2020 비상 수학교과서 기하 답지 정답

(1)

이차곡선

1

이차곡선

10쪽

1

⑴ 10 ⑵ 1

2

⑴ 축: 직선 x=0, 꼭짓점: {0, 0} ⑵ 축: 직선 x=1, 꼭짓점: {1, -3} 11쪽

1

_,

2

_,

3

F B L 스스로확인하기 ⑵ -2, -8x

0

1

⑴ y @=16x ⑵ y @=-12x

0

2

⑴ 초점: [1₄, 0] ⑵ 초점: [-1₂, 0] 준선: x=-1₄ 준선: x=1₂ O y@=x -4! 4! y x O y@=-2x -2! 2! y x 스스로확인하기 ⑵ -1, -4y

0

3

⑴ x @=y ⑵ x @=-12y

0

4

⑴ 초점: [0, 1₈] ⑵ 초점: {0, -4} 준선: y=-1₈ 준선: y=4 O x@=2!y -8! 8! y x O x@=-16y y x 4 -4

0

1 포물선

11~15쪽 16쪽

1

10

2

,

3

F F' 스스로확인하기 5, 9

0

1

⑴ x @₉ +y @₅=1 ⑵ ₁₆x @+y @₇=1

0

2

⑴ 장축의 길이: 20 ⑵ 장축의 길이: 6 단축의 길이: 12 단축의 길이: 4 초점: {8, 0}, 초점: {j5, 0}, {-8, 0} {-j5, 0} -8O 8 -6 -10 6 10 y x x@ 100 y@ 36 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\+\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\=1 -3 O -2 -j5 j5 2 3 y x 4x@+9y@=36 스스로확인하기 6, 27

0

3

⑴ ₁₂x @+₁₆y @=1 ⑵ x @₉ +₂₅y @=1

0

2 타원

16~20쪽

0

5

예 두 포물선 y @=4x, O x y 2 -2 -2 2 4 -4 -4 4 y=x y@=4x x@=4y x @=4y는 직선 y=x 에 대하여 대칭이다.

0

6

8#`m 초점의 x좌표가 1₄, 1₂, 1, 2, 3, 4일 때, 포물선의 방정식은 각각 y @=x, y @=2x, y @=4x, y @=8x, y @=12x, y @=16x이고 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 즉, 초점이 꼭짓 점에서 멀어질수록 포물선의 폭은 점점 넓어진다. 수학 역량 기르기 15쪽

(2)

21쪽

1

2

,

3

F F' 스스로확인하기 3, 7

0

1

⑴ x @₄-y @₅=1 ⑵ x @₂₅-₁₁y @=1

0

2

⑴ 초점: {j7, 0}, {-j7, 0} 꼭짓점: {2, 0}, {-2, 0}, 주축의 길이: 4 ⑵ 초점: {j10k, 0}, {-j10k, 0} 꼭짓점: {1, 0}, {-1, 0}, 주축의 길이: 2 스스로확인하기 2, 4

0

3

⑴ ₁₆x @-y @₉=-1 ⑵ x @₂₀-₁₆y @=-1

0

4

⑴ 초점: {0, 5}, {0, -5} 꼭짓점: {0, 4}, {0, -4}, 주축의 길이: 8 ⑵ 초점: {0, 3}, {0, -3} 꼭짓점: {0, 1}, {0, -1}, 주축의 길이: 2

0

5

예 [문제] 쌍곡선의 방정식을 x @₂₇-y @₉=-1로 정한다. [답] 초점: {0, 6}, {0, -6}, 꼭짓점: {0, 3}, {0, -3}, 주축의 길이: 6

0

3 쌍곡선

21~28쪽

0

4

⑴ 장축의 길이: 10 ⑵ 장축의 길이: 6 단축의 길이: 8 단축의 길이: 2 초점: {0, 3}, 초점: {0, 2j2}, {0, -3} {0, -2j2} -4 O -5 -3 5 3 4 y x \\\\\\\\\\\\\\\\\\+\\\\\\\\\\\\\\\\\\=1 x@ 16 25y@ -1 O -3 3 1 y x 9x@+y@=9 2j2 -2j2

0

5

10j5`cm 실의 길이가 10`cm로 일정하므로 PFZ+PXF'Z=10이다. 따라서 타원의 정의에 의하여 두 점 F, F'을 초점으로 하고, 두 초점 F, F'으로부터 거리의 합이 10`cm인 타 원이 된다. 수학 역량 기르기 20쪽

0

6

₉₀₀x @ -₂₇₀₀y @ =1

0

7

⑴ y=-3x ⑵ y=-x O y x y@ 9 x@-\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\=1 y=3x y=-3x 1 -1 y x O x@-y@=-16 y=x 4 -4 y=-x

0

8

⑴ {-1, 4+j6}, {-1, 4-j6} ⑵ {2+j5, 3}, {2-j5, 3}

0

9

⑴ 원 ⑵ 포물선 ⑶ 쌍곡선 ⑷ 타원

1

\

2

\

3

d

4

\

1

⑴ y @=-4x ⑵ x @₃ +y @₄=1 ⑶ x @-₁₅y @=1

2

⑴ 초점: [0, ₃₂1 ], 준선: y=-₃₂1 ⑵ 초점: {2, 0}, {-2, 0} 장축의 길이: 8, 단축의 길이: 4j3 ⑶ 초점: {0, 3}, {0, -3} 꼭짓점: {0, 2}, {0, -2}, 주축의 길이: 4

3

⑴ y=- 4₃x ⑵ y=- j2₂ x

4

구하는 포물선의 방정식을 y @=4px라고 하면 점 {-3, 6}을 지나므로 36=-12p, p=-3 따라서 포물선의 방정식은 y @=-12x

5

점 B에서 포물선 y @=6x의 준선 x=-3₂에 내린 수 선의 발을 H라고 하면 AXBZ+BFZ=AXBZ+BXHZ=AXHZ=6-_[-3₂_]=15₂

6

포물선 x @+8y-8=0, 즉 x @=-8{y-1}은 포물선 x @=-8y를 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므 로 준선 L의 방정식은 y=3 포물선 y @+6y+8x-7=0, 즉 {y+3}@=-8{x-2}는 포물선 y @=-8x를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이므로 초점 F의 좌표는 {0, -3} 따라서 점 F와 직선 L 사이의 거리는 6이다. 29~31쪽 Ⅰ. 이차곡선

165

(3)

7

초점의 좌표가 {0, j7}, {0, -j7}이므로 구하는 타 원의 방정식을 x @ a @+ y @ b @=1{b>a>0}이라고 하면 b @-a @=7 ……`① 점 {0, 3}을 지나므로 b @=9 ……`② ①, ②에서 a @=2 따라서 구하는 타원의 방정식은 x @₂+y @₉=1

8

AXFZ+AXF'Z=BFZ+BXF'Z=6이므로 삼각형 ABF의 둘 레의 길이는

AXBZ+BFZ+FAZ={AXF'Z+FX'BZ )+BFZ+AXFZ

=AXFZ+AXF'Z+BFZ+BXF'Z =12

9

오른쪽 그림에서 구하 y x O y=2!x y=-2!x 2 1 4 는 쌍곡선의 방정식을 x @ a @ -y @ b @=1{a>0, b>0}이라고 하면 b_a=1₂ 즉, a=2b ……`① 점 {4, 1}을 지나므로 16 a @ -1 b @=1 ……`② ①, ②에서 a @=12, b @=3 따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은 ₁₂x @-y @₃=1

10

F{j6, 0}, F'{-j6, 0}이고 CF'PF=90!이므로 PFZ@+PXF'Z@=FXF'Z@=24 ……`① 또 PXF'Z-PFZ=4이므로 양변을 제곱하면 PFZ@+PXF'Z@-2PFZ\PXF'Z=16 ……`② ①, ②에서 PFZ\PXF'Z=4 따라서 삼각형 PF'F의 넓이는 1₂\PFZ\PXF'Z=2

11

점 P에서 준선 x=-1₂에 이르는 거리는 FPZ의 길이 와 같으므로 3이다. 따라서 점 P의 좌표를 [ 5₂, k_]{k>0}라고 하면 k @=2\5₂, k=j5 두 점 P, Q에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 P', Q' 이라고 하면 FPZ=PQZ이므로 FXQ'Z=2 FXP'Z, QXQ'Z=2 PXP'Z 따라서 점 Q의 좌표는 [ 9₂, 2j5_]

12

오른쪽 그림과 같이 타원 O A' F' F A B a a y x -a _-c _c 궤도를 좌표평면 위에 나 타내고, 타원의 두 초점 을 각각 F, F'이라고 하 자. 태양이 초점 F의 위 치에 있다고 할 때, 타원 이 장축과 만나는 두 점을 각각 A, A'이라 하고, 단 축과 만나는 한 점을 B라고 하면 BFZ=BXF'Z=a이므 로 타원의 장축의 길이는 2a이다. 즉, AXA'Z=2a FXF'Z=2c이므로 AFZ=a-c, AX'FZ=a+c 두 지점 A, A'에서의 속력을 각각 5k, 3k{k>0}라 고 하면 케플러 법칙에 의하여 5k{a-c}=3k{a+c} 따라서 a=4c, 즉 a`:`c=4`:`1

13

초점의 좌표는 {4, 0}, {-4, 0} 점 A는 쌍곡선의 한 초점이므로 다른 한 초점을 A'이 라고 하면 PXA'Z-PXAZ=6 PXAZ+PBZ={PXA'Z-6}+PBZ >A_{X'BZ-6=2j29k-6} 따라서 구하는 최솟값은 2j29k-6

1

타원

2

직선 L 은 AFZ의 수직이등분선이므로 AXPZ=PFZ 한편 OPZ+PFZ=OPZ+PXAZ=OXAZ 이때 반지름 OA의 길이는 항상 일정하므로 OPZ+PFZ 의 값은 항상 일정하다. 따라서 점 P가 나타내는

1

의 도형은 두 점 O, F를 초점으로 하는 타원이다.

3

(4)

2

이차곡선과 직선

34쪽

1

⑴ {0, -1}, [ 1₂, -1₂] ⑵ {0, -1}, {1, 0}

2

x+j3y-4=0 35쪽 _직선y=x와 만나는 점은 2개이고, 직선 y=x+2와 만나는 점은 없다. 스스로확인하기 만나지 않는다

0

1

⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⑵ 한 점에서 만난다.

