Ⅰ. 지수함수와 로그함수
Ⅱ. 삼각함수
Ⅲ. 수열
®
[수학Ⅰ]
내신・모의고사
대비
T
E
S
T
[정답 및 해설]
1.③ 2.12 3.② 4.② 5.③ 6.④ 7.① 8.961 9.② 10.51 11.:£6™4¡: 12.;3!1!; 본문 372쪽 S U M M A C U M L A U D E
내신・모의고사 대비
TEST
0
1
① 네제곱근 64는 › '∂64=›"ç8¤ ='8이다. (참) ② 6‹ =216이므로 6은 216의 세제곱근이다. (참) ③ x› =4에서 (x¤ -2)(x¤ +2)=0 ④ (x-'2)(x+'2)(x¤ +2)=0 ④ ∴ x=—'2, x=—'2i ④따라서 4의 네제곱근은 4개이다. (거짓) ④ x‹ =-27에서 x‹ +27=0 ④ (x+3)(x¤ -3x+9)=0 ④따라서 -27의 세제곱근 중 실수인 것은 -3이다. (참) ⑤ n이 2보다 큰 홀수일 때, -5의 n제곱근 중 실수인 것은 « 'ƒ-5=-« '5이다. (참) ③0
2
˚ "ça'a=øπ"ç'a 에서 (a;2#;);k!;=a;8!; = ∴ k=12 120
3
a>0, b>0일 때, a<bHjK afl <bfl 이므로 주어진 수를 모두 6제곱하면 ① 30 ② 6‹ _5=1080 ③ 5‹ _6=750 ④ 5¤ _6=150 ⑤ 6¤ _5=180 따라서 가장 큰 수는 ②이다. ② 1 18 3 122k
0
4
5;[!;=9의 양변을 x제곱하면 5=9≈ =3¤ ≈ 의 분자와 분모에 각각 3≈ 을 곱하면 = = = ②0
5
'x+ =3의 양변을 제곱하면 x+2+ =9 ∴ x+x—⁄ =7 x¤ +x—¤ =(x+x—⁄ )¤ -2=49-2=47 ∴ = = =6 ③0
6
2≈ =100에서 2≈ =10¤ ∴ 2=10;[@; yy ㉠ 5¥ =100에서 5¥ =10¤ ∴ 5=10;]@; yy ㉡ ㉠_㉡을 하면 2_5=10;[@;¥10;]@; ∴ 10¤{;[!;+;]!;}=10 따라서 2{;[!;+;]!;}=1이므로 ;[!;+;]!;=;2!; ④0
7
ㄱ. N(30, 8)=‹ ‚ '8=⁄ ‚ '2=N(10, 2) (참) ㄴ. N(a, 5)¥N(b, 5) =å '5 ∫ '5=5;a!;¥5;b!;=5 =N(ab, 5a+b )+N(ab, 5) (거짓) ㄷ. N(a, b)=å 'b=k에서 b=kå b¤ =(kå )¤ =k¤ å (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다. ① a+b 112ab 54 129 47+7 1117+2 x¤ +x—¤ +7 11341144x+x—⁄ +2 1 1x 1 11 'ßx 2 1 13 5-1 11345+1 3¤ ≈ -1 1134343¤ ≈ +1 3≈ -3—≈ 1134143≈ +3—≈ 3≈ -3—≈ 1134143≈ +3—≈01
지수내신 ・ 모의고사 대비 TEST
0
8
x;4!;=2‹ 이므로 x=2⁄ ¤ y;6!;=5¤ 이므로 y=5⁄ ¤ ∴ ‡"4√00x¤ ≈y=‡"√2› ¥5¤ ¥(√2⁄ ¤ )¤ ç¥5⁄≈ ¤ =(2¤ ° ¥5⁄ › );7!;=2› ¥5¤ 따라서 2› ¥5¤ 의 양의 약수의 합은 (1+2+2¤ +2‹ +2› )(1+5+5¤ )=31¤ =961[참고]a≈ b¥ (a, b는 서로 다른 소수, x, y는 자연수)의 양
의 약수의 총합 S는
S=(1+a+a¤ +y+a≈ )(1+b+b¤ +y+b¥ ) 961
0
9
x¤ 을 x-‹'3으로 나누었을 때의 나머지 R¡은 R¡=(‹'3)¤ =3;3@; x¤ 을 x-›"çR¡‹ 으로 나누었을 때의 나머지 R™는 R™=(›"çR¡‹ )¤ =(R¡;4#;)¤ =R¡;2#;=(3;3@;);2#;=3 x¤ 을 x-fi"çR™› 으로 나누었을 때의 나머지 R£은 R£=(fi"çR™› )¤ =(R™;5$;)¤ =R™;5*;=3;5*; x¤ 을 x-fl"çR£fi 으로 나누었을 때의 나머지 R¢는 R¢=(fl"çR£fi )¤ =(R£;6%;)¤ =R£;3%;=(3;5*;);3%;=3;3* ∴ = =3;3@;+;3*;-1-;5*;=3;1!5!;=⁄ fi"ç3⁄ ⁄ ∴ k=11 ②10
(A™);3!;_(A£);4!;_(A¢);5!;_y_(A∞º);5¡1; =(5;2!;);3!;_(5;3!;);4!;_(5;4!;);5!;_y_(5;5¡0;);5¡1; =5 + + +y+ =5{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+{;4!;-;5!;}+y+{;5¡0;-;5¡1;} =5;2!;-;5¡1;=5;1¢0ª2; (A∞¡);pQ;=(5;5¡1;);pQ;=5 이므로 5;1¢0ª2;=5 즉, ;1¢0ª2;= 이므로 ;pQ;=:¢2ª: 따라서 p=2, q=49이므로 p+q=51 51 q 144451p q 12451p q 124 51p 1 124444450¥51 1 1244¥5 1 1243¥4 1 1242¥3 3;3@;_3;3*; 144444444444 3_3;5*; R¡R¢ 14444444R™R£11
2å =x, 2∫ =y, 2ç =z라 하면 xyz=2å ¥2∫ ¥2ç =2å ±∫ ±ç =2—¤ =;4!; yy ㉠ x+y+z=2å +2∫ +2ç =:™8∞: 또한 + + =2—å +2—∫ +2—ç =:¡2ª:이므로 + + = =4(xy+yz+zx) (∵ ㉠) =:¡2ª: ∴ xy+yz+zx=:¡8ª: ∴ 4å +4∫ +4ç =x¤ +y¤ +z¤ =(x+y+z)¤ -2(xy+yz+zx) ={:™8∞:}¤ -2¥:¡8ª: =:£6™4¡: :£6™4¡:12
f(x)= = 이므로 f(p)= = 에서5(a¤ π -1)=a¤ π +1 ∴ a¤ π =;2#; f(q)= = 에서
6(a¤ œ -1)=a¤ œ +1 ∴ a¤ œ =;5&;
∴ f(p+q)= = ∴ f(p+q)= =114444113311 ;3!1!; 3 7 1¥1-12 5 1111143 7 1¥1+12 5 a2p¥a2q-1 1134444444444 a2p¥a2q +1 a2(p+q)-1 1134444444444 a2(p+q) +1 1 16 a¤ œ -1 113444a¤ œ +1 1 15 a¤ π -1 113444a¤ π +1 a¤ ≈ -1 113444a¤ ≈ +1 a≈ -a—≈ 11344444a≈ +a—≈ xy+yz+zx 11111444xyz 1 1z 1 1y 1 1x 1 1z 1 1y 1 1x
1.③ 2.③ 3.⑤ 4.343 5.A=1630, B=0.163 6.소수점 아래 셋째 자리 7.22 8.2 9.0 10.④ 11.;;™9º;; 12.27 본문 374쪽 S U M M A C U M L A U D E
02
로그0
1
모든 실수 x에 대하여 -kx¤ -2kx+4>0일 때, 즉 kx¤ +2kx-4<0이면 log™ (-kx¤ -2kx+4) 의 값이 존재한다. ⁄k=0일 때, 주어진 부등식은 0¥x¤ +0¥x-4<0이므로 모든 실 수 x에 대하여 성립한다. ¤k+0일 때, 주어진 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면 k<0이고, 이차방정식 kx¤ +2kx-4=0의 판별식 을 D라 하면 D<0이어야 하므로 ¤ =k¤ -k¥(-4)<0 ¤ k(k+4)<0 ∴ -4<k<0 ⁄, ¤에서 -4<k…0 따라서 정수 k는 -3, -2, -1, 0이므로 그 개수는 4 이다. ③0
2
log£5= =b에서 log™3=a이므로 log™5=ab ∴ log§º75= = ∴ log§º75= ∴ log§º75= ③0
3
x=2logª3-log£'3=log£3-;2!;log£3 =1-;2!;=;2!; 2ab+a 1 112+a+ab111112244 2log™5+log™3 113441111111542log™2+log™3+log™5 log™(5¤ _3) 1134411113log™(2¤ _3_5) log™75 1134442log™60 log™5 113444log™3 D 134 ∴ 3≈ =3;2!;='3y=2log£ +log£'∂162-;2!; log£32
y=log£{ }¤ +log£'∂162-log£ '∂32 y=log£;9*;+log£9'2-log£4'2 y=log£{;9*;_9'2_ } y=log£2 ∴ 3¥ =3log£2=2 ∴ 3x+y=3≈ ¥3¥ ='3¥2=2'3 ⑤
0
4
