부분 적분
두 함수의 곱을 적분
미분의 곱셈법칙으로부터 유도
예제 14.1, 14.2, 14.3, 14.4, 14.5
3
( )
dx
dv
u
v
dx
du
uv
dx
d
= + ( )
v
dx
du
uv
dx
d
dx
dv
u = −
( )
∫
∫
∫
= − vdx
dx
du
dx
uv
dx
d
dx
dx
dv
u
( )
uv dx uv
dx
d
=
∫
∫
∫
−
=
dx
dx
du
v
uv
dx
dx
dv
u
[ ]
∫
∫
−
=
b
a
b
a
b
a
dx dx
du
v
uv
dx
dx
dv
u
치환 적분
연쇄법칙과 동등한 적분
삼각함수 치환
형태의 함수 치환
예제 14.6, ~ 14.13
f
dx
df /
c
f
dx
f
dx
df
+
=
∫
/ ln
부분분수를 이용한 적분
부분분수
여러 개의 분수식을 더하면 하나의 분수식으로
하나의 분수식을 간단한 분수식들의 합으로
과
는
의 부분분수
1차 선형인자
다중선형인자
2차 선형인자
5
(
) (
)
(
)(
)
3 2
8
6
2
1
1
4
2
2
2
4
1
2
2
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+ x x
x
x
x
x
x
x
x
1
2
+
x 2
4
+
x 3 2
8
6
2
+ +
+
x
x
x
b
ax +
(
ax+b
) (
2, ax+b
)
3,...
c
bx
ax2+ +
부분분수
분모가 선형인자로 인수분해 될 때
1차 선형인자
분모를 인수분해한다
분모의 각 인자가 부분분수를 이룬다
인자는 라는 부분분수가 된다. (A는 미지수)
부분분수의 미지수를 계산한다
6
b
ax +
b
ax
A
+
부분분수
예
분모의 인수 분해
1차 선형인자
는
1차 선형인자
는
미지수 A, B 계산
7
2
3
8
6
2
+ +
+
x
x
x
(
1
)(
2
)
2
3
2
+ + = + +
x
x
x
x
(
x+1
)
x+1
A
(
x+2
)
2
+
x
B
2
1
2
3
8
6
2
+ + =
+ +
+
+
x
B
x
A
x
x
x
(
) (
)
(
)(
)
(
) (
3 2
)
2
2
1
2
1
2
1 2
+ +
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+ x x
B
A
x
B
A
x
x
x
B
x
A
x
B
x
A
(
) (
)
(
) (
2
)
6 8
8
6
2
1
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
x
B
A
x
B
A
x
x
B
x
A
부분분수
미지수 계산을 위한 두 가지 방법
x
의 특정값 이용
x=-1을 위의 수식에 대입
x=-2를 위의 수식에 대입
계수 비교
(
A+B
) (
x+ A+2B
)
=6x+8
(
x+1
) (
+Bx+2
)
=6x+8
A
(
−1+1
) (
+B−1+2
) ( )
=6−1+8→B=2
A
(
−2+1
) (
+B−2+2
) ( )
=6−2 +8→−A=−4→A=4
A
부분분수
분모가 선형인자로 인수분해 될 때
다중선형인자
다중선형인자
는 부분분수
가 된다
예
분모의 인수분해
2차 선형인자 는
1차 선형인자 는
9
(
)
2
b
ax +
(
)
2
b
ax
B
b
ax
A
+
+
+
(
4 4 1
)
(
1
)
13
14
2
2
−
+
+
+
x
x
x
x
x
(
4 2
+4
+1
)
(
−1
) (
= 2
+1
) (
2
−1
)
x
x
x
x
x
(
x−1
)
(
)
2
1
2x+
(
)
2
1
2
1
2 + + x+
B
x
A
1
−
x
C
(
4 4 1
)
(
1
)
2 1
(
2 1
)
1
13
14
2
2
2
−
+
+
+
+
=
−
+
+
+
x
C
x
B
x
A
x
x
x
x
x
부분분수
미지수 계산
양변에 를 곱하면
x=1을 대입하면
x=-1/2을 대입하면
