미적분학
강의 (4)
우석대학교 에너지전기공학과
이우금 교수
2 4-1. 수열의 수렴과 발산 수열
𝑎
𝑛 의 수렴 (convergence) 수열𝑎
𝑛 에서𝑛
이 증가함에 따라 일정한 값𝛼
에 한없이 가까워지면, 수열𝑎
𝑛 은𝛼
에 수렴. 이때,𝛼
를 수열𝑎
𝑛 의 극한 (limit) 이라 함:lim
𝑛→∞𝑎
𝑛= 𝛼
단조증가: 어떤 수열𝑎
𝑛 이 모든 양의 정수𝑛
에 대해𝑎
𝑛≤ 𝑎
𝑛+1 을 만족 단조감소: 어떤 수열𝑎
𝑛 이 모든 양의 정수𝑛
에 대해𝑎
𝑛≥ 𝑎
𝑛+1 을 만족 수열의 발산(divergence): 수렴하지 않는 수열은 발산 한다고 함. 수열의 발산:lim
𝑛→∞𝑎
𝑛= ∞
𝑎𝑛 = ∞ 𝑛 𝑎𝑛 <수열의 발산> 𝛼 𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑛 𝛼 <수열의 수렴> 단조감소 단조감소가 아님3 4-3. 수열의 극한에 대한 정리 수열
𝑎
𝑛& 𝑏
𝑛 이 수렴하고,lim
𝑛→∞𝑎
𝑛= 𝛼 & lim
𝑛→∞𝑏
𝑛= 𝛽
이면, 다음이 성립한다. (1)lim
𝑛→∞𝑘𝑎
𝑛= 𝑘 lim
n→∞𝑎
𝑛= 𝑘𝛼,
(𝑘
는 임의의 상수) (2)lim
𝑛→∞(𝑎
𝑛±𝑏
𝑛) = lim
𝑛→∞𝑎
𝑛± lim
𝑛→∞𝑏
𝑛= 𝛼 ± 𝛽
(3)lim
𝑛→∞𝑎
𝑛𝑏
𝑛= lim
𝑛→∞𝑎
𝑛· lim
𝑛→∞𝑏
𝑛= 𝛼𝛽
(4)lim
𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑏𝑛=
lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 lim 𝑛→∞ 𝑏𝑛=
𝛼 𝛽,
(𝑏𝑛≠ 0, 𝛽 ≠ 0) 예시) 다음의 극한값을 구하라. (1)lim
𝑛→∞ 4𝑛 2𝑛+1=
(2)lim
𝑛→∞ 3𝑛2−4 5𝑛2+𝑛+2=
4. 수열의 극한lim
𝑛→∞ 4 2+𝑛1= 2
lim
𝑛→∞ 3−4 𝑛2 5+𝑛1+𝑛22=
3 5(1)
𝑎
𝑛=
3𝑛+1 𝑛+2 lim
𝑛→∞ 3𝑛+1 𝑛+2=
(2)𝑎
𝑛=
2𝑛 3𝑛+4 lim
𝑛→∞ 2𝑛 3𝑛+4=
만약 , 분자 분모를 3𝑛 으로 나누면lim
𝑛→∞ 2𝑛 3𝑛+4=
(3)lim
𝑛→∞ 𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝑛 사인함수는 크기가 -1에서 1사이의 주기함수
−1 ≤ 𝑠𝑖𝑛 𝑛 ≤ 1
위의 부등식을 n으로 나누면:−
1 𝑛≤
𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝑛≤
1 𝑛 극한값을 취하면:lim
𝑛→∞−
1 𝑛≤ lim
𝑛→∞ 𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝑛≤ lim
𝑛→∞ 1 𝑛0 ≤ lim
𝑛→∞ 𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝑛≤ 0
∴
lim
𝑛→∞ 𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝑛= 0
lim
𝑛→∞ 3+𝑛1 1+𝑛2= 3
lim
𝑛→∞ 1 3 2 𝑛 +2𝑛4= 0
lim
𝑛→∞ 1 3𝑛 2𝑛+ 4 2𝑛=
분자 분모를𝑛
으로 각각 나눔 분자 분모를2