0

2

⑴ k<-j2 또는 k>j2 ⑵ k=-j2 ⑶ -j2<k<j2

0

3

접선의 방정식을 y=mx+n이라 하고, 쌍곡선의 방 정식 x @ a @ -y @ b @=1에 대입하여 정리하면 {a @m @-b @}x @+2a @mnx+a @{n @+b @}=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D₄=-a @b @{a @m @-b @-n @}=0 이때 ab=0이므로 n @=a @m @-b @에서 n=-1a @m @3-b @3 따라서 구하는 접선의 방정식은 y=mx-1a @m @3-b @3 (단, a @m @>b @)

0

4

⑴ y=2x+4! ⑵ y=3x-4j3 ⑶ y=2x-j33k

[세민] 기울기가 1인 직선의 방정식을 y=x+k라 하고, y=x+k를 x @-y @₂=1에 대입하여 정리하면 x @-2kx-k @-2=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D₄=2k @+2>0 따라서 직선 y=x+k는 쌍곡선과 항상 서로 다 른 두 점에서 만나므로 쌍곡선의 접선이 될 수 없다. [재원] 주어진 쌍곡선의 점근선의 방정식은 y=-j2x 이다. 따라서 기울기가 j2인 직선은 쌍곡선의 점근선 과 일치하거나 평행하므로 쌍곡선의 접선이 될 수 없다. 수학 역량 기르기 38쪽

0

1 이차곡선과 직선

35~42쪽

0

5

! y1=0일 때, 접선의 기울기를 m이라고 하면 구하 는 접선의 방정식은 y=m{x-x1}+y1 yy`① 타원 x @ a @+ y @ b @=1에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식은 y=mx-1a @m @+b @3 yy`② ①, ②에서 y1-mx1=-1a @m @+b @3 양변을 제곱하여 정리하면 m=-b @x1 a @y1 이것을 ①에 대입하여 정리하면 x1 x a @ + y1 y b @ =1 @ y1=0일 때, 접선의 방정식은 x=a 또는 x=-a

이므로 접선의 방정식 x1 x a @ + y1 y b @ =1은 이 경우 에도 성립한다. !, @에서 타원 x @_{a @}+y @ b @=1 위의 점 P{x1, y1}에서 의 접선의 방정식은 x1 x a @ + y1 y b @=1

0

6

⑴ y=x+3 ⑵ x+j3y-5=0 ⑶ y=2

0

7

8

0

8

j2x+y-2=0 또는 -j2x+y-2=0

1

점 P{2, 2}에서의 접선의 방정식은 2y=x+2, y=1₂ x+1

2

A{-2, 0}, F[1₂, 0]이므로 AFZ= 5₂, PFZ=r_[3₂_]@+2@y= 5₂ 따라서 AFZ=PFZ이므로 삼각형 FPA는 이등변삼각 형이다.

3

오른쪽 그림에서 O y@=2x P Q R A y F x CAPF=CPAF이 고, CAPF=CQPR (반사 법칙)인 직선 PR 를 그으면 CPAF=CQPR이 므로 점 P에서 반사된 빛은 포물선의 축과 평행한 방향으로 나아간다. 수학 역량 기르기 42쪽

1

d

2

d

3

\ 44~45쪽 Ⅰ. 이차곡선

167

(5)

1

⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⑵ 만나지 않는다.

2

y=j2x-j7

3

y=-2x+1

4

3x-2y-12=0

5

y=m{x+2}를 x @₂+y @=1에 대입하여 정리하면 {1+2m @}x @+8m @x+8m @-2=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D₄=-4m @+2>0 따라서 -j2₂ <m<j2₂

6

직선 y=x+8에 평행하고 타원 x @₄+y @ 5=1에 접하 는 접선의 방정식은 y=x-3 따라서 구하는 두 접선 사이의 거리는 직선 y=x+3 위의 점 {0, 3}과 직선 y=x-3, 즉 x-y-3=0 사 이의 거리와 같으므로 |-3-3| 11@+{-1}@3=3j2

7

점 {2, 1}에서의 접선의 방정식은 y=2x-3 두 점근선의 방정식은 y=-x 두 직선 y=2x-3, y=x의 교점의 좌표는 {3, 3} 두 직선 y=2x-3, y=-x의 교점의 좌표는 {1, -1} 두 점근선은 서로 수직이므로 세 직선으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 1₂\3j2\j2=3

8

접선의 기울기를 m{m=0}이라고 하면 접선의 방정 식은 y=mx+_m1 점 {-2, 4}를 지나므로 4=-2m+_m1 2m @+4m-1=0 따라서 두 접선의 기울기의 곱은 근과 계수의 관계에 의하여 -1₂

9

포물선 위의 점 A{a, 6}에서 y O B C F A x H -a a y@=4px 의 접선의 방정식은 6y=2p{x+a} 점 B의 좌표는 {-a, 0} 점 A에서 x축에 내린 수선의 발을 H라고 하면 H{a, 0} 준선과 x축의 교점을 C라고 하면 HFZ=CBZ이므로 BFZ=CXHZ=FXAZ=8 따라서 삼각형 ABF의 넓이는 1₂\8\6=24

10

타원 위의 점 P{x1, y1}에서의 접선의 방정식은 x1 x₂₅ +y1 y₁₆=1 이 접선이 x축, y축과 만나는 점의 좌표는 각각 [ 25_x1, 0], [0, 16_y1 ] 이므로 삼각형의 넓이는 1₂\25_x1\16_y1=_{x1 y1}200 점 P는 타원 위의 점이므로 x1@₂₅+y1@₁₆=1 x1@ 25>0, y1@ 16>0이므로 x1@₂₅+y1@₁₆>2rx1@₂₅\y1@_{16 y}=x1 y1₁₀ [단, 등호는 x1@₂₅=y1@₁₆일 때 성립] 즉, 1>x1 y1₁₀ , _{x1 y1}1 > 1₁₀ 따라서 _{x1 y1}200>200\ 1₁₀=20이므로 구하는 최솟값은 20이다.

1

접선의 방정식은 x1 x₂₅ -₁₄₄y1 y=1 점 Q의 좌표는 [25_x1, 0] 점 P{x1, y1}이 쌍곡선 ₂₅x @-₁₄₄y @ =1 위의 점이므로 x1@₂₅-₁₄₄y1@ =1 즉, y1@=144₂₅ x1@-144이므로 PXF'Z`:`PFZ=1{x1+13}@3+y1@3`:`1{x1-13}@3+y1@3 =|13x1+25| : |13x1-25| FX'QZ`:`FQZ=| 25_x1-{-13}| : | 25_x1-13| =|13x1+25| : |13x1-25| 따라서 PFX'Z`:`PFZ=FX'QZ`:`FQZ

2

1

에서 각의 이등분선의 y Q O F F' P \\\\\\\\\\\\\\\\\\-\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\=1₂₅x@ ₁₄₄y@ x M L 성질에 의하여 CF'PQ=CFPQ이 고, 오른쪽 그림에서 CF'PQ=CMPL (맞꼭지각)이므로 CFPQ=CMPL 46쪽

(6)

48~50쪽

1

4j3, -4j3

2

초점이 F{0, 3}이므로 세 점 A, B, C의 y좌표를 각 각 y1, y2, y3이라고 하면 y1+y2+y3₃ =3, y1+y2+y3=9 세 점 A, B, C에서 준선 y=-3에 내린 수선의 발을 각각 A', B', C'이라고 하면 AFZ+BFZ+CFZ=AXA'Z+BXB'Z+CXC'Z ={y1+3}+{y2+3}+{y3+3} ={y1+y2+y3}+9=18

3

두 점 A, B에서 준선 x=-3 y x O F B A' A B' H' H y@=12x x=-3 에 내린 수선의 발을 각각 A', B'이라 하고, 점 A에서 x축, 선분 BB'에 내린 수선의 발을 각각 H, H'이라고 하자. AXFZ=2k, BFZ=3k{k>0}라 고 하면 AXA'Z=2k, BXB'Z=3k 이므로 H'BZ=3k-2k=k 한편 두 삼각형 AHF, AH'B는 닮음이고 닮음비가 2`:`5이므로 HFZ`:`H'BZ=2`:`5 즉, {6-2k}`:`k=2`:`5이므로 k=5₂ 따라서 AXBZ=5k= 25₂

4

타원의 방정식을 x @ a @+ y @ b @=1{a>b>0}이라고 하면 a @-b @=5, 2a-2b=2 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=2 따라서 PFZ+PXF'Z=2a=6

5

타원 x @+6y @-6x-24y+27=0, 즉 {x-3}@ 6 +{y-2}@=1은 타원 x @ 6+y @=1을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 두 초점 F, F'의 좌표는 {3+j5, 2}, {3-j5, 2} 따라서 삼각형 OFF'의 넓이는 1₂\2j5\2=2j5

6

폭발이 일어난 지점을 P{x, y}라고 하면

|

P₁XAZ 3 -PB₁ Z 3

|

=12, |PXAZ-PBZ|=4 즉, 두 초점 A{-8, 0}, B{8, 0}으로부터 거리의 차 가 4인 쌍곡선이므로 구하는 쌍곡선의 방정식은 x @₄ -₆₀y @=1

7

타원 x @+13y @=13의 두 초점의 좌표는 각각 {2j3, 0}, {-2j3, 0}이고, 단축의 길이는 2이다. 구하는 쌍곡선의 방정식을 x @ a @ -y @ b @=1{a>0, b>0} 이라고 하면 2a=2이므로 a=1 12=a @+b @이므로 b @=11 따라서 구하는 점근선의 방정식은 y=-j11kx

8

포물선 y @=-x 위의 점과 직선 y=-1₂x+8 사이의 거리가 최소가 되기 위해서는 그 점에서의 접선이 직 선 y=-1₂ x+8과 평행해야 한다. 기울기가 -1₂인 접선의 방정식은 y=-1₂ x+1₂ 따라서 구하는 최솟값은 직선 y=-1₂ x+1₂ 위의 점 {1, 0}과 직선 y=-1₂ x+8, 즉 x+2y-16=0 사 이의 거리와 같으므로 |1-16| 11@+2@3 =3j5

9

점 P에서의 타원의 접선의 방정식은 3j2x a @ -y b @=1 점 P에서의 쌍곡선의 접선의 방정식은 3j2x₉ +y=1 두 접선이 서로 수직이므로 3j2b @ a @ \[- j 2 3 ]=-1 즉, a @=2b @ yy`① 한편 점 P{3j2, -1}은 타원 x @ a @+ y @ b @=1 위의 점이 므로 18 a @+ 1 b @=1 yy`② ①, ②에서 a @=20, b @=10이므로 a @+b @=30

10

포물선 y @=16x의 초점을 F라고 하면 F{4, 0} ▶ 10 % 포물선의 정의에 의하여 PRZ=PFZ ▶ 30 % 타원 x @₂₅+y @₉=1의 두 초점은 F{4, 0}, Q{-4, 0} ▶ 10 % 타원의 정의에 의하여 PQZ+PFZ=10 ▶ 30 % 따라서 PQZ+PRZ=PQZ+PFZ=10 ▶ 20 % 따라서 반사 법칙에 의하여 초점 F'을 향해 들어오는 빛은 쌍곡선에 반사되어 초점 F를 향해 나아간다. Ⅰ. 이차곡선

169

(7)

11

쌍곡선 x @₉ -y @₇=1의 두 초점은 F{4, 0}, F'{-4, 0} ▶ 20 % 두 점 P, Q는 원점에 대하여 대칭이고 사각형 PF'QF의 넓이가 56이므로 fPF'QF=sPF'F+sF'QF =2sPF'F=2\ 1₂\FX'FZ\b =8b=56 따라서 b=7 yy`① ▶ 40 % 점 P{a, b}는 쌍곡선 x @₉ -y @₇=1 위의 점이므로 a @₉-b @₇=1 yy`② ①을 ②에 대입하여 풀면 a=-6j2 a<0이므로 a=-6j2 ▶ 30 % 따라서 ab=-42j2 ▶ 10 %

12

x+by=-1을 y @=8x에 대입하여 정리하면 y @+8by+8=0 ▶ 30 % 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D₄=16b@-8<0 ▶ 50 % 따라서 - j₂2<b< j₂2 ▶ 20 %

