강의 (14)
우석대학교 에너지전기공학과
이우금 교수
일시: 10월23일 (수) 1~2교시
주의사항
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Ch. 1. 복소수 (complex number) 1. 복소수의 개념 1-1. 복소수의 정의 복소수: 실수 외에 허수까지 포함하는 수. 실수: 실수의 기본단위는
1
이며, 실수는 이의 배수로 나타내며, 제곱하여0
또는 양수로 표시됨. 허수: 제곱하여−1
이 되는 수를 기본단위로 하는 새로운 가상의 수. •𝑖
2= −1
𝑖 = −1
(허수 기본단위) 복소수의 구성: 실수와 허수의 합으로 이루어지고,A
로 표시함. A = 𝑎 + 𝑏𝑖
(𝑎, 𝑏
는 각각 실수)•
A
의 실수 부 (real part):𝑎 𝑎 = 𝑅𝑒(A )
•
A
의 허수 부 (imaginary part):𝑏 𝑏 = 𝐼𝑚(A )
1-2. 복소수의 표시
실수는 기하학적으로 일직선상의 한 점으로 표시되나, 복소수는 두 개의 실수로 구성되므로 일직선상에 표시할 수 없음.
복소평면(complex plan) or 가우스평면(Gauss plan)
복소수는 실수를 가로축(
𝑥
축)으로 하는 실축과 허수를 세로축(𝑦
축)으로 하는 허축의 직교좌표의 한 점으로 표시됨. 직교좌표에서 한 점𝑃(𝑎, 𝑏)
는 복소수A = 𝑎 + 𝑏𝑖
의 한 점으로 대응 됨. 복소수는 아래 그림과 같이 원점에서부터 점𝑃
까지 화살표로 나타낼 수 있음. 0 𝑎 𝑃(𝑎, 𝑏) 𝑦 𝑥 𝑏 0 𝑎 𝑃(𝑎, 𝑏) 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) A = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑏2-1. 복소수의 사칙연산 복소수의 덧셈과 뺄셈 실수는 실수끼리, 허수는 허수끼리 각각 더하거나 뺀다. 복소수의 곱셈 두 복소수가 각각 다음과 같을 때,
A = 𝑎 + 𝑏𝑖 & B = 𝑐 + 𝑑𝑖
A B = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖 + 𝑏𝑑𝑖
2= (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖
※𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑖 = −1 𝑖
2=
−1
2= −1
복소수의 나눗셈 두 복소수가 각각 다음과 같을 때,A = 𝑎 + 𝑏𝑖 & B = 𝑐 + 𝑑𝑖
나눗셈 A B=
𝑎+𝑏𝑖 𝑐+𝑑𝑖=
(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐−𝑑𝑖) (𝑐+𝑑𝑖)(𝑐−𝑑𝑖)=
𝑎𝑐+ 𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑖−𝑖2𝑏𝑑 𝑐2−(𝑑𝑖)2=
(𝑎𝑐+𝑏𝑑)+ 𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑖 𝑐2+𝑑2 2-3. 공액(conjugate) 복소수 복소수에서 실수부는 같고 허수부의 부호만 바뀐 복소수를 공액복소수 함. 복소수A = 𝑎 + 𝑏𝑖
의 공액복소수:A
= 𝑎 − 𝑏𝑖
−𝑏𝑑
3. 복소수의 표현방식 직교좌표 형식:
A = 𝑎 + 𝑏𝑖
극좌표 형식:A = A∠𝜃
삼각함수 형식(극형식):A = A 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃
지수함수 형식:A = A𝑒
𝑖𝜃 복소수A
의 크기 r (절대값)과A
의 편각𝜃
(argument) 로 표시. A = 𝑎 + 𝑏𝑖 = A∠𝜃
편각𝜃
양의 각: 원점을 중심으로 반 시계 방향으로 회전하는 각 음의 각: 원점을 중심으로 시계 방향으로 회전하는 각 극좌표형식의 공액복소수:A
= A∠ − 𝜃
𝑟 = A = 𝑎
2+ 𝑏
2𝜃 = 𝑡𝑎𝑛
−1 𝑏 𝑎 0 𝑟 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) 𝜃 𝑎 𝑏 −𝑏 −𝜃 A = 𝑎 − 𝑏𝑖 A = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑃(𝑎, 𝑏)4. 복소수의 상호변환 복소평면에서 복소수
A = 𝑎 + 𝑏𝑖
를 나타내는 점을𝑃(𝑎, 𝑏)
라 하고,A
의 절대값을𝑟, A
의 편각을𝜃
라 할 때, 복소수A = 𝑎 + 𝑏𝑖 = A 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃 = A𝑒
𝑖𝜃= A∠𝜃
복소수의 크기:A = 𝑎
2+ 𝑏
2 복소수의 편각:𝜃 = arg A = 𝑡𝑎𝑛
−1 𝑏 𝑎 복소평면 지수함수형식 극형식 극좌표형식 0 𝑎 = A ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 (허축) 𝑥, (실축) 𝑏 = A ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 θ A = 𝑎 + 𝑏𝑖 = A 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃 = A𝑒𝑖𝜃 = A∠𝜃5. 복소수의 기하학적 연산 5-1. 복소수의 합과 차 복소수의 대수적인 합과 차
A + B = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖
A − B = 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖
기하학적인 복소수의 합과 차 2차원 평면에서의 벡터의 합과 차를 적용함. 복소수의 합: 평행사변형법 •A + B = C
복소수의 차 •A − B = C
A B C 𝑂 A B C 𝑂 −B복소수의 연산 (정리) 복소수의 합과 차
A + B = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖
A − B = 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖
복소수의 곱셈 A = A 𝑐𝑜𝑠 𝜃
1+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜃
1& B = B (𝑐𝑜𝑠 𝜃
2+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜃
2)
A ∙ B = AB 𝑐𝑜𝑠( 𝜃
1+ 𝜃
2) + 𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝜃
1+𝜃
2)
= AB∠(𝜃
1+ θ
2) = AB𝑒
𝑖(𝜃1+θ2) 복소수의 나눗셈 A B=
A B𝑐𝑜𝑠( 𝜃
1− 𝜃
2) + 𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝜃
1−𝜃
2)
=
AB∠(𝜃
1− θ
2) =
AB𝑒
𝑖(𝜃1−θ2) 0 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) θ1 θ2 𝜃1+ θ2 A ∙ B A B 0 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) θ1 θ2 𝜃1− θ2 A B A B<직각삼각형의 특수각과 삼각함수 정리> 직각삼각형의 특수각 그림과 같이 길이가
𝑟
인𝑜𝑝
가𝑥
축 양의 방향과 이루는 각을𝜃
라 하고, 점𝑝
의 좌표를𝑝(𝑥, 𝑦)
라 할 때,𝜃
에 대응하는 값을 삼각비로 구하면, 사인함수(sine function):𝑠𝑖𝑛(𝜃) =
𝑦 𝑟 코사인함수(cosine function):𝑐𝑜𝑠(𝜃) =
𝑥 𝑟 탄젠트함수(tangent function):𝑡𝑎𝑛(𝜃) =
𝑦 𝑥※
𝜃
가 몇 4분 면의 각이던 관계없이 위의 삼각비는 불변하나, 삼각함수 값의 부호는𝜃
에 따라 바뀜. (예시) 1/4 분 면:𝑠𝑖𝑛 𝜃
=
𝑦1> 0
, 3/4 분 면:𝑠𝑖𝑛 𝜃
=
𝑦2< 0
60° 30° 1 2 3 45° 45° 1 2 1 𝑜 𝑥 𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑙𝑙 𝑡𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠 각 4분 면에서 삼각함수의 부호 𝑜𝑟
𝑥
𝑦
∙
𝑝(𝑥1, 𝑦1)∙
𝜽𝟏 𝜽𝟐 𝑦2 𝑥2 𝑥1 𝑦1 𝑝(𝑥2, 𝑦2)𝑟
6-2. 복소수의 n제곱근 이항방정식 (
A
𝑛= B
) 의 해법 정리 복소수A
와B
가 다음과 같을 때:A = A𝑒
𝑖𝜑= A ∠ φ, B = B𝑒
𝑖θ= B ∠ θ
1) 좌변의A
𝑛 을 드 므와브르 정리에 의해 극형식으로 변환.A
𝑛= (A𝑒
𝑖𝜑)
𝑛= 𝐴
𝑛𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜑 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜑
2) 우변의 복소수B
를 극형식으로 변환하고, 각𝜃
는 일반각𝜃 = 𝜃 + 2𝑘𝜋 로
변환.𝐵 = 𝐵 ∠(𝜃 + 2𝑘𝜋) = 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 2𝑘𝜋 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 2𝑘𝜋
3)A
𝑛= B
에 의해 복소수A 의
크기 A 와 편각φ
를 구한다.𝐴
𝑛𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜑 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜑 = 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 2𝑘𝜋 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 2𝑘𝜋
크기:A
𝑛= B A= B
𝑛 편각:𝑛𝜑 = 𝜃 + 2𝑘𝜋 𝜑 =
𝜃+2𝑘𝜋 𝑛 4) 크기와 편각을 복소수𝐴 = 𝐴𝑒
𝑖𝜑= 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜑 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜑
에 대입한다. 위의 등식으로부터 크기는 같고, 편각𝜃
를 일반각 (즉,𝜃 = 𝜃 + 2𝑘𝜋
)으로 고치면,𝐴
𝑘= 𝐵
𝑛𝑐𝑜𝑠
𝜃+2𝑘𝜋 𝑛+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛
𝜃+2𝑘𝜋 𝑛, (𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1)
Ch. 2. 미분방정식
1-1. 미분방정식의 정의
미분방정식은
𝑦
′, 𝑦“