𝑛 으로 각각 나눔lim
𝑛→∞ 2𝑛 3𝑛 1+3𝑛4= lim
𝑛→∞ 2 3 𝑛 1+3𝑛4= 0
5 4-4. 무한급수 수열
𝑎
𝑛 이 주어졌을 때, 각 항을 아래와 같이 +로 연결한 식을 무한급수(infinite series) 또는 급수(series)라 하고, 다음과 같이 표시함 ∞𝑘=1𝑎
𝑘= 𝑎
1+ 𝑎
2+ 𝑎
3+ ⋯ + 𝑎
𝑛+ ⋯
𝑎
𝑛을 이 무한급수의 제 n항 또는 일반항 ※ note: 무한급수 ∞𝑘=1𝑎
𝑘 는 n항 까지의 합𝑠
𝑛=
𝑛𝑘=1𝑎
𝑘 과 다름 부분합 (partial sum) 무한급수에서 첫째 항 부터 제 n항까지의 합, 즉 처음 n개항의 합을 𝑠
𝑛=
𝑛𝑘=1𝑎
𝑘= 𝑎
1+ 𝑎
2+ 𝑎
3+ ⋯ + 𝑎
𝑛 예시1) 3항 까지의 부분합 𝑠
3=
3𝑘=1𝑎
𝑘= 𝑎
1+ 𝑎
2+ 𝑎
3예시2) 수열
𝑎
𝑛= 𝑛 + 1
의 4항까지 부분합을 구하라 𝑎
𝑛= 𝑛 + 1 = 2, 3, 4, 5, … , 𝑎
𝑛
𝑠
4=
4𝑘=1𝑎
𝑘= 𝑎
1+ 𝑎
2+ 𝑎
3+ 𝑎
4= 2 + 3 + 4 + 5 = 14
4. 수열의 극한 무한급수에서 n항 까지의 부분합
𝑠
𝑛 𝑛𝑘=1𝑎
𝑘= 𝑎
1+ 𝑎
2+ 𝑎
3+ ⋯ + 𝑎
𝑛+ 𝑎
𝑛+1+ ⋯
부분합의 수열𝑠
𝑛= 𝑠
1, 𝑠
2, 𝑠
3, … , 𝑠
𝑛, …
𝑠
1=
1𝑘=1𝑎
𝑘= 𝑎
1𝑠
2=
2𝑘=1𝑎
𝑘= 𝑎
1+ 𝑎
2⋮
𝑠
𝑛=
𝑛𝑘=1𝑎
𝑘= 𝑎
1+ 𝑎
2+ 𝑎
3+ ⋯ + 𝑎
𝑛∴
𝑠
𝑛= 𝑠
1, 𝑠
2, 𝑠
3, … , 𝑠
𝑛, … = 𝑎
1, 𝑎
1+ 𝑎
2, 𝑎
1+ 𝑎
2+ 𝑎
3, … , 𝑎
1+ 𝑎
2+ ⋯ + 𝑎
𝑛, …
무한급수의 부분합의 수열𝑠
𝑛 이 극한값𝑠
로 수렴하여 일 때 (즉,lim
𝑛→∞𝑠
𝑛= 𝑠
), 무한급수 ∞𝑘=1𝑎
𝑘 는𝑠
로 수렴한다고 함. 이때의 극한값𝑠
를 무한급수의 값이라고 하며, 다음과 같이 표시한다.𝑠 =
∞𝑘=1𝑎
𝑘= 𝑎
1+ 𝑎
2+ 𝑎
3+ ⋯ + 𝑎
𝑛+ ⋯
무한급수의 부분합의 수열{𝑠
𝑛}
이 발산할 때, 이 무한급수는 발산한다고 함.𝑠
𝑛𝑠
1𝑠
2𝑠
3𝑠
𝑛7 예시) 어떤 무한급수 ∞k=1
𝑎
𝑘 의 부분합의 수열𝑠
𝑛 이 아래와 같을 때, 부분합의 3번째 항과 무한급수의 값을 구하라. 무한급수: ∞k=1𝑎
𝑘= 𝑎
1+ 𝑎
2+ 𝑎
3+ ⋯ + 𝑎
𝑛+ ⋯
부분합의 수열:𝑠
𝑛= 𝑠
1, 𝑠
2, 𝑠
3, … , 𝑠
𝑛, …
(1)𝑠
𝑛=
𝑛 𝑛+1=
부분합의 수열𝑠
𝑛 의 3번째 항:𝑠
3=
3 4 부분합의 수열𝑠
𝑛 의 극한값:lim
𝑛→∞𝑠
𝑛= lim
𝑛→∞ 𝑛 𝑛+1= lim
𝑛→∞ 1 1+ 𝑛1= 1
∴
무한급수는 수렴하고, 무한급수의 값은 1 ∞k=1𝑎
𝑘= 1
(2)𝑠
𝑛=
𝑛2 2𝑛+1=
부분합의 수열𝑠
𝑛 의 3번째 항:𝑠
3=
9 7 부분합의 수열𝑠
𝑛 의 극한값:lim
𝑛→∞𝑠
𝑛= lim
𝑛→∞ 𝑛2 2𝑛+1= lim
𝑛→∞ 𝑛 2+ 𝑛1= ∞
∴
무한급수는 발산하므로, 무한급수의 값은∞
∞k=1𝑎
𝑘= ∞
4. 수열의 극한𝑠
𝑛 : n항까지의 부분합 1 2,
2 3,
3 4,
4 5, … ,
𝑛 𝑛+1, …
1 3,
4 5,
9 7,
16 9, … ,
𝑛2 2𝑛+1, …
𝑘 𝑘=1 𝑘=1 𝑘 (1) ∞𝑘=1
