(8-나) II. 도형의 성질
1. 명제와 증명
한 성 중 학 교
1-상급문제
작성자 : 장지경
1. 다음 그림은 정삼각형 ABC의 두 변 AB와 AC 를 각각 한 변으로 하는 새로운 정삼각형 ABP와 ACQ를 그린 것이다. 이 때, CP = BQ임을 보여라. P B C Q A 2. 다음 그림과 같이 정삼각형 ABC의 세 변 AB, BC, CA 위에 각각 BD = CE = AF가 되게 점 D, E, F를 잡는다. 이 때, △DEF는 어떤 삼각 형인가? B D C E A F 3. 다음 그림을 보고 명제 ‘이등변삼각형 ABC의 꼭 지각 A의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.’의 역 의 결론을 기호로 바르게 나타낸 것은? B A C D ① ∠BAD = ∠CAD ② AB = AC, BD = CD ③ △ABC에서 AB = AC ④ △ABC에서 AD⊥BC, BD = CD⑤ △ABC에서 AB = AC, ∠BAD = ∠CAD
4. 명제 ‘ 8 - 3x < a -x 이면 2x+5 ≧ 3이다.’는 거짓이 되고, 그 역은 참이 되게하는 정수 a 의 최소값을 구하 여라. 5. 다음 중 그 성격이 다른 한 문장을 찾고, 그 이유를 설명하여라. ㉠ 선분의 중점을 지나고 이 선분에 수직인 직 선은 수직이등분선이다. ㉡ 3개 이상의 선분으로 둘러싸인 도형은 다각 형이다. ㉢ 사각형의 네 내각의 크기의 합은 360◦이다. ㉣ 다각형의 각 꼭지점에서 한 변과 그 변에 이 웃하는 변의 연장선이 이루는 각이 외각이다. ※ 다음 그림에서 △ABC는 정삼각형이고 AD = BE일 때, 다음 물음에 답하여라. E F C A D B 6. △ADB와 △BEC가 합동임을 증명하여라. 7. ∠BFC의 크기는? ① 30◦ ② 45◦ ③ 60◦ ④ 90◦ ⑤ 120◦ 8. 명제 ‘ x = k 이면 3x + 5 > 4x - 1이다.’가 거짓이 되 기 위한 k 의 값의 범위를 구하여라. 9. 명제 ‘ x = 2이면 ax +3 =-2x+7이다.’의 역이 참 이 되기 위한 a 의 값을 구하여라.
(8-나) II. 도형의 성질
1. 명제와 증명
한 성 중 학 교
2-10. 다음 그림과 같이 AB = AC인 이등변삼각형이
ABC에서 AEꁚ BC일 때, AE는 ∠A의 외각의
이등분선임을 증명하여라. B C A E D 11. 다음 그림에서
∠CAB = ∠DBA, ∠CBA = ∠DAB이 면
AD = BC임을 다음과 같이 증명하였다. □ 안에 알 맞은 것을 써 넣어라. D B C A [가정] ∠CAB = , ∠CBA = [결론] AD = [증명] △CAB와 △DBA에서 ∠CAB = ∠DBA……㉠ = ……㉡ AB는 공통 ……㉢ ㉠, ㉡, ㉢에서 △CAB≡ ∴ AD = BC ※ 다음 그림에서 △ACD와 △CBE는 정삼각형이 다. AE와 DB의 교점을 P라 할 때, 다음 물음에 답하여라. B C A D E P 12. △ACE와 △DCB가 합동인 이유를 설명하여라. 13. ∠APD의 크기를 구하여라. 14. 다음 그림과 같이 직각이등변삼각형 AOB에서 O 를 지나는 직선 l 에 점 A, B에서 각각 수선을 내리 고 그 발을 C, D라 한다. △AOC≡△OBD를 증명 하고자 할 때, 필요 없는 것은? l A O B CE D ① ∠ACO = ∠ODB = 90◦ ② AO = OB ③ ∠AOC = ∠OBD ④ OC = BD ⑤ ∠OAC = ∠BOD ※ 다음 그림은 ‘정삼각형 ABC에서 BD = AE가 되 도록 점 D, E를 잡으면 BE = CD이다.’를 증명하기 위해 그린 것이다. 다음 물음에 답하여라. C E B D A P 15. 가정과 결론을 기호로 나타내어라. 16. 위 명제를 증명하여라. 17. ∠BPC의 크기는? ① 30◦ ② 60◦ ③ 90◦ ④ 120◦ ⑤ 150◦
(8-나) II. 도형의 성질
1. 명제와 증명
한 성 중 학 교
1 -(해답) 1. 해설참조 [해설] △PBC와 △QCB에서 PB = AB = AC = QC BC는 공통, ∠PBC = 120◦= ∠QCB ∴ △PBC≡△QCB ∴ CP = BQ 2. 정삼각형 [해설] △ADF와 △BED에서 AD = AB - BD = BC - CE = BE AF = BD, ∠DAF = ∠EBD = 60◦ ∴ △ADF≡△BED( SAS합동) 마찬가지 방법으로 하면 △ADF≡△BED≡△CFE ( SAS합동) ∴ DF = ED = FE 따라서, 세 변의 길이가 같은 △DEF는 정삼각형이 다. 3. ⑤ [해설] 역의 결론은 명제의 가정이고, 이 명제의 가정 은 ‘이등변삼각형 ABC의 꼭지각 A의 이등분선이 다.’이므로 기호로 나타내면 ‘ △ABC에서AB = AC, ∠BAD = ∠CAD’이다.
