우석대학교 에너지전기공학과

(1)

미적분학

강의 (11)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

(2)

Ch. 1 수열 1. 수열의 정의  어떤 규칙에 따라 수를 배열해 놓은 것을 수열이라 함.  수열의 표현 일반항:

𝑎

_𝑛

예시1) 수열

𝑎

_𝑛

=

𝑛 𝑛+1 의 처음 3항을 나열하라 수열 𝑛 𝑛+1 의 처음 3항: 1 2

,

2 3

,

3 4 예시2) 아래 주어진 수열의 처음 몇 개의 항으로 부터 일반항을 구하라 (1)

1,

1 3

,

1 9

,

1 27

… 𝑎

𝑛

=

1 3𝑛−1 (2)

1, 3, 5, 7, …

𝑎

_𝑛

= 2𝑛 − 1

 수열에서 처음

𝑛

항 까지의 합:

𝑆

_𝑛

= 𝑎

₁

+ 𝑎

₂

+ 𝑎

₃

+ ⋯ + 𝑎

_𝑛

=

𝑛_𝑘=1

𝑎

_𝑘 예시) 다음 수열의 합을

𝑛

항까지 나열하고, 처음 4항까지의 부분합을 구하라 

𝑠

_𝑛

=

𝑛_𝑘=1

𝑘

2

𝑠

_𝑛

= 1

2

+ 2

2

+ 3

2

+ ⋯ + 𝑛

2

 4항까지의 부분합 (

𝑛 = 4

) :

𝑠

₄

=

4_𝑘=1

𝑘

2

= 1

2

+ 2

2

+ 3

2

+ 4

2

= 30

(중간시험 총정리)

(3)

2. 등차수열 2-1. 등차수열의 정의  수열

𝑎

_𝑛 에서 연속적인 두 항의 차가 항상 같은 수일 때  이를 등차수열이라 하며, 두 항의 차이를 공차: 공차를

𝑑

라 하면  등차수열의 정의:

𝑎

_𝑛

= 𝑎

_𝑛−1

+ 𝑑 𝑑 = 𝑎

_𝑛

− 𝑎

_𝑛−1

 등차수열의

𝑛

째항:

𝑎

_𝑛

= 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑

예시1) 등차수열

𝑎

_𝑛

= 2, 6, 10, 14, …

의

𝑛

째 항과 12번째 항을 구하라  첫째 항:

𝑎 = 2 &

공차:

𝑑 = 𝑎

₂

− 𝑎

₁

= 6 − 2 = 4

 등차수열의 일반항:

𝑎

_𝑛

= 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑

∴

12번째 항:

𝑎

₁₂

= 2 + 4 12 − 1 = 46

예시2) 어떤 등차수열의 8째 항이 75이고, 20째 항이 39일 때, 다음을 구하라. (1) 등차수열의 일반항

𝑎

_𝑛

= 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑



𝑎

₈

= 𝑎 + 8 − 1 𝑑 = 75

𝑎 + 7𝑑 = 75



𝑎

₂₀

= 𝑎 + 20 − 1 𝑑 = 39

𝑎 + 19𝑑 = 39

(2) 이 등차수열의 10번째 항:

𝑎

_𝑛

= 96 + (𝑛 − 1)(−3)

𝑎

₁₀

= 96 + (10 − 1)(−3)=69

𝑎

_𝑛

= 2 + 4 𝑛 − 1

𝑑 = −3 & 𝑎 = 96

𝑎

_𝑛

= 96 + (𝑛 − 1)(−3)

(4)

2-2. 등차수열에서 처음

𝑛

항 까지의 합  첫째 항이

𝑎

이고, 공차가

𝑑

인 등차수열의 처음

𝑛

항까지의 합을

𝑠

_𝑛 이라 하면, 

𝑠

_𝑛

=

𝑛 2

𝑎

1

+ 𝑎

𝑛 예시1) 등차수열

3𝑛 + 5

의 10번째 항

(𝑎

₁₀

)

과 10번째 항까지의 합

(𝑆

₁₀

)

을 구하라  주어진 수열을 전개:

8, 11, 14, 15, …

첫째 항:

𝑎 = 8

 주어진 수열의 n번째 항과 (n+1)번째 항의 차  n 번째 항:

𝑎

_𝑛

= 3𝑛 + 5

 (n+1) 번째 항:

𝑎

_𝑛+1

= 3 𝑛 + 1 + 5 = 3𝑛 + 8

 등차수열의 일반형  첫째 항:

𝑎

₁

= 8 &

공차:

𝑑 = 3 𝑎

_𝑛

= 8 + 𝑛 − 1 × 3

∴

10번째 항:

𝑎

₁₀

= 8 + 10 − 1 × 3 = 35

 n항까지의 합:

𝑆

_𝑛

=

𝑛 2

𝑎

1

+ 𝑎

𝑛

=

𝑛 2

8 + 8 + (𝑛 − 1) × 3 =

𝑛 2

(3𝑛 + 13)

∴

𝑆

₁₀

=

10₂

3 × 10 + 13 = 215 𝑜𝑟 𝑆

₁₀

=

10₂

8 + 35 = 215

𝑎

_𝑛+1

− 𝑎

_𝑛

= 3𝑛 + 8 − 3𝑛 + 5 = 3

(5)

예시2) 1과 111 사이에 2의 배수이고 동시에 3의 배수인 수는 몇 개 있으며, 이들의 합은 얼마인가?  2의 배수이고 동시에 3의 배수  2의 배수:

2𝑛

 3의 배수:

3𝑛

 1과 111 사이의 6의 배수 

1 ≤ 6𝑛 ≤ 111

1 6

≤ 𝑛 ≤

111 6

1 6

≤ 𝑛 ≤ 18

3 6

∴

1 ≤ 𝑛 ≤ 18

(※

𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑛

은 자연수) : 1과 111사이에는 18개의 수 가 존재함  구하는 수들은 6의 배수이므로, 공차가 6인 등차수열:

𝑑 = 6

 첫째 항:

𝑎

₁

= 6

 마지막 항:

𝑎

₁₈

= 6 × 18 = 108

 등차수열의 n항 까지의 합:

𝑆

_𝑛

=

𝑛 2

𝑎

1

+ 𝑎

𝑛

∴

18항 까지의 합:

𝑆

₁₈

=

18 2

6 + 108 = 1026

6의 배수:

6𝑛

(

𝑛

은 자연수) 등차수열의 일반형:

𝑎

_𝑛

= 6 + 𝑛 − 1 × 6

동시에 만족하는 수

(6)

3. 등비수열 3-1. 등비수열의 정의  수열

𝑎

_𝑛 에서 연속적인‘두 항의 비’가 0 이 아닌 동일한 수일 때  이를 등비수열이라 하며, 두 항의 비를 공비: 공비를

𝑟

이라 하면  등비수열의 정의:

𝑎

_𝑛

= 𝑎

_𝑛−1

× 𝑟 𝑟 =

𝑎𝑛 𝑎_𝑛−1  등비수열의

𝑛

째항:

𝑎

_𝑛

= 𝑎𝑟

(𝑛−1)

, (𝑟 ≠ 0)

예시1) 등비수열

𝑎

_𝑛

= 3, −6, 12 , −24 , …

의

𝑛

째 항과 6번째 항을 구하라  첫째 항:

𝑎 = 3 &

공비:

𝑟 =

𝑎2 𝑎₁

=

−6 3

= −2

 등비수열의 일반항:

𝑎

_𝑛

= 𝑎𝑟

(𝑛−1)

, (𝑟 ≠ 0)

예시2) 어떤 등비수열의 3째 항이 18이고, 6째 항이 486일 때, 이 등비수열의 일반항을 구하라. (1) 등비수열의 일반항:

𝑎

_𝑛

= 𝑎𝑟

(𝑛−1)  수열의 3째 항:

𝑎

₃

= 𝑎𝑟

(3−1)

= 18 𝑎𝑟

2

= 18

 수열의 6째 항:

𝑎

₆

= 𝑎𝑟

(6−1)

= 486 𝑎𝑟

5

= 486

(2) 첫째 항: 수열의 3째 항으로 부터

𝑎

₃

= 𝑎 ∙ 3

3−1

= 18

첫째항:

𝑎 = 2

∴

일반항:

𝑎

_𝑛

= 2 ∙ 3

𝑛−1

𝑎

_𝑛

= 3 ∙ −2

(𝑛−1)

∴

𝑎₆ = 3 ∙ −2 5 _{= −96} 𝑎𝑟5 𝑎𝑟2

=

486 18

= 27

∴

𝑟 = 3

(7)

3-2. 등비수열에서 처음

𝑛

항 까지의 합  첫째 항이

𝑎

이고, 공비가

𝑟

인 등비수열의 처음

𝑛

항까지의 합을

𝑠

_𝑛 이라 하면, 

𝑠

_𝑛

= 𝑎

1−𝑟𝑛 1−𝑟

, (𝑟 ≠ 1)

예시1) 등비수열

𝑎

_𝑛

=

2𝑛−1 4 의 6번째항까지의 합

(𝑠

6

)

을 구하라  주어진 수열을 전개: 1 4

,

2 4

,

4 4

,

8 4

, …

첫째 항:

𝑎 =

1 4  주어진 수열의 n번째 항과 (n+1)번째 항의 비  n 번째 항:

𝑎

_𝑛

=

2𝑛−1 4

 (n+1) 번째 항:

𝑎

_𝑛+1

=

2𝑛 4  n항까지의 합:

𝑠

_𝑛

= 𝑎

1−𝑟𝑛 1−𝑟

=

1 4 1−2𝑛 1−2

= −

1−2𝑛 4

∴

𝑠

₆

= −

1−2₄ 6

= −

63₄ 공비:

𝑟 =

𝑎𝑛+1 𝑎_𝑛

=

2𝑛 4 2𝑛−1 4

= 2

(8)

예시2) 2와 32사이에

2

𝑛 (단, n은 자연수) 을 만족하는 수는 몇 개 있으며, 이들의 합은 얼마인가?  2와 32사이에서

2

𝑛 을 만족하는 수 ※

𝑛𝑜𝑡𝑒: 32 = 2

5

2 ≤ 2

𝑛

≤ 2

5  위 식에서 2를 밑으로 하는 로그를 취하면

𝑙𝑜𝑔

₂

2 ≤ 𝑙𝑜𝑔

₂

2

𝑛

≤ 5 𝑙𝑜𝑔

₂

2 ∴

1 ≤ 𝑛 ≤ 5

 2와 32사이에서

2

𝑛 을 만족하는 수는 5개  이들의 합은? 

2

𝑛 을 만족하는 수를 전개:

2, 2

2

, 2

3

, … , 2

𝑛−1

, 2

𝑛

∴ 𝑎

_𝑛

= 𝑎𝑟

(𝑛−1)

= 2 ∙ 2

𝑛−1

= 2

𝑛  n항 까지의 합:

𝑆

_𝑛

= 𝑎

1−𝑟𝑛 1−𝑟

= 2

1−2𝑛 1−2

= −2 1 − 2

𝑛

∴

𝑆₅= −2 1 − 25 _{= 62}

𝑙𝑜𝑔

₂

2 ≤ 𝑛 𝑙𝑜𝑔

₂

2 ≤ 5 𝑙𝑜𝑔

₂

2

첫 항이 2이고, 공비가 2인 등비수열

(9)

4. 수열의 극한 4-1. 수열의 수렴(convergence)과 발산  수열

𝑎

_𝑛 에서

𝑛

이 증가함에 따라 일정한 값

𝛼

에 한없이 가까워지면, 수열

𝑎

_𝑛 은

𝛼

에 수렴.  이때,

𝛼

를 수열

𝑎

_𝑛 의 극한 (limit) 이라 함  수열의 극한:

lim

𝑛→∞

𝑎

𝑛

= 𝛼

 발산(divergence): 수렴하지 않는 수열은 발산 한다고 함.  수열의 발산:

lim

𝑛→∞

𝑎

𝑛

= ∞

4-2. 수열의 단조증가와 단조감소  단조증가 (

𝑎

_𝑛

≤ 𝑎

_𝑛+1 을 만족할 때)  수열이 뒤로 갈수록 그 값이 계속 커지면서 어떤 값 𝛼 에 수렴 할 때 단조증가.  단조감소 (

𝑎

_𝑛

≥ 𝑎

_𝑛+1 을 만족할 때)  수열이 뒤로 갈수록 그 값이 계속 작아지면서 어떤 값 𝛼 에 수렴 할 때 단조감소. 𝛼 𝑛 𝑎_𝑛 <수열의 수렴> 𝑎_𝑛 = ∞ 𝑛 𝑎_𝑛 <수열의 발산>

(10)

4-4. 무한급수  무한급수 or 급수: 아래와 같이 수열

𝑎

_𝑛 의 각 항을 +로 연결한 식  수열 :

𝑎

_𝑛

= 𝑎

₁

, 𝑎

₂

, 𝑎

₃

, … , 𝑎

_𝑛

, …

 무한급수: ∞_𝑘=1

𝑎

_𝑘

= 𝑎

₁

+ 𝑎

₂

+ 𝑎

₃

+ ⋯ + 𝑎

_𝑛

+ 𝑎

_𝑛+1

+ ⋯

 부분합 (partial sum): 무한급수에서 첫째 항 부터 제 n항까지의 합  무한급수의 부분합

𝑠

_𝑛 의 수열:

𝑠

_𝑛

= 𝑠

₁

, 𝑠

₂

, 𝑠

₃

, … , 𝑠

_𝑛

, …

 무한급수의 수렴 및 발산  부분합의 수열

𝑠

_𝑛 이 극한값

𝑠

로 수렴

lim

𝑛→∞

𝑠

𝑛

= s

 무한급수 ∞_𝑘=1

𝑎

_𝑘 는

𝑠

에 수렴한다고 하며, 이때의 극한값

𝑠

를 무한급수의 값이라 함.

