비사 제6주 문장논리와 증명

(1)

비판적사고

제6주: 문장논리와 증명

(2)

다이어그램

논변의 타당성을 판단하기 위해 우리가 배웠던 한 가지 방법은 다이어그램을 그리는 것이다.

(1) 모든 사람이 죽는다는 것은 틀림없는 사실이다.

(2) 소크라테스도, 플라톤도, 아리스토텔레스도 사람인데 죽었다.

(3) 그리고 나폴레옹 뿐 아니라, 스탈린도 죽었는데, 둘다 사람이었다.

(2) (3)

↘ ↙ (I) (1)

결론은 (1)이며 전제, 즉 (1)을 지지하는 근거는 (2)와 (3)이다.

(3)

다이어그램

다이어그램을 통해 추론의 올바름을 체크하는 방법에는 몇 가지 장점들이 있다. 첫째, 다이어그램의 가능한 수에는 어떤 제약도 없다. (수적 무제약성)

둘째, 다이어그램은 병렬형, 합동형, 연쇄형 등 다양한 조합방법을 지원한다. (다양한 조합 가능성)

즉 다이어그램은 넓은 적용범위를 가진다.

그러나 다이어그램은 사용하는 이의 주관적일 수 있는 논리적 직관에 의존하기 때문에 엄밀하지 못하다는 한계가 있다.

(엄밀성의 한계)

(4)

증명이란?

논변의 타당성 여부를 판단하는데 쓸 수 있는 또 한 가지 수단은 증명이다.

증명은, 다이어그램처럼, 일련의 추론들을 통해 연결된

진술문들을 모아놓은 것이다. 따라서 수의 한계나 다양성의 한계가 없다.

그러나 그 추론들 하나하나는 타당한 논변형식의 예화이기 때문에 상대적으로 신속하고 정확하다.

이번 주에는 지난 주에 배웠던 기호언어를 가지고 증명을

구축함으로써 주어진 논변의 타당성을 보이는 방법을 배운다.

(5)

증명이란? (계속)

증명은 일련의 행들로 구성되어 있다. 각 행은 정해진 규칙에 따라 증명 속에 도입되며, 또 규칙에 따라 변형된다.

우리가 배울 논리학 체계에서:

● 각 행은 진술문과 추론을 돕는 기능을 가진 보조표현들로 구성되며,

● 행들은 모여서 논변부와 증명부를 이룬다.

(6)

행의 구조

각각의 행은 다음과 같은 순서로 나열된 구조를 가진다:

1. 행번호: 그 행의 이름 구실을 한다.

2. 차단장치: 그 행이 (i) 증명될 때까지 오용되는 것을 막거나 (ii) 임시로 도입되었던 가정이나 그 가정에 의존할지도 모르는 진술문이 필요로 하는 증명 이후에 계속 사용되는 것을 막는 구실을 한다.

3. 행진술문: 그 행이 주장하는 내용을 담은 진술문이다.

4. 의존행번호: 그 행이 도입될 때 의존했던 행의 번호이다.

5. 규칙: 그 행이 도입될 때 의존했던 규칙이다.

예 1) (1) (P v ~~ Q). 전제.

예 2) (3) 결론: Q. 직접증명.

예 3) (4) | ~~Q. 1,2 선언제거.

(7)

행의 구조 (계속)

아래 행은 증명의 앞쪽에서 도입된 행의 한 예이다:

이 행의 내용은 P 또는 Q가 참이라는 것이고, 증명 속에

전제로서 도입되어 있음을 알 수 있다. 또 증명의 뒷 부분에서 이 행을 언급할 때에는 (1)이라는 행번호로 부르게 된다.

(1) (P V Q) 전제

행번호 진술문 규칙

(8)

행의 구조 (계속)

다음은 증명하려는 논변의 결론으로써 도입된 행이다:

이 행에서는 행번호, 진술문, 규칙에 더해서 "결론:"이라는

요소가 더 있는 것을 알 수 있다. 여기서 Q는 아직 증명이 되기 전이기 때문에 사실인 것처럼 여겨져서는 안 되며, "결론"이라는 차단 장치는 그런 상황을 나타내는 구실을 한다. 나중에 Q가

증명되면 그 차단장치 위에 금을 그어 (즉 "결론") 해제한다.