지수를 먼저 간단히 하면 log™25¥log∞'3¥(log£16-log£2) =2log™5¥ log∞3¥log£8 =2¥ ¥ ¥ ¥ =log™8=3 따라서 구하는 값은 7‹ =343 3430
5
logA=3.2122=3+0.2122 =log10‹ +log1.63 =log(10‹ _1.63) =log1630 ∴ A=1630 logB=-0.7878=-1+0.2122 =log10—⁄ +log1.63 =log(10—⁄ _1.63) =log0.163 ∴ B=0.163 A=1630, B=0.1630
6
log{ } 20 =20(log3-log4) =20(log3-2log2) =20(0.4771-2_0.3010) =-2.498=-3+0.502 3 14 log8 1125log3 log3 1125log5 log5 1125log2 1 12 1 12 1 1224'2 2'2 1223 2'2 1223내신 ・ 모의고사 대비 TEST 따라서 log{;4#;}20의 정수 부분이-3이므로 {;4#;}20은 소 수점 아래 셋째 자리에서 처음으로0이 아닌 숫자가 나타 난다. 소수점 아래 셋째 자리
0
7
log§xy=6, log§yz=9, log§xz=7이므로 log'6xyz=2log§xyz=log§x¤ y¤ z¤=log§xy+log§yz+log§xz
=6+9+7=22 22
0
8
log∞{1+ }+log∞ {1+ }+log∞ {1+ } +y+log∞{1+ }=log∞ +log∞ +log∞ +y+log∞
=log∞{ _ _ _y_ }
=log∞ =log∞25=2 2
0
9
2≈ =3¥ =6Ω =k로 놓으면 k>0또 xyz+0이므로 k+1
x=log™k, y=log£k, z=log§k
∴ = - -=log˚6-log˚2-log˚3 =log˚ =log˚1=0 0
10
⁄1…n<10일 때, f(n)=0 ¤10…n<100일 때, f(n)=1 ‹100…n<1000일 때, f(n)=2 ›1000…n…2020일 때, f(n)=3 ∴ f(1)+f(2)+f(3)+y+f(2020) =0_9+1_90+2_900+3_1021 =4953 ④ 6 112¥3 1 1y 1 1x 1 1z xy-yz-xz 1111123xyz 50 122 50 1249 5 14 4 13 3 12 50 1249 5 14 4 13 3 12 1 1249 1 14 1 13 1 1211
log£3<log£6<log£9, 즉 1<log£6<2이므로 log£6의 소수 부분은 a=log£6-1 log£9<log£10<log£27, 즉 2<log£10<3이므로 log£10의 소수 부분은 b=log£10-2 a+b=(log£6-1)+(log£10-2) =log£60-3=log£60-log£27 =log£ =log£ 이므로 3a+b=3log£;;™9º;;=12
65…logAfi ‚ <66이므로 65…50logA<66 13…10logA< , 26…20logA< ∴ 26…logA¤ ‚ <26.4 따라서 logA¤ ‚ 의 정수 부분이 26이므로 A¤ ‚ 은 27자리 의 수이다. ∴ k=27 27 132 1235 66 125 20 129 20 1 1229 20 129 60 12270
1
지수함수 y=f(x)의 그래프는 a의 범위에 따라 다음 그림과 같다. ㄱ. 임의의 실수 x¡, x™에 대하여 x¡+x™이면 f(x¡)+f(x™)이다. (참) ㄴ. 0<a<1일 때, x¡>x™이면 f(x¡)<f(x™)이다. (거짓) ㄷ. 지수함수 y=f(x)의 그래프의 점근선은 x축, 즉 직 선 y=0이다. (참)ㄹ. 0<a<1일 때, a의 값이 작을수록 y축에 가까워진 다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ②
0
2
y={ }/ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평 행이동하면 y={ } x-2 의 그래프이고, 이것을 y축에 대 하여 대칭이동하면 y={ } -x-2 의 그래프이다. 이때 y={ } -x-2 의 그래프가 점 (2, a)를 지나므로 a={ }11 -2-2=3› =81 81 3 1 13 1 13 1 13 1 13 O 1 x y y=f{x} y=f{x} a>1 0<a<1 1.② 2.81 3.⑤ 4.④ 5.⑤ 6.① 7.10 8.④ 9.23 10.4 11.-1<x<1 12.4 본문 376쪽 S U M M A C U M L A U D E03
지수함수0
3
주어진 그림에서 5a+1=2, 5b+1=4, 5c+1=8, 5d+1=16 5b+c-a+1 =5b+1+c+1-(a+1) =5b+1 _5c+1 ÷5a+1 =4_8÷2=16=5d+1 따라서 b+c-a+1=d+1이므로 b+c-a=d ⑤0
4
0<a<1이므로 -x¤ +2x+3이 최대일 때, y=a-x¤ +2x+3 은 최소가 된다. -x¤ +2x+3=-(x-1)¤ +4이므로 x=1일 때 최댓 값 4를 갖는다. 즉, a› = 이므로 a= (∵ 0<a<1) ④0
5
⁄0<x<1일 때, x-1…-x+5이므로 x…3 ∴ 0<x<1 ¤x=1일 때, 1‚ æ1› 이므로 부등식은 성립한다. ∴ x=1 ‹x>1일 때, x-1æ-x+5이므로 xæ3 ∴ xæ3 ⁄, ¤, ‹에 의하여 구하는 부등식의 해는 0<x…1또는 xæ3 ⑤0
6
처음 세균 수 A가 1시간 후에 2A가 되었으므로 A¥3˚ =2A ∴ 3˚ =2 3시간 후의 세균 수는A¥3‹ ˚ =A¥(3˚ )‹ =A¥2‹ =8A
따라서 세균 수는 3시간 후에 8배로 늘어난다. ① 1 1 12 1 1216
내신 ・ 모의고사 대비 TEST
0
7
⁄-1…x<0일 때, |x|=-x이므로 y={ }x+x={ }2x={ }x ¤0…x…1일 때, |x|=x이므로 y={ }x-x={ }0=1 즉, -1…x…1에서 함수 y={ } x-|x| 의 그래프는 다 음 그림과 같다. 따라서 x=-1일 때 최댓값은 { } -1 =9이고, 0…x…1일 때 최솟값은 1이므로 최댓값과 최솟값의 합 은 9+1=10 100
8
xx+y =yk yy ㉠ yx+y=xk yy ㉡ ㉠과 ㉡을 변끼리 곱하면 (xy)x+y =(xy)k xy+1이므로 x+y=k yy ㉢ ㉢을 ㉠에 대입하면 xk=yk k+0이므로 x=y yy ㉣ ㉢, ㉣을 연립하여 풀면 x= k, y= k ∴ '∂xy=æ≠ k¤ = k(∵ k>0) ④0
9
a=3≈ -9, b=9≈ -3이라 하면 주어진 조건에 의 하여 a‹ +b‹ =(a+b)‹ 이므로3a¤ b+3ab¤ =0, 3ab(a+b)=0
∴ a=0 또는 b=0 또는 a+b=0 1 1 12 1 14 1 12 1 12 1 19 O -1 1 1 9 x y y={;3!;}x-|x| 1 13 1 13 1 13 1 19 1 13 1 13 즉, 3≈ -9=0 또는 9≈ -3=0 또는 9≈ +3≈ -12=0 3≈ =9=3¤ 에서 x=2 9≈ =3=9;2!;에서 x= (3≈ +4)(3≈ -3)=0에서 x=1 ∴ x=2 또는 x= 또는 x=1 따라서 x의 값의 합은 이다. ∴ p+3q=2+3¥7=23 23
10
3x +3-x =X로 치환하면 3x >0, 3-x >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 3x+3-xæ 2"√3x¥3-x=2 ∴ Xæ2 yy ㉠ (단, 등호는 3x=3-x , 즉 x=0일 때 성립) 이때 9x+9-x =(3x +3-x )2 -2=X¤ -2이므로 주어진 방정식은 X¤ -2-X-10=0, X¤ -X-12=0 (X+3)(X-4)=0 ∴ X=4 (∵ ㉠) ∴ 3x+3-x =4 양변에 3x을 곱하면 32x -4¥3x +1=0 3x=A (A>0)로 치환하면 A¤ -4A+1=0 yy ㉡ 이므로 구하려는 3a+3b 의 값은 ㉡의 A에 대한 이차방 정식의 두 근의 합과 같다. ㉡의 판별식을 D라 하면 =2¤ -1>0이므로 실근이 존재한다. 또 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 합과 곱이 모두 양수이므로 3a>0, 3b >0을 만족한다. 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 3a +3b =4이다. 411
