02

^③

03

^①

04

^3개

05

^②

06

^{①, ④}

07

^{ㄴ, ㄹ}

배운대로

해결하기

01

① ∠A의 대변은 변 BC이다.

② 변 AB의 대각은 ∠C이다.

③ ∠B의 대변은 변 AC이고 그 길이는 알 수 없다.

④ 변 BC의 대각은 ∠A이므로

∠A=180ù-(50ù+35ù)=95ù

⑤ 변 AC의 대각은 ∠B이므로 ∠B=50ù

따라서 옳은 것은 ④이다.  ④

Ⅰ- 3. 작도와 합동

(17)

삼각형의 합동 조건

07 개념

본교재 | 60 쪽

개념 콕콕

1

^⑴△QRP, SAS ⑵ △KLJ, ASA ⑶ △^OMN,^SSS

1

⑴

△

^ABC와

△

^QRP에서

BCÓ=RPÓ=3(cm), ACÓ=QPÓ=4(cm), ∠C=∠P=90ù

∴

△

^ABCª

△

QRP (SAS 합동)

⑵

△

^DEF와

△

^KLJ에서

EFÓ=LJÓ=5(cm), ∠E=∠L=70ù, ∠F=∠J=50ù

∴

△

^DEFª

△

KLJ (ASA 합동)

⑶

△

^GHI와

△

^OMN에서

GHÓ=OÕMÓ=5(cm), HIÓ=MNÓ=4(cm), GÕIÕ=ONÓ=6(cm)

∴

△

^GHIª

△

OMN (SSS 합동)

본교재 | 61 ~ 62 쪽

대표 유형

3 ^{①, ③} 3 -1 ②, ⑤ 3 -2 ⑤ 4 ^{ㄱ, ㄷ, ㄹ} 4 ^-1 ㈎ CPÓ ㈏ PDÓ ㈐ CDÓ ㈑ SSS 5 ^⑤ 5 -1 풀이 참조

6 △CDB, ASA 합동

6 ^-1 ㈎ CEÓ ㈏ ∠CEF ㈐ ∠FCE ㈑ ASA 6 -2 ①, ③

3 -1

② 두 변의 길이가 각각 같고 그 끼인각의 크기가 같으므로 SAS 합 동이다.

⑤ 세 변의 길이가 각각 같으므로 SSS 합동이다.  ②, ⑤ 3 -2

① SSS 합동 ② SAS 합동 ③ ASA 합동

④ ∠A=∠D, ∠C=∠F이면 ∠B=∠E이므로 ASA 합동 따라서 합동이 되는 조건이 아닌 것은 ⑤이다.  ⑤

5 -1

△

^AOD와

△

^COB에서

OAÓ=OCÓ, ∠O는 공통, ODÓ=OCÓ+CDÓ=OAÓ+ABÓ=OBÓ

∴

△

^AODª

△

COB`(SAS 합동)  풀이 참조 6 -2

△

^AOP와

△

^BOP에서

∠AOP=∠BOP,

∠OAP=∠OBP=90ù이므로 ∠OPA=∠OPB, OPÓ는 공통

도형의 합동

06 개념

본교재 | 58 쪽

개념 콕콕

1

⑴ 점 E ⑵ 변 BC ⑶ ∠D

2

⑴ 8`cm ⑵ 40ù ⑶ 90ù

2

⑴ ABÓ=DEÓ=8(cm)

⑵ ∠E=∠B=40ù

⑶ ∠F=∠C=180ù-(50ù+40ù)=90ù

본교재 | 59 쪽

대표 유형

1 ^{①, ⑤} 1 -1 ④

2 ^{①, ⑤} 2 -1 ③, ⑤ 2 -2 98

1 -1

ㄱ. 오른쪽 그림과 같은 두 사각형은

3 3

3

3 모든 변의 길이가 같지만 합동이

아니다.

ㄷ. 오른쪽 그림과 같은 두 이등변삼각형

3 3

3 1 2 2 은 둘레의 길이가 같지만 합동이 아 니다.

따라서 두 도형이 서로 합동인 것은 ㄴ, ㄹ이다.  ④ 2 -1

① BCÓ=FGÓ=9(cm)

② EFÓ=ABÓ이지만 EFÓ의 길이는 알 수 없다.

③ EHÓ=ADÓ=7(cm)

④ ∠D=∠H=110ù이므로 사각형 ABCD에서

∠C=360ù-(85ù+70ù+110ù)=95ù

⑤ ∠F=∠B=70ù

따라서 옳은 것은 ③, ⑤이다.  ③, ⑤

2 -2

EFÓ=BCÓ=8(cm)이므로 x=8

∠F=∠C=60ù이므로

△

^DEF에서

∠D=180ù-(30ù+60ù)=90ù ∴ y=90

∴ x+y=8+90=98  98