x2의 계수를 비교하면
10
(
4 4 1
)
(
1
)
2 1
(
2 1
)
1
13
14
2
2
2
−
+
+
+
+
=
−
+
+
+
x
C
x
B
x
A
x
x
x
x
x
(
2x+1
) (
2x−1
)
(
)(
)
(
)
(
)
2
2
1
2
1
1
1
2
13
14x + x=A x+ x− +B x− +C x+
( )
3 27 9 3
13
14+ =C 2→ = C→C=
2
2
3
3
2
3
2
13
4
14
=
→
−
=
−
→
−
=
− B B B
1
4
2
14= A+ C→A=
(
)
(
)
(
)
1
3
1
2
2
1
2
1
1
1
4
4
13
14
2
2
2
−
+
+
+
+
=
−
+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
부분분수
2차 선형인자
2차 선형인자
는
의 부분분수가 된다
예
1차인자 는
2차인자 는
11
c
bx
ax2+ +
c
bx
ax
B
Ax
+
+
+
2
52
11
2
14
11
3
2
3
2
−
−
+
+
+
x
x
x
x
x
(
)
(
)
13
6
4
52
11
2 2 2
3
+ − − = − + +
x
x
x
x
x
x
13
6
2
+ x+
x
4
−
x
x−4
A
13
6
2
+ +
+
x
x
C
Bx
13
6
4
52
11
2
14
11
3
2
2
3
2
+
+
+
+
−
=
−
−
+
+
+
x
x
C
Bx
x
A
x
x
x
x
x
부분분수
미지수 계산
양변에 를 곱함
x=4를 위의 수식에 대입하면
x2항의 계수를 비교하면
상수항을 비교하면
13
6
4
52
11
2
14
11
3
2
2
3
2
+
+
+
+
−
=
−
−
+
+
+
x
x
C
Bx
x
A
x
x
x
x
x
(
−4
)
(
2
+6
+13
)
x
x
x
(
6 13
)
(
)(
4
)
14
11
3 2 2
−
+
+
+
+
=
+
+ x Ax x Bx C x
x
(
)
2
,
53
106
13
4
6
4
14
4
11
4
3 2 2
=
=
+
⋅
+
=
+
⋅
+
⋅
A
A
A
1
,
3=A+B B=
3
,
4
13
14= A− C C=
부분분수
부적합한 분수식
분자의 차수 n이 분모의 차수 d보다 큰 경우
n
-d차의 다항식을 추가해야 함
예
분자의 차수가 3, 분모의 차수가 2 부적합
n-d=1이므로 1차의 다항식 를 추가해야 함
분모의 인수분해
13
x
x
x
x
+
+
+
2
3
2
4
10
4
B
Ax+
(
2 1
)
2 2
+ = +
x
x
x
x
(
2 1
)
2 1
4
10
4
2
4
10
4 3
2
3
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
x
D
x
C
B
Ax
x
x
x
x
x
x
x
x
부분분수
미지수 계산
양변에 를 곱함
x=0을 위의 수식에 대입하면
x=-1/2을 위의 수식에 대입하면
x3항의 계수를 비교하면
x항의 계수를 비교하면
14
(
2x+1
)
x
(
2 1
)
2 1
4
10
4
2
4
10
4 3
2
3
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
x
D
x
C
B
Ax
x
x
x
x
x
x
x
x
(
Ax B
) (
x x
)
C
(
x
)
Dx
x
x +10 +4= + 2 +1+ 2 +1+
4 3
(
2 0 1
)
4
4=C ⋅ + →C=
3
2
4
5
2
1
2
1
4
2
1
10
2
1
4
3
=
→
−
=
+
−
−
−
=
+
−
+
−
D
D
D
2
2
4= A→A=
1
2
10=B+ C+D →B=−
(
)
2 1
3
4
1
2
1
2
4
10
4
2
4
10
4 3
2
3
+
+
+
−
=
+
+
+
=
+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