9x -a¥3≈ -b<0에서 (3≈ )¤ -a¥3≈ -b<0 3≈ =t(t>0)로 치환하면 t¤ -at-b<0 yy ㉠ 이때 -2<x<0에서 3—¤ <3≈ <3‚ 즉, ;9!;<t<1이고 이것이 ㉠의 해와 같으므로 D 154 7 12 1 12 1 12a=;9!;+1=;;¡9º;;, b=-{;9!;¥1}=-;9!; {;9!;} x -3a¥{;3!;}x-9b<0에서 [{;3!;} x ] 2 -;;¡3º;;¥{;3!;}x+1<0 {;3!;} x =S(S>0)로 치환하면 S¤ -;;¡3º;;S+1<0, 3S¤ -10S+3<0 (3S-1)(S-3)<0 ∴ ;3!;<S<3 즉, ;3!;<{;3!;}x<3에서 ;3!;<{;3!;} x <{;3!;}-1 이때 밑 ;3!;이 0<;3!;<1이므로 -1<x<1 -1<x<1
12
수중식물 A, B가 서식하는 수심을 각각 Am, Bm라 하면 수심 Am에서의 빛의 세기는 IÅ=0.25Iº 이고, 수심 Bm에서의 빛의 세기는 Iı=0.125Iº이다. 이를 주어진 관계식 I∂=Iº2-0.25d 에 대입하면 IÅ=0.25Iº=Iº2-0.25A 2-0.25A =0.25= =2-2 ∴A= =8 Iı=0.125Iº=Iº2-0.25B 2-0.25B =0.125= =2-3 ∴B= =12 따라서 수중식물 A와 B가 서식하는 수심의 차는 12-8=4(m)이다. ∴ x=4 4 -3 1122-0.25 1 18 -2 1122-0.25 1 140
1
주어진 그래프가 나타내는 식은 + =1 위의 식에서 x와 y 사이의 관계식을 구하면 2logx-log y=1, logx¤ -log y=log10 log =log10, =10 ∴ y= x¤ (단, x>0, y>0) 따라서 그래프로 나타내면 ④와 같은 개형을 갖는다. ④0
2
log™x=X로 치환하면 주어진 함수는 y=X¤ -2X+k=(X-1)¤ +k-1 이때 1…x…16이므로 0…X…4 X=1일 때 최솟값이 k-1이므로 k-1=4 ∴ k=5 따라서 구하는 최댓값은 X=4일 때 (4-1)¤ +5-1=13 130
3
밑의 조건에 의해 x>0, x+1, y>0, y+1 logÆ3=X, logÚ5=Y로 치환하면 위의 연립방정식을 풀면 X=-1, Y=;2!; X-2Y=-2 3X+Y=-;2%; ( { ª logÆ3-2logÚ5=-2 3logÆ3+logÚ5=-;2%; ( { ª ˙k logÆ3-logÚ25=-2 logÆ27+logÚ5=-;2%; ( { ª 1 14410 x¤ 14y x¤ 14y log y 1125-1 logx 11251 12 1.④ 2.13 3.② 4.1<x<2 5.15년 6.① 7.④ 8.5 9.④ 10.4 11.④ 본문 378쪽 S U M M A C U M L A U D E04
로그함수내신 ・ 모의고사 대비 TEST 즉, logÆ3=-1, logÚ5=;2!;이므로 x—⁄ =3, y;2!;=5 ∴ x=;3!;, y=25 따라서 a=;3!;, b=25이므로 3ab=3¥;3!;¥25=25 ②
0
4
진수의 조건에서 f(x)>0, g(x)>0 yy ㉠ 밑 이 0< <1이므로 log;2!;f(x)<log;2!;g(x)에서 f(x)>g(x) yy ㉡ ㉠, ㉡`에서 0<g(x)<f(x) 따라서 그래프에서 구하는 x의 값의 범위는 1<x<2 1<x<20
5
회사원의 현재의 연봉을 A만 원이라 하면 연봉 이 매년 5%씩 증가하므로 n년 후의 연봉은 A(1+0.05)« =A_1.05« (만 원) 이때 이 회사원의 연봉이 현재의 2배 이상이 되려면 A_1.05« æ2A ∴ 1.05« æ2 양변에 상용로그를 취하면 nlog1.05ælog2, 0.02næ0.3 ∴ næ =15 따라서 회사원의 연봉이 2배 이상이 되는 것은 최소 15년 후이다. 15년0
6
y=x-2+log£x 의 양변에 3을 밑으로 하는 로그를 취하면log£ y=(-2+log£x)log£x=(log£x)¤ -2log£x log£x=X, log£ y=Y로 치환하면
Y=X¤ -2X=(X-1)¤ -1 이때 정의역이 {x|2…x…9}이므로 log£2…X…2이다. 0.3 1130.02 1 12 1 12 0<log£2<1이므로 X=2, 즉 x=9일 때 최대이다. M=9-2+log£9=9‚ =1 또 X=1, 즉 x=3일 때 최소이다. m=3-2+log£3 =3—⁄ = ∴ M+3m=1+3¥ =2 ①
0
7
log;2!;a+log;2!;b+log;2!;c=log;2!;abc이고 밑 이 0< <1이므로 구하는 식이 최솟값을
가지는 때는 abc가 최댓값을 가질 때이다.
이때 a¤ >0, b¤ >0, c¤ >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
=a¤ +b¤ +c¤ æ3¥‹ "√a¤ b¤ cΩ¤ =3¥(abc);3@;
{단, 등호는 a=b=c= 일 때 성립} 즉, (abc);3@;… 이므로 abc…{ } ;2#; 따라서 abc의 최댓값이 { } ;2#; 이므로 log;2!;abc의 최솟 값은 log;2!;{ };2#; =;2#;log™12= (log™4+log™3) =3+ ④
0
8
조건 ㈎에서 ab=10› 의 양변에 상용로그를 취 하면 logab=log10› , loga+logb=4 또 조건 ㈏에서 loga¥logb=t¤ -3t이므로 loga, logb를 두 근으로 갖는 이차방정식을 만들면 x¤ -4x+t¤ -3t=0 이 이차방정식이 실근을 가지므로 판별식을 D라 하면 =4-t¤ +3tæ0, t¤ -3t-4…0 D 134 3 log 3 1 112 log 211133 3 12 1 1212 1 1212 1 1212 1 1212 '3 1236 1 14 1 12 1 12 1 13 1 13(t-4)(t+1)…0 ∴ -1…t…4 따라서 M=4, m=-1이므로 M-m=5 5
0
9
로그방정식에서 logx=t로 치환하면 t¤ -10t+5=0 지수방정식에서 { }≈ =s로 치환하면 s¤ -10s+5=0 이때 치환한 두 방정식이 같은 꼴이므로 두 이차방정식의 해가 같다. 로그방정식에서 (밑)>1이고 두 근 a, b가 a<b이므로 loga<logb 지수방정식 [{ }≈]2 -10¥{ }≈ +5=0의 두 근이 c, d 이므로 근과 계수의 관계에 의하여 { }c +{ }d =10 { }c { }d ={ } c+d =5 이때 0<(밑)<1, c<d이므로 { }c >{ }d ∴ loga={ }d , log b={ }c 따라서 옳은 것은 ④`이다. ④10
log;3!;(log£(log™x))æ0에서 밑 이 0< <1이므로 0<log£(log™x)…1 밑 3이 1보다 크므로 1<log™x…3 밑 2가 1보다 크므로 2<x…8 ∴ A={x|2<x…8} {113}≈ æ{191}‹ 에서 {113}≈ æ{131}fl 1 13 1 13 1 13 1 13 1 13 1 13 1 13 1 13 1 13 1 13 1 13 1 13 1 13 1 13 밑 이 0< <1이므로 x…6 ∴ B={x|x…6} 따라서 A;B={x|2<x…6}에서 집합 A;B의 원소 중 정수는 3, 4, 5, 6이므로 그 개수는 4이다. 411
주어진 부등식을 변형하면 x¤ +(logå3-logå5)x-logå3¥logå5…0 (x+logå3)(x-logå5)…0 ∴-logå3…x…logå5 (∵ a>1) 이때 x=logåa≈ 이므로logå …logåa≈ …logå5 ∴ …a≈ …5 (∵ a>1)
이때 a≈ >0, a—≈ = >0이므로 산술평균과 기하평균
의 관계에 의하여
a≈ +a—≈ =a≈ + æ2æ≠a≈ ¥ =2
{단, 등호는 a≈ = , 즉 a≈ =1일 때 성립} 따라서 a≈ +a—≈ 의 최댓값은 a≈ =5일 때이므로
M=5+ = 최솟값은 a≈ =1일 때이므로 m=2 ∴ M+m= +2=112236 ④ 5 26 125 26 125 1 15 1 14a≈ 1 14a≈ 1 14a≈ 1 14a≈ 1 13 1 13 1 13 1 13
내신 ・ 모의고사 대비 TEST l=rh에서 h= =2 ∴ S+h+r=9+2+3=14 14
0
4
=2+'3에서 1-tanh=(2+'3)(1+tanh) (3+'3)tanh=-1-'3 ∴ tanh= = =-이때 h가 제2`사분면의 각이고 tanh=- 이므로 다 음 그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가1 인 원을 그리면 각 h를 나타내는 동경과 이 원의 교점의 좌표는 {- , }이다. 따라서 삼각함수의 정의에 의하여 sinh= , cosh=- 이므로 sinh-cosh=0