등의 도함수를 포함하는 방정식 미분방정식의 구분(1) 상미분방정식(ordinary differential equation) (2) 편미분방정식(partial differential equation) (3) 완전미분방정식 (exact differential equation)
미분방정식의 계수 및 차수
계수: 미분방정식 중 최고계 도함수로 계수가 정해짐 차수: 최고계 도함수의 차수로 정해짐
선형미분방정식
예시1) 𝑑𝑥2
+ 𝑥
2𝑦 + 3
𝑑𝑥= 0 ∶
종속변수 𝑦 에 대한 최대 미분의 수는 2 예시2) 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 3+ 3
𝑑𝑦 𝑑𝑥 2+ 4𝑦 = 0
예시3) 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2+ 𝑦 + 3
𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝑥
2𝑑𝑦 𝑑𝑥
− 𝑦
2= 0
예제) 다음 미분방정식의 선형 및 비선형을 구분하고, 각각의 계수와 차수를 말하라. (1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2+ 𝑦 = 𝑥 + 2
(2) 𝑑𝑑𝑥2𝑦2
+ 3
𝑑𝑦𝑑𝑥= 𝑥
2+ 𝑦
2 (3) 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3+ 𝑥 − 1
𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 3𝑦 = 0
(4) 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3+
𝑑𝑦 𝑑𝑥− 𝑥 − 𝑦
2= 3
(5) 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2+ 𝑦 =
𝑥2 𝑦 1계 2차 비선형 미분방정식 2계 1차 비선형 미분방정식 3계 선형미분방정식 3계 1차 비선형미분방정식 2계 1차 비선형미분방정식2
계 미분방정식2
번 미분1
번 미분 최고계 도함수 2계: 차수=
3
차 미분방정식3
차 2계 선형미분방정식,𝑦
에 대해 2차: 비선형2. 1계 미분방정식 1계 미분방정식의 일반형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥
+ 𝑦 = 𝑓 𝑥
1계 미분방정식의 형태에 따라 다음의 형태로 분리 (1) 변수분리형 미분방정식 (2) 동차형 미분방정식 (3) 완전 미분방정식 2-1. 변수 분리형 함수𝑓(𝑥)
와𝑔(𝑦)
가 각각 좌우로 분리 가능한 형태 𝑔 𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝑓 𝑥 1 − 𝑦
2 𝑑𝑦 𝑑𝑥− 𝑥 + 1 = 0 1 − 𝑦
2𝑑𝑦 = 𝑥 + 1 𝑑𝑥
위의 미분방정식의 형태: 1계 1차 비선형 미분방정식 변수분리형 미분방정식의 해법 (1)𝑓(𝑥)
와𝑔(𝑦)
를 변수 분리한다𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
(2) 양변을 적분한다𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶
부정적분의 계산 (review) (1) 치환 적분법 case 1)
𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)
형 case 2)𝑓 𝑔 𝑥 ∙ 𝑔
′𝑥
형 case 3) 함수 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥) 형 (2) 부분 적분법 𝑓
′𝑥 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥
(3) 부분분수 분해법 유리함수: 분모와 분자가 다항함수로 구성되어 있는 분수 식 부분분수 분해: 여러 개의 분수 식의 합과 차로 변환하여 간단한 분수 식으로 표현
치환적분 정리 (1) 치환할 함수를 결정하여
𝑡
로 치환 case 1)𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)
형 치환:𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑡
case 2)𝑓 𝑔 𝑥 ∙ 𝑔
′𝑥
형 치환:𝑔(𝑥) = 𝑡
case 3) 함수 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥) 형 치환:𝑓(𝑥) = 𝑡
(2) 치환한 함수의 양변을𝑥
에 대해 미분하여,𝑑𝑥
와𝑑𝑡
의 관계식을 구함 (3) 피적분 함수를𝑡
로 교체하고,𝑑𝑥
대신𝑑𝑡
를 대입하여𝑡
에 대해 적분 (4) 적분 후𝑡
를 다시𝑥
의 함수로 환원 예시1) 2 (2𝑥+1)2𝑑𝑥
를 구하라. (1)2𝑥 + 1 = 𝑡
로 치환하고, 양변을𝑥
에 대해 미분: 𝑑 𝑑𝑥2𝑥 + 1 =
𝑑𝑡 𝑑𝑥2 =
𝑑𝑡 𝑑𝑥 (2)𝑑𝑥 & 𝑑𝑡
의 관계식:2𝑑𝑥 = 𝑑𝑡
(3)𝑡
에 대해 적분: 2𝑑𝑥 (2𝑥+1)2=
1 𝑡2𝑑𝑡 + 𝐶 = −
1 𝑡+ 𝐶
(4)𝑡 = 2𝑥 + 1
로 환원: 2𝑑𝑥 = −
1+ 𝐶 =− −
1+ 𝐶
𝑡
𝑑𝑡
치환적분 case 1:𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)
형예시2)