13

점 {a, b}에서의 접선의 방정식은 y=6_bx+6a_b ▶ 30 % 점 {3, -6}에서의 접선의 방정식은 y=-x-3 ▶ 30 % 두 접선이 서로 수직이므로 b=6 yy`① 점 {a, b}는 포물선 y @=12x 위의 점이므로 b @=12a yy`② ①을 ②에 대입하여 풀면 a=3 따라서 ab=18 ▶ 40 %

14

⑴ 접점을 {x1, y1}이라고 하면 접선의 방정식은 x1 x₁₀ +y1 y₂ =1 ▶ 20 % 점 {0, 2}를 지나므로 y1=1 yy`① 점 {x1, y1}은 타원 위의 점이므로 x1@₁₀+y1@₂ =1 yy`② ①을 ②에 대입하면 x1@=5, x1=-j5 ▶ 30 % 따라서 두 접점의 좌표는 각각 {j5, 1}, {-j5, 1} 이므로 PQZ=2j5 ▶ 10 % ⑵ 타원의 다른 초점을 F'이라고 하면 PFZ+FQZ=PFZ+PXF'Z=2j10k ▶ 30 % 따라서 삼각형 PFQ의 둘레의 길이는 PQZ+PFZ+FQZ=2j5+2j10k ▶ 10 %

1

벡터의 연산

54쪽

1

⑴ DCZ ⑵ 1

2

⑴ -a+2b ⑵ 4a-3b 55쪽 _{스톤을 미끄러뜨리는 힘의 크기, 스톤을} 미끄러뜨리는 방향 스스로확인하기 j5

0

1

⑴ 1 ⑵ 2

0

2

⑴ DXBV, FXEV ⑵ CEV, EXBV, FXDV

0

3

예 북 남 서 ₁₂_{3 4}동 [윤서] 두 벡터 AXBV, DXCV 는 크기와 방향이 각각 같으므 로 ABZ=DCZ이고, ABZ|DCZ이다. 따라서 평행사변형이다. [지훈] AXBV=DXCV 에서 사각형 ABCD는 평행사변형이 고, |AXCV|=|BXDV|에서 ACZ=BDZ이다. 따라서 직사각형이다. 수학 역량 기르기 57쪽

0

1 벡터의 뜻

55~57쪽 58쪽 D

0

1

⑴ aNN bN aNN+bNN ⑵ aNN aNN+bNN _b_N

0

2

⑴ AXBV ⑵ 0N

0

3

⑴ aNN bN _aNN-bNN ⑵ aNN bN aNN-bNN

0

2 벡터의 덧셈과 뺄셈

58~61쪽

평면벡터

(8)

62쪽

1

aN+aN

2

{-aN}+{-aN} 스스로확인하기 ⑵ -3aN

0

1

aNNN bN ⑴ _⑵ ⑶

0

2

⑴ 2aN-10bN ⑵ -aN+9bN

0

3

⑴ aN+2bN ⑵ -2aN+8bN ⑴ AXPV=-BPV 이므로 두 벡터 AXPV, BPV 는 방향이 반 대이고 크기가 같다. 따라서 점 P는 ABZ의 중점이다. ⑵ AXPV=-2BPV 이므로 벡터 AXPV 는 벡터 BPV 와 방향 이 반대이고 크기가 |BPV|의 2배이다. 따라서 점 P는 ABZ 를 2`:`1로 내분하는 점이다. 수학 역량 기르기 64쪽 스스로확인하기 평행하다

0

4

pN+qN=2aN+2bN, qN+rN=aN+bN 이므로 pN+qN=2{qN+rN} 따라서 두 벡터 pN+qN, qN+rN 는 서로 평행하다.

0

5

AXBV=OXBV-OXAV =aN-3bN yy`① AXCV=OXCV-OXAV =3aN-9bN yy`② ①, ②에서 AXCV=3AXBV이므로 세 점 A, B, C는 한 직 선 위에 있다. [민준]AXMV=aN+ 1₂bN, AXNV= 1₂aN+bN 이므로 MXNV=AXNV-AXMV=- 1₂aN+ 1₂bN [세민]BXDV=-aN+bN이고, 삼각형 BCD에서 MNZ|BDZ, MNZ=1₂BDZ이므로 MXNV= 1₂BDV=- 1₂aN+ 1₂bN 수학 역량 기르기 66쪽

0

3 벡터의 실수배

62~66쪽

1

d

2

d

3

\

4

d

1

⑴ 3j2 ⑵ BCV

2

⑴ 6aN+2bN ⑵ -4aN-9bN+7cN

3

aNN bN ⑵ ⑴

4

kaN+2bN=t{3aN+6bN}를 만족시키는 0이 아닌 실수 t 가 존재해야 하므로 {k-3t}aN={6t-2}bN k-3t=0이면 aN|bN 가 되므로 모순이다. 즉, k-3t=0, 6t-2=0 따라서 t=1₃, k=1

5

AXDV{=DXBV=FXEV}, DXAV{=BXDV=EXFV}, DXFV{=BXEV=EXCV}, FXDV{=EXBV=CXEV}, AXFV{=DXEV=FXCV}, FXAV{=EXDV=CXFV} 따라서 서로 다른 단위벡터의 개수는 6이다.

6

BCV+DXEV+AXBV+CXDV={AXBV+BXCV}+{CXDV+DXEV} =AXCV+CXEV=AXEV

7

aN-bN-cN=AXBV-BCV-CXDV=EXDV+CBV+DXCV ={EXDV+DXCV}+CXBV=ECV+CXBV=EXBV 따라서 |aN-bN-cN|=|EXBV|=2

8

CXAV+DXBV={BXAV-BCV}+{AXBV-AXDV} =aN-bN+{-aN-bN}=-2bN

9

⑴ 3xN-6aN=4bN+xN, 2xN=6aN+4bN 따라서 xN=3aN+2bN ⑵ 6bN-3xN+2xN-6aN=5bN, -xN=6aN-bN 따라서 xN=-6aN+bN

10

2xN+5yN=aN yy`①, xN-2yN=bN yy`② ①\2+②\5를 하여 정리하면 xN= 2₉aN+ 5₉bN ①-②\2를 하여 정리하면 yN= 1₉aN- 2₉bN

11

qN-rN={1-k}aN-3bN, pN+qN=3aN-bN 이고, qN-rN=t{pN+qN}를 만족시키는 0이 아닌 실수 t가 존 재해야 하므로 {1-k}aN-3bN=t{3aN-bN} 즉, 1-k=3t, -3=-t 따라서 t=3, k=-8 67~69쪽

0

4

⑴ -aN+bN ⑵ -aN-bN Ⅱ. 평면벡터

171

(9)

12

AXBV=OXBV-OXAV=-2aN+3bN AXCV=OXCV-OXAV=-4aN+{k+1}bN AXCV=t AXBV 를 만족시키는 0이 아닌 실수 t가 존재해야 하므로 -4aN+{k+1}bN=t{-2aN+3bN} 즉, -4=-2t, k+1=3t 따라서 t=2, k=5

13

AXCV=AXBV+BCV=aN+bN 이므로 AXBZ=|aN|, BCZ=|bN|, AXCZ=|aN+bN| 삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보 다 크므로 AXBZ<BCZ+AXCZ, AXCZ<AXBZ+BCZ 즉, |aN|<|bN|+|aN+bN|, |aN+bN|<|aN|+|bN| |aN|-|bN|<|aN+bN|<|aN|+|bN| 따라서 |aN|-|bN|, |aN+bN|, |aN|+|bN|

14

OXFV=-OXF'V=FX'OV 이므로

=|PXFX'V|=3 타원의 정의에 의하여 |PFV|+|PXFX'V|=10이므로 |PFV|=10-|PXFX'V|=7

15

정육각형의 외접원의 중심을 O라고 하면 AXBV+AXCV+AXDV+AXEV+AXFV ={OXBV-OXAV}+{OXCV-OXAV}+{OXDV-OXAV} +{OXEV-OXAV}+{OXFV-OXAV}

={OXBV+OXCV+OXDV+OXEV+OXFV}-5 OXAV

={OXAV+OXBV+OXCV+OXDV+OXEV+OXFV}-6 OXAV

16

벡터 OXQV 는 벡터 OXPV O C A Q B 2 1 j3 y x {x-2}@+y@=3 -1 -1 1 P 와 방향이 같은 단위 벡터이므로 점 Q가 그 리는 도형은 오른쪽 그림과 같이 중심이 원점이고, 반지름의 길이가 1인 부채꼴의 호이다. 원점 O에서 중심이 C{2, 0}이고 반지름의 길이가 j3인 원에 그은 두 접선 의 접점을 각각 A, B라고 하면 CAOC=60! 즉, CAOB=120! 따라서 구하는 도형의 길이는 2\p\1\ 120!_360!=2₃p

1

예 오른쪽 그림과 같이 사람이 걷는 aNN bN bNN-aNN 속도를 aN, 지면에 내리는 비의 속도를 bN 라고 하면 걸어가는 사 람이 바라본 비의 상대 속도는 bN-aN 이다. 따라서 걸어갈 때는 우산을 기울여서 써야 한다.

2

지호와 버스의 속도를 각각 aN, bN aNN bNN vNN 라고 하면 지호가 바라본 버스의 상대 속도는 오른쪽 그림의 벡터 vN 와 같고, 그 속력은 |vN|=120@+5@3=5j17k 따라서 시속 5j17k`km이다. 70쪽

2

평면벡터의 성분과 내적

72쪽

1

5#

2

⑴ {0, 4} ⑵ {8, 8} 73쪽 O y x 스스로확인하기 OBV

0

1

-aN+3bN-2cN

0

2

m>n일 때, O B Q A aN bN qN n m |AXQV| : |AXBV|=m`:`{m-n} 이므로 AXQV= m_m-nAXBV AXQV=qN-aN, AXBV=bN-aN이므 로 qN-aN= m_m-n{bN-aN} 따라서 qN=aN+ m_m-n{bN-aN} =mb_m-nN-naN m<n일 때도 같은 방법으로 qN=mb_m-nN-naN

0

3

⑴ 2₅aN+ 3₅bN ⑵ -aN+2bN

0

1 평면벡터의 성분

73~80쪽

(10)

0

4

예 [문제] 선분 AB를 1`:`2로 내분하는 점을 P, 1`:`2 로 외분하는 점을 Q로 정한다. [답] 점 P의 위치벡터: 2₃aN+ 1₃bN 점 Q의 위치벡터: 2aN-bN

0

5

네 점 A, B, C, G의 위치벡터를 각각 aN, bN, cN, gN 라고 하면 gN= aN+bN+cN₃ 이므로 GXAV+GBV+GCV={aN-gN }+{bN-gN }+{cN-gN } =aN+bN+cN-3 gN =aN+bN+cN-{aN+bN+cN}=0N 76쪽

1

{2, 3}

2

O y x 2 2 -2

0

6

⑴ aN={2, 3}, bN={-3, 1}, cN={4, -2}

⑵ aN=2 e1B+3 e2B, bN=-3 e1B+e2B, cN=4 e1B-2 e2B

스스로확인하기 _⑵2

0

7

⑴ j13k ⑵ j2

0

8

m=6, n=3 스스로확인하기 _⑵6 ⑶ 14

0

9

⑴ {1, -5} ⑵ {-7, 0}

10

k=3, L=-4 스스로확인하기 5

11

AXBV={3, -3}, |AXBV|=3j2 [윤아] 오른쪽 그림에서 C B A E D G P H F PXAV=PEV+PFV, PBV=PFV+PXGV, PCV=PXGV+PXHV, PXDV=PEV+PXHV 이므로 PXAV+PCV=PXEV+PFV+PXGV+PXHV PBV+PXDV=PFV+PXGV+PXEV+PXHV 따라서 PXAV+PCV=PBV+PXDV [현우] A{0, a}, B{0, 0}, C{c, 0}, D{c, a}라 하고, P{x, y}라고 하면