(3) Q 직접증명

결론:

차단장치

(9)

행의 구조 (계속)

다음은 결론을 증명하기 위해 중간에 도입된 행의 예이다:

이 행 역시 차단장치를 가지고 있는데, "|"은 증명 도중 도입된

"~~Q"가 그 뒤에도 오용되는 것을 막기 위해 쓰여진 것이다. 즉 증명이 끝나기 전에는 "|"가 없다가 끝나면 세로 막대기를 그어 차단장치를 설치한다. 나중에 왜 이런 장치가 필요한지 설명할 것이다.

(4) ~~Q 1,2 선언제거

|

차단장치

(10)

증명의 구조: 논변부

이러한 행들은 세로로 나열되어 증명을 이룬다. 각 행은 위에서부터 순서대로 행번호를 부여 받는다.

증명의 첫 부분은 그 타당성이 증명되어야할 논변을 명시하는 부분이다. 논변부의 첫 부분에는 주어진 논변의 전제들이 "전제"

규칙을 통해서 도입된다. 결론은 "결론" 차단장치를 달고 도입된다. 예)

(1) (P V ~~Q) 전제 (2) ~P 전제

(3) 결론: Q 직접증명

이것은 (P V ~~Q), ~P // Q을 위한 논변부이다. 여기서 결론 행에 사용된 직접증명의 규칙이 무엇인지는 나중에 배우겠다.

(11)

증명의 구조: 증명부

증명부는 전제들로부터 다양한 규칙을 통해 도입되는 행들로 구성된다. 증명을 구성하는 이는 결론이 증명될 때까지새로운 행을 도입하여 증명부를 확장한다.

예) (1) (P V ~~Q) 전제 (2) ~P 전제

(4) | ~~Q 1,2 선언제거 (5) | Q 4 부정제거

위에서 증명부는 (4), (5)이다. "결론"에 쳐진 금과 (4), (5)의 진술문들 앞에 설치된 차단장치는 증명이 끝나고 쓰여졌다.

(선언제거나 부정제거 규칙이 무엇인지는 조금 뒤에 배운다.)

(12)

증명의 구성과정

즉 증명은 다음과 같은 과정을 거쳐 구성된다:

예) (1) (P V ~~Q) 전제 (2) ~P 전제

[1] 먼저 타당성을 증명할 논변을 명시하기 위해 논변부를 형식에 맞춰 쓴다.

(13)

증명의 구성과정 (계속)

예) (1) (P V ~~Q) 전제 (2) ~P 전제

(4) ~~Q 1,2 선언제거 (5) Q 4 부정제거

[2] 다음으로 추론규칙에 따라서 행을 더해 증명부를 확장한다.

(14)

증명의 구성과정 (계속)

예) (1) (P V ~~Q) 전제 (2) ~P 전제

(4) | ~~Q 1,2 선언제거 (5) | Q 4 부정제거

[3] 마지막으로 "결론" 차단장치를 금을 그어 해제하고 증명부의 진술문들 앞에 세로막대를 그어 차단장치를 설치한다.

(15)

증명의 목표

여기서 알 수 있듯이, 증명의 궁극적인 목표는 결론의

차단장치를 규칙에 따라 해제하여 그 결론이 우리가 사용할 수 있는 참된 진술문임을 보이는 것이다.

이때 증명부는 임시로 도입된 가정이나 그런 가정에 의존하는 진술문을 포함할지 모르므로 증명이 끝나면 그에 속하는 모든 진술문 앞에 세로 막대를 그어 차단장치를 설치한다.

(16)

증명의 전략

1. 직접증명: 주어진 전제로부터 결론이 도출될 때까지 추론규칙을 통해 증명부를 확장한다.

2. 조건증명: 증명할 결론이 조건문일 때 그 전건을 가정하고 후건을 도출함으로써 증명한다.

