3학년익힘(비상교육)7단원-2

이 단원을 공부하기 전에 …… 다음 그림에서AC”의 길이를 구하여라. ⑴ ⑵ A 4 2 3 B _D C A 3 5 6 D B C

1

피타고라스의 정리 (중3) •직각삼각형에서 직각 을 낀 두 변의 길이의 제곱의 합은 빗변의 길 이의 제곱과 같다. 다음 그림의△ABC에서∠x의 크기를 구하여라. ⑴ ⑵ A C B 125˘ _x C B A 60˘ x

2

삼각형의 내각과 외각 (중1) •삼각형에서 세 내각의 크기의 합은180。이 다. 또 각 꼭짓점에서 의 내각과 외각의 크기 의 합은180。이다. 다음 그림의△ABC의 넓이를 구하여라. ⑴ ⑵ A 4 cm 5 cm 2 cm B C 4 cm 6 cm 3 cm A C B

3

삼각형의 넓이 (초등5) •(삼각형의 넓이) =(밑변의 길이) _(높이)÷2 다음 그림의 ABCD의 넓이를 구하여라. ⑴ 평행사변형 ⑵ 마름모 A C B D 10 cm 12 cm B C A 7 cm 8 cm D

4

사각형의 넓이 (초등5) •(평행사변형의 넓이) =(밑변의 길이)_(높이) •(마름모의 넓이) =(한 대각선의 길이) _(다른 대각선의 길이)÷2

2

삼각비의 활용

삼각비의 활용

활동 목표: 삼각비를 이용하여 직각삼각형의 변의 길이를 구할 수 있다. 교과서201쪽 개념 활동

₁

>>

_교과서

_{에서배웠어요!}

직각삼각형의 변의 길이 ☞ 교과서 201쪽 다음은 오른쪽 그림의 직각삼각형ABC에서y의 값을 구하는 과정이다. 빈칸을 알맞게 채워라. cos 45。= 이므로 y=6 cos 45。=6_ = y 6

익

익힘

힘

문

문제

제 >>>>

다음은 오른쪽 그림의 직각삼각형ABC에서x의 값을 구하는 과정이다. 빈칸 을 알맞게 채워라. sin 30。= 이므로 x=2 sin 30。=2_ = x 2

삼각비의 활용

•직각삼각형의 변의 길이 ABC b

CB”=b sin A AB”=b cos A

기초 개념 익히기

A

STEP

A

A 2 30˘ B C x A B C 45˘ 6 y A B C b

활동 목표: 삼각비를 이용하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있다. 교과서204쪽 개념 활동

₂

>>

_교과서

_{에서배웠어요!}

삼각형의 넓이 ☞ 교과서 206쪽 다음은 오른쪽 그림의△ABC에서 높이 h와 그 넓이를 구하는 과정이다. 빈칸을 알맞게 채워라. ⑴△AHC에서sin _。=;2H;이므로 h=2 sin 。 ⑵△ABC=;2!;_AB”_h =;2!;_ _2 sin 60。= •삼각형의 넓이 ∠A ∠A

△ABC=;2!;bc sin A △ABC=;2!;bc sin(180。-A)

다음은 오른쪽 그림의△ABC에서 높이h와 그 넓이를 구하는 과정 이다. 빈칸을 알맞게 채워라. ⑴△BHC에서∠CBH=180。-135。= 。이고 sin _。=;4H;이므로 h=4 sin 。 ⑵△ABC=;2!;_AB”_h =;2!;_ _4 sin 45。=

익

익힘

힘

문

문제

제 >>>>

A B C H b c _180˘-AA B C H b c A H B C 2 4 60˘ h A _{B H} C 3 4 135˘ h

기본 문제 풀기

B

STEP

B

삼각형의 넓이 구하기 >> 교과서205, 206쪽 문제 풀이 연습

₁

다음 그림의△ABC의 넓이를 구하여라. ⑴ ⑵ △ABC=;2!;_CA”_AB”_sin A △ABC=;2!;_AB”_BC”_sin (180。-B) =;2!;_3_4_sin 30。 =;2!;_2_3_sin 45。 =3 =3'2₂ A ₂ B 3 135˘ C A B C 3 4 30˘ 다음 그림의△ABC의 넓이를 구하여라. 1. 2. 3. 4. 5. 6. A B C 4'2 _135˘ 2'6 6 C A B 150˘ 4'5 A ₆ B 4 C 120˘ A C B 5 45˘ 2'2 A B C 2'6 2'3 30˘ A B C 12 7 60˘ '

