생명과학을 위한 수학 2 기말고사 (2019년 12월 7일 오후 1:00–3:00) 학번: 이름: 모든 문제의 답에 풀이과정을 명시하시오. (총점 200점) 문제 1. [15점] 다음 물음에 답하시오. (답만 쓰시오.) (a) (5점) A = 1 0 5 3 2 0 4 2 0 0 3 0 4 2 6 5 의 행렬식을 구하시오. (b) (10점) B = 1 2 −3 2 5 −1 3 6 −8 ! 의 역행렬을 구하시오. 문제 2. [15점] 다음 선형방정식계에 대하여 아래 물음에 답하시오. x + y + 2z − 5w = 3 2x + 5y − 2z − 9w = −3 2x + y − z + 3w = −11 x − 3y + 2z + 7w = −5 (a) (10점) 행렬방정식 Ax = b 꼴로 나타내고, 가우스소거법을 이 용하여 선형방정식계의 일반해를 모두 구하시오. (b) (5점) 행렬 A의 열벡터 1 2 2 1 , 1 5 1 −3 , 2 −2 −1 2 , −5 −9 3 7 은 일차독립인지 일차종속인지 판단하고 그 근거를 밝히시오. 문제 3. [15점] 다음 명제가 참인지 거짓인지 판단하시오. 참이면 증 명하고, 거짓이면 반례를 드시오.
(a) (5점) 정사각행렬 A에 대하여, A2= A이면 A = O 또는 A = I 이다.
(b) (5점) 정사각행렬 A에 대하여, det(−A) = − det(A) 이다. (c) (5점) 벡터 a, b, c ∈ R3에 대하여 (a × b) × c = a × (b × c) 이다. 문제 4. [35점] R4의 열벡터가 다음과 같이 주어져 있다. v1= 1 −2 0 0 , v2= 0 1 −2 0 , v3= 0 0 1 −2 , v4= −2 0 0 1 , x = 2 0 1 9 4 × 4 행렬 A 에 대하여 벡터 v1, v2, v3, v4가 각각 특성치 r = 3, 1, − 1, − 2 에 대응하는 특성벡터라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (a) (10점) 벡터 Av1, Av2, Av3, Av4가 일차독립인지 판단하고 그 근거를 밝히시오. (b) (5점) 행렬 P =v1v2v3v4 라고 할 때, 행렬 P 를 이용하여 행렬 A를 나타내시오. (c) (10점) A−1을 I4, A, A2, · · · 의 일차결합으로 나타내시오. (d) (10점) x 를 v1, v2, v3, v4의 일차결합으로 나타내어, A2019x 를 구하시오. 문제 5. [30점] 어떤 물고기는 치어를 낳으며 3단계의 나이구조를 갖 는다고 하자. 치어인 1단계, 1년짜리 성어인 2단계, 2년짜리 성어인 3 단계에서의 생존률은 각각 10%, 60%, 0%이다. 이 물고기 중 암컷은 1단계에서는 새로운 치어를 낳지 못하지만 2단계, 3단계에서는 각각 평균 600마리, 1200마리의 치어를 낳는다고 가정하자. 태어난 치어 의 암컷과 수컷의 성비는 1:1이고 각 단계별로 성비가 유지되고 모든 단계는 1년 단위로 이루어진다고 가정할 때, 다음을 구하시오. (a) (10점) 이 물고기 암컷의 모형을 나타내는 점화계를 구하고 레 슬리 행렬을 구하시오. (b) (10점) 시간이 충분히 흘렀을 때 이 물고기 암컷의 각 단계간 구성비율은 어떻게 되는지 쓰시오. (c) (5점) 갓 태어난 암컷 치어가 평생 낳는 암컷 치어의 개체수의 기댓값(평균)을 구하시오. (d) (5점) 시간이 충분히 흘렀을 때 암컷 치어의 수는 매년 몇 배로 변하는지 설명하시오. h 연습용 여백 i 1
생명과학을 위한 수학 2 기말고사 학번: 이름: 문제 6. [30점] 항아리에 항상 2개의 공이 있다. 공의 색은 흰색과 검 은색 중 하나이다. 각 단계에서 한 개의 공을 무작위로 꺼내 새 공으로 바꾸어 넣는데, 이때 새 공이 꺼낸 공과 같은 색일 확률이 0.6이다. 이 러한 시행을 n번 반복한 후 항아리에 있는 흰색 공의 수를 Xn이라 할 때 다음 물음에 답하시오. (a) (10점) 마르코프 연쇄 (X0, X1, X2, · · · )의 3 × 3 추이행렬 M 을 구하시오. (b) (10점) 처음 항아리의 2개의 공이 모두 흰색이었다면, 3번째 꺼 낸 공이 흰색일 확률을 구하시오. (c) (10점) 이러한 시행을 무수히 많이 반복한 후 항아리 안에 흰색 공이 2개일 확률을 구하시오. 문제 7. [15점] 다음의 초깃값이 주어진 미분방정식에 대하여 아래 물음에 답하시오. ( x0= y, x(0) = 3, y0= x, y(0) = −1 (a) (10점) 행렬 A =01 10 에 대하여 행렬 etA를 구하시오. (b) (5점) 행렬 etA를 이용하여 위 미분방정식의 해를 구하시오. 문제 8. [20점] 삼계선형미분방정식 (∗) d 3 y dt3 + 4 d2y dt2 + dy dt − 6y = 0 에 대하여 다음 물음에 답하시오. (a) (5점) x1(t) = y, x2(t) = dy dt, x3(t) = d2y dt2로 두었을 때, 알맞은 [ ㄱ ], [ ㄴ ], [ ㄷ ]을 찾아 다음 선형미분방정식계를 완성하시오. dx1(t) dt = x2(t), dx2(t) dt = x3(t), dx3(t) dt = [ ㄱ ] x1(t) + [ ㄴ ] x2(t) + [ ㄷ ] x3(t) (b) (10점) (a)에서 언급한 미분방정식계를 행렬방정식 x0 = Ax 꼴로 나타내어 일반해를 구하시오. ( 단, x(t) = x1(t) x2(t) x3(t) ! , A는 3 × 3 행렬이다.) (c) (5점) 삼계선형미분방정식 (∗)의 일반해를 구하시오. 문제 9. [10점] 3-mer의 집합
S = {ACG, CGA, CTG, GAC, GAG, TGA}
에 대하여 오일러 경로를 이용하여 S를 3-스펙트럼으로 가지는 서열 중 길이가 최소인 것을 구하시오. 문제 10. [15점] 삼차원 공간의 점 P (1, −2, 1)에서 발사된 빛이 직선 l 을 따라 진행하여 점 Q(2, −1, 2)에서 평면 x + 2y + z = 2와 만난 후, 굴절하여 진행하였다고 한다. 굴절 후 진행하는 직선 m 은 다음 두 조건을 만족한다고 할 때, 직선 m 의 방향벡터 w 를 구하시오. (i) 직선 l의 방향벡터 v, 평면의 법벡터 n에 대하여 v, w, n 은 일차종속이다. (ii) 점 Q를 지나고 평면에 수직인 직선 n에 대하여, 직선 l과 직선 n이 이루는 각(입사각)을 α, 직선 m과 직선 n이 이루는 각 (굴절각)을 β라 할 때, sin β =√6 sin α이다. h 연습용 여백 i 문제 10의 참고그림 2