PXAV+PCV={-x, a-y}+{c-x, -y}

={c-2x, a-2y} PBV+PXDV={-x, -y}+{c-x, a-y} ={c-2x, a-2y} 따라서 PXAV+PCV=PBV+PXDV 수학 역량 기르기 80쪽 81쪽

1

10j3` N

2

100j3` J

0

1

⑴ 3 ⑵ 0 ⑶ -j3

0

2

⑴ 0 ⑵ 4

0

3

⑴ -7 ⑵ 6 스스로확인하기 수직이다

0

4

-6

0

5

⑴ |aN-bN|@={aN-bN}K{aN-bN} =aNK{aN-bN}-bNK{aN-bN} =aNKaN-aNKbN-bNKaN+bNKbN =|aN|@-2aNKbN+|bN|@ ⑵ {aN+bN}K{aN-bN}=aNK{aN-bN}+bNK{aN-bN} =aNKaN-aNKbN+bNKaN-bNKbN =|aN|@-|bN|@

0

6

j19k

0

2 평면벡터의 내적

81~86쪽 87쪽 1, 2, -2 스스로확인하기 ⑴ 5

0

1

⑴ x+2=y-3₂ ⑵ x-1₃ =y-2_-2 ⑶ y=5

0

2

⑴ x-5_-6 =y-2 ⑵ x-1=y+4₃

0

3

⑴ 2x+y+7=0 ⑵ x-4y+9=0

0

4

⑴ -3₂ ⑵ 6 스스로확인하기 1, 2

0

5

|pN-aN|=2 또는 {x+2}@+{y-3}@=4

0

3 직선과 원의 방정식

87~92쪽

1

\

2

d

3

d

4

\

1

⑴ 2₃aN+ 1₃bN ⑵ 1₃aN+ 2₃bN

2

⑴ {-6, -11} ⑵ {5, 8}

3

⑴ 3 ⑵ 5 93~95쪽 Ⅱ. 평면벡터

173

(11)

4

⑴ x-1₂ =y-2₆ ⑵ x-3y+1=0

5

AXPV= 2₅AXBV, AXQV= 3AXPV+2AXDV₅ 이므로 AXQV= 6₂₅AXBV+ 2₅AXDV

6

네 점 A, B, C, P의 위치벡터를 각각 aN, bN, cN, pN 라고 하면 2{aN-pN}+4{bN-pN}+{cN-pN}=cN-bN pN= 2aN+5bN₇ 따라서 점 P는 변 AB를 5`:`2로 내분하는 점이다.

7

점 P의 좌표를 {a, b}라고 하면 PXAV={3-a, 3-b}, PXBV={-1-a, -1-b}, PXCV={-a, 3-b} 즉, PXAV+PXBV+PCV={2-3a, 5-3b} AXBV={-4, -4}이고, PXAV+PXBV+PCV=AXBV이므로 2-3a=-4, 5-3b=-4 따라서 a=2, b=3이므로 점 P의 좌표는 {2, 3}

8

0!<h<90!이므로 aNKbN=|aN||bN|cos`h에서 _{j3+j3=2\2\cos`h} 따라서 cos`h= j3₂

9

pN\rN 이면 pNKrN=0이므로 ab-4b=0 b=0이므로 a=4 즉, pN={4, b}, qN={2, 4} pN|qN 이면 pN=k qN 를 만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존 재하므로 {4, b}=k{2, 4}, 즉 4=2k, b=4k 따라서 k=2, b=8

10

|4aN+3bN|@={4aN+3bN}K{4aN+3bN} =16|aN|@+24aNKbN+9|bN|@=132 따라서 |4aN+3bN|=2j33k

11

점 {1, -2}를 지나고 방향벡터가 uN={3, 2}인 직선 의 방정식은 x-1₃ =y+2₂ 이 직선과 x축, y축의 교점의 좌표는 각각 {4, 0}, [0, -8₃]이므로 구하는 넓이는 1₂\4\8₃=16₃

12

직선 x+2y+1=0의 법선벡터를 nN 이라고 하면 nN={1, 2} 구하는 직선은 점 {2, -1}을 지나고 방향벡터가 nN={1, 2}인 직선이므로 x-2=y+1₂

13

두 직선 L, m의 방향벡터를 각각 uN, vN 라고 하면 uN={k+1, -k @}, vN={2k, 3} L\m이므로 uNKvN=0 2k{k+1}-3k @=0, k{k-2}=0 k=0이므로 k=2

14

점 P의 좌표를 {x, y}라고 하면

PXAV+PBV={1-x, 3-y}+{3-x, 1-y} ={4-2x, 4-2y} |PXAV+PBV|=8이므로 1{4-2x}@+{43-2y}@3=8 {x-2}@+{y-2}@=16 따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심이 {2, 2}이고 반지름의 길이가 4인 원이다.

15

원 위의 임의의 점 P{x, y}에 대하여 AXPV\BPV이므로 AXPVKBPV=0 {x-2, y-5}K{x+4, y+1}=0 따라서 {x+1}@+{y-2}@=18

16

2 PXAV+PXBV+3 PXCV=0N 에서 PXCV=-2 PXAV+PXBV₃ 선분 AB를 1`:`2로 내분하는 점 B D P C A 을 D라고 하면 PXDV= 2 PXAV+PXBV₃ 이므로 PCV=-PXDV 즉, 점 P는 선분 CD의 중점이다. sADP=1_{2 s}ADC, _sDBP=1_{2 s}DBC이므로 sABC=2sABP 따라서 2배이다.

17

포물선 y @=8x의 초점 F의 좌표는 {2, 0} 점 P의 좌표를 {a, b}라고 하면 b @=8a이므로 AXPVKFPV={a-4, b}K{a-2, b} =a @-6a+8+b @={a+1} @+7 a>0이므로 AXPVKFPV 의 최솟값은 a=0일 때 8이다.

18

점 H의 좌표를 {a, b}라고 하면 AXHV={a-2, b-1} 직선 L의 방향벡터를 uN 라고 하면 uN={2, 1}이고, AXHV\uN 이므로 AXHVKuN =0, {a-2, b-1}K{2, 1}=0 2a+b=5 yy`① 점 H는 직선 L 위의 점이므로 a-1₂ =b-2 yy`② ①, ②를 연립하여 풀면 a=7₅, b=11₅ 따라서 점 H의 좌표는 [7₅, 11₅ ]

(12)

1

[세민] 예 점 B의 좌표는 {-c, 0}이므로 ABZ@+ACZ@={a+c}@+b@+{a-c}@+b@ =2a@+2b@+2c@ 2{AXMZ@+BXMZ@}=29{a@+b@}+c@0 =2a@+2b@+2c@ 따라서 AXBZ@+ACZ@=2{AXMZ@+BXMZ@} [민준] AXBV=-aN+bN, AXCV=-aN-bN 이므로 ABZ@+ACZ@ =|-aN+bN|@+|-aN-bN|@ ={-aN+bN}K{-aN+bN} +{-aN-bN}K{-aN-bN} =|aN|@-2 aNKbN+|bN|@ +|aN|@+2 aNKbN+|bN|@ =2{|aN|@+|bN|@} =2{AXMZ@+BXMZ@}

2

직선 위의 임의의 점을 P{x, y}라고 하면 두 벡터 APV 와 OXAV 는 서로 수직이므로 APVKOXAV=0 {x-x1, y-y1}K{x1, y1}=0 x1 x+y1 y=x1@+y1@ 이때 x1@+y1@=r @이므로 구하는 접선의 방정식은 x1 x+y1 y=r @ 96쪽

1

ㄱ. 두 벡터 AXBV, CXDV 는 크기는 같지만 방향이 다르다. ㄷ. |BXEV|=2 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.

2

4

3

2xN=3aN+bN, 2yN=-aN+3bN 이므로

2xN+4yN={3aN+bN}+2{-aN+3bN}=aN+7bN

4

오른쪽 그림에서 A B C H G D F I E J aNN bNN BXEV=aN+bN BXFV=3₂BXEV =3₂{aN+bN} FXGV=aN 따라서 BXGV=BXFV+FXGV= 3₂{aN+bN}+aN =5₂aN+ 3₂bN 98~100쪽

5

aN-k{2cN-aN}-2bN+6cN=0N 에서 {k+1}aN-2bN+{6-2k}cN=0N bN=taN 를 만족시키는 0이 아닌 실수 t가 존재하므로 {k+1-2t}aN+{6-2k}cN=0N 두 벡터 aN, cN 는 서로 평행하지 않으므로 k+1-2t=0, 6-2k=0 따라서 t=2, k=3

6

xN= 3₂aN-bN 이므로 xN=[-1, 1₂] 따라서 벡터 xN 와 방향이 같은 단위벡터는 xN |xN|= [-1, 1₂] q{-1}@+[1₂]@e =[-2j5₅ , j5₅ ]

7

점 P의 좌표를 {t, 1-t}라고 하면 AXPV={t-2, -t-2}, BPV={t-4, -t} 이므로 AXPV+BPV={2t-6, -2t-2} |AXPV+BPV|=1{2t-6}@+3{-2t-2}@3 =18{t-1}@+323 따라서 |AXPV+BPV|의 최솟값은 t=1일 때 4j2이다.