∴

무한급수의 값:

lim

𝑛→∞

𝑠

𝑛

= s

𝑎

𝑘 ∞ 𝑘=1

= 𝑎

1

+ 𝑎

2

+ 𝑎

3

+ ⋯ + 𝑎

𝑛

+ ⋯ = 𝑠

 무한급수의 부분합의 수열

{𝑠

_𝑛

}

이 발산할 때 이 무한급수는 발산한다고 함.

𝑠

_𝑛

(11)

예시) 어떤 무한급수 ∞_k=1

𝑎

_𝑘 의 부분합의 수열

𝑠

_𝑛 이 아래와 같을 때, 수열의 3번째 항과 무한급수의 값을 구하라.  무한급수: ∞_k=1

𝑎

_𝑘

= 𝑎

₁

+ 𝑎

₂

+ 𝑎

₃

+ ⋯ + 𝑎

_𝑛

+ ⋯

 부분합의 수열:

𝑠

_𝑛

= 𝑠

₁

, 𝑠

₂

, 𝑠

₃

, … , 𝑠

_𝑛

, …

(1)

𝑠

_𝑛

=

𝑛 𝑛+1

=

 부분합의 수열

𝑠

_𝑛 의 3번째 항:

𝑠

₃

=

3 4  부분합의 수열

𝑠

_𝑛 의 극한값:

lim

𝑛→∞

𝑠

𝑛

= lim

𝑛→∞ 𝑛 𝑛+1

= lim

𝑛→∞ 1 1+ _𝑛1

= 1

∴

무한급수는 수렴하고, 무한급수의 값은 1 ∞_k=1

𝑎

_𝑘

= 1

(2)

𝑠

_𝑛

=

𝑛2 2𝑛+1

=

 부분합의 수열

𝑠

_𝑛 의 3번째 항:

𝑠

₃

=

9 7  부분합의 수열

𝑠

_𝑛 의 극한값:

lim

𝑛→∞

𝑠

𝑛

= lim

𝑛→∞ 𝑛2 2𝑛+1

= lim

_𝑛→∞ 𝑛 2+ _𝑛1

= ∞

∴

무한급수는 발산하므로, 무한급수의 값은

∞

∞_k=1

𝑎

_𝑘

= ∞

𝑠

_𝑛 : n항까지의 부분합 1 2

,

2 3

,

3 4

,

4 5

, … ,

𝑛 𝑛+1

, …

1 3

,

4 5

,

9 7

,

16 9

, … ,

𝑛2 2𝑛+1

, …

(12)

4-5. 무한등비급수 (기하급수)  무한등비수열의 합: ∞_𝑘=1

𝑎𝑟

(𝑘−1)

= 𝑎 + 𝑎𝑟 +

𝑎𝑟2 + ⋯ + 𝑎𝑟(𝑛−1) + ⋯  무한등비급수의 값  무한등비급수의 부분합 이 수렴하고, 그 값이 s 이면:

lim

𝑛→∞

𝑠

𝑛

= 𝑠

무한등비급수의 값 = S  무한등비급수의 수렴 및 발산 (1) 공비

𝑟 = 1

일 때, 무한등비급수의 값 

𝑟 = 1

일 때 무한급수의

𝑛

항 까지의 합:

𝑠

_𝑛

= 𝑎 + 𝑎𝑟 + ⋯ + 𝑎𝑟

𝑛−1

= 𝑎 + 𝑎 + ⋯ + 𝑎 = 𝑛𝑎



lim

𝑛→∞

𝑠

𝑛

= lim

𝑛→∞

𝑛𝑎 = ±∞

(

±

는

𝑎

의 부호에 따름)

𝑟 = 1

일 때, 무한등비급수는 발산 함. (2) 공비

𝑟 ≠ 1

일 때, 무한등비급수의 값을 구하라  등비수열의 처음

𝑛

항까지의 합:

𝑠

_𝑛

= 𝑎

1−𝑟𝑛 1−𝑟 

𝑟 < 1

일 때:

lim

𝑛→∞

𝑠

𝑛

= 𝑎

1−𝑟𝑛 1−𝑟

=

𝑎 1−𝑟

무한등비급수의 값:

𝑎𝑟

(𝑘−1) ∞ 𝑘=1

=

_1−𝑟𝑎



𝑟 > 1

일 때:

lim

𝑛→∞

𝑠

𝑛

= lim

𝑛→∞ 𝑎 1−𝑟𝑛 1−𝑟

= ∞

무한등비급수는 발산

𝑠

_𝑛: n항까지의 부분합 0 ∞

(13)

예제) 다음 무한등비급수의 수렴과 발산을 조사하고, 수렴하면 그 합을 구하라. (1)

3 + 3 + 1 +

1 3

+ ⋯

 첫째 항과 공비:

𝑎

₁

= 3 & 𝑟 =

𝑎2 𝑎₁

=

3 3

=

1 3

𝑟 < 1

이므로, 주어진 기하급수는 수렴  등비수열의 n째 항:

𝑎

_𝑛

= 𝑎𝑟

(𝑛−1)

= 3 ∙

1 3 (𝑛−1)

, (𝑟 ≠ 0)

 무한등비급수의 값 (

𝑟 < 1

이므로)

lim

𝑛→∞

𝑠

𝑛

=

𝑎 1−𝑟

=

3 1− 1 3

=

₃₋₁3 3

=

3 3 3−1

𝑎

𝑛 ∞ 𝑘=1

=

3 ∙

1₃ (𝑘−1) ∞ 𝑘=1

=

3 3₃₋₁ (2)

1 −

5₃

+

25₉

−

125₂₇

+ ⋯

 첫째 항과 공비:

𝑎

₁

= 1 & 𝑟 =

𝑎2 𝑎₁

= −

5 3

𝑟 > 1

이므로, 주어진 기하급수는 발산  등비수열의 n째 항:

𝑎

_𝑛

= 𝑎𝑟

(𝑛−1)

= −

5 3 (𝑛−1)

, (𝑟 ≠ 0)

 무한등비급수의 값 (

𝑟 > 1

이므로) : ∞_𝑘=1

𝑎

_𝑛

=

−

5 3 (𝑘−1) ∞ 𝑘=1

= −∞

(14)

Ch. 2. 함수의 극한과 연속 1-2. 함수의 극한 

𝑓 𝑥 =

𝑥2−1 𝑥−1 는

𝑥 = 1

일 때, 분모가

0

이 되므로 함수

𝑓(𝑥)

는

𝑥 = 1

에서 정의되지 않음.  함수

𝑓(𝑥)

에서

𝑥

가 1에 접근할 때,

𝑓(𝑥)

값은 2에 접근함

lim

𝑥→1 𝑥2−1 𝑥−1

= 2

※

𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑥 = 1

에서

𝑓(𝑥)

는 정의되지 않으나,

𝑥 → 1

일 때 극한값은 존재함.  함수

𝑓 𝑥 =

𝑥2−1 𝑥−1

, 𝑥 ≠ 1

𝑉𝑠. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1



𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1

(그림 1) 

𝑓 𝑥 =

𝑥2−1 𝑥−1

=

(𝑥−1)(𝑥+1) 𝑥−1

= 𝑥 + 1, (𝑥 ≠ 1)

(그림 2) (그림 1) -1 1 𝑥 𝑦 0 2 1 -1 1 𝑥 𝑦 0 2 1 𝑓 𝑥 = 𝑥2− 1 𝑥 − 1 (그림 2) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1

(15)

 극한값의 발산  (그림 4) 에서

𝑥

가 0에 접근하면, 극한값이 양의 무한대로 발산

𝑓 𝑥 =

1 𝑥

lim

𝑥→0

𝑓(𝑥) = ∞

 (그림 5)에서

𝑥

가 2에 접근하면, 좌·우 극한값이 양의 무한대로 발산

lim

𝑥→2−0

𝑓(𝑥) = ∞

lim

𝑥→2+0

𝑓(𝑥) = ∞

 (그림 6)에서

𝑥

가 2에 접근하면, 좌·우 극한값이 음의 무한대로 발산

lim

𝑥→2−0

𝑓(𝑥) = −∞

lim

𝑥→2+0

𝑓(𝑥) = −∞

𝑥 𝑦 0 2 𝑥 𝑦 0 2

𝑓 𝑥 =

_𝑥−21 (그림 5)

𝑓 𝑥 = −

_𝑥−21 (그림 6) 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 𝑥 𝑦 (그림 4) 0

(16)

1-6. 극한값 계산의 기본형  확정형:

𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥

가 다항함수 일 때

(𝑔(𝑥) ≠ 0)

,

𝑥

의 정해진 값을 대입  불능형: 𝐶 0 형

±∞ (

발산)  부정형 (1) 0 0 형 • 분수함수: 분모, 분자를 인수분해 하여 약분 • 무리함수: 분모, 분자 중 근호가 있는 쪽을 유리화 한다. (2) ∞ ∞ 형 • 분수함수: 분모의 최고 차

𝑥

로 분모, 분자를 나눈다. • 무리함수: 근호 밖의 최고 차

𝑥

로 분모, 분자를 나눈다. (3)

∞ − ∞ 𝑜𝑟 0 × ∞

형 • 인수분해 등을 활용하여 간단한 형태로 변형한 후 계산.