●●◦ ●●◦ 삼각비를 이용하여 선분의 길이 구하기 >> 문제 해결 안내

₀

₁

오른쪽 그림의 직각삼각형ABC에서AC”=4, ∠B=30。일 때, 삼각비 를 이용하여DE”의 길이를 구하여라. 01 -1 오른쪽 그림의 직각삼각형 ABC에서AB”=8, ∠B=60。 일 때, 삼각비를 이용하여DC”의 길이를 구하여라. 같은 꼴문제 01 -2 오른쪽 그림의 두 직각삼각형ABC, DBC에서AB”=8, ∠A=60。, ∠DBC=45。일 때, 삼각비를 이용하여EF”의 길이를 구하여라. 닮은 꼴문제 >> _{직각삼각형에서 삼각비를 이용하여 변의 길이를 구한다.}

>> 직각삼각형ADC에서AD”의 길이를 구한 다음 직각삼각형ADE에서DE”의 길이를 구한다.

>> 직각삼각형ADC에서∠DAC=30。이므로 AD”=4 cos 30。=4_ _=2'3 또 직각삼각형ADE에서∠ADE=60。이므로 DE”=2'3 cos 60。=2'3 _;2!;='3 '3 2 A B D C E 4 30˘ B 8 C D A E 60˘ A 60˘ 45˘ 8 B F C D E

●●◦ 02 -2 오른쪽 그림의△ABC에서BC”=8, AC”=3'2, ∠C=45。일 때, AB”의 길이를 구하여라. 닮은 꼴문제 A B C 8 45˘ 3'2 ●●◦ 삼각비를 이용하여 삼각형의 변의 길이 구하기 >> 문제 해결 안내

₀

₂

오른쪽 그림의△ABC에서AB”=120, ∠A=45。, ∠B=75。일 때, CB”의 길이를 구하여라. 02 -1 오른쪽 그림의△ABC에서BC”=100, ∠B=75。, ∠C=60。일 때, AB”의 길이를 구하여라. 같은 꼴문제 >> _{삼각형에서 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기를 알 때 다른 변의 길이를 구한다.} >> _꼭짓점B에서AC”에 내린 수선의 발을H라 하고 직각삼각형CHB에서CB”의 길이를 구한다. >> 삼각형ABC의 꼭짓점B에서AC”에 내린 수선의 발을H라 고 하면 직각삼각형HAB에서 HB”=120 sin 45_。=60'2 또 직각삼각형CHB에서∠HBC=75。-45。=30。이므로 HB”=CB” cos 30。, 60'2 =CB” cos 30。 따라서 CB”= _{=60'2 ÷} '3 _=40'6 2 60'2 cos 30。 A B C 45˘ 75˘ 120 A B H C 45˘ 45˘ 30˘ 120 B C A 75˘ 60˘ 100

●●◦ 03 -2 오른쪽 그림의 ABCD에서AB”=8, BC”=16, CD”=5, ∠B=60。, ∠ACD=30。일 때, ABCD의 넓이를 구하여라. 닮은 꼴문제 A B C D 16 8 5 60˘ 30˘ ●●◦ 삼각비를 이용하여 도형의 넓이 구하기 >> 문제 해결 안내