8

aN=kbN 를 만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재해야 하 므로 {-3, -t+2}=k{t, 1} 즉, -3=kt, -t+2=k 위의 두 식을 연립하여 풀면 k=3, t=-1 또는 k=-1, t=3 t>0이므로 t=3

9

|aN-2bN|@=|aN|@-4aNKbN+4|bN|@ 36=4-4aNKbN+36이므로 aNKbN=1 따라서 aNK{aN+bN}=|aN|@+aNKbN=5

10

직선 x+2y+1=0의 법선벡터를 nN 이라고 하면 nN={1, 2} 구하는 직선은 점 {1, -5}를 지나고, 법선벡터가 nN={1, 2}인 직선이므로 {x-1}+2{y+5}=0 즉, x+2y+9=0

11

OXAV=aN, OXBV=bN 라고 하면 OXCV= 1₃ aN, OXDV= 1₃ bN 이 므로 ▶ 10 % AXDV=OXDV-OXAV=1₃ bN-aN ▶ 20 % BCV=OCV-OXBV=1₃ aN-bN ▶ 20 % Ⅱ. 평면벡터

175

(13)

OXGV= 2₃_[aN+bN₂ _]=1₃{aN+bN}이고, AXDV+BCV=[1₃ bN-aN]+[1₃ aN-bN]=-2₃ {aN+bN}이 므로 AXDV+BCV=-2OXGV ▶ 30 % 따라서 k=-2 ▶ 20 %

12

⑴ BXMV= 1₂aN, BXNV= 1₃bN 이므로 NXMV=BXMV-BXNV =1₂aN- 1₃bN ▶ 40 % ⑵ 삼각형 MBN에서 MBZ=BNZ=1, CMBN=60! 이므로 삼각형 MBN은 정삼각형이다. 따라서 |NXMV|=1이고, 두 벡터 NXMV, CXDV 가 이루 는 각의 크기는 60!이다. 또 |CXDV|=2이므로 NXMVKCXDV=|NXMV||CXDV|cos`60! =1\2\1₂=1 ▶ 60 %

13

aN+bN={4, 3}, 2aN-kbN={6-k, 2-2k} ▶ 40 % 이 두 벡터가 서로 수직이 되려면 {4, 3}K{6-k, 2-2k}=0이어야 하므로 4{6-k}+3{2-2k}=0 ▶ 30 % 따라서 k=3 ▶ 30 %

14

OXHV=k OXBV 를 만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재하 므로 OXHV={4k, 2k} ▶ 30 % AXHV=OXHV-OXAV={4k-2, 2k-3}이고, OXBV\AXHV 이므로 OXBVKAXHV=0 {4, 2}K{4k-2, 2k-3}=0 4{4k-2}+2{2k-3}=0 k=₁₀7 ▶ 50 % 따라서 OXHV=_[14₅ , 7₅]이므로 m+n=21₅ ▶ 20 %

15

{pN-bN}K{pN-bN}=4에서 |pN-bN|=2 ▶ 20 % 즉, 점 P는 점 B{3, 2}를 중심으로 하고, 반지름의 길이가 2인 원 위에 있다. ▶ 10 % |pN-aN|=APZ이고, AXBZ=5 O y x 3 2 5 5 -1 A B 2 이므로 ▶ 30 % 오른쪽 그림에서 |pN-aN|의 최댓값은 5+2=7 ▶ 20 % 최솟값은 5-2=3 ▶ 20 %

1

공간도형

104쪽

1

⑴ 모서리 AB, 모서리 DC, 모서리 HG ⑵ 면 AEFB, 면 BFGC, 면 DHGC, 면 AEHD ⑶ j29k

2

2₃

공간도형과 공간좌표

105쪽 막대: 3, 판자: 2 스스로확인하기 _⑵DEF

0

1

4

0

2

예 세 꼭짓점 A, F, I / 두 모서리 BG, EJ 107쪽 _{재연, 윤아}

0

3

⑴ 직선 AB, 직선 AD, 직선 EF, 직선 EH ⑵ 직선 BA, 직선 FE, 직선 GH ⑶ 직선 AD, 직선 CD, 직선 EH, 직선 GH 스스로확인하기 ⑵ H, 90!

0

4

⑴ 90! ⑵ 45! 109쪽

1

L

2

m

3

n

0

5

⑴ 평면 ABC, 평면 ADEB

⑵ 평면 ACFD, 평면 BCFE ⑶ 평면 DEF

0

6

직선 L 과 평면 a의 교점을 O라고 하자. ! 두 직선 m, n의 교점이 O인 경우 예제

1

에 의하여 L\a @ 두 직선 m, n의 교점이 점 O가 아닌 경우 점 O를 지나고 두 직선 m, O m' n' m L n a n에 평행한 직선 m', n'을 그으면 L\m, m|m'이 므로 L\m' 같은 방법으로 L\n' 따라서 예제

1

에 의하여 L\a !, @에 의하여 L\a

0

7

⑴ 정삼각형의 성질에 의하여 BCZ\AMZ, BCZ\MDZ 따라서 예제

1

에 의하여 BCZ\(평면 AMD) ⑵ ⑴에서 BCZ\(평면 AMD)이고, ADZ는 평면 AMD 위에 있으므로 BCZ\ADZ

0

1 직선과 평면의 위치 관계

105~114쪽

(14)

0

8

⑴ 평면 FLKE ⑵ 직선 GH

0

9

서로 다른 두 평면이 만나면 두 평면은 한 직선을 공 유하므로 윤아의 말이 옳지 않다.

10

예 오른쪽 그림에서 두 직선 L, m은 꼬 a b L m 인 위치에 있고, 직선 m과 평면 b는 평행하며, 두 평면 a, b는 만난다.

11

직선 L 과 평면 a는 평행하므로 만나지 않는다. 따라서 직선 L 과 평면 a에 포함된 직선 m도 만나지 않는다. 그런데 두 직선 L, m은 모두 한 평면 b 위에 있으므로 L|m

12

3

에 의하여 a|c 113쪽 다르다 스스로확인하기 _45!

13

30!

14

평면 a 위에서 점 O를 지나고 m n O A a b 교선 m과 수직인 직선 n을 그 으면 AOZ\m, n\m 그런데 a\b이므로 AOZ\n 따라서 AOZ는 평면 a 위에서 만 나는 두 직선 m, n과 각각 수직이므로 AOZ\a

15

두 평면 a, b와 두 평면 a, c a L b c Q _R P m n 의 교선을 각각 m, n이라 하 고, 두 평면 b, c 위에 있지 않 은 평면 a 위의 한 점 P에서 두 교선 m, n에 내린 수선의 발을 각각 Q, R라고 하자. 문제

14

에 의하여 PQZ\b이므로 PQZ\L 문제

14

에 의하여 PRZ\c이므로 PRZ\L 따라서 직선 L은 평면 a 위에서 만나는 두 직선 PQ, PR와 각각 수직이므로 L\a 115쪽

1

d

2

d

3

d

0

1

3j5₅

0

2

100j10k`m

0

2 삼수선의 정리

115~117쪽 점 P에서 평면 a 위의 임의의 직선 L 에 수선의 발 H를 내리고, 평면 a 위에서 점 H를 지나고 직선 L 에 수직 인 직선 m을 그은 다음, 점 P에서 직선 m에 수선의 발 O를 내리면 삼수선의 정리에 의하여 직선 PO는 평 면 a에 수직인 직선이다. 수학 역량 기르기 117쪽 118쪽 정면도 평면도 측면도

0

1

⑴ 선분 EF ⑵ 선분 AB ⑶ 삼각형 EFG 스스로확인하기 2!_,₅

0

2

⑴ 4j3 ⑵ 45! 스스로확인하기 60!

0

3

j6₂

0

4

50j3p`cm@

0

5

j3₃

0

3 정사영

118~121쪽

1

\

2

\

3

d

4

\

1

ㄹ

2

6

3

2j2

4

25₂ p

5

BXDZ\BFZ이고 BFZ|CGZ이므로 BXDZ\CGZ 또 BXDZ\ACZ이므로 직선 BD는 평면 AEGC와 수직 이다.

6

직선 AC와 직선 FE가 이루는 각의 크기는 FEZ|CDZ이므로 직선 AC와 직선 CD가 이루는 각의 크기와 같다. 이때 CD는 Z CBZ와 겹쳐지므로 구하는 각의 크기는 직 선 AC와 직선 CB가 이루는 각의 크기와 같다. 따라서 45!이다.

7

삼각형 BCM은 이등변삼각형이므로 BCZ의 중점을 N 이라고 하면 MNZ\BCZ 또 삼각형 BCD에서 DNZ\BCZ이므로 h=∠MND 삼각형 AND는 이등변삼각형이므로 NMZ\ADZ 정사면체의 한 모서리의 길이를 a라고 하면 DNZ= j3₂ a, MNZ= j2₂ a 122~124쪽 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표

177

4

(15)

따라서 cos`h= MNZ DNZ= j6 3

8

삼수선의 정리에 의하여 ODZ\BCZ 삼각형 OBC는 BCZ=j2인 직각삼각형이므로 1₂\j2\ODZ= 1₂\1\1, ODZ= j2₂ 따라서 직각삼각형 AOD에서 ADZ=r2@+[ j2_{2 ]@y}=3j2₂

9

꼭짓점 B에서 FCZ에 내린 수선의 발을 I라고 하면 삼 수선의 정리에 의하여 AXIX\FCZ BFZ=a라고 하면 FIX=a`cos`60!= a₂, AFZ= a_{cos`30! =}2j3₃ a 따라서 cos`h= FIZ AFZ= j3 4

10

AX'D'Z=AXDZ=4, BX'C'Z=BCZ=4 AX'B'Z=AXBZ`cos`45!=2j2 CX'D'Z=CXDZ`cos`45!=2j2 따라서 사각형 A'B'C'D'의 둘레의 길이는 8+4j2

11

선분 CM의 평면 EFGH 위로의 정사영은 GMZ 정육면체의 한 모서리의 길이를 a라고 하면 GMZ= j5₂ a, CMZ= 3₂a 따라서 cos`h= GMZ CMZ= j5 3

12

도형 F의 넓이를 S라고 하면 S`cos`60!= j3₄ \4@, S=8j3 따라서 도형 F의 넓이는 8j3`cm@

13

BCZ\(평면 DCG)이므로 BCZ\DGZ yy`① 또 사각형 DCGH가 정사각형이므로 CHZ\DGZ yy`② ①, ②에 의하여 DGZ\(평면 BHC) 따라서 BHZ\DGZ yy`③ 같은 방법으로 BHZ\DEZ yy`④ ③, ④에 의하여 BHZ\(평면 DEG)

14

점 A에서 평면 a에 내린 수선의 발을 B라고 하면 삼 수선의 정리에 의하여 BPZ\QPZ BPZ=a라고 하면 삼각형 BQP에서 CBPQ=90!이 므로 BQZ=1a@+363 선분 PQ가 그리는 도형의 P B a A Q 넓이는 오른쪽 그림의 색칠 한 부분과 같으므로 p\BQZ@-p\BPZ@ =p9{a@+36}-a@0=36p

15

오른쪽 그림과 같이 ACZ=x`cm라 B C A x`cm 고 하면 그릇의 빈 공간의 부피는 p\4@\3=p\4@\x\ 1₂ x=6 CABC=h라고 하면 직각삼각형 ABC에서 ABZ=8`cm, BCZ=10`cm이므로 cos`h= ABZ BCZ= 4 5 물이 쏟아지기 직전의 수면의 넓이를 S라고 하면 p\4@=S`cos`h, 16p= 4₅S, S=20p 따라서 구하는 넓이는 20p`cm@

1

예 사각형

2

정육면체를 자르는 평면이 모서리와 만나는 점은 최소 3개, 최대 6개이므로 가능한 도형은 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형이다. 125쪽

2

공간좌표

127쪽

1

A{2, 3}, B{-1, 1}, j13k

2

⑴ [10₃ , 4₃] ⑵ {6, -8} 128쪽 2층 F열 5번 스스로확인하기 3, 3, 2

0

1

A{1, 0, 2}, F{1, 3, 0}, G{0, 3, 0}

0

2

⑴ A: y축, B: z축 ⑵ C: yz평면, D: zx평면

0

3

⑴ {2, 1, -3}, {-2, 1, 3}, {2, -1, 3} ⑵ {2, -1, -3}, {-2, 1, -3}, {-2, -1, 3} ⑶ {2, 1, 0}, {0, 1, 3}, {2, 0, 3} ⑷ {2, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 3}

0

1 공간에서 점의 좌표

128~135쪽

(16)

좌표공간에서 x=0, y=0, z=0은 각각 yz평면, zx 평면, xy평면을 나타낸다. 수학 역량 기르기 130쪽 131쪽

1

1a @+b @3

2

1a @+b @+c @3

0

4

⑴ 3 ⑵ j14k

0

5

j22k`m

0

6

{0, 2, 0} 133쪽 2`:`3 스스로확인하기 _⑵1, 4, -2, -1, -1

0

7

P{-2, 1, 2}, Q{-14, 1, -10}

0

8

[2₃, -1, 2₃] 네 점 A, B, C, D를 각각 A{a1, b1, c1},

B{a2, b2, c2}, C{a3, b3, c3}, D{a4, b4, c4}라 하고, 선분 AB, BC, CD, DA의 중점을 각각 P, Q, R, S 라고 하면 선분 PR와 선분 QS의 중점의 좌표는 각각 [a1+a2+a3+a4₄ , b1+b2+b3+b4₄ , c1+c2+c3+c4₄ ] 로 서로 같다. 따라서 직선 PR와 직선 QS는 한 점에서 만나므로 네 점 P, Q, R, S는 한 평면 위에 있고, 이때 사각형 PQRS는 평행사변형이다. 수학 역량 기르기 135쪽 136쪽 1x @+y @+z @3

0

1

⑴ {x+2}@+{y-1}@+{z-4}@=9 ⑵ {x-4}@+{y+1}@+{z-3}@=26 ⑶ {x-2}@+{y-1}@+{z-3}@=12 스스로확인하기 3

0

2

중심: {3, -1, 1}, 반지름의 길이: 4

0

3

x @+y @+z @-21x-23y+z=0

1

㉡, 중심 {a, a, b}로부터 xy평면까지의 거리가 반 지름의 길이 b와 같으므로 xy평면에 접한다.