3. 부정증명: 증명할 결론이 부정문일 때 그 피부정문을 가정하고 모순을 도출함으로써 증명한다.

4. 연언증명: 증명할 결론이 연언문일 때 그 연언지를 각각 증명함으로써 증명한다.

5. 선언증명: 증명할 결론이 선언문일 때 그 선언지의 부정을 각각 가정하고 모순을 도출하여 증명한다.

이가운데 조건증명, 부정증명, 선언증명은 가정을 통한

전략이기 때문에 간접증명으로 분류된다. 이러한 전략들은 또한 규칙으로도 간주된다. 따라서 위의 증명전략을 사용하여

증명되는 결론 뒤에는 그 전략의 이름이 쓰여진다.

(17)

직접증명 전략

직접증명 전략을 쓰기 위해서는 결론 행의 규칙 자리에

"직접증명"이라고 쓰면 된다. 그 뒤 결론이 추론규칙을 통해서 도출되면 직접증명은 끝난다.

예) (1) (P V ~~Q) 전제 (2) ~P 전제

(4) | ~~Q 1,2 선언제거 (5) | Q 4 부정제거

3에서 직접증명을 쓰겠다고 선언한 후 5에서 결론인 Q가 증명된 것을 보라. 직접증명을 통서 증명부를 확장할 때에는 다양한 논변형식이 추론규칙으로 이용된다.

(18)

조건제거 규칙

조건제거는 전건긍정과 후건부정을 함께 일컫는 말이다:

<<조건제거>>

P->Q P->Q

P ~Q Q ~P

예)

(1) (~P)->Q 전제 (2) ~Q 전제

(3) 결론: P 직접증명

(4) | ~~P 1, 2 조건제거 (5) | P 4 부정제거

(19)

조건도입 규칙

조건도입은 다음 논변형식이다:

<<조건도입>>

~(P & ~Q) P->Q

예)

(1) (P & ~Q)->R 전제 (2) ~R 전제

(3) 결론:P->Q 직접증명

(4) |~(P & ~Q) 1,2 조건제거 (5) |P->Q 4 조건도입

(20)

연언제거 규칙

연언제거는 매우 단순한 논변형식이다:

<<연언제거>>

P&Q P&Q P Q

예)

(1) (P&Q) 전제 (2) P->R 전제

(3) 결론: R 직접증명 (4) | P 1 연언제거 (5) | R 2,4 조건제거

(21)

연언도입 규칙

연언도입 역시 매우 단순한 논변형식이다:

<<연언도입>>

P

Q P&Q

예)

(1) (P&Q)->R 전제 (2) P 전제 (3) Q 전제

(4) 결론: R 직접증명

(5) | P&Q 2,3 연언도입 (6) | R 1,5 조건제거

(22)

선언제거 규칙

선언제거는 다음 논변형식들이다:

<<선언제거>>

P v Q P v Q

~P ~Q Q P

예)

(1) P v Q v R 전제 (2) ~P 전제 (3) ~Q 전제 (4) 결론: R 직접증명

(5) | Q v R 1, 2 선언제거 (6) | R 3, 5 선언제거

(23)

선언도입 규칙

선언도입 역시 단순한 논변형식이다.

<< 선언도입 >>

P Q P v Q P v Q

예)

(1) (P v Q)->R 전제 (2) P 전제

(3) 결론: R 직접증명 (4) | P v Q 2 선언도입 (5) | R 1, 4 조건제거

(24)

부정제거/도입 규칙

부정제거와 부정도입은 다음 논변형식들이다:

<<부정제거>> <<부정도입>>

~~P P P ~~P

예)

(1) ~P->~Q 전제 (2) Q 전제

(3) 결론: P 직접증명 (4) | ~~Q 2 부정도입 (5) |~~P 1,4 조건제거 (6) |P 5 부정제거

(25)

"X"를 불특정한 모순을 나타내는 표현으로 쓰기로 하자.