₀

₃

오른쪽 그림의 ABCD에서 두 대각선의 길이가 각각16, 18이고 두 대 각선이 이루는 각의 크기가45。일 때, ABCD의 넓이를 구하여라. 03 -1 오른쪽 그림의 ABCD에서 두 대각선AC, BD의 길이는 각각8, 10이고 두 대각선이 이루는 각의 크기가120。일 때, ABCD 의 넓이를 구하여라. 같은 꼴문제 >> 사각형에서 두 대각선의 길이와 두 대각선이 이루는 각의 크기를 알 때 그 넓이를 구한다. >> ABCD를 둘러싸는 평행사변형을 그린 다음 ABCD의 넓이를 구한다. >> _{오른쪽 그림과 같이 꼭짓점} A_, C_{를 각각} 지나고BD”와 평행한 두 직선EH, FG를 그린다. 또 꼭짓점 B, D를 각각 지나고 AC”와 평행한 두 직선EF, HG를 그린다. EFGH, OCGD는 평행사변형이므로 HG”=AC”=18, FG’”=BD”=16 ∠G=∠DOC=45。 따라서 ABCD=;2!; EFGH =;2!;_{2_;2!;_16_18_sin 45。}=72'2 B C A D 45˘ 18 16 O B C D A 120˘ 10 8 O B C A H E F G D 45˘ 45˘ 18 18 16 16 O

심화 문제 도전하기

C

STEP

C

1

오른쪽 그림과 같이 지점B에서 전망대의 꼭대기 지점A를 올려다본 각의 크기가 61。이고, 지점B로부터 전망대 쪽으로10 m 걸어간 지점C에서 전망대의 아래 끝 지점E를 올려다본 각의 크기는35。이다. CE”=5 m일 때, 전망대의 높이AE를 삼각비의 표를 이용하여 구하여라. (단, 소수점 아래 둘째 자리에서 반올림한다.)

2

오른쪽 그림은 한 변의 길이가 4 cm인 정사각형이다. AB”, BC”의 중점을 각각 M, N이라 하고∠MDN=x。라고 할 때, sin x。의 값을 구하여라. Ⅶ-2. 삼각비의 활용

3

오른쪽 그림에서 반원O의 반지름의 길이는9이고, ∠CAB=30。 일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라. ［정복하기］

4

오른쪽 그림과 같이△ABC의 변BC 위에 점P를 잡고, 점P 에서 AB”, AC”에 내린 수선의 발을 각각 M, N이라고 하자. PM”=MQ”, PN”=NR”를 만족시키는 PM”, PN”의 연장선 위 의 두 점Q, R에 대하여△AQR의 넓이가 최소가 되는 점P 의 위치를 말하여라. 5 m 10 m A B C E 61˘ 35˘D 4 cm A B N D M C x˘ 30˘ A O B C 9 A B Q M N P R C

중단원 정리 문제

교과서200~208쪽 / 익힘책237~243쪽

1

오른쪽 그림의 직각삼각형ABC에서 AB”=10, BC”=x, CA”=y이다. 삼각비의 표를 이용하여 x-y의 값을 구하여라.

2

오른쪽 그림의 직각삼각형 ABC에서 BC”=4일 때, AB”, AC”의 길이를 35。의 삼각비를 이용하여 각각 나타내어라. 2. ●◦◦ 삼각비를 이용하여 직각삼 각형의 변의 길이를 구할 수 있는가? 201쪽 237쪽

4

오른쪽 그림의△ABC에서AB”=4, ∠B=45。, ∠C=60。일 때, AC”의 길이를 구 하여라. 4. ●●◦ 삼각비를 이용하여 삼각형 의 변의 길이를 구할 수 있 는가? 203쪽 241쪽

3

오른쪽 그림과 같이 수평면에 대하여17。 기울어진 골프장에서 골프공이A 지점에 서B 지점까지100 m를 굴러 내렸다. 이 때AC”의 길이를 삼각비의 표를 이용하여 구하여라. 3. ●●◦ 삼각비를 이용하여 직각삼 각형의 변의 길이를 구할 수 있는가? 202쪽 237쪽 1. ●◦◦ 삼각비를 이용하여 직각삼 각형의 변의 길이를 구할 수 있는가? 201쪽 237쪽 B C 10 A y x 44˘ 4 A C B 35˘ 45˘ 60˘ 4 A B C A B C 17˘ 100 m

5

오른쪽 그림과 같이 서로2 km 떨어져 있는 두 지점A, B에서 하늘에 있는 비행기를 올려다본 각의 크기가 각각55。, 60。이었다. 비행기는 지 상에서 몇km 상공에 있는지 삼각비의 표를 이 용하여 구하여라. (단, 소수점 아래 둘째 자리에서 반올림한다.) 5. ●●● 삼각비를 이용하여 거리를 구할 수 있는가? 203쪽 241쪽