5
450˘<h<520˘에서 450˘=360˘+90˘, 520˘=360˘+160˘이므로 90˘<h<160˘ 따라서 h는 제2`사분면의 각이므로sinh>0, cosh<0, tanh<0
∴ "√sin¤ ≈h +"√(cos√h-s√inh)Ω¤ -"√(tan√h+c√osh)Ω¤
=sinh-(cosh-sinh)+(tanh+cosh) =2 sin h+tan h ④ 1+'3 11152 1+'3 1 11112155 '3 122 1 12 1 -1 -1 O Ω 1 x y Â3 2
{
- ,12}
1 12 '3 122 1 12 '3 1 12 '3 -(1+'3) 1112331 '3('3+1) -1-'3 1112333+'3 1-tanh 111131+tanh 6 130
1
동경 OP를 음의 방향으로 180˘회전하면 제2` 사분면과 제3`사분면의 경계에 위치하게 된다.(좌표축은 어느 사분면에도 포함되지 않는다.) 그 다음 양의 방향으로 150˘ 회전하면 결국 동경은 원점 을 중심으로 보았을 때 음의 방향으로 30˘ 이동한 것이 된다. 따라서 동경은 제4`사분면에 위치한다. 제4사분면0
2
45˘를 일반각으로 나타내면 360˘_n+45˘ (단, n은 정수) ① 405˘=360˘_1+45˘ ② -1035˘=360˘_(-3)+45˘ ③ -315˘=360˘_(-1)+45˘ ④ -685˘=360˘_(-2)+35˘ ⑤ 765˘=360˘_2+45˘ 따라서 45˘와 동경의 위치가 다른 것은 ④이다. ④0
3
부채꼴의 둘레의 길이가 12이므로부채꼴의 호 의 길이를 l이라 하면 l=12-2r yy ㉠ S= rl이므로 이 식에 ㉠을 대입하면 S= r(12-2r)=-r¤ +6r =-(r-3)¤ +9 따라서 부채꼴의 최대 넓이 S는 9이고 이때의 r=3, l=12-2¥3=6이므로 1 12 1 12 1.제4`사분면 2.④ 3.14 4. 5.④ 6.③ 7.1 8.③ 9.제1`사분면, 제3`사분면, 제4`사분면 10.⑤ 11.④ 12.x¤ -2'6x+4=0 1+'3 11152 본문 380쪽 S U M M A C U M L A U D E05
삼각함수의 뜻0
6
+sin¤ h = +sin¤ h = +sin¤ h =1+cos¤ h+sin¤ h =2 ③0
7
4h-h=360˘_k+180˘ (k는 정수) 3h=360˘_k+180˘ ∴ h=120˘_k+60˘ 그런데 0˘<h<180˘이므로 h=60˘ ∴ tan(h-15˘)=tan(60˘-15˘) =tan45˘=1 10
8
삼각형에서 한 외각의 크기는 다른 두 내각의 크 기의 합과 같으므로 다음과 같이 각을 표시할 수 있다. 이때 네 번째 이등변삼각형 A™B™A£은 만들 수 있으므로 이등변삼각형의 밑각이 보다 작아야 한다. 즉, ∠B™A™A£=4h< ∴ h< 또 다섯 번째 이등변삼각형은 만들 수 없으므로 이등변삼 각형의 밑각이 보다 크거나 같아야 한다. 즉, ∠A£B™B=5hæ ∴ hæ ∴ 112210p …h<11p8 ③ p 1210 p 12 p 12 p 18 p 12 p 12 O A¡ A™ A£ A B B™ B¡ Ω Ω 2Ω 2Ω 3Ω 3Ω 4Ω 5Ω 4Ω O Ω 4Ω x y sin¤ h(1+cos¤ h) 111111214sin¤ h (1-cos¤ h)(1+cos¤ h) 111111112122sin¤ h 1-cos› h112123sin¤ h
0
9
'sƒin h 'cƒos h =-'sƒin h cƒos h에서sinh<0, cosh<0 (∵ sinh+0, cosh+0) 따라서 h는 제3`사분면의 각이므로 2np+p<h<2np+ p ∴ p+ < < p+ (단, n은 정수) 정수 k에 대하여 ⁄n=3k일 때 2kp+ < <2kp+ 이므로 는 제1`사분면의 각이다. ¤n=3k+1일 때 p+ < < p+ HjK 2kp+p< <2kp+ p 이므로 는 제3`사분면의 각이다. ‹n=3k+2일 때 p+ < < p+ HjK 2kp+ p< <2kp+ p 이므로 는 제4사분면의 각이다. 따라서 동경 OP'은 제1`사분면, 제3`사분면, 제4`사분면 에서 정의될 수 있다. 제1`사분면, 제3`사분면, 제4`사분면
10
부채꼴의 둘레의 길이는 두 반지름의 길이와 호 의 길이의 합과 같으므로 2r+rh로 나타낼 수 있다. 이때 S= r¤ h에서 r¤ h=2S이므로 산술평균과 기하평 균의 관계에 의하여 2r+rhæ2"2çr¤ ≈h =2'4ßS=4'Så (단, 등호는 2r=rh, 즉 h=2일 때 성립) 1 12 h 13 11 1456 h 13 5 13 p 12 2(3k+2) 111123 h 13 p 13 2(3k+2) 111123 h 13 7 16 h 13 p 12 2(3k+1) 111123 h 13 p 13 2(3k+1) 111123 h 13 p 12 h 13 p 13 p 12 2n 1353 h 13 p 13 2n 1353 3 12내신 ・ 모의고사 대비 TEST 따라서 부채꼴의 둘레의 길이의 최솟값은 4"çS이다. ⑤
11
3-sin¤ x+3-cos¤ x= + = 이때 분모를 간단히 하면 3sin¤ x¥ 3cos¤ x =3sin¤ x+cos¤ x =3 이고 분자를 제곱하면(3sin¤ x+3cos¤ x)¤ =(3sin¤ x-3cos¤ x)¤ +4¥3 =a¤ +12 이므로 분자를 a에 대한 식으로 나타내면 3sin¤ x+3cos¤ x ="a√¤ +12 ∴ 3-sin¤ x+3-cos¤ x = ④
12
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 sinh+cosh= yy ㉠ sinh cosh= ㉠의 양변을 제곱하면sin¤ h+2sinh cosh+cos¤ h= 1+'2k= ∴ k= = ∴ sinh cosh= = 이때 , 을 두 근으로 하는 이차방정식의 두 근의 합과 곱을 구하면 1 1133cosh 1 112sinh 1 14 '2 124 11 '2 '2 124 1 112'2 3 12 3 12 k 12 '2 '3 12 '2 "√a¤ +ç12 111143 3sin¤ x +3cos¤ x 1111133sin¤ x¥3cos¤ x 1 113 3cos¤ x 1 113 3sin¤ x + = = = =2'6, _ = =4 이므로 두 근의 합이 2'6, 두 근의 곱이 4이고 x¤ 의 계수 가 1인 x에 대한 이차방정식은 x¤ -2'6x+4=0 x¤ -2'6x+4=0 1 1111335sinh cosh 1 1133cosh 1 112sinh 4'3 1234 '2 '3 12 '2 111 14 sinh+cosh 1111133sinh cosh 1 1133cosh 1 112sinh
0
1
각 함수의 주기를 구하면 다음과 같다. ① =2'3 ② ='3 ③ = ④ =2'3 ⑤ = 이때 f(x)=f(x+'3)을 만족시키는 함수는 ② f(x)=tan px이다. ②0
2
함수 y=sinx는 정의역이 실수 전체의 집합이 고 치역이 집합 이며, 주기가 인 주기함수이다. 또한 이 함수의 그래프는 에 대하여 대칭인 특징을 가지고 있다. ㈎ { y|-1…y…1}, ㈏ 2p, ㈐ 원점0
3
⑴ 최댓값 : |4|=4, 최솟값 : -|4|=-4 주기 : =p ⑵ 최댓값 : |-1|=1, 최솟값 : -|-1|=-1 주기 : =8p ⑴ 4, -4, p ⑵ 1, -1, 8p 2p 1141 |1|4 2p 1124|-2| 원점 2p { y|-1…y…1} '3 1 1223 2'3 1153 2p 115 '3p 2p 1124 '3 12p3 4'3 1153 2p 1124 '3 12p2 p 1124 '3 12p3 2p 1124 '3 12p3 1.② 2.㈎ { y|-1…y…1}, ㈏ 2p, ㈐ 원점 3.⑴ 4, -4, p ⑵ 1, -1, 8p 4.4-'2-'6 5.③ 6.② 7.4- 8.3 9. 10.② 11.② 12. , 15p 6 p 16 5 14 p 16 본문 382쪽 S U M M A C U M L A U D E06
삼각함수의 그래프0
4
+ = + = + = + = + =(1-'2)+(3-'6) =4-'2-'6 4-'2-'60
5
+ = + = + = ③0
