우석대학교 에너지전기공학과

우석대학교 에너지공학과

이우금 교수

4. 삼각함수(복습)

4-1. 60분법과 호도법

 60분법  직각을 90등분한 1등분을 1도 (1°), 1도의 1/60을 1분, 1분의 1/60을 1초라 함.  호도법  반지름 r인 원(그림 4-1.1) 에서 반지름과 같은

길이의 원호에 대한 중심각 ∠AOB의 크기를 ※ ∠AOB = 1 [rad]

1호도(radian)라 하고, 1[rad]로 표시함.  호도법과 60분법의 관계

 원의 둘레: 2π𝑟 (반지름의 2π 배) 2π𝑟: 𝑟 = 360°: 1  360°= 2π [rad] O B A

r

r

60분법 0° ₃₀° ₄₅° ₆₀° ₉₀° ₁₂₀° ₁₈₀° ₂₇₀° ₃₆₀° (그림 4-1.1)

4-2. 부채꼴의 호의 길이와 면적

 호의 길이 (ℓ) 1 [rad] = r 이므로, θ:ℓ = 1 : r ℓ= rθ  부채꼴의 면적 (S) 2π ∶ π 𝑟2 _{= θ: 𝑆 이므로,} S = 1₂𝑟2 _{θ =}1 2 𝑙 · 𝑟 O B A

r

ℓ

θ (그림 4-2.1)

4-3. 삼각함수의 정의

 그림 4-3.1 과 같이 r 인 OP가 𝑥 축 양의 방향과 이루는 각을 θ 라 하고, 점 P의 좌표를

P(x, y)라 할 때, θ 에 대응하는 값을 삼각비로 구하면:

사인함수(sine function): sin θ = 𝑦_𝑟 코사인함수(cosine function): cos θ = 𝑥_𝑟 탄젠트함수(tangent function): tan θ = 𝑦_𝑥

 역수관계

코시컨트함수(cosecant function): csc θ = _{sin θ}1 = _𝑦𝑟 시컨트함수(secant function): sec θ =_{cos θ}1 =_𝑥𝑟 코탄젠트함수(cotangent function): _{c𝑜𝑡 θ =} 1 tan θ = 𝑥 𝑦 o

r

θ

𝑥

𝑦

𝑥 𝑦 (그림 4-3.1) P (x, y)

4-4. 삼각함수 값의 부호

 그림 4-3.1 에서 r 은 OP의 길이: 그 부호는 항상 양 (r < 0)  𝑥, 𝑦 는 좌표: P(x, y)점의 위치에 따라 𝑥, 𝑦 의 부호가 결정됨.  위치에 따른 삼각함수 값의 부호

o

r

θ

𝑥

𝑦

𝑥 𝑦 (그림 4-3.1) P (x, y) o

𝑥

𝑦

(그림 4-3.2, 양의 삼각함수)

sin

_all

tan

cos

사분면 함수

1

2

3

4

sin θ

+

+

-

-

cos θ

₊

_-

_-

₊

tan θ

+

-

+

-

(예제 2) 점

P(-4, 3)을 동경으로 하는 각을 θ 라 할 때, 다음 삼각함수의 값을

구하라.

1)

sin θ

2)

cos θ

(예제 3) 다음의 주어진 삼각함수의 값을 구하라.

1)

sin 690

°

2)

cos(−120

°

)

4-5. 삼각함수의 기본공식

 그림 4-5.1 과 같이 반지름이 1인 단위 원과 동경좌표를 P 𝑥, 𝑦 라하면,

cos θ =

𝑥 𝑟

= 𝑥, sin θ =

𝑦 𝑟

= 𝑦

그러므로,

tan θ =

𝑦 𝑥

=

sin θ cos θ  그림 4-5.1 과 피타고라스의 정리를 이용하여

cos

2

θ + sin

2

θ = 1

이 됨을 증명하라.  『피타고라스의 정리』

cos

2

θ = 𝑥

2

, sin

2

θ = 𝑦

2

𝑥

2

_+𝑦

2

_{= 𝑟}

2

_{= 1}

그러므로,

cos

2

θ + sin

2

θ = 1

o r=1

𝑥

𝑦

𝑥 𝑦 (그림 4-5.1) P (x, y) θ

※ 피타고라스 정리의 증명

『직각삼각형에서 직각을 사이에 둔 두 변을 각각 제곱하여 합한 것은 나머지 한 변의 제곱과 같다』

1) 사각형 ABCD는 정사각형

2) 정사각형의 각각의 변을 a와 b로 분할한 점을 E, F, G, H 라 하고,

이 4개의 점들을 각각 연결하여 사각형 EFGH를 그리면, 사각형 EFGH는 4변의 길이가 같은 사각형. ※ 왜냐하면, 삼각형 AEF = 삼각형 BEG = 삼각형 CGH = 삼각형 DHE

직각삼각형을 낀 두 변의 길이가 각각 같으면, 두 삼각형은 합동 3) 사각형 EFGH는 정사각형인가?