4. 11 [해설] 8 - 3x < a -x , - 2x < a - 8 ∴ x > 8 - a 2 ……㉠ 2x + 5 ≧ 3, 2x ≧ - 2 ∴ x ≧ - 1 ……㉡ 명제가 거짓이 되고, 그 역이 참이 되려면 { x∣x ≧ - 1} ⊂
{
x∣x > 8 - a 2}
이어야 한다. 이것을 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같아야 하므로 8 - a 2 < - 1, 8 - a < - 2, - a < - 10 ∴ a > 10 8 - a 2 ㉡ - 1 ㉠ 따라서, 정수 a 의 최소값은 11이다. 5. ㉢은 정리이고 ㉠, ㉡, ㉣은 정의이다. 6. 해설참조 [해설] △ADB와 △BEC에서 AB = BC AD = BE∠BAD = 180◦- ∠CAB = 180◦- ∠ABC = ∠CBE ∴ △ADB≡△BEC( SAS 합동)
7. ③
[해설] 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않 는 두 내각의 크기의 합과 같다.
∠BFC = ∠BEF + ∠EBF( ∵△BEF에서 외각) = ∠ADB + ∠ABD ( ∵ △ADB≡△BEC) = ∠BAC ( ∵△ADB에서 외각) = 60◦ 8. k ≧ 6 [해설] 명제가 거짓이 되기 위해서는 3k+5 ≦ 4k-1 이어야 한다. 3k + 5 ≦ 4k - 1, - k ≦ - 6 ∴ k ≧ 6 9. 0 [해설] 명제의 역 : ax +3 =-2x+7이면 x = 2이다. ax + 3 =- 2x+ 7, ( a + 2) x = 4 ∴ x = 4 a + 2 ( a + 2 /= 0) ∴ 4 a + 2 = 2, a + 2 = 2이므로 a = 0
(8-나) II. 도형의 성질
1. 명제와 증명
한 성 중 학 교
2 -10. 해설참조 [해설] [가정] AB = AC, AEꁚ BC [결론] ∠DAE = ∠CAE [증명] AEꁚ BC이므로 ∠B = ∠DAE(동위각)……㉠ ∠C = ∠CAE(동위각)……㉡ △ABC가 이등변삼각형이므로 ∠B = ∠C ㉠, ㉡, ㉢에서 ∠DAE = ∠CAE 따라서, AE는 ∠A의 외각의 이등분선이다. 11. 위에서부터 차례대로 ∠DBA, ∠DAB, BC 12. 해설참조 [해설] △ACE와 △DCB에서 AC = DC( ∵△ACD : 정삼각형), CE = CB(∵△CBE : 정삼각형) ∠ACE = ∠DCB = 180◦- 120◦ ∴ △ACE≡△DCB( SAS 합동) 13. 60◦ [해설] 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않 는 두 내각의 크기의 합과 같으므로∠APD = ∠PBA + ∠PAB( ∵ △PAB에서 외각) = ∠PBA + ∠CDB( ∵ △ACE≡△DCB) = ∠ACD( ∵△DCB에서 외각) = 60◦ 14. ④ 15. 가정 : △ABC에서 AB = BC = CA, BD = AE 결론 : BE = CD 16. 해설참조 [해설] △ABE와 △BCD에서 AB = BC(정삼각형의 한 변), AE = BD(가정), ∠BAE = ∠CBD = 60◦ ∴ △ABE≡△BCD( SAS 합동) ∴ BE = CD 17. ④ [해설] ∠BPC = ∠PBD + ∠PDB( ∵△BPD에서 외각) = ∠PBD + ∠BEA ( ∵ △ABE≡△BCD) = 180◦- ∠EAB ( ∵△ABE의 내각의 크기의 합은 180◦) = 180◦- 60◦= 120◦