6
2sin¤ x+3cosx=2(1-cos¤ x)+3cosx=-2cos¤ x+3cosx+2<0 2cos¤ x-3cosx-2>0 (2cosx+1)(cosx-2)>0 cosx-2<0이므로 2cosx+1<0 ∴ cosx<-112 1-cos h 1 11tan h1111144 1 1125tanh -cosh 11223tanh sinh 11111tanh sinh p cosh {-tan1}4 11111113tanh p cos{1-h}2 11111113tan(p+h)sinh p p sin{1+h} tan{-1}2 4 1111111111tanh '3 11123 '2+'3 1 111115 -(1+'2) '3 -12 2 11111123 '2 '3 -{12+12}2 2 1 12 11111141 '2 -{1+12}2 2 -cos30˘ 111111113-cos45˘-cos30˘ sin30˘ 11111111-sin30˘-sin45˘ cos(180˘-30˘) 11111111111111234cos(180˘-45˘)+cos(180˘+30˘) sin(180˘-30˘) 11111111111sin(180˘+30˘)-sin45˘ cos150˘ 111111113cos135˘+cos210˘ sin150˘ 111111134sin210˘-sin45˘
내신 ・ 모의고사 대비 TEST ∴ p<x< p 따라서 a= p, b= p이므로 b-a= p ②
0
7
주어진 그래프의 최댓값이 4이므로|a|+2=4 ∴ a=2 (∵ a>0)
그래프의 주기는 { p- }_2=p이므로 p=p ∴ b=2 (∵ b>0) 한편 함수 y=2sin(2x-c)+2의 그래프는 점 { p, 0}을 지나므로 2sin { p-c}+2=0, sin { p-c}=-1 p-c=2kp+ p (단, k는 정수) ∴ c= p 그런데 - <c< 이므로 k=0, c=- 이다. ∴ a+b+c=2+2-∴ a+b+c=4-
4-0
8
그래프에서 함수 f(x)=acosbx의 주기가 _2=6이므로 =6 ∴ b=—1p 3 2p 123|b| 1+5 1122 p 16 p 1 16 p 16 p 16 p 12 p 12 -1-12k 1111256 3 12 4 13 4 13 4 13 2 13 2 125|b| p 16 2 13 2 1 13 4 13 2 13 4 13 2 13 y=cos`x π 2 π 32π 2π 4 3π 2 3π -1 1 1 2 - x y O∴ f(x)=acos {— }x=a cos x
(∵ f(x)는 짝함수) 이때 f(1)=acos = 이므로 (색칠된 도형의 넓이)=(5-1)¥ =6 ∴ a=3 3
0
9
f(x)=cos{x+ }+sin¤ {x+ p} =-sinx+(-cosx)¤ =cos¤ x-sinx =(1-sin¤ x)-sinx =-sin¤ x-sinx+1 =-{sinx+ }2 + 따라서 함수 f(x)는 sinx=- 일 때 최댓값 를 갖 는다.10
f(-x)=-f(x)를 만족하는 함수는 원점에 대 하여 대칭인 홀함수이다. 즉, 주어진 함수들 중에서 홀함 수가 아닌 것을 고르면 된다. ① f(-x)=sin(-2x)=-sin2x=-f(x) (참) ② f(-x)=|sin(-x)|=|-sinx| =|sinx|=f(x) (거짓) ③ f(-x)=tan(-x)=-tanx=-f(x) (참) ④ f(-x)=-tan(-2x)=tan2x=-f(x) (참) ⑤ f(-x)=-sinx-tanx=-f(x) (참) 따라서 성립하지 않는 것은 ②이다. ②11
y= = sin¤ x=t로 치환하면 0…t…1이고 1-sin¤ x 11113sin¤ x+2 cos¤ x 11113sin¤ x+2 5 14 5 1 14 1 12 5 14 1 12 3 12 p 12 a 12 a 12 p 13 p 13 p 13y= = = -1 따라서 이 함수의 그래프는 다음 그림과 같다. 따라서 t=0일 때 최댓값은 이고 t=1일 때 최솟값은 0이므로 최댓값과 최솟값의 합은 +0= ②
12
이차방정식 x¤ sinh+xcosh+ =0이 중근 을 가지므로 판별식을 D라 하면 D=cos¤ h-4sinh_ D=1-sin¤ h- sinh=0 2sin¤ h+3sinh-2=0 (2sinh-1)(sinh+2)=0 ∴ sinh= (∵ -1…sinh…1) ∴ h= 또는 h= p ,15p 6 p 16 5 1 16 p 1 16 y=sin`Ω y= π 6 π 2π 5 6π 1 2 -1 1 Ω y O 1 12 3 12 3 18 3 18 1 1 12 1 12 1 12 O -2 1 -1 t y 1 2 y=t+23 -1 3 113t+2 -(t+2)+3 1111123t+2 1-t 113t+2 1.2 2.a : b : c 3.② 4. 5.④ 6.p 7.④ 8.2'∂10 9. 10.12 11.6'5 12.'2 5'3 1154 6'∂37 11257 본문 384쪽 S U M M A C U M L A U D E07
삼각함수의 활용0
1
삼각형 ABC에서 A+B+C=p이므로 cos(B+C)=cos(p-A)=-cosA 따라서 주어진 식을 변형하면4cos¤ A=1, cosA= {∵ 0<A< }
∴ A= 따라서 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여 2R= = ∴ R=2 2
0
2
주어진 비를 간단히 나타내 보면 cosAtanA : cosBtanB : cosCtanC=cosA_ : cosB_ : cosC_
=sinA : sinB : sinC
이때 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하 면 사인법칙에 의하여
sinA : sinB : sinC= : :
=a : b : c a : b : c
0
3
삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의하여 cosA= = ∴ sinA="√1-cos¤ A (∵ 0˘<A<180˘) ∴ sinA=æ≠1-{≠115}¤ =1112'65144 ② 1 15 6¤ +5¤ -7¤ 1111252_6_5 c 132R b 13 2R a 13 2R sinC 1125cosC sinB 1125cosB sinA 1125cosA 2'3 114 '3 1252 a 111sinA p 13 p 12 1 12내신 ・ 모의고사 대비 TEST
0
4
삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의하여 BC”¤ =6¤ +8¤ -2_6_8_cos120˘=148 ∴ B’C’=2'∂37 각의 이등분선의 성질에 의하여 A’B’ : A’C’=B’D” : DC”이므로 BD” : D’C’=6 : 8=3 : 4 ∴ BD”= _B’C’ ∴ BD= _2'∂37=0
5
두 삼각형 ABC와 DBE의 넓이가 같으므로 ;2!;_AB”_AC”_sin 60˘=;2!;_BD”_DE”_sin 30˘ ;2!;_6_4_sin 60˘=;2!;_BD”_2'3 _sin 30˘ 6'3= _BD” ∴ BD”=12 ④0
6
삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R, 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면 S= 이고 S=18, abc=72이므로 18= ∴ R=1 따라서 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이가 1이므 로 이 원의 넓이는 p이다. 삼각형 ABC의 넓이가 18이므로 absinC=18 yy ㉠ 또한 삼각형의 세 변의 길이의 곱이 72이므로 abc=72 ∴ ab= yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 _ _sinC=18, = ∴ 1123c =2 sinC 1 12 sinC 1123c 72 12c 1 12 72 12c 1 12 72 1254R abc 1154R '3 1252 6'∂37 11257 6'∂37 11257 3 17 3 1123+4 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사 인법칙에 의하여 2R= =2 ∴ R=1 따라서 삼각형의 외접원의 반지름의 길이가 1이므로 이 원의 넓이는 p이다. p0
7
△ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 sinA= , sinB= yy ㉠ 주어진 식에 ㉠을 대입하면 a : b= : a_ =b_ , a¤ =b¤ ∴ a=b (∵ a>0, b>0) 따라서 삼각형 ABC는 a=b인 이등변삼각형이다. ④0
8
y축과 직선 y=2x-3의 교점 B의 좌표는 (0, -3)이고, 두 직선 y=x+1과 y=2x-3의 교점 C 의 좌표는 (4, 5)이므로 BC”="4√¤ +(√5+3≈)Ω¤ ='8ß0=4'5 이때 직선 y=x+1의 기울기는 1=tan45˘이므로 ∠CAB=90˘+45˘=135˘ 따라서 삼각형 ABC에 외접하는 원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여 =2R ∴ R= = = =2'1ß0 2'1ß00
9
코사인법칙을 이용하여 삼각형 BPQ의 각 변의 길이를 구해 보자.삼각형 ABP에서 AP”=1이고 ∠BAC=60˘이므로 4'5 115 '2 4'5 111132sin135˘ BC” 11132sinA BC” 1123sinA b 1242R a 1242R a 1242R b 1242R b 1242R a 1242R c 1123sinC
BP”¤ =3¤ +1¤ -2_3_1_cos60˘=7 ∴ BP”='7
삼각형 APQ에서 AQ”=2이고 ∠PAQ=60˘이므로 PQ”¤ =1¤ +2¤ -2_1_2_cos60˘=3 ∴ PQ”='3 또한 △ABP™△DBQ (SAS 합동)이므로 BP”=BQ” ∴ BQ”='7 오른쪽 그림과 같이 이등변삼각형 BPQ에서 PQ”의 중점을 H라 하면 삼각형 BPH에서 BH”=øπBP”¤ π-P∑H”¤¥ =æ7–-– = ∴ △BPQ= _PQ”_BH” = _'3_ =
10
△AMN= _△ABC이므로 _x_y_sin30˘= _ _6_4_sin30˘ ∴ xy=6 이때 x, y는 모두 양수이므로 x¤ +y¤ æ2"√x¤ y¤ =2xy=2_6=12 (단, 등호는 x=y='6일 때 성립) 따라서 x¤ +y¤ 의 최솟값은 12이다. 1211
선분 BD를 그어 사각형을 2개의 삼각형으로 나 누면 삼각형 BCD에서 코사인법칙에 의하여 BD”¤ =5¤ +3¤ -2_5_3_cos 120˘=49 ∴ BD”=7 삼각형 ABD의 넓이를 헤론의 공식을 이용하여 구하면 s=11119+7+4=10이므로 2 1 12 1 14 1 12 1 14 5'3 114 5'3 1 1141 5 12 1 12 1 12 5 12 3 14 Â3 2 Â7 Â7 B P Q H △ABD="1√0(10√-9)√(10√-7)√(10ç-≈4) =6'5 6'512
사각형 ABCD의 두 대각선의 길이를 p, q (p>0, q>0)라 하면 두 대각선의 길이의 합이 4이므로 p+q=4 이고, 두 대각선이 이루는 예각의 크기가 45˘이므로 사각 형 ABCD의 넓이를 S라 하면 S= pqsin45˘= _pq_ = pq 이때 p>0, q>0이고 p+q=4이므로 산술평균과 기하 평균의 관계에 의하여 æ'∂pq, æ'∂pq ∴ 0<pq…4 (단, 등호는 p=q=2일 때 성립) 따라서 S= pq… _4='2이므로 사각형 ABCD의 넓이의 최댓값은 '2이다. '2 '2 1254 '2 1254 4 12 p+q 12152 '2 1254 '2 1252 1 12 1 12내신 ・ 모의고사 대비 TEST ∴ a™=2_3=6=a, a£=2_3¤ =18=b, a¢=2_3‹ =54=c ∴ a+b+c=78 2와 162의 등비중항이 b이므로 b¤ =2¥162=324 ∴ b=18 (∵ b>0) 2와 18의 등비중항이 a이므로
a¤ =2¥18=36 ∴ a=6 (∵ a>0) 18과 162의 등비중항이 c이므로 c¤ =18¥162=2916 ∴ c=54 (∵ c>0) ∴ a+b+c=78 78
0
5
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a™=a+d=4 yy ㉠ a§=a+5d=28 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, d=6 따라서 첫째항부터 제20항까지의 합은 =1100 ④0
6
등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r, 첫째항 부터 제n항까지의 합을 S«이라 하면 S∞= =5 yy ㉠ S¡º= S¡º= =20 yy ㉡ ㉡÷㉠을 하면 rfi +1=4 ∴ rfi =3 따라서 수열 {a«}의 첫째항부터 제20항까지의 합 S™º은 S™º= = S™º=20(3¤ +1)=200 200 a(r⁄ ‚ -1){(rfi )¤ +1} 1111111125r-1 a(r¤ ‚ -1) 111154r-1 a(rfi -1)(rfi +1) 11111112r-1 a(r⁄ ‚ -1) 111154r-1 a(rfi -1) 11115r-1 20{2¥(-2)+(20-1)¥6} 11111111111320
1
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a™+a¡º=a+d+a+9d =2a+10d=38 yy ㉠ a§+a¡∞=a+5d+a+14d =2a+19d=65 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, d=3 ∴ a™¶=4+(27-1)¥3=82 ⑤0
2
a™+aª=0이므로 (a+d)+(a+8d)=0 ∴ 2a+9d=0 yy ㉠ 또 a¢=-2이므로 a+3d=-2 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-6, d= ∴ ad=-8 ④0
3
등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r(r는 실 수)라 하면 a™=ar=6 yy ㉠ a∞=ar› =48 yy ㉡ ㉡÷㉠을 하면 r‹ =8 ∴ r=2 (∵ r는 실수) r=2를 ㉠에 대입하면 2a=6 ∴ a=3 ∴ a¶=3¥2fl =192 ③0
4
주어진 등비수열의 일반항을 a«, 공비를 r(r>0)라 하면 첫째항이 2, 제5항이 162이므로 2r› =162, r› =81 ∴ r=3 (∵ r>0) 4 13 1.⑤ 2.④ 3.③ 4.78 5.④ 6.200 7.46 8.① 9.3 10.-8 11.1 12.8217 13.④ 14.제9항 본문 386쪽 S U M M A C U M L A U D E08
등차수열과 등비수열0
7
S«=2n¤ -n-1에서 ⁄n=1일 때, a¡=S¡=2¥1¤ -1-1=0 ¤næ2일 때, a«=(2n¤ -n-1)-{2(n-1)¤ -(n-1)-1} =4n-3 yy ㉠ 이때 a¡=0은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 다르므로 a¡=0, a«=4n-3 (næ2) ∴ a¡+a∞+a•=0+17+29=46 460
8
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a¶=a+6d=-32 yy ㉠ a¡º=a+9d=-23 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-50, d=3 ∴ a«=-50+(n-1)¥3=3n-53 3n-53>20에서 3n>73 ∴ n>24.3y 따라서 처음으로 20보다 커지는 항은 제25항이다. ①0
9
sinh, , cosh가 이 순서대로 등비수열을 이 루므로{ }¤ =sinh cosh ∴ sinh cosh=
∴ 2tanh+ =2{ + } =2_ = = =3 3
10
세 실근이 등비수열을 이루므로 세 근을 a, ar, ar¤ 으로 놓으면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 2 142 13 2 111123sinh cosh sin¤ h+cos¤ h 111111sinh cosh cosh 121sinh sinh 121cosh 2 121tanh 2 13 '6 1253 '6 1253 a+ar+ar¤ =3에서 a(1+r+r¤ )=3 yy ㉠ a¥ar+a¥ar¤ +ar¥ar¤ =-6에서 a¤ r(1+r+r¤ )=-6 yy ㉡ a¥ar¥ar¤ =k에서 (ar)‹ =k yy ㉢ ㉡을 ㉠으로 나누면 =-2 ∴ ar=-2 ar=-2를 ㉢에 대입하면 k=(ar)‹ =-8 -811