(17)

 부정형 (1) 0 0 형 : 예제)

lim

𝑥→0 𝑥 𝑥+1−1

=

0 0

𝑥→0

lim

𝑥 𝑥+1−1

= lim

𝑥→0 𝑥 ( 𝑥+1+1) ( 𝑥+1−1)( 𝑥+1+1)

= lim

𝑥→0 𝑥( 𝑥+1+1) 𝑥

= 2

(2) ∞ ∞ 형 : 예제1)

lim

𝑥→∞ 6𝑥2+5𝑥 3𝑥−1

=

∞ ∞ 𝑥→∞

lim

6𝑥2+5𝑥 3𝑥−1

= lim

𝑥→∞ 6𝑥+5 3−1_𝑥

= ∞

예제2)

lim

𝑥→∞ 6𝑥 3+𝑥2₋₂

=

∞ ∞

_𝑥→∞

lim

6𝑥 3+𝑥2₋₂

= lim

_𝑥→∞ 6 3 𝑥2+1− 2 𝑥

= 6

(3)

∞ − ∞ 𝑜𝑟 0 × ∞

형: 인수분해 등을 활용하여 간단한 형태로 변형한 후 계산. 예제1)

lim

𝑥→1 4 𝑥−1

−

2 𝑥2₋₁

= ∞ − ∞ lim

_𝑥→1 4(𝑥+1)−2 (𝑥−1)(𝑥+1)

= lim

𝑥→1 4𝑥+2 (𝑥−1)(𝑥+1)

= ∞

예제2)

lim

𝑥→1 (𝑥−1) 𝑥2

×

1 (𝑥2₋₁₎

= 0 × ∞ lim

_𝑥→1 (𝑥−1) 𝑥2

×

1 (𝑥−1)(𝑥+1)

= lim

𝑥→1 1 𝑥2_(𝑥+1)

=

1 2  분수함수 (분모, 분자를 인수분해 하여 약분)  무리함수 (분모, 분자 중 근호가 있는 쪽을 유리화)  분수함수: 분모의 최고 차

𝑥

로 분모, 분자를 나눈다.  무리함수: 근호 밖의 최고 차

𝑥

로 분모, 분자를 나눈다.

(18)

2. 함수의 연속과 불연속 2-3. 연속함수(continuous function)  연속의 조건 

𝑥 = 𝑎

에서 함수의 값

𝑓 𝑎

가 정의 되어야 함. 

𝑥 = 𝑎

에서 극한값

lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

가 존재하여야 함. 

𝑥 = 𝑎

에서의 극한값과

𝑓(𝑎)

가 같아야 함.

lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

 연속함수  함수

𝑦 = 𝑓(𝑥)

가

𝑥 = 𝑎

에서 연속의 조건을 만족하면,

𝑥 = 𝑎

에서 연속  함수

𝑓(𝑥)

가 모든

𝑥

에서 연속의 조건을 만족할 때, 이 함수를 연속함수 라고 한다. 예시) 함수

𝑓 𝑥 = 𝑥

3

+ 1

이

𝑥 = 1

에서 연속임을 보여라 

𝑥 = 1

에서 함수의 값:

𝑓 2 = 1

3

+ 1 = 2

정의됨 

𝑥 = 1

에서 극한값:

lim

𝑥→1

𝑥

3

_{+ 1 = 2}

_존재함 

𝑥 = 1

에서 함수값 = 극한값:

𝑓 1 = lim

𝑥→1

𝑥

3

_{+ 1 = 2}

_일치함

∴

함수

𝑓 𝑥 = 𝑥

3

+ 1

은

𝑥 = 1

에서 연속

(19)

3. 삼각함수의 극한 3-1. 삼각함수  1 호도 (radian): 반지름 r인 원 (그림 1) 에서 반지름과 같은 길이의 원호에 대한 중심각

∠𝐴𝑂𝐵

의 크기

∴

∠𝐴𝑂𝐵 = 1 [𝑟𝑎𝑑]

 호도법과 60분법의 관계

 원의 둘레가

2π𝑟

일 때, 중심각은

360°

∴ 2π𝑟: 360

°

= 𝑟: 1 [𝑟𝑎𝑑] 360° = 2π [𝑟𝑎𝑑]