2

㉠, 중심 {a, a, b}로부터 yz평면, zx평면까지의 거 리가 모두 반지름의 길이 a와 같으므로 y z평면과 zx평면에 동시에 접한다.

3

㉢, 중심 {a, b, 0}으로부터 x축까지의 거리가 반지 름의 길이 b와 같으므로 x축에 접한다. 수학 역량 기르기 138쪽

0

2 구의 방정식

136~138쪽

1

\

2

d

3

\

1

⑴ P{3, 0, 4}, Q{3, 5, 4}, R{0, 5, 4} ⑵ P{0, -3, 3}, Q{2, -3, 3}, R{2, 0, 0}

2

⑴ {3, -2, -4} ⑵ {3, 2, 0}

3

⑴ [7₄, -7₂, 11₄ ] ⑵ {0, -7, 15} ⑶ [3₂, -4, 9₂]

4

⑴ {x-2}@+{y+8}@+{z-1}@=9 ⑵ 중심: {-1, 2, -3}, 반지름의 길이: 3

5

B{3, 0, 0}, C{0, 2, 2}이므로 BCZ=1{-3}@3+2@+2@3=j17k

6

점 C의 좌표를 {0, 0, a}라고 하면 BCZ@=ABZ@+ACZ@이므로 {a-3}@+2=14+{a @+5}, a=-4₃ 따라서 점 C의 좌표는 [0, 0, -4₃]

7

두 점 A, B의 zx평면 위로의 정사영을 각각 A', B' 이라고 하면 A'{5, 0, -1}, B'{1, 0, 2} AX'B'Z=1{-4}@+0@+3@3=5 AX'B'Z=AXBZ`cos`45!이므로 AXBZ=5j2 1{-4}@+{a-2}@+3@3=5j2 이 식을 풀면 a=-3 또는 a=7 a>0이므로 a=7

8

점 A를 xy평면에 대하여 대칭이동한 점을 A'이라고 하면 점 A'의 좌표는 {1, 2, -1} APZ+BPZ=AX'PZ+BPZ >AX'BZ=12@+1@+5@3=j30k 따라서 구하는 최솟값은 j30k

9

점 P'의 좌표를 {a, b, c}라고 하면 점 A는 선분 PP' 의 중점이므로 3+a₂ =-1, -1+b₂ =4, 5+c₂ =2 a=-5, b=9, c=-1 따라서 점 P'의 좌표는 {-5, 9, -1}

10

AXBZ=3, AXCZ=5이고, 각의 이등분선의 성질에 의하여 AXBZ`:`AXCZ=BXDZ`:`DXCZ이므로 BXDZ`:`DXCZ=3`:`5 따라서 점 D는 BCZ를 3`:`5로 내분하는 점이므로 그 좌 표는 [-3₄, 7₄, -1₄_] 139~141쪽 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표

179

(17)

11

중심이 {2, 3, 4}, 반지름의 길이가 jnk인 구가 xy평면 과 만나므로 반지름의 길이는 중심으로부터 xy평면까 지의 거리 4보다 크거나 같아야 한다. 즉, jnk>4, n>16 yy`① y축과 만나지 않으므로 반지름의 길이는 중심으로부터 y축까지의 거리 12@+4@3=j20k보다 작아야 한다. 즉, jnk<j20k, n<20 yy`② ①, ②에서 16<n<20 따라서 자연수 n의 값은 16, 17, 18, 19

12

주어진 구의 중심을 C라고 하면 C{1, -6, -1}이고, 반지름의 길이는 2j2이다. 점 A{1, -4, 2}에서 구 에 그은 접선의 접점을 P라고 하면 CPZ=2j2, ACZ=10@+{-2}@+3{-3}@3=j13k 직각삼각형 APC에서 APZ=1{j13k}@-3{2j2}@3=j5 따라서 구하는 접선의 길이는 j5

13

주어진 구는 중심이 5 3 xy평면 {-2,`3,`-3} {-2, 3, -3}, 반지름 의 길이가 5이다. 따라서 구의 중심으로부 터 xy평면까지의 거리는 3이므로 원뿔의 밑면의 반지 름의 길이는 15@-3@3=4 부피가 최대가 되는 원뿔의 높이는 8이므로 구하는 부 피의 최댓값은 1₃\16p\8= 128₃ p

14

A{0, 0, 0}, B{a, b, c}라 하고, 점 B의 xy평면 위 로의 정사영을 B', yz평면 위로의 정사영을 B"이라고 하면 B'{a, b, 0}, B"{0, b, c} AXB'Z=3, AXB"Z=4이므로 a @+b @=9, b @+c @=16 ABZ@=a @+b @+c @=25-b @ 0<b @<9이므로 4<AXBZ<5 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 5+4=9

15

점 P가 선분 AB를 m`:`n ( m, n은 서로소인 자연수) 으로 내분한다고 하면 점 P는 xy평면 위에 있으므로 z좌표가 0이다. m\{-5}+n\3 m+n =0이므로 -5m+3n=0 m, n은 서로소인 자연수이므로 m=3, n=5 따라서 점 P는 선분 AB를 3`:`5로 내분하는 점이므로 그 좌표는 {-1, -2, 0}

16

평면 a를 xy평면으로 생각하면 세 구는 xy평면에 접 하므로 세 구의 중심 A, B, C의 z좌표는 각각 5, 9, 25이다. 삼각형 ABC의 무게중심으로부터 평면 a까 지의 거리는 무게중심의 z좌표와 같으므로 5+9+25₃ =13

1

9

2

[반례] ① a a b c b L m m n L a L ② a a b c b L m m n L a L ③ a a b c b L m m n L a L ⑤ a a b c b L m m n L a L 따라서 항상 옳은 것은 ④이다.

3

삼수선의 정리에 의하여 PRZ\ARZ PRZ=17@-6@3=j13k이므로 HRZ=1{j13k}@-2@3=3

4

점 A에서 선분 FH에 내린 수선의 발을 I라고 하면 삼수선의 정리에 의하여 EIZ\FHZ 삼각형 EFH는 FHZ=j17k인 직각삼각형이므로 1₂\4\1=1₂\j17k\EIZ, EIZ= 4j17k₁₇ 직각삼각형 EFI에서 FIZ=r4@-[4j17k₁₇ ]@y= 16j17k₁₇ 두 직선 DG, FH가 이루는 각의 크기는 DGZ|AFZ이 므로 두 직선 AF, FH가 이루는 각의 크기와 같다. 따라서 삼각형 AFI에서 cos`h= FIZ AFZ= 16j17k 85 144~146쪽

1

예 도구 상자에서 [각]을 선택하여 CAPB의 크기를 측정하면 CAPB=90!이므로 삼각형 ABP는 변 AB를 빗변으로 하는 직각삼각형이다.

2

점 P를 움직여도 삼각형 ABP는 직각삼각형이므로 그 종류가 변하지 않는다.

3

세 점 A{0, 0, 0}, B{6, 0, 0}, P{x, y, z}에 대하여 AXBZ=6, PXAZ=1x @+y @+z @3 PBZ=1{x-6}@3+y @+z @3 점 P가 구 위의 점이므로 {x-3}@+y @+z @=9 즉, x @-6x+y @+z @=0

PXAZ@+PBZ@=x @+y @+z @+{x-6}@+y @+z @ =2{x @-6x+y @+z @}+36=36

따라서 AXBZ@=PXAZ@+PBZ@이므로 삼각형 ABP는 변

AB를 빗변으로 하는 직각삼각형이다.

(18)

5

타원의 장축의 길이를 x`cm라고 하면 x`cos`30!=10, x=20₃j3

따라서 구하는 장축의 길이는 20₃j3`cm

6

점 C의 평면 BGD 위로의 정사영을 점 I라고 하면 세 삼각형 IBG, IGD, IDB는 모두 합동이다.

삼각형 BCD의 평면 BGD 위로의 정사영은 삼각형 BID이므로 구하는 정사영의 넓이는 sBID=1_{3 s}BGD=1₃\j3₄ \{2j2}@=2j3₃

7

점 P의 좌표를 {a, b, 0}이라고 하면 APZ@=BPZ@=CPZ@이므로 {a-2}@+{b-1}@+{-1}@ ={a+1}@+b@+{-2}@ ={a-3}@+{b+1}@+0@ 이 식을 풀면 a=3₇, b=-11₁₄ 따라서 점 P의 좌표는 [3₇, -11₁₄, 0]

8

점 E를 원점, 세 모서리 EF, EH, EA를 각각 x축, y축, z축 위에 놓으면 A{0, 0, 3}, B{3, 0, 3}, D{0, 3, 3}, G{3, 3, 0} 삼각형 BED의 무게중심의 좌표는 {1, 1, 2} 대각선 AG를 1`:`m으로 내분하는 점의 좌표는 [_1+m3 , _1+m3 , _1+m3m ] 따라서 1=_1+m3 , 2=_1+m3m 이므로 m=2

9

주어진 구의 중심을 C라고 하면 C{2, 3, -1}이고, 반지름의 길이는 2이다. CXAZ=12@+2@3+4@3=2j6이므로 M=2j6+2, m=2j6-2 따라서 Mm={2j6+2}{2j6-2}=20

10

평면을 만들 수 있는 경우는 다음과 같다. ! 세 직선 AB, AD, DF 중 두 직선으로 만들 수 있는 평면은 1개 ▶ 20 % @ 세 점 C, E, G로 만들 수 있는 평면은 1개 ▶ 20 % # 점 C와 세 직선 AB, AD, DF 중 한 직선으로 만들 수 있는 평면은 3개 점 E와 세 직선 AB, AD, DF 중 한 직선으로 만들 수 있는 평면은 3개 점 G와 세 직선 AB, AD, DF 중 한 직선으로 만들 수 있는 평면은 !과 같다. ▶ 50 % !, @, #에서 구하는 평면의 개수는 1+1+3+3=8 ▶ 10 %