8

오른쪽 그림의 ABCD에서AC”=10, BD”=6'3, ∠AOB=30。일 때, ABCD의 넓이를 구하여라. 8. ●●◦ 삼각비를 이용하여 사각형 의 넓이를 구할 수 있는가? 204쪽 242쪽

7

오른쪽 그림의△ABC의 넓이가24'2 cm¤일 때, AB”의 길이를 구하여라. 7. _{삼각비를 이용하여 삼각형}●●◦ 의 넓이를 구할 수 있는가? 204쪽 238쪽 2 km A B C 55˘ 60˘ A 135˘ B C 16 cm A D O B C 10 30˘ _6'3

6

오른쪽 그림의△ABC에서AC”=6, AB”=9,

∠A=60。이다. 꼭짓점C에서 변AB에 내린 수선의 발을 H라고 할 때, △CHB의 둘레의 길이를 구하여라. 6. ●●◦ 삼각비를 이용하여 삼각형 의 변의 길이를 구할 수 있 는가? 203쪽 240쪽 C A _H B 6 9 60˘

대단원 평가 문제

Ⅶ. 삼각비

2

오른쪽 그림의 원 O에 서AB”는 지름이고 CO”⊥AB”이다. ∠OPC=60。일 때, 의 값을 구하여라. PO” AO”

1

오른쪽 그림의 직사각 형ABCD에서 AB”=3, BC”=4, ∠ABD=x。라고 할 때, sin x。-cos x。의 값을 구하여라.

3

cos 0。_tan 30。-tan 45。_sin 60。의 값은?

① - ② ③ ;2!; ④ ⑤ 2'3 -1₂ '3 2 '3 6 '3 6

6

다음 그림과 같이 반지름의 길이가1인 사분원 에서tan x。의 값은? ① 0.38 ② 0.47 ③ 0.53 ④ 0.62 ⑤ 0.85 1 0.62 0.53 1 0.85 A C D B O x˘ x y

7

다음 그림은∠B=30。, AC”=1인 직각삼각형 ABC에서 CB”의 연장선 위에AB”=BD”를 만 족시키는 점D를 잡아AD”를 그린 것이다. tan 15。와tan 75。의 값을 각각 구하여라. A D B 30˘ C 1

4

∠A : ∠B : ∠C=1 : 2 : 3인△ABC에 대 하여sin A : cos A : tan A를 구하여라.

5

오른쪽 그림의 직육 면체에서EF”=6, BG”=8, ∠FBG=60。일 때, 이 직육면체의 부피 를 구하여라. A 3 4 D B C x˘ A B C O P 60˘ A E F G B H C D 60˘ 8 6

8

다음 그림과 같이100 m떨어진 두 지점B와D 에서 산꼭대기 지점A를 올려다본 각의 크기가 각각30。, 45。이었다. 이 산의 높이를 구하여라. B D C A 30˘ 100 m 45˘

9

오른쪽 그림과 같이 반지 름의 길이가4인 원O에 내접하는 정팔각형의 넓 이는? ① 32 _{② 32'2} ③ 32'3 ④ 64'2 ⑤ 64'3 [11~13은 풀이 과정을 자세히 써라.]

11

오른쪽 그림에서 ∠B=∠D=90。, B’M”=M’C”=3이다. sin x_。=;3!;일 때, tan y。의 값을 구하 여라.

12

다음 그림과 같이 원 O에 내접하는 ABCD에 서 두 대각선이 점 P에서 만나고 ∠APD=120。, PA”=4 cm, PB”=8 cm, PC”=12 cm일 때, ABCD의 넓이를 구하여라. A B C D P 120˘ 12 cm 4 cm 8 cm O 서술형 문제 A B M C 3 3 D x˘ y˘

13

오른쪽 그림의△ABC에 서AB”=4, AC”=3, ∠A=60。이다. AD”가 ∠A의 이등분선일 때, AD”의 길이를 구하여라. A B D C 4 3 O 4

10

오른쪽 그림의 평행 사변형 ABCD에서 AB”=8'3, BC”=7 이고 점M은AB”의 중점이다. ∠D=60。 일 때, △AMC의 넓이를 구하여라. A D B ₇ C M 60˘ 8'3

주 제: 삼각비의 값을 구하여 보자. 제 재: 그림 완성하기

활동·토의 과제

다음 빈칸에 알맞은 값을 구하여 구한 값이 적힌 칸을 아래의 표에서 찾아 모두 색칠하여라. 이때 완성한 그 림이 무엇인지 말하여라.