 부채꼴에서 호의 길이와 면적  중심각이

𝜃

일 때, 호의 길이 :

𝑙 = 𝑟 · 𝜃

 중심각이

𝜃

일 때, 부채꼴의 면적:

S =

1 2

𝑟

2

_{𝜃 =}

1 2

𝑙 · 𝑟

(그림 1) 𝑂 𝐵 𝐴 𝑟

∙

𝑟 ※ ∠𝐴𝑂𝐵 = 1 [𝑟𝑎𝑑] θ

∙

(20)

3-2. 삼각함수의 극한값 

𝑥 → 0

일 때

𝑓 𝑥 =

𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

, (𝑥 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛)

의 극한값: 𝑥→0

lim

=

0 0  그림 (2) 에서

△

𝐴𝑂𝐵

의 중심각

𝑥

는

0 < 𝑥 <

𝜋 2 (1/4 분면) 

𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑟

 각 도형의 면적관계:

△

𝐴𝑂𝐵 <

부채꼴

𝐴𝑂𝐵 < △𝐴𝑂𝑇

로 부터

𝑠𝑖𝑛 𝑥 <

𝑥 <

𝑡𝑎𝑛 𝑥

 위 식을

𝑠𝑖𝑛 𝑥

로 나누면 (※

𝑛𝑜𝑡𝑒:

1/4 분면에서

𝑠𝑖𝑛 𝑥 ≥ 0

)

1 <

_{𝑠𝑖𝑛 𝑥}𝑥

<

_{𝑐𝑜𝑠 𝑥}1 

𝑥 → 0

일 때, 위 부등식의 극한값:

lim

𝑥→0

1 <

<

1 𝑐𝑜𝑠 𝑥

1 < lim

𝑥→0 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

< lim

𝑥→0 1 𝑐𝑜𝑠 𝑥

∴

1 < lim

𝑥→0 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

< 1

𝑥→0

lim

=

1

예제)

lim

𝑥→0 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥

=

0 0

lim

_𝑥→0 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥

= lim

_𝑥→0 𝑥·𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

= lim

_𝑥→0 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥

∴

lim

𝑥→0 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥

= lim

_𝑥→0 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥

·

_𝑥→0

lim

𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1

𝑂 𝐵 𝐴 (그림 2) 𝑥 𝑟 𝐻 𝑇 부정형: case (1)

(21)

4. 지수함수의 극한 4-1. 지수함수  지수함수의 정의  실수

𝑥

에 대하여,

2

𝑥

, 5

𝑥 등 과 같이

𝑎

𝑥 의 값이 정해지는 함수.

𝑦 = 𝑎

𝑥

, (𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1)

로 표시되며,

𝑦

는

𝑎

를 밑(base)으로 하는

𝑥

의 지수함수라 함.  지수함수 그래프는 점(0,1)을 지나고,

𝑥

축

(𝑦 = 0)

이 점근선  지수함수에서

𝑎 > 1

인 경우와

0 < 𝑎 < 1

인 경우

< 단조증가:

𝑎 > 1

> < 단조감소:

0 < 𝑎 < 1

> 1 1 2 𝑦 𝑥 0 𝑦 = 2𝑥 1 1 0.5 𝑦 𝑥 0 𝑦 = 0.5𝑥

(22)

4-2. 지수함수의 극한값 (1)

𝑎 > 1

인 경우 

lim

𝑥→∞

𝑎

𝑥

_{= ∞}



lim

𝑥→−∞

𝑎

𝑥

_{= 0}



lim

𝑥→0

𝑎

𝑥

_{= 1}



lim

𝑥→1

𝑎

𝑥

_{= 𝑎}

예시) 다음의 극한값을 구하라

.

(1)

lim

𝑥→0

3

𝑥

_{= 3}

0

_{= 1}

(2)

lim

𝑥→∞ 2𝑥 5𝑥

=

∞ ∞

_𝑥→∞

lim

2𝑥 5𝑥

= lim

_𝑥→∞ 2 5 𝑥

= 0

(3)

lim

𝑥→∞

6

𝑥

_∙

1 3 𝑥

= ∞ × 0

lim

𝑥→∞

6

𝑥

_∙

1 3 𝑥

= lim

𝑥→∞ 6 3 𝑥

= lim

𝑥→∞

2

𝑥

_{= ∞}

1 1 𝑎 𝑦 𝑥 0 𝑎 𝑎 > 1 0 < 𝑎 < 1 <지수함수:

𝑦 = 𝑎

𝑥> (2)