4) 정사각형 ABCD와 정사각형 EFGH에서, (𝑎 + 𝑏)2_{= 𝑐}2_{+ 4 ×}𝑎·𝑏

4-5. 삼각함수의 기본공식 (계속)

 그림 4-5.1 과 같이 반지름이 1인 단위 원과 동경좌표를 P 𝑥, 𝑦 라하면,

𝑥 = cos θ, 𝑦 = sin θ

그러므로,

tan θ =

𝑦 𝑥

=

sin θ cos θ  그림 4-5.1 과 피타고라스의 정리를 이용하여

cos

2

θ + sin

2

θ = 1

이 됨을 증명하라.  위의 항등식의 양변을

cos

2

θ

로 나누면,

1 + tan

2

θ =

_cos1_2θ

1 + tan

2

θ = sec

2

θ

같은 방법으로,

1 + cot

2

θ = csc

2

θ

o r=1

𝑥

𝑦

𝑥 𝑦 (그림 4-5.1) P (x, y) θ

 삼각함수의 기본공식 정리 1) 역수관계

csc θ =

1 sin θ

, sec θ =

1 cos θ

, cot θ =

1 tan θ

2) 상제관계

tan θ =

_{cos θ}sin θ

, cot θ =

cos θ_{sin θ}

3) 제곱관계

(예제 4) 각 θ 는 제3사분면의 각이고 cosθ = −

4 5

일때, sinθ, tanθ 의 값을 구

하라.

 항등식

cos

2

θ + sin

2

θ = 1

에서

sin θ = ± 1 − cos

2

_{θ = ± 1 − (−}

4 5

)

2

= ±

3 5

θ

는 제3사분면의 각이므로,

sin θ < 0

sin θ = −

3 5  또한,

tanθ =

sinθ cosθ

= −

3 5

÷ −

4 5

=

3 4

4-6. 삼각함수의 성질

 삼각함수는 주기함수

각

θ

와

2π + θ

의 삼각함수의 값은 같으므로,

sin θ = sin(2π + θ) , cos θ = cos 2π + θ , tan θ = tan(2π + θ)

그러므로, 모든 실수

𝑥 에

대하여

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑇 ,

(단, 𝑇 는 0 이아닌 상수) 를 만족하는 함수

𝑓 𝑥

를 주기함수 (periodic function) 라 하고, 𝑇 를 함수의 주기라 한다. ※ 일반적으로 함수

𝑓 𝑥

의 주기는 주기 중 최소의 양수를 의미함.

𝑦 = sin θ, 𝑦 = cos θ :

주기

2π(= 360°)

𝑦 = tan θ :

주기

π(= 180°)

 최대값과 최소값

𝑦 = sin θ, 𝑦 = cos θ

의 최대값은 1, 최소값은 -1. 그러나

4-6. 삼각함수의 성질 (계속)

 우함수 (even function)와 기함수(odd function)



𝑦 = sin θ, 𝑦 = tan θ

는 원점에 대해 대칭이므로 기함수. 기함수:

𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥

 𝑦 = cos θ

는

𝑦

축에 대칭이므로 우함수 우함수:

𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥



𝑦 = 𝐴sin ω𝑥, (𝐴 ≠ 0)

의 진폭과 주기  최대값:

𝐴

, 최소값:

− 𝐴

 주기:

𝑇 =

2π ω

(=

360° ω

)

 주파수:

𝑓 =

1 𝑇

=

ω 2π

(=

ω 360°

)

 각속도:

ω

(예제 5)

𝑦 = 2sin 2𝑥 의 진폭, 주기, 주파수, 각속도를 구하라.

 진폭: 최고 값과 최소 값의 차이  최고값: 2, 최소값: -2 진폭 = 4  각속도 = ω = 2  주기(T) = 2π ω

=

2π 2

= π

 주파수(f) = 1 𝑇

=

1 π  2π동안 몇 개의 주기가 있는가?

𝑓 × 2π =

2π π

= 2

2π ω 주기= 2π ω 0 𝑦 𝑥