11

꼭짓점 A에서 직선 BC에 내린 수선의 발을 E라고 하면 삼각형 ABC의 넓이는 24이므로 AEZ=8 ▶ 20 % 점 A에서 평면 BCD에 내린 수선의 발을 H라고 하 면 삼수선의 정리에 의하여 BCZ\EXHZ이므로 CAEH=30! ▶ 50 % 삼각형 AEH에서 AHZ=8`sin`30!=4 ▶ 30 %

12

⑴ 사각형 BJHI는 한 변의 길이가 j5이고 IJX=2j2, BXHZ=2j3인 마름모이다. 따라서 구하는 넓이는 1₂\2j3\2j2=2j6 ▶ 40 % ⑵ 모서리 BC의 중점을 K라고 하면 사각형 BJHI의 평면 ABCD 위로의 정사영은 사각형 BKDI이므로 _{fBKDI=fBJHI\cos`h} ▶ 40 % 따라서 cos`h= fBKDI_fBJHI= 2

2j6= j6 6 ▶ 20 %

13

구 모양의 장식물 60! 30! r 의 반지름의 길이 를 r라고 하면 구 의 중심을 지나며 조명에 수직인 단 면이 바닥과 이루 는 각의 크기가 30!이므로 ▶ 40 % 2j3p\cos`30!=pr @ ▶ 30 % 따라서 r=j3이므로 구하는 부피는 4 3p\{j3}#=4j3p ▶ 30 %

14

AXBZ=11@+{-2}@+3{-3}@3=j14k ▶ 30 % 두 점 A, B의 xy평면 위로의 정사영을 각각 A', B' 이라고 하면 A'{1, 3, 0}, B'{2, 1, 0} ▶ 30 % AX'B'Z=11@+{-2}@+0@3=j5 ▶ 30 % AX'B'Z=AXBZ`cos`h이므로 cos`h= A'B'Z ABZ = j70k 14 ▶ 10 %

15

원 C의 중심을 C라고 하면 C{2, 3, 0}이고, 반지름의 길이는 2이다. ▶ 40 % 점 P{-1, -1, 4}의 xy평면 위로의 정사영을 P'이 라고 하면 P'{-1, -1, 0} ▶ 20 % CXP'Z과 원 C의 교점을 Q xy평면 P{-1,`-1,`4} P' Q C 라고 하면 점 P에서 원 C에 이르는 최단 거리는 PQZ이다. PXP'Z=4이고, PX'QZ=CXP'Z-2=5-2=3이므로 PQZ=13@+4@3=5 따라서 구하는 최단 거리는 5이다. ▶ 40 % Ⅲ. 공간도형과 공간좌표

181

(19)

I

이차곡선

152~155쪽

1

y @=-2x

2

AFZ=APZ, BFZ=BQZ이므로 AXBZ=AFZ+FBZ =APZ+BQZ =8+2=10 점 B에서 선분 AP에 내린 수선의 발을 H라고 하면 AXHZ=APZ-BQZ =8-2=6 직각삼각형 AHB에서 HBZ=110@-6@3=8 따라서 PQZ=HBZ=8

3

포물선 {y-1}@=a{x+3}은 포물선 y @=ax를 x축 의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이 동한 것이므로 초점의 좌표는 [a₄-3, 1] 또 포물선 {x+2}@=-8{y-b}는 포물선 x @=-8y 를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 것이므로 초점의 좌표는 {-2, -2+b} a 4-3=-2, 1=-2+b이므로 a=4, b=3 따라서 a+b=7

4

포물선 위의 임의의 점 H H' L y O x P H Q 에서 준선 L에 내린 수선의 발을 H'이라고 하면 PXHZ+QXHZ=PXHZ+HXH'Z 이므로 PXHZ+QXHZ가 최소 가 되려면 세 점 P, H, H' 이 한 직선 위에 있어야 한다. 따라서 하수 처리 시설을 설치할 적당한 지점은 B이다. 즉, ②이다.

5

타원의 방정식을 x @ a @+ y @ b @=1{a>b>0}이라고 하면 두 초점의 좌표가 {4, 0}, {-4, 0}이므로 4 @=a @-b @ yy`①

2a=12이므로 a=6 yy`② ①, ②에서 b=2j5 따라서 단축의 길이는 2b=4j5

6

두 초점 F, F'의 좌표는 {0, 4}, {0, -4} FXF'Z=8이므로 PFZ+PXF'Z=24-8=16 따라서 구하는 도형은 두 점 F, F'을 초점으로 하고, 두 초점으로부터 거리의 합이 16인 타원이다. 그런데 점 P는 y축 위의 점이 될 수 없으므로 x @₄₈+₆₄y @=1 (단, x=0)

7

두 초점을 F{0, c}, F'{0, -c}라고 하면 sPAB=2sPFF'이므로 ABZ=2FXF'Z, 즉 2b=4c yy`① 또 삼각형 PFF'의 둘레의 길이는 PFZ+2c+PF'Z=2c+2b=6 yy`② ①, ②에서 b=2, c=1 한편 c @=b @-a @이므로 a @=3 따라서 a @+b @=7

8

A{c, k}, B{c, -k}{k>0}라고 하면 두 점 A, B는 타원 x @ a @+ y @ 9=1 위의 점이므로 c @ a @+ k @ 9=1 이때 c @=a @-9이므로 k=_a9 따라서 구하는 넓이는 1₂\CDZ\ABZ= 1₂\2a\18_a=18

9

F'{-4, 0}, F{4, 0}이고, 점 F에서 직선 m에 내린 수선의 발을 H라고 하면 FXHZ=j15k 직각삼각형 F'FH에서 FX'HZ=18@-{j15k}@3=7 QXF'Z+QFZ=12이므로 HQZ=p, QFZ=q라고 하면 7+p+q=12 즉, p+q=5 yy`① 또 직각삼각형 QHF에서 q @-p @=15 yy`② ①, ②를 연립하여 풀면 p=1, q=4 따라서 QXFZ+PF'Z=2q=8

10

포물선 y @=-12x의 초점의 좌표는 {-3, 0} 타원 x @ a @+ y @ 7=1의 두 초점의 좌표는 {-3, 0}, {3, 0}이므로 9=a @-7, a=4 따라서 AXFZ+AXF'Z=BFZ+BXF'Z=8이므로 사각형 AF'BF의 둘레의 길이는 2\8=16

(20)

11

쌍곡선의 방정식을 x @ a @ -y @ b @=-1{a>0, b>0}이라 고 하면 10=a @+b @ yy`① 점근선의 방정식이 y=-2x이므로 _ab=2, b=2a yy`② ①, ②에서 a @=2, b @=8 따라서 주축의 길이는 2b=4j2

12

2a=2이므로 a=1 두 점근선 y=b_ax, y=-b_ax가 서로 수직이므로 _ab\_[-b_a_]=-1, a @=b @ a=1이고, b>0이므로 b=1 따라서 a+b=2

13

QFZ-QXF'Z=PXF'Z-PFZ=4j3이므로 PXF'Z-QXF'Z={4j3+PFZ}-{QFZ-4j3} =8j3-{QFZ-PFZ} =8j3-6

14

쌍곡선 x @ a @ -y @ 9=1의 두 꼭짓점 {a, 0}, {-a, 0}이 타원 ₁₂x @+y @ b @=1{12>b @>0}의 두 초점이므로 a @=12-b @ 따라서 a @+b @=12

15

쌍곡선 4x @-3y @-16x-6y+25=0, 즉 {x-2}@ 3 -{y+1}@ 4 =-1은 쌍곡선 x @ 3 -y @ 4=-1 을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평 행이동한 것이다. ㄴ. 두 초점 사이의 거리는 2j7, 주축의 길이는 4이다. ㄹ. 초점의 좌표는 {2, -1+j7}, {2, -1-j7}이다. 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

16

y=2x+k를 2x @+3y @=6에 대입하여 정리하면 14x @+12kx+3k @-6=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D₄=-6k @+84>0, -j14k<k<j14k 따라서 정수 k의 값은 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3이므 로 7개이다.

17

직선 y=3x+2를 x축의 방향으로 k만큼 평행이동한 직선의 방정식은 y=3x-3k+2 yy`① 포물선 y @=16x에 접하고 기울기가 3인 접선의 방정 식은 y=3x+4₃ yy`② ①, ②에서 -3k+2=4₃, k=2₉

18

점 {-2, j2}에서의 접선의 방정식은 -2x₈ +j2y₄ =1, 즉 x=j2y-4 x=j2y-4를 y @=kx에 대입하여 정리하면 y @-j2ky+4k=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=2k @-16k=0, k=0 또는 k=8 k=0이므로 k=8

19

점 P{3, j2}에서의 접선의 방정식은 x-j2y=1 Q{1, 0}, F{-2, 0}이므로 _{sFPQ= 1}₂\3\j2= 3j2₂

20

점 {a, b}에서의 접선의 방정식은 ax₁₂-by₈ =1 이 직선이 타원의 넓이를 이등분하기 위해서는 타원 의 중심 {2, 0}을 지나야 하므로 2a₁₂=1, a=6 yy`① 점 {a, b}는 쌍곡선 x @₁₂-y @₈=1 위의 점이므로 ₁₂a @-b @₈=1 yy`② ①, ②에서 b @=16 따라서 a @+b @=36+16=52

21

접점의 좌표를 {x1, y1}이라고 하면 y1@=4x1 yy`① 점 {x1, y1}에서의 접선의 방정식은 y1 y=2{x+x1} yy`② ②가 점 P{-2, 1}을 지나므로 y1=2x1-4 yy`③ ①, ③을 연립하여 풀면 x1=1, y1=-2 또는 x1=4, y1=4 y x O 4 4 -2 -2 1 1 A B P y@=4x 두 접점 A, B의 좌표는 각각 {1, -2}, {4, 4}이므 로 위의 그림에서 삼각형 PAB의 넓이는 6\6-[3\3₂ +3\6₂ +6\3₂ ]=27₂

22

기울기가 -2인 접선의 방정식은 y=-2x-6 점 {a, a}를 지나므로 a=-2a-6, a=-2 a>0이므로 a=2 수학 익힘책

183

(21)

II

평면벡터

156~159쪽

1

벡터 BFV 와 같은 벡터는 AXEV, DXHV, EXIB 이므로 a=3

벡터 AXHV 와 크기는 같지만 방향이 반대인 벡터는 HXAV, ICBNB 이므로 b=2 따라서 a+b=5

2

ㄱ, ㄴ, ㄹ

3

|AXBV|=a라고 하면 ② |AXOV+BXOV|=|AXOV+OXDV|=|AXDV|=a ③ |AXDV+CXAV|=|CXDV|=a ④ |CXOV+AXBV|=|OXAV+AXBV|=|OXBV|= j2₂ a ⑤ |AXDV+OXCV+OXAV|=|AXDV|=a 따라서 ④이다.

4

{2m+n}aN+{3m-n}bN=8aN+7bN 에서 2m+n=8, 3m-n=7 위의 두 식을 연립하여 풀면 m=3, n=2

5

CEV=BFV=bN-aN, AXDV=2{AXBV+AXFV}=2aN+2bN 이 므로 CXEV+AXDV={bN-aN}+{2aN+2bN}=aN+3bN 따라서 k=3이므로 ⑤이다.

