좌표계
목포해양대학교 곽 재 민
개요
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좌표
좌표 점의 위치
: 점의 위치
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점의 위치를 표현하는 여러 가지 표현 기법들
|점의 위치를 표현하는 여러 가지 표현 기법들
y 직각 좌표계 : cartesian coordinate system (2차원, 3차원) y 극좌표계 : polar coordinate system
y 원통 좌표계 : cylindrical coordinate system y 구면 극좌표 : spherical coordinate system
2 2
직각 좌표계
(2차원)
축과 축으로 구성된 좌표
|x축과 y축으로 구성된 좌표
y 그림 4.1(직각좌표계) 원점 O y 원점 O y 양의 x축은 원점으로부터 오른쪽으로, 음의 x축은 원점으로부터 왼쪽으로 양의 축은 원점으로부터 위쪽으로 음의 축은 원점으로부터 아래쪽으로 y 양의 y축은 원점으로부터 위쪽으로, 음의 y축은 원점으로부터 아래쪽으로 P의 x좌표: y축으로부터 P의 수평거리 3 y P의 x좌표: y축으로부터 P의 수평거리 y P의 y좌표: x축으로부터 P의 수직거리 3직각 좌표계
(2차원)
예
|예
y 그림 4.2, 그림 4.3 y 점 A의 직각좌표 : (-3 -1) 4 y 점 A의 직각좌표 : (-3,-1) y 점 B의 직각좌표 : (3,-2) 4직각 좌표계
(3차원)
축으로 구성된 좌표계
|x, y, z 축으로 구성된 좌표계
y 그림 4.7 그림 4 8 y 그림 4.8 5 5극좌표
(
POLAR COORDINATE
)
원점으로부터의 거리 와 양의 축 사이의 각도 로 표현
|“원점으로부터의 거리”와 “양의 x축 사이의 각도”로 표현
y 그림 4.10 직각좌표로 표현된 P ( ) y 직각좌표로 표현된 P: (x,y) | OA=x, AP=y y 극좌표로 표현된 P: r∠θ
y 극좌표로 표현된 P: r∠θ
| OP의 길이: r, r ≥ 0 | 양의 x축과 OP 사이의 각 : θ, (0 ≤ θ ≤ 2π 또는 0º ≤ θ ≤ 360º) 6 6극좌표
(
POLAR COORDINATE
)
점 의 극좌표는
이다
|점
P의 극좌표는 r∠
θ
이다
.
y r은 원점으로부터 P까지의 거리 는 가지 와 양의 축 사이의 각을 시계 반대방향으로 잰 각 yθ
는 가지 OP와 양의 x축 사이의 각을 시계 반대방향으로 잰 각 yr
≥ 0, 0 ≤
θ
≤ 2π
y 예제4.5) 물건을 집어서 옮겨놓는 로봇 : 극좌표계의 사용이 유용함 |r :로봇 팔의 길이,
θ
: 기준점에서 팔이 움직이는 각도
y 그림 4.11 7 7극좌표
(
POLAR COORDINATE
)
예제 ) 다음의 극좌표를 갖는 점 Q 을 표시해보시오 y 예제4.6) 다음의 극좌표를 갖는 점 P, Q, R을 표시해보시오. (a) 2, 70º (2∠70º) (b) 4, 160º (4∠160º) (c) 3, 300º(3 ∠ 300º) 8 8극좌표
Æ 직각좌표, 직각좌표 Æ 극좌표
그림
|그림
4.14
cos x , x rcos r θ = 따라서 = θ sin y , y rsin r θ = 따라서 = θ 2 2 x y x y y x r 1 2 2 tan tan = → = − + =θ
θ
y 점 P의 극좌표는r∠
θ
º
점 의 직각좌표는 9 x x y 점 P의 직각좌표는 (x, y) 9극좌표
Æ 직각좌표, 직각좌표 Æ 극좌표
예제
점 의 극좌표가
º 이다 이점의 직각좌표는
|예제
4.7) 점 P의 극좌표가 r=4,
θ
=210
º 이다. 이점의 직각좌표는?
y 그림 4.13 참고 |예제
4.8) 점P의 직각좌표(4,7), 점 Q의 직각좌표(-5,6) 각각의 극좌
표는
?
표는
?
10 10극좌표 곡선
선의 방정식
|선의 방정식
y 직각좌표계 극좌표 그림 mx y = y 극좌표 r∠45D 그림 4.17 |원점을 중심으로 한 원의 방정식
π
θ
θ
0 2 3∠ ≤ ≤ y 그림 4.18π
θ
θ
, 0 2 3∠ ≤ ≤ 11 11극좌표 곡선
예제
인 원의 방정식이 만드는 원을 그려보시오
|예제
4.9) 인 원의 방정식이 만드는 원을 그려보시오
r = 3, 0D ≤ ≤θ
180D y 그림 4.19참고 12 12극좌표 곡선
예제
에 의해 만들어지는 영역을 구
|예제
4.10) 에 의해 만들어지는 영역을 구
하고 그리시오
.
다음의 점들 을 연결하느 곡선의 내부영역 D D 90 0 , 2 1≤ r ≤ ≤θ
≤ y 다음의 점들 을 연결하느 곡선의 내부영역 P= 1∠0º, Q= 2∠0º, R= 1∠90º, S= 2∠90º y 그림 4.20 13 13원통 좌표계
차원 극좌표와 하나의 수직축을 추가한 것
|2차원 극좌표와 하나의 수직축을 추가한 것
y 그림 4.23 P의 원통 좌표 (θ
) y P의 원통 좌표: (r,θ
, z) y 점 P의 x-y평면으로의 사영 (projection): Q | Q는 P 밑에 있으며 또한 x y평면에 있음0, 0
2 ,
r
≥
≤ ≤
θ
π
− ∞ < < ∞
z
| Q는 P 밑에 있으며, 또한 x-y평면에 있음 y 3차원 직각좌표 ÅÆ 원통좌표3차원 직각좌표 ÅÆ 원통좌표 1414 z z r y rx = cos