0 < 𝑎 < 1

인 경우 

lim

𝑥→∞

𝑎

𝑥

_{= 0}



lim

𝑥→−∞

𝑎

𝑥

_{= ∞}



lim

𝑥→0

𝑎

𝑥

_{= 1}



lim

𝑥→1

𝑎

𝑥

_{= 𝑎}

(23)

5. 로그함수의 극한 5-1. 로그함수

 로그의 정의: 임의의 양수

𝑏

에 대해,

𝑎

𝑥

= 𝑏 , (𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1)

를 만족시키는 실수

𝑥

는 오직 하나  이 임의의 양수

𝑏

에 대한

𝑥

값

𝑥 = 𝑙𝑜𝑔

_𝑎

𝑏

 로그함수의 정의: 양의 실수 𝑥 에 대하여

log

₂

𝑥 , log

₃

𝑥

등과 같이

log

_𝑎

𝑥

의 값이 정해지는 함수 

𝑦 = log

_𝑎

𝑥 , (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)

 로그함수 그래프는 점(1, 0)을 지나고,

𝑦

축

(𝑥 = 0)

이 점근선  로그함수 에서

𝑎 > 1

인 경우와

0 < 𝑎 < 1

인 경우 < 단조증가:

𝑎 > 1

> < 단조감소:

0 < 𝑎 < 1

> 1 2 1 𝑦 𝑥 0

𝑦 = log

₂

𝑥

1 1 0.5 𝑦 𝑥 0

𝑦 = log

_0.5

𝑥

(24)

5-2. 로그함수의 극한값 (1)

𝑎 > 1

인 경우 

lim

𝑥→∞

log

𝑎

𝑥 = ∞



lim

𝑥→+0

log

𝑎

𝑥 = −∞



lim

𝑥→𝑎

log

𝑎

𝑥 = 1



lim

𝑥→1

log

𝑎

𝑥 = 0

예시) 다음 로그함수의 극한값을 구하라 (1)

log

_0.5

𝑥



lim

𝑥→+0

log

0.5

𝑥 = ∞ &

𝑥→∞

lim

log

0.5

𝑥 = −∞



lim

𝑥→0.5

log

0.5

𝑥 = 1 &

𝑥→1

lim

log

0.5

𝑥 = 0

(2)

𝑦 = log

₂

𝑥 − 1

(※

𝑛𝑜𝑡𝑒:

점근선

𝑥 = 1

)



lim

𝑥→1+0

log

2

𝑥 − 1 = −∞ & lim

𝑥→∞

log

2

𝑥 − 1 = ∞



lim

𝑥→3

log

2

𝑥 − 1 = 1 & lim

𝑥→2

log

2

𝑥 − 1 = 0

1 𝑎 1 𝑦 𝑥 0 𝑎 > 1 𝑎 <로그함수:

log

_𝑎

𝑥

> (2)

0 < 𝑎 < 1

인 경우 

lim

𝑥→∞

log

𝑎

𝑥 = −∞



lim

𝑥→+0

log

𝑎

𝑥 = ∞



lim

𝑥→𝑎

log

𝑎

𝑥 = 1



lim

𝑥→1

log

𝑎

𝑥 = 0

0 < 𝑎 < 1

(25)

 자연상수 (

𝑒

) 의 정의 

𝑥

가

0

에 한없이 접근할 때 함수

𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥

1 𝑥_{의 극한값}

lim

𝑥→0

1 + 𝑥

1 𝑥

= 𝑒



𝑒

를 자연상수라 함:

𝑒 = 2.718281828 …

무리수  자연로그의 정의  자연상수

𝑒

를 밑으로 하는 로그

log

_𝑒

𝑥 = ln 𝑥

예시) 다음의 극한값을 구하라. (1)

lim

𝑥→0 ln(1+𝑥) 𝑥

=

0 0

_𝑥→0

lim

ln(1+𝑥) 𝑥

= lim

_𝑥→0 1 𝑥

∙ ln(1 + 𝑥) = lim

_𝑥→0

ln(1 + 𝑥)

1 𝑥

∴

lim

𝑥→0

ln(1 + 𝑥)

1 𝑥

= ln 𝑒 = 1

※

𝑛𝑜𝑡𝑒:

lim

𝑥→0

(1 + 𝑥)

1 𝑥

= 𝑒

(2)

lim

𝑥→0

(1 + 3𝑥)

1 𝑥

= (1 + 0)

∞

lim

𝑥→0

(1 + 3𝑥)

1 𝑥

= lim

𝑥→0

1 + 3𝑥

1 𝑥× 3 3

= lim

𝑥→0

1 + 3𝑥

1 3𝑥 3

∴

lim

𝑥→0

1 + 3𝑥

1 3𝑥 3

= 𝑒

3

𝑒