6

AXCV=t AXBV 를 만족시키는 0이 아닌 실수 t가 존재해야 하므로 r{aN+bN}-3aN=t{2bN-3aN} r-3=-3t, r=2t 따라서 t=3₅, r=6₅

7

평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하 므로 aN+cN₂ =bN+dN₂ 따라서 dN=aN-bN+cN

8

점 D는 BCZ 를 2`:`1로 내분하는 점이므로 AXDV= 2bN+aN₃ 점 E는 ADZ 를 3`:`1로 내분하는 점이므로 AXEV= 3₄AXDV= 3₄[2bN+aN₃ ]=1₄aN+ 1₂bN 따라서 x=1₄, y=1₂

9

선분 A I의 연장선이 변 B C와 B C I A 9 8 10 D 만나는 점을 D라고 하면 CBAI=CCAI CABI=CDBI 각의 이등분선의 성질에 의하여 BXDZ`:`DCZ=AXBZ`:`AXCZ=4`:`5이므로 AXDV= 4AXCV+5AXBV₉ BXDZ=4, AIZ`:`IDZ=BXAZ`:`BXDZ=2`:`1이므로 AXIB=2₃AXDV= 2₃[4₉AXCV+ 5₉AXBV] =10₂₇AXBV+ 8₂₇AXCV 따라서 p=10₂₇, q=₂₇8이므로 p+q=2₃

10

2{1, 3}-{x, -1}={x, -1}+{-4, y} {2-x, 7}={x-4, -1+y} 2-x=x-4, 7=-1+y 따라서 x=3, y=8

11

j29k

12

27

13

aN+kcN={5+3k, 4+7k}, bN-aN={-7, -1}이고, aN+kcN=t{bN-aN}를 만족시키는 0이 아닌 실수 t가 존 재해야 하므로 {5+3k, 4+7k}=t{-7, -1} 즉, 5+3k=-7t, 4+7k=-t 따라서 t=-1₂, k=-1₂

14

aNKbN=4\1+2\{-2}=0이므로 두 벡터 aN, bN 는 서로 수직이다. 따라서 ⑤이다.

15

aNK{aN-tbN}=0이어야 하므로 |aN|@-taNKbN=0, 9-2t=0 따라서 t=9₂

16

|aN-bN| : |aN+bN|=2`:`3에서 3|aN-bN|=2|aN+bN| 이므로 9|aN-bN|@=4|aN+bN|@ 5|aN|@-26aNKbN+5|bN|@=0

5|aN|@-26|aN||bN|cos`h+5|bN|@=0

이때 |bN|=2|aN|이므로 25|aN|@-52|aN|@cos`h=0 |aN|=0이므로 cos`h= 25₅₂

17

y=x+k를 x @=y에 대입하여 정리하면 x @-x-k=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=1+4k>0, k>-1₄ 두 점 P, Q의 x좌표를 각각 a, b라고 하면 P{a, a@}, Q{b, b@}

(22)

근과 계수의 관계에 의하여 ab=-k이므로 OPVKOXQV=ab+a@b@=k @-k =_[k-1₂_]@- 1₄ 즉, OPVKOXQV 의 최솟값은 k=1₂일 때 -1₄이다. 따라서 ③이다.

18

직선 x-1₃ =y+1_-5 의 방향벡터를 uN 라고 하면 uN={3, -5} 구하는 직선은 점 {-1, 3}을 지나고, 법선벡터가 uN={3, -5}인 직선이므로 3{x+1}-5{y-3}=0 따라서 3x-5y+18=0

19

직선 x+ay+1=0의 법선벡터를 nN 이라고 하면 nN={1, a} 직선 2x-by+3=0의 법선벡터를 mXN 이라고 하면 mXN={2, -b} nNKmXN=0에서 {1, a}K{2, -b}=0 2-ab=0, ab=2 직선 x-{b-3}y-2=0의 법선벡터를 LN이라고 하면 LN={1, -b+3} nN=kLN을 만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재하므로 {1, a}=k{1, -b+3} 1=k, a=-bk+3k a+b=3 따라서 a @+b @={a+b}@-2ab=5

20

두 직선 L, m의 방향벡터를 각각 uN, vN 라고 하면 uN={1, 2}, vN={a, 4} uN=k vN 를 만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재하므로 {1, 2}=k{a, 4} 1=ka, 2=4k이므로 k=1₂, a=2 두 직선 사이의 거리는 직선 L: x-1=y-2 2 위의 점 {1, 2}와 직선 m: x-1₂ =y+1₄ , 즉 2x-y-3=0 사이의 거리와 같으므로 |2-2-3| 12@+{-1}@3= 3j5 5

21

점 P의 좌표를 {x, y}라고 하면 PXAV+PBV+PCV ={1-x, 2-y}+{3-x, -1-y} +{-1-x, -2-y} ={3-3x, -1-3y} |PXAV+PXBV+PCV|=2이므로 1{3-3x}@+{-1-3y}@3=2 양변을 제곱하여 정리하면 {x-1}@+[y+1₃]@=[2₃]@ 따라서 점 P가 나타내는 도형은 반지름의 길이가 2₃인 원이므로 구하는 도형의 길이는 2\p\ 2₃=4₃p

22

점 P의 좌표를 {x, y}라고 하면 {1x @+y @3}@={x, y}K{4, 2} x @+y @=4x+2y {x-2}@+{y-1}@=5 따라서 점 P가 나타내는 도형은 반지름의 길이가 j5 인 원이므로 구하는 도형의 넓이는 p\{j5}@=5p

23

오른쪽 그림과 같이 원점 O와 O y x C{4,`3} B A D E 원의 중심 C{4, 3}을 지나는 직선이 원과 만나는 두 점을 각 각 D, E라고 하자. 두 점 A, B가 모두 점 D의 위 치에 있을 때 |OXAV+OXBV|가 최 대이므로 구하는 최댓값은 |OXDV+OXDV|=2|OXDV| =2{|OXCV|+3}=16 즉, M=16 한편 두 점 A, B가 모두 점 E의 위치에 있을 때, |OXAV+OXBV|가 최소이므로 구하는 최솟값은 |OXEV+OXEV|=2|OXEV|

=2{|OXCV|-3}=4 즉, m=4 따라서 M+m=20

24

접점을 H라고 하면 H{a, b}이므로 CXHV={a-3, b-1} 이때 CXHV\uN 이므로 CXHVKuN=0, {a-3, b-1}K{1, 2}=0 a+2b=5 yy`① 방향벡터가 uN={1, 2}이고, 원점을 지나는 직선의 방 정식은 x=y₂ 점 H가 직선 x=y₂ 위의 점이므로 b=2a yy`② ①, ②에서 a=1, b=2 따라서 a+b=3 수학 익힘책

185

(23)

III

공간도형과 공간좌표

160~163쪽

1

ㄱ. 서로 수직인 두 직선은 만나지 않는 경우도 있다. ㄷ. 서로 다른 세 점은 한 직선 위에 있는 경우도 있다. 따라서 ㄴ이다.

2

60!

3

직선 AC와 그 위에 있지 않은 한 점을 택하여 평면을 만들 수 있는 경우는 다음과 같다. 점 B 또는 점 D를 택하여 만들 수 있는 평면은 1개 점 F를 택하여 만들 수 있는 평면은 1개 점 H를 택하여 만들 수 있는 평면은 1개 점 E 또는 점 G를 택하여 만들 수 있는 평면은 1개 따라서 구하는 평면의 개수는 1+1+1+1=4

4

두 삼각형 BGD, BED는 정삼각형이므로 BDZ의 중점 을 M이라고 하면 BXDZ\GXMZ, BXDZ\EXMZ 따라서 h=CEMG MGZ= j6₂ 이고, 점 E에서 MG에 내린 수선의 발을 Z L 이라고 하면 EXGZ=j2이므로 삼각형 EGM의 넓이는 1₂\j2\1= 1₂\j6₂ \ELZ, ELZ= 2j3₃ 삼각형 MEL에서 MLZ=r[ j6_{2 ]@}-[ 2j3_{3 ]@y}=j6₆ 따라서 cos`h= MLZ EMZ= 1 3

5

점 A에서 직선 L 에 내린 수선의 발을 H라고 하면 PHZ=2j3`cos`30!=3 점 H에서 직선 PB에 내린 수선의 발을 I라고 하면 PIX=3`cos`60!= 3₂ 삼수선의 정리에 의하여 AIX\PBZ이므로 삼각형 API에서 AIX=r{2j3}@-[ 3_{2 ]@y}=j39k₂ 따라서 삼각형 AIB에서 ABZ=r[ j39k_{2 ]@}+[ 1_{2 ]@y}=j10k

6

점 F에서 선분 EJ에 내린 수선의 발을 P라고 하면 삼 각형 EFJ는 EJZ=2j5인 직각삼각형이므로 1₂\3j2\j2= 1₂\2j5\FPZ, FPZ= 3j5₅ 삼각형 IFP에서 IPZ=r{2j2}@+[ 3j5_{5 ]@y}=7j5₅ 삼수선의 정리에 의하여 IPZ\EJZ이므로 sIJE=1₂\2j5\7j5₅ =7

7

삼수선의 정리에 의하여 DEZ\ABZ 삼각형 AED에서 ADZ=r[ 3j2_{2 ]@}+[ j3_{2 ]@y}=j21k₂

8

BDZ=BX'D'Z=2j2 AX'C'Z과 BX'D'Z의 교점을 P라고 하면 AX'PZ=4{j3}@-{j2}@6=1 따라서 AX'C'Z=2이므로 fA'B'C'D'=1₂\2j2\2=2j2 구하는 각의 크기를 h라고 하면 fA'B'C'D'=fABCD`cos`h 2j2=4`cos`h, cos`h= j2₂ 따라서 구하는 각의 크기는 45!이다.

9

평면 b 위의 원의 지름 중 두 평면 a, b의 교선과 평행 한 지름의 정사영의 길이가 가장 길고, 두 평면 a, b 의 교선과 수직인 지름의 정사영의 길이가 가장 짧다. 따라서 최댓값은 4, 최솟값은 4`cos`45!=2j2이다.

10

두 평면 BFGC, IFGJ가 이루는 각의 크기를 h라고 하면 CCGJ=h GJZ=14@+2@3=2j5이고, GJZ의 평면 BFGC 위로의 정사영의 길이는 2이므로 cos`h= 2 2j5=j55 따라서 구하는 넓이는 fBFGC\cos`h=16\j5₅ =16₅j5

11

오른쪽 그림과 같이 원뿔 60! 30! a B A P 의 꼭짓점을 P, 원뿔의 밑면에서 평면 a에 평행 한 지름의 양 끝 점을 각 각 A, B라고 하자. 원뿔 의 평면 a 위로의 정사영의 넓이 S는 ABZ를 지름으로 하는 반원의 평면 a 위로의 정사영의 넓이와 삼각형 ABP의 평면 a 위로의 정사영의 넓이의 합과 같다. 반원과 삼각형 ABP가 평면 a와 이루는 각의 크기는 각각 60!, 30!이므로 S=1₂\p\1@\cos`60!+ 1₂\2\j3\cos`30! =p₄+3₂ 따라서 4S=p+6

12

점 P의 좌표를 {0, a, 0}이라고 하면 APZ@=BPZ@이므 로 {-1}@+{a+1}@+{-3}@=3@+{a-5}@+2@ a=9₄ 따라서 점 P의 좌표는 [0, 9₄, 0_]