점 P와 점 Q의 좌표를 구하면 P{ , }, Q { , } 세 점 P, B, Q의 x좌표가 이 순서대로 등차수열을 이루 므로 2a= + ∴ a=2 세 점 P, B, Q의 y좌표가 이 순서대로 등비수열을 이루 므로 b¤ = _ , b¤ =1 ∴ b=-1 (∵ 두 점 A, B는 서로 다른 점) ∴ a+b=1 112
3의 배수를 3k(k는 자연수)라 하면 200<3k<300 ∴ 66.6y<k<100 이때 k는 자연수이므로 k=67, 68, 69, y, 99 따라서 구하는 합은 3¥67, 3¥68, y, 3¥99의 합이고, 이 수열의 첫째항은 3¥67=201, 끝항은 3¥99=297, 항수 는 99-67+1=33이므로 =8217 8217 33(201+297) 111111352 3b-1 1112 3b+1 1114 3a-2 1112 3a+2 1114 3b-1 1112 3a-2 1112 3b+1 1114 3a+2 1114 a¤ r(1+r+r¤ ) 1111112a(1+r+r¤ )내신 ・ 모의고사 대비 TEST
13
등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 S«= =30 yy ㉠ S™«= = S™«=40 yy ㉡ ㉡÷㉠을 하면 r« +1= ∴ r« = ∴ S£«= = ∴ S£«=30(r¤ « +r« +1) (∵ S«=30) ∴ S£«=30{ + +1} ∴ S£«=30_ = ④14
첫째항이 2, 공비가 이므로 첫째항부터 제n항 까지의 합을 S«이라 하면 S«= =4-4{ } n =4-{ } n-2 S«>3.99에서 4-{ } n-2 >3.99 { } n-2 <0.01 양변에 상용로그를 취하면 log{ } n-2 <log0.01, -(n-2)log2<-2 ∴ n-2> = =6.6y ∴ n>8.6y 따라서 제9항까지의 합이 처음으로 3.99보다 커진다. 제9항 2 11230.301 2 112log2 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 2[1-{;2!;}«] 1111141 1-1 2 1 12 130 1 1131 13 129 1 13 1 19 a(r« -1)(r¤ « +r« +1) 1111111112r-1 a(r‹ « -1) 11112r-1 1 13 4 13 a(r« -1)(r« +1) 111111125r-1 a(r¤ « -1) 111134r-1 a(r« -1) 11113r-1 1.⑤ 2.④ 3.④ 4.② 5.⑤ 6.③ 7.4 8.778 9.③ 10.③ 11.983 12.③ 본문 388쪽 S U M M A C U M L A U D E09
여러 가지 수열의 합0
1
a˚=12, a˚¤ =20이므로 (a˚+3)¤ = (a˚¤ +6a˚+9)= a˚¤ +6 a˚+ 9 =20+6¥12+9¥10 =182 ⑤
0
2
두 수열 {a«}, {b«}이 등차수열이므로 {a«+b«} 도 등차수열이다. 수열 {a«+b«}의 첫째항은 a¡+b¡=6이고 제10항은 a¡º+b¡º=24이므로 a˚+ b˚= (a˚+b˚) = =150 ④0
3
a˚=a¡+a™+a£+y+a¡º =(a¡+a™)+(a£+a¢)+y+(aª+a¡º) = (a™˚–¡+a™˚) =5¤ +3¥5 =40 ④0
4
(2k¤ -3k-5) =2 k¤ -3 k-¡105 k=1 10 ¡ k=1 10 ¡ k=1 10 ¡ k=1 5 ¡ k=1 10 ¡ k=1 10(6+24) 111112 10 ¡ k=1 10 ¡ k=1 10 ¡ k=1 10 ¡ k=1 10 ¡ k=1 10 ¡ k=1 10 ¡ k=1 10 ¡ k=1 10 ¡ k=1 10 ¡ k=1=2¥ -3¥ -5¥10 =770-165-50 =555 ②
0
5
k(k+1)(k+2) = (k‹ +3k¤ +2k) = k‹ +3 k¤ +2 k =[ ]¤ +3¥ +2¥ = = = = ⑤0
6
+ +y+ = = { - } = [{1- }+{ - } +y+{ - }] = {1- } =11111n1 ③ 2n+1 1 1112n+1 1 12 1 1112n+1 1 1112n-1 1 15 1 13 1 13 1 12 1 1112k+1 1 1112k-1 n ¡ k=1 1 12 1 111111124(2k-1)(2k+1) n ¡ k=1 1 111111124(2n-1)(2n+1) 1 113¥5 1 111¥3 n(n-1)(n+1)(n+2) 1 111111111111411111112244 n(n-1)(n¤ +3n+2) 11111111114 n(n-1){n(n-1)+2(2n-1)+4} 11111111111111124 n¤ (n-1)¤ +2n(n-1)(2n-1)+4n(n-1) 1111111111111111124 n(n-1) 111152 n(n-1)(2n-1) 111111116 n(n-1) 111152 n-1 ¡ k=1 n-1 ¡ k=1 n-1 ¡ k=1 n-1 ¡ k=1 n-1 ¡ k=1 10¥11 1112 10¥11¥21 1111260
7
log£{1+ } = log£=log£ +log£ +log£ +y+log£ =log£{ _ _ _ _y_ } =log£81 =log£3› =4 4
0
8
a˚=n¤ -n=S«이라 하면 ⁄n=1일 때, a¡=S¡=0 ¤næ2일 때, a«=n¤ -n-{(n-1)¤ -(n-1)} =2n-2 yy ㉠ 이때 a¡=0은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같다. ∴ a«=2n-2 따라서 a™«=2¥2n-2=4n-2, a£«=2¥3n-2=6n-2이므로 a™˚+ a£˚ = (4k-2)+ (6k-2) = (4k-2)+ (6k-2)- (6k-2) =4¥ -2¥11+6¥ -2¥15 -6¥ +2¥7 =264-22+720-30-168+14 =778 7780
9
log™a˚=log™a¡+log™a™+y+log™a¡™ =log™(a¡a™a£ya¡™) 12 ¡ k=1 7¥8 1152 15¥16 11152 11¥12 11152 7 ¡ k=1 15 ¡ k=1 11 ¡ k=1 15 ¡ k=8 11 ¡ k=1 15 ¡ k=8 11 ¡ k=1 n ¡ k=1 81 1280 5 14 4 13 3 12 2 11 81 1280 4 13 3 12 2 11 k+1 112k 80 ¡ k=1 1 1k 80 ¡ k=1내신 ・ 모의고사 대비 TEST 200=2‹ _5¤ 이므로 200의 양의 약수를 표로 나타내면 다음과 같다. 따라서 200의 모든 양의 약수들의 곱은 (2‚ ¥2⁄ ¥2¤ ¥2‹ )‹ ¥(5‚ ¥5⁄ ¥5¤ )› =2⁄ ° ¥5⁄ ¤ 이므로 log™a˚=log™(a¡a™a£ya¡™) =log™(2⁄ ° ¥5⁄ ¤ ) =18log™2+12log™5 =18+12(log™10-log™2) =18+12{ -1} =18+ -12 =46 ③
10
제n행에는 n개의 n¤ 이 있다. 따라서 제n행에 나열된 수의 합은 n_n¤ =n‹ 이므로 제1행부터 제n행까지의 합은 k‹ =[ ]2 [ ]2 >10000에서 >100 n=13일 때, =91 n=14일 때, =105 따라서 제1행부터 제14 행까지 더했을 때, 전체 수의 총 합이 처음으로 10000을 넘는다. ③ 14¥15 11152 13¥14 11152 n(n+1) 111132 n(n+1) 111132 n(n+1) 111132 n ¡ k=1 12 110.3 1 1125log2 12 ¡ k=1 2‚ 2⁄ 2¤ 2‹ 2‚ ¥5‚ 2⁄ ¥5‚ 2¤ ¥5‚ 2‹ ¥5‚ 2‚ ¥5⁄ 2⁄ ¥5⁄ 2¤ ¥5⁄ 2‹ ¥5⁄ 2‚ ¥5¤ 2⁄ ¥5¤ 2¤ ¥5¤ 2‹ ¥5¤ 5‚ 5⁄ 5¤11
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 (-1)˚ a˚ =-a¡+a™-a£+a¢-a∞+a§-a¶+a•-aª+a¡º =(a™-a¡)+(a¢-a£)+(a§-a∞) +(a•-a¶)+(a¡º-aª) =5d=50 ∴ d=10 a™-a¡=10에서 a¡=3-10=-7이므로 a¡ºº=-7+(100-1)¥10=983 98312
