우석대학교 에너지전기공학과

(1)

우석대학교 전기에너지공학과

이우금 교수

(2)

 스칼라적 (or 내적)의 정의 (복습)  두 벡터 A와 B의 스칼라적은 𝐴ㆍ𝐵 로 표기하며, 𝐴ㆍ𝐵 = 𝐴𝐵 cos θ 로 주어지는 스칼라 량. ※ θ는 두 벡터 A와 B의 사이 각  스칼라적의 의미  벡터 𝐴의 벡터 𝐵방향 성분 또는 벡터 𝐵의 벡터 𝐴방향 성분 ∴ 스칼라적은 교환법칙이 성립함: 𝐴ㆍ𝐵 = 𝐵ㆍ 𝐴  벡터의 성분을 이용하여 두 벡터 𝐴, 𝐵의 스칼라적을 구하면, 𝐴ㆍ𝐵 = (𝐴_𝑥 𝑖 + 𝐴_𝑦 𝑗 + 𝐴_𝑧𝑘)ㆍ(𝐵_𝑥 𝑖 + 𝐵_𝑦 𝑗 + 𝐵_𝑧𝑘) = 𝐴_𝑥𝐵_𝑥 + 𝐴_𝑦𝐵_𝑦 + 𝐴_𝑧𝐵_𝑧 ※ note: 𝑖ㆍ 𝑖 = 𝑗ㆍ 𝑗 = 𝑘ㆍ𝑘 = 1 , 𝑖ㆍ 𝑗 = 𝑗ㆍ𝑘 = 𝑘ㆍ 𝑖 = 0

𝐴

𝐵

𝑂 θ 𝐵 cos θ

_𝐴

𝐵

𝑂 θ 𝐴 cos θ

(3)

 벡터적 (or 외적)의 정의 (복습) - 두 벡터 A와 B의 벡터적은 𝐴 × 𝐵 로 표기하며, 그 결과는 크기와 방향을 갖는 벡터 량. - 벡터적의 크기: 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝐵 sin θ 즉, 두 벡터 A와 B를 두 변으로 하는 평행사변형의 면적 (θ는 두 벡터 A와 B의 사이 각) - 벡터적의 방향: 두 벡터 A와 B가 이루는 평행사변형에 수직이며, A에서 B로 회전하는 오른나사의 진행방향. - 벡터적의 방향의 단위벡터를 𝑛 이라 하면,

𝐴 × 𝐵 = 𝑛𝐴𝐵 sin θ

- 두 벡터의 곱 𝐴 × 𝐵 의 순서를 바꾸면, 벡터적 정의에 의해 크기는 같지만 방향이 반대가 되므로, 벡터적은 교환법칙이 성립하지 않음:

𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 ×

𝐴

 θ 에 따른 벡터적의 변화 𝑖 × 𝑖 = 𝑗 × 𝑗 = 𝑘 × 𝑘 = 0 𝑖 × 𝑗 = 𝑘 , 𝑗 × 𝑘 = 𝑖, 𝑘 × 𝑖 = 𝑗 𝐴 𝐵 𝑂 θ 𝐵 𝑠𝑖𝑛 θ 𝑛

𝐴 × 𝐵 = 𝑛𝐴𝐵 sin θ

𝑖

+

𝑖

−

(4)

 기울기 (gradient) (복습)  스칼라함수 𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧 의 공간영역에서 기울기는 다음과 같이 표현된다. 𝛻𝑉 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕 𝜕𝑧𝑘 𝑉 = 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑉 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑉 𝜕𝑧𝑘  벡터의 발산 (벡터와 𝛻과의 스칼라 적) 𝛻ㆍ𝐸 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕 𝜕𝑧𝑘 ㆍ𝐸 = ( 𝜕 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕 𝜕𝑧𝑘)ㆍ 𝐸𝑥 𝑖 + 𝐸𝑦 𝑗 + 𝐸𝑧𝑘 = 𝜕𝐸_𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝐸_𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝐸_𝑧 𝜕𝑧  벡터의 회전(Rotation or Curl, 𝛻과 벡터의 외적) 𝛻 × 𝐻 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕 𝜕𝑧𝑘 × 𝐻𝑥 𝑖 + 𝐻 𝑗 + 𝐻𝑧𝑘 = 𝑖 𝑗 𝜕 𝜕𝑥 𝐻𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝐻𝑦 𝑘 𝜕 𝜕𝑧 𝐻𝑧 = 𝜕 𝜕𝑦 𝐻𝑧 𝑖 + 𝜕 𝜕𝑧 𝐻𝑥 𝑗 + 𝜕 𝜕𝑥 𝐻𝑦 𝑘 − 𝜕 𝜕𝑦 𝐻𝑥 𝑘 + 𝜕 𝜕𝑥 𝐻𝑧 𝑗 + 𝜕 𝜕𝑧 𝐻𝑦 𝑖

(5)

예제 1) 스칼라함수 V = 1 2𝑥 2_{𝑦 + 𝑦𝑥 + 𝑧}4 _{의 점 p(2, 1, 3)에서의 기울기를 구하라.}  스칼라함수 V의 기울기 식은: 𝛻𝑉 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 𝛻𝑉 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕 𝜕𝑧𝑘 𝑉 = 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑉 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑉 𝜕𝑧𝑘 = 𝜕 𝜕𝑥( 1 2𝑥 2_{𝑦 + 𝑦𝑥 + 𝑧}4_{) 𝑖 +} 𝜕 𝜕𝑦( 1 2𝑥 2_{𝑦 + 𝑦𝑥 + 𝑧}4_{) 𝑗 +} 𝜕 𝜕𝑧( 1 2𝑥 2_{𝑦 + 𝑦𝑥 + 𝑧}4_)𝑘 = 𝑥𝑦 + 𝑦 𝑖 + 1 2𝑥 2_{+ 𝑥 𝑗 + 4𝑧}3 _𝑘  점 p(2, 1, 3)에서의 기울기 𝛻𝑉 = 𝑥𝑦 + 𝑦 𝑖 + 1 2𝑥 2 _{+ 𝑥 𝑗 + 4𝑧}3 _𝑘 = (2 × 1 + 1) 𝑖 + (1 2× 2 2_{+2) 𝑗 + (4 × 1}3_)𝑘 = 3 𝑖 + 4 𝑗 + 4𝑘