❶sin _。=;2!; ❷cos 。= ❸tan _。='3

❹ cos 30。= ❺sin 0。= ❻_{2'3 tan 60。=}

❼2'2 sin 45。= ❽-3'3 tan 30。=

❾40_sin 30。_cos 60。=

❿_{∠B=90。인 직각삼각형 ABC에서 sin A=;5#;일 때, tan A_{-;3*;}=}

∠B=90。인 직각삼각형 ABC에서 cos A= 일 때, tan A=

(두 변의 길이가 각각 11, 20이고 그 끼인 각의 크기가 150。인 △ABC의 넓이)= 1 '∂26 2 '3 '2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 7 30 30 30 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 30 30 30 7 60 60 60 60 60 8 8 8 8 8 8 8 8 55 55 55 0 0 0 0 9 9 30 9 9 9 9 9 9 9 9 45 9 9 45 45 0 0 11 11 45 45 11 11 11 11 11 11 45 45 11 11 45 45 1 1 20 20 20 0 0 0 0 0 0 0 0 20 20 20 45 45 1 1 21 21 21 0 0 0 0 0 0 0 0 21 21 21 45 45 25 1 45 45 45 45 25 25 0 0 25 25 45 45 45 45 45 25 35 35 35 35 1 35 35 35 35 35 35 35 35 -3 35 35 35 35 50 50 50 50 1 50 60 60 50 50 60 60 50 -3 50 50 50 50 52 52 52 52 1 52 60 52 52 52 52 60 52 -3 52 50 50 50 50 50 50 50 1 50 60 60 50 50 60 60 50 -3 50 50 50 50 35 35 35 0 0 0 35 35 1 0 35 35 2 2 2 35 35 35 70 70 2 70 70 70 70 70 70 70 70 50 50 50 50 10 70 70 80 80 2 80 80 -2 -2 80 80 80 80 -3 -3 80 80 10 80 80 82 82 82 6 82 82 -2 -2 -2 -2 -2 -2 82 82 10 82 82 82 95 95 95 95 6 99 99 99 0 0 95 95 95 10 99 99 99 95 95 95 95 95 95 6 5 95 95 95 95 10 10 99 99 99 99 99 95 95 95 95 95 95 95 5 5 5 5 99 99 99 95 95 95 95

오르막이나 내리막 도로를 지나다 보면 다음 그림과 같은 표지판을 볼 수 있다. 이것은 도 로의 경사도가 10 %임을 나타내는 것으로 수평 방향으로 100 m 이동하면 수직 방향으로 10 m 높아지거나 낮아진다는 뜻이다. 일반적으로 도로의 경사도는 _100 (%)와 같이 계산한다. 따라서 도로의 경사각의 크기를 x。라고 하면 도로의 경사도는 (도로의 경사도)=tan x。_100 (%) 와 같이 삼각비의 값으로 나타낼 수 있다. 한편 철도 선로의 경사도는 자동차 도로와는 달리 정밀도를 높이기 위해서 ‰(천분율, 퍼밀 리)로 나타내는데 경사도가 10 ‰인 선로는 수평 방향으로 1000 m 이동하면 수직 방향으로 10 m 높아지거나 낮아진다는 뜻이다. 일반적으로 선로의 경사각의 크기를 y。라고 하면 선로의 경사도는 (선로의 경사도)= _1000=tan y。_1000 (‰) 와 같이 삼각비의 값으로 나타낼 수 있다. 우리나라의 경부 고속 철도는 표준 경사도를 12.5 ‰, 최대 경사도를 25 ‰로 적용하고 있다. (참고 자료: http://scent.ndsl.kr) (수직 거리) (수평 거리) (수직 거리) (수평 거리)     수직 거리 수평 거리 x˘ 경사각

흥미

있는

수학

이야기

도로와 철도 선로의 경사도