` = = [ - ] = [ - ] ={ - }+{ - }+{ - } +y+{ - }+{ - } =1-112233441 ③ 21! 1 1121! 1 1120! 1 1120! 1 1119! 1 134! 1 133! 1 133! 1 132! 1 132! 1 131! 1 1111(k+1)! 1 12k! 20 ; k=1 1 1111(k+1)! k+1 1111(k+1)! 20 ; k=1 k+1-1 111234(k+1)! 20 ; k=1 k 1111(k+1)! 20 ; k=1 10 ¡ k=11.34 2.⑤ 3.413 4.48 5.⑤
6.- 7.③ 8.④ 9.30
10.제11항 11.② 12.③ 13.②
14.㈎ 2 ㈏ a+b ㈐ ab˚ +a˚ b ㈑ a˚ ±⁄ +b˚ ±⁄ 1 1210 본문 390쪽 S U M M A C U M L A U D E
10
수학적 귀납법0
1
a£=a™+a¡=1+1=2 a¢=a£+a™=2+1=3 a∞=a¢+a£=3+2=5 a§=a∞+a¢=5+3=8 a¶=a§+a∞=8+5=13 a•=a¶+a§=13+8=21 ∴ aª=a•+a¶=21+13=34 340
2
수열 {a«}은 첫째항이 4이고 공차가 2인 등차수 열이다. ∴ a¡§=4+15¥2=34 ⑤0
3
a«≠™-a«≠¡=a«≠¡-a«이므로 수열 {a«}은 등차 수열이고 a¡=-3, a™-a¡=2-(-3)=5 이므로 첫째항이-3이고 공차가 5이다. ∴ a«=-3+(n-1)¥5=5n-8 ∴ a˚= (5k-8) =5 k- 8 =5¥ -8¥14 =413 4130
4
수열 {a«}은 첫째항이 3, 공비가 2인 등비수열이 다. ∴ a∞=3¥2› =48 14¥15 11152 14 ¡ k=1 14 ¡ k=1 14 ¡ k=1 14 ¡ k=1 a™=2a¡=2¥3=6 a£=2a™=2¥6=12 a¢=2a£=2¥12=24 이므로 a∞=2a¢=2¥24=48 480
5
a¡=6, a«≠¡=a«+n이므로 양변에 n 대신 1, 2, 3, y, 12를 차례로 대입하여 변끼리 더하면 a™=a¡+1 a£=a™+2 a¢=a£+3 ⋮ +>≤ a¡£≤=a¡™≤+12 ≤ ≤ ≤ a¡£=a¡+1+2+3+y+12 a¡£=6+ k=6+ a¡£=6+78=84 ⑤0
6
a«≠¡=a«+ , 즉 a«≠¡=a«+ - 의 양변에 n 대신 1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입하여 변끼리 더하면 a™=a¡+ -a£=a™+ -a¢=a£+ -⋮ +}a¡º=aª+ -a¡º=a¡+1- =-1+1- =-0
7
⁄n=1일 때, (좌변)=2, (우변)=1_(1+1)=2 이므로 ㉠이 성립한다. 1 1210 1 1 12210 1 1210 1 1210 1 1210 1 19 1 14 1 13 1 13 1 12 1 12 1 11 1 1133n+1 1 1n 1 11113n(n+1) 12¥13 11152 12 ¡ k=1내신 ・ 모의고사 대비 TEST ¤n= 일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 2+4+6+8+y +2k=k(k+1) 이 식의 양변에 을 더하면 2+4+6+8+y +2k+2(k+1) =k(k+1)+2(k+1) = 따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다. ⁄, ¤에 의하여 ㉠은 모든 자연수 n에 대하여 성립한 다. ③
0
8
⁄n= 일 때, (좌변)æ(우변)이므로 ㉠이 성립한다. ¤n=k (kæ2)일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 + +y+ æ 양변에 을 더하면 + +y+ + æ + = > 따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다. ⁄, ¤에 의하여 ㉠은 næ2인 모든 자연수 n에 대하여 성립한다. ④0
9
이전 항이 10의 배수이면 10으로 나누고 10의 배수가 아니면 1을 더한다. a¡=2019, a™=2020,a£=202, a¢=203, y, a¡¡=210, a¡™=21, a¡£=22, a¡¢=23, y, a™¡=30, a™™=3, a™£=4, a™¢=5, y, a™ª=10, a£º=1 따라서 a«=1을 만족시키는 최소의 자연수 n의 값은 30 이다. 30 k 1133k+2 k 1133k+1 1 1133k+1 k-1 1133k+1 1 1133k+1 1 1k 1 13 1 12 1 1133k+1 k-1 1133k+1 1 1k 1 13 1 12 2 (k+1)(k+2) 2(k+1) k
10
a«≠¡=a«¤ 에서 a™=a¡¤ =2¤ a£=a™¤ =(2¤ )¤ =2› =22¤ a¢=a£¤ =(2› )¤ =2° =22‹ ⋮ 이므로 a«=22« —⁄ 2⁄ ‚ ¤ › =22⁄ ‚ 이므로 n-1=10 ∴ n=11 따라서 제11항이다. 제11항11
a«≠¡= 의 양변에 역수를 취하면 = = +2 =b«으로 놓으면 b«≠¡=b«+2이고, b¡= =3이 된다. 따라서 수열 {b«}은 첫째항이 3, 공차가 2인 등차수열이 므로 b«=3+(n-1)¥2=2n+1 ∴a«= = ∴aªª= = ②12
a¡+a™+y+a«=S«이라 하면 a«≠¡= S« ∴S«= næ2일 때, S«–¡= 이므로 S«-S«–¡=a«=na«≠¡=(n+2)a« ∴a«≠¡= a« (næ2)
yy`㉠
a«≠¡= (a¡+a™+y+a«)에 n=1을 대입하면 a™=3a¡이고 이것은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
a«≠¡=1133n+2a« (næ1) yy`㉡
n 3 1n n+2 1133n na«≠¡-(n-1)a« 1111111233 (n-1)a« 1111233 na«≠¡ 11233 3 1n 1 1 1223344199 1 11112¥99+1 1 112452n+1 1 13b« 1 13a¡ 1 12a« 1 12a« 2a«+1 1112a« 1 115a«≠¡ a« 11122a«+1
㉡의 양변에n 대신 1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입하여 변끼리 곱하면 a™= a¡ a£= a™ a¢= a£ ⋮ _}a¡º= aª
a¡º= ¥ ¥ ¥y¥ ¥ a¡
= ¥1=55 ③
13
주어진 식에 의하여 a«≠¡= a«+ 2« 이다. b«= a«이라 하면 a«= b«에서 a«≠¡= b«≠¡이므로 b«≠¡= ¥ b«+ 2« b«≠¡= b«+ 2« ∴b«≠¡=b«+ (næ1) b¡= a¡=0이므로 b«≠¡=b«+2« 의 양변에 n 대신 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하면 b™=b¡+2 b£=b™+2¤ b¢=b£+2‹ ⋮ +>b«=b«–¡+2« —⁄ b«=b¡+2+2¤ +y+2« —⁄ =b¡+ =b¡+ =2« -2 (næ2) 2« -2 2(2« —⁄ -1) 111112-1 1-1 11351 2« n+1 1135n n+1 1135n n+1 1135n n+1 1133n n 1135n-1 (n+1)(n-1) 1111112n¤ n+1 1135n n+1 1133n n 1135n-1 n-1 1133n n+1 1133n (n+1)(n-1) 1111112n¤ 10¥11 1111¥2 11 1449 10 1448 5 13 4 12 3 11 11 1449 5 13 4 12 3 11 따라서 b«=2« -2 (næ1)이므로 a«=[
2 (n=1) a«= _( ) (næ2) ∴ f(n)=2« , g(n)=2« -2 ∴ f(6)+g(9)=2fl +(2· -2) =64+(512-2) =574 ②14
⁄n= 일 때,(a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab>a¤ +b¤
이므로 ㉠이 성립한다.
¤n=k (kæ2)일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 (a+b)˚ >a˚ +b˚
양변에 ( )를 곱하면
(a+b)˚ ±⁄ >(a˚ +b˚ )(a+b) =a˚ ±⁄ +b˚ ±⁄ + >
따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다.
⁄, ¤에 의하여 ㉠은 næ2인 모든 자연수 n에 대하여 성립한다.
㈎ 2 ㈏ a+b ㈐ ab˚ +a˚ b ㈑ a˚ ±⁄ +b˚ ±⁄ a˚ ±⁄ +b˚ ±⁄ ab˚ +a˚ b a+b 2 2« -2 n 1133n-1