모순도입과 모순제거는 다음과 같은 논변형식들이다:

<<모순도입>> <<모순제거>>

P X

~P P

X 예)

(1) P->Q 전제 (2) P->~Q 전제

(3) P 전제 (4) 결론: R 직접증명

(5) | Q 1,3 조건제거 (6) | ~Q 2,3 조건제거 (7) | X 5,6 모순도입 (8) |R 7 모순제거

모순도입/제거 규칙

(26)

하위증명부

때때로 결론을 증명하기 위해서는 먼저 어떤 가설을 증명하는 것이 요긴할 때가 있다. 그 경우 그 가설을 증명하는

하위증명부를 증명부에 포함시킬 수 있다. 이때 그 가설 앞에는

"증명"이라는 차단장치를 설정하고 증명이 끝나면 금을 그어 그 차단장치를 해제하고 하위증명부에 속하는 진술문들 앞에는

세로선을 그어 차단장치를 설정한다. 예) (1) (P->Q)->R 전제

(2) (P&~Q)->S 전제 (3) ~S 전제

(4) 결론: R 직접증명 (5) | 증명: P->Q 직접증명

(27)

조건증명 전략

조건증명은 조건문의 참을 보이기 위해 먼저 그 전건을

가정하고 그 후건을 도출하여 결과적으로 결론을 증명하는 전략이다. 조건증명을 쓰기 위해서는 결론의 규칙 자리에

"조건증명"이라고 쓰고 그 아래에 전건은 "가정" 규칙에 의해 도입하고 후건을 증명하는 하위증명부를 시작하면 된다. 예) (1) ~Q->~P 전제

(2) 결론: P->Q 조건증명 (3) | P 가정

(28)

부정증명 전략

부정증명은 피부정문을 가정하고 그로부터 모순 즉 X를 도출하여 그 부정문이 참임을 증명하는 전략이다. 즉

부정증명은 귀류법과 같은 전략이다. 부정증명을 사용하기 위해서는 결론 옆의 규칙에 "부정증명"이라 쓰고 결론의

피부정문은 가정한 뒤 그 밑에 X를 도출하는 하위증명부를 시작하면 된다. 예)

(1) 결론: ~(P&~P) 부정증명 (2) | P&~P 가정

(29)

연언증명 전략

연언증명은 어떤 연언문을 증명하기 위하여 그 연언지들을 모두 증명하는 전략이다. 연언증명을 쓰기 위해서는 증명하고자 하는 결론이나 가설 옆에 "연언증명"이라고 쓰고 그 밑에 첫번째

연언지의 하위증명부를 시작한다. 그 하위증명부가 완성되면 두번째 연언지의 하위증명부를 시작한다. 예)

(1) P->Q 전제 (2) P->R 전제 (3) P 전제

(4) 결론: Q&R 연언증명 (5) | 증명: Q 직접증명

(6) | | Q 1, 3 조건제거 (7) | 증명: R 직접증명

(8) | | R 2, 3 조건제거

(30)

선언증명 전략

선언증명은 어떤 선언문을 증명하기 위하여 그 선언지의

부정문을 각각 가정하고 그로부터 모순을 도출하여 증명하는

전략이다. 선언증명을 쓰기 위해서는 증명하고자 하는 결론이나 가설 옆에 "선언증명"이라 쓰고 그 밑에 그 선언지의 부정문을 각각 가정한 후 X의 하위증명부를 바로 밑에 시작하면 된다. 예) (1) ~P->Q 전제

(2) 결론: P v Q 선언증명 (3) | ~P 가정

(4) | ~Q 가정

(5) | 증명: X 직접증명

(6) | | Q 1, 3 조건제거 (7) | | X 4, 6 모순도입

(31)

예제 1

다음 논변의 타당성을 증명해 보자: P->~P // ~P

(32)

예제 1

먼저 논변부를 다음과 같이 쓴다:

(1) P->~P 전제 (2) 결론: ~P

(33)

예제 1

결론이 부정문이므로 부정증명 전략을 쓰자. 피부정문을

가정으로 도입하고 모순을 도출하는 하위증명부를 시작한다:

(1) P->~P 전제

(2) 결론: ~P 부정증명 (3) P 가정

(4) 증명: X 직접증명

(34)

예제 1

다음으로 X를 증명하는 하위증명부를 규칙에 따라 확장하여 X를 증명한다:

(1) P->~P 전제

(5) ~P 1, 3 조건제거 (6) X 3, 5 모순도입

(35)

예제 1

하위증명부가 완성되었으므로 X에 설정된 차단장치를 해제하고 하위증명부의 진술문에는 차단장치를 설정한다:

(1) P->~P 전제

(5) | ~P 1, 3 조건제거 (6) | X 3, 5모순도입

(36)

예제 1

증명부가 모두 완성되었으므로 ~P에 설정된 차단장치를 해제하고 증명부의 진술문에는 모두 차단장치를 설정한다:

(1) P->~P 전제

(2) 결론: ~P 부정증명 (3) | P 가정

(4) | 증명: X 직접증명

(5) | | ~P 1, 3 조건제거 (6) | | X 3, 5모순도입

(37)

예제 2

다음 논변의 타당성을 증명해 보자: P->R, Q->S, P v Q // R v S

(38)

예제 2

다음 논변의 타당성을 증명해 보자: P->R, Q->S, P v Q // R v S (1) P->R 전제

(2) Q->S 전제 (3) P v Q 전제

(4) 결론: R v S 선언증명 (5) | ~R 가정

(6) | ~S 가정 (7) | 증명: X 직접증명

(39)

예제 3

다음 논변의 타당성을 증명해 보자: P->Q, Q->R // P->R

(40)

예제 3

다음 논변의 타당성을 증명해 보자: P->Q, Q->R // P->R (1) P->Q 전제

(2) Q->R 전제

(3) 결론: P->R 조건증명 (4) | P 가정

(5) | 증명: R 직접증명

(6) | | Q 1, 4 조건제거 (7) | | R 2, 6 조건제거

(41)

예제 4

다음 논변의 타당성을 증명하라: P v (Q&R) // (P v Q) & (P v R)

(42)

예제 4

다음 논변의 타당성을 증명하라: P v (Q&R) // (P v Q) & (P v R) (1) P v (Q & R) 전제

(2) 결론: (P v Q) & (P v R) 연언증명 (3) | 증명: (P v Q) 선언증명 (4) | |~P 가정

(5) | |~Q 가정

(6) | | 증명: X 직접증명

% (11)에서 (17)까지는 (3)에서 (9)까지와 유사하다.

(43)

연습문제

점수에는 들어가지 않지만 퀴즈치기 전에 한번 풀어보세요 : (1) ~(P v Q) // ~P & ~Q

(2) ~P & ~Q // ~(P v Q) (3) ~(P & Q) // ~P v ~Q (4) ~P v ~Q // ~(P & Q) (5) (~P) v Q // P->Q

(6) P->Q // (~P) v Q (7) ~P // P->Q

(8) (P&Q)->R // P->(Q->R)

(44)

비판적 사고와 기호논리학

이번 주에 배운 논리학은 문장논리의 자연연역이라고 불린다.

그러면 자연연역은 어떻게 우리 일상생활에서 접하는 말과 글에 대한 비판적 사고를 도와주는 것일까?

첫째, 자연연역은 그런 글과 말에서 발견되는 논변을 평가하는데 쓰일 수 있다. 다음 글을 살펴보자:

만약 환자가 열이 없다면, 그가 걸린 병은 말라리아가 아니다.

그런데 그의 병은 말라리아나 식중독일 것이다. 이 환자는 열이 없다. 그러므로 그의 병은 식중독임에 틀림없다.

(45)

비판적 사고와 기호논리학 (계속)

앞 예문으로부터 다음 논변을 재구성해 볼 수 있다:

P1. 이 환자가 열이 없다면, 그의 병은 말라리아가 아니다.

P2. 그의 병은 말라리아거나 식중독이다.

P3. 이 환자는 열이 없다.

