우석대학교 에너지전기공학과

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

6-4. 복소수의 표현방식 (복습)  직교좌표형식: A = 𝑎 + 𝑏𝑖  삼각함수형식(극형식): A = A cos θ + 𝑖sin θ  복소평면에서 복소수 A = 𝑎 + 𝑏𝑖 를 나타내는 점을 𝑃(𝑎, 𝑏)라 하고, A 의 절대값을 𝑟, A의 편각을 θ 라 할 때, cos θ = 𝑎_𝑟 𝑎 = 𝑟 cos θ sin θ = 𝑏_𝑟 𝑏 = 𝑟 sin θ 그러므로 점 𝑃(𝑎, 𝑏)는 𝑃(𝑟 cos θ , 𝑟 sin θ)가 되며, 복소수 A 는 A = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑟 cos θ + 𝑖𝑟 sin θ = 𝑟(cos θ + 𝑖sin θ)

 여기서 𝑟, θ 는 각각 복소수의 절대값(크기)과 편각이므로, 𝑟 = A = 𝑎2_{+ 𝑏}2 θ = arg A = tan−1₍𝑏 𝑎) 𝑦 (허축) A 의 크기 = A = r 0 𝑎 𝑃(𝑎, 𝑏) 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) A = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑏 θ

예제 4-1) 허수단위 𝑖 (즉, A = 𝑖)를 극좌표, 삼각함수 및 지수함수 형식으로 표시하라.  극좌표형식: 𝑖 = 1∠𝜋 2  삼각함수형식: 𝑖 = cos𝜋₂+ 𝑖 sin𝜋₂  지수함수 형식: 𝑖 = 𝑒𝑖𝜋2 = (cos𝜋 2+ 𝑖 sin 𝜋 2) 예제 4-2) 허수단위 −𝑖 를 극좌표, 삼각함수 및 지수함수 형식으로 표시하라.  극좌표형식: 𝑖 = 1 ∠ −𝜋₂  삼각함수형식: 𝑖 = cos(−𝜋₂) + 𝑖 sin(−𝜋₂)  지수함수 형식: 𝑖 = 𝑒−𝑖𝜋2 = cos(−𝜋 2) + 𝑖 sin(− 𝜋 2) 0 _cosθ 1 허축 (실축) 𝑒𝑖θ_{= 1 ∠ θ} sinθ θ

예제 4-3) 다음 직각좌표 형식의 복소수를 극좌표, 삼각함수 및 지수함수 형식으로 표시하라. 1) _{A = 1 − 𝑖 3} 크기: A = 12_{+ (− 3)}2_{= 2} θ = arg A = tan−1₍− 3 1 ) = − 𝜋 3  극좌표형식: A = 2∠ −𝜋₃

 삼각함수형식: A = A(cosθ + 𝑖 sin θ) = 2(cos(−𝜋₃) + 𝑖 sin(−𝜋₃))  지수함수 형식: A = A𝑒𝑖θ _{= 2𝑒}−𝜋₃𝑖 0 1 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) θ 1 2 − ₂3

예제 4-4) 다음복소수를 직각좌표 형식으로 표현하라. 1) A = 10∠ − 30° 10∠ − 30° = 10{cos −30° + 𝑖 sin(−30°)} = 10(₂3−1₂𝑖) = 5 3 − 5𝑖 2) A = 4𝑒𝜋3𝑖 = 4{cos 𝜋 3 + 𝑖 sin( 𝜋 3)} = 4( 1 2+ 3 2 𝑖) = 2 + 2 3𝑖

6-5. 복소수의 기하학적 연산 6-5-1. 복소수의 합과 차  복소수의 대수적인 합과 차  A + B = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖  A − B = 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖  기하학적인 복소수의 합과 차: 2차원 평면에서의 벡터의 합과 차를 적용함.  복소수의 합: 평행사변형 또는 삼각형법 A + B = C  복소수의 차 A − B = C A B C 𝑂 A B

6-5-2. 복소수의 곱셈과 나눗셈  복소수의 대수적 곱셈

 A ∙ B = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖 + 𝑏𝑑𝑖2 _{= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖}

이를 삼각함수형식으로 나타내면,

 A ∙ B = A cos θ1+ 𝑖 sin θ1 ∙ B cos θ2 + 𝑖 sin θ2

= AB{cos θ1cos θ2 + sin θ1cos θ2+ cos θ1sin θ2 𝑖 + sin θ1sin θ2 𝑖2}

= AB{ cos θ₁cos θ₂− sin θ₁sin θ₂ + sin θ₁cos θ₂+ cos θ₁sin θ₂ 𝑖}

 복소수의 기하학적 곱셈  삼각함수 덧셈정리를 활용

cos θ₁cos θ₂ − sin θ₁sin θ₂ = cos(θ₁+θ₂) sin θ₁cos θ2+ cos θ1sin θ2 = sin(θ1+θ2)

 A ∙ B = AB{cos( 𝜃₁ + θ₂) + 𝑖 sin(𝜃₁+θ₂)} = AB∠(𝜃₁+ θ₂)  지수함수 형식의로 부터 A ∙ B = A𝑒𝑖𝜃1 · 𝐵𝑒𝑖𝜃2 = AB𝑒𝑖(𝜃1+θ2) 0 𝑦 (허축) 𝑥 (실축) θ₁ θ2 𝜃1+ θ2 A ∙ B A B cos(θ₁+θ₂) sin(θ₁+θ₂)