C. 그러므로 그의 병은 식중독이다.

(46)

비판적 사고와 기호논리학 (계속)

앞 논변은 다음과 같이 기호화할 수 있다:

P1. ~F->~M P2. M v P P3. ~F

C. P

F: 그는 열이 있다.

M: 그의 병은 말라리아이다.

P: 그의 병은 식중독이다.

(47)

비판적 사고와 기호논리학 (계속)

앞 논변, 즉 ~F->~M, M v P, ~F // P는 다음과 같이 증명된다:

(1) ~F->~M 전제 (2) M v P 전제 (3) ~F 전제

(4) 결론:P 직접증명

(5) | ~M 1,3 조건제거 (6) | P 2,5 선언제거

(48)

비판적 사고와 기호논리학 (계속)

우리는, 다음과 같은 과정을 거쳐 앞의 예문의 논변이 타당함을 알 수 있었다:

1. 일상적인 글로부터 논변을 재구성한다.

2. 그 논변을 문장논리의 언어로 번역한다.

3. 그렇게 번역된 논변의 타당성을 자연연역을 통해 증명한다.

이렇게 하여 우리는 일상적 글 속의 논변이 타당함을 자연연역을 통해 알 수 있었다.

(49)

비판적 사고와 기호논리학 (계속)

언제나 이런 방식으로 모든 논변의 타당성을 다 평가할 수 있는 것은 아니다. 어떤 일상적 논변은 번역하기 어려운 표현을

포함하여 위 과정을 적용할 수 없다.

그러나, 자연연역의 문제들을 자꾸 풀다 보면 일상적인

생활에서도 쓰일 수 있는 논리적 직관이 길러지기 마련이다.

따라서 자연연역을 포함하는 기호논리학은 두 가지 측면에서 비판적 사고를 도와준다:

1. 일상적 논변을 평가하는데 기호논리학을 적용할 수 있다.

2. 기호논리학을 공부하는 것은 논리적 직관을 길러

일상생활에서도 비판적이고 논리적으로 사고할 수 있게 해 준다.

(50)

예문 1 (수업중)

다음 예문으로부터 논변을 재구성하고, 기호로 번역하고, 증명을 구성하여 그 타당성을 증명하라:

프랭클린 루스벨트가 사회주의자였다면, 그는 산업체를 국유화하고자 했을 것이다. 그가 산업을 국유화하고자

했다면, 그것은 대공황기에 행해졌을 것이다. 그러나 어떠한 산업체도 대공황기에 국유화되지 않았다. 그러므로

루스벨트는 사회주의자가 아니었음이 틀림없다.

(51)

예문 2 (수업중)

다음 예문으로부터 논변을 재구성하고, 기호로 번역하고, 증명을 구성하여 그 타당성을 증명하라:

만일 남편이든 아내든 지불해야 할 보험료를 납입했다면, 정관은 유효하고 사고 비용은 배상되었을 것이다. 사고 비용이 배상되었다면, 그들은 파산하지 않았을 것이다.

그러나 그들은 파산하지 않을 수 없었다. 그러므로 남편은 지불해야 할 보험금을 납입하지 않았다.

(52)

요약

● 증명은 타당한 논변형식의 예화인 추론으로 연결된 진술문들의 연속이다.

● 증명은 논변형식과 다이어그램의 장점을 합친 타당성의 증명수단이다.

● 자연연역에서 증명은 논변부와 증명부로 구성된다.

● 논변부는 증명할 논변을 제시하고, 증명부는 그것의 증명을 제시한다.

● 추론규칙에는 조건제거/도입, 선언제거/도입, 연언제거/도입, 부정제거/도입, 모순제거/도입 등이 있다.

● 증명부는 하위증명부를 포함할 수 있다.

● 증명의 전략에는 직접증명, 조건증명, 부정증명, 연언증명, 선언증명 등이 있다.

● 논변의 재구성, 논변의 기호화, 증명의 구성 과정을 통해서 일상적 글과 말 속의 논변을 평가할 수 있다.