2014학년도(2013년 11월7일 실시) 수학Ⅰ B형 수능특강

차

례

이 책의

Contents

01

행렬과 그 연산

ㅣ

이직현

ㅣ

4

02

역행렬과 연립일차방정식

ㅣ

이직현

ㅣ

16

03

그래프와 행렬

ㅣ

임미선

ㅣ

30

04

지수

ㅣ

조정묵

ㅣ

38

05

지수함수

ㅣ

최현탁

ㅣ

48

06

로그

ㅣ

조정묵

ㅣ

60

07

로그함수

ㅣ

최현탁

ㅣ

72

08

등차수열과 등비수열

ㅣ

김의석

ㅣ

84

09

여러 가지 수열

ㅣ

김의석

ㅣ

96

10

수학적 귀납법과 순서도

ㅣ

임미선

ㅣ

110

11

무한수열의 극한

ㅣ

박원균

ㅣ

122

12

무한급수

ㅣ

박원균

ㅣ

136

``

부록 - 2014학년도 대수능 대비 세트형 문항

148

단원명

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이 책의

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Structure

2014학년도 대학수학능력시험 수학영역의 특징

이 책의 구성

○ 수학 교과의 수준별 편성에 따라 수준별 시험(A형 / B형)을 도입 ○ 출제 범위 - A형 : 수학Ⅰ, 미적분과 통계 기본 - B형 : 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 적분과 통계, 기하와 벡터 ※ 수학Ⅰ에서도 수준에 따라 A형과 B형에서 다른 문항이 출제될 수 있음 ○ 문항 유형 및 문항 수 ○2014학년도 대수능에서 처음 선보이는 세트형 문항에 대비하기 위해 부록으로 세트형 문항을 수록하였다. 행렬과 그 연산 1. 행렬의 뜻 ⑴ 수 또는 문자를 직사각형 모양으로 배열하여 괄호로 묶은 것을 행렬이라 고 한다. 이때, 행렬을 이루는 각각의 수나 문자를 그 행렬의 성분이라고 한다. ⑵ 행렬에서 성분을 가로로 배열한 줄을 행이라 하고, 행렬의 성분을 세로 로 배열한 줄을 열이라고 한다. 일반적으로 m개의 행과 n개의 열로 이 루어진 행렬을 m_n행렬이라 하고, 특히 m=n인 행렬을 n차정사각 행렬이라고 한다. ⑶ 행렬은 대문자 A, B, C, y로 나타내고, 행렬의 성분은 소문자 a,

b, c, y로 나타낸다. 행렬 A의 제`i행과 제`j열이 만나는 위치의 행렬

의 성분을 행렬 A의 (i, j)성분이라 하고, a‘Δ로 나타낸다. 이차정사각행렬 A의 (i, j)성분 a‘Δ가 a‘Δ=i+j이면

a¡¡=1+1=2, a¡™=1+2=3, a™¡=2+1=3, a™™=2+2=4

이므로 A={}이다. 2. 두 행렬이 서로 같을 조건 행렬 의 행의 개수와 열의 개수가 각각 같을 때행렬 같은의 행렬이라한다 2 3 3 4 01 제1열 제1행 제2행 제2열 제3열 101211 141315 { } 제i행 제j열 { a‘Δ } 교과서의 핵심 내용을 체계적으로 정리하였으며 개념, 정리, 공식에 대 한 이해를 확인할 수 있는 문제들을 제시하였다. 개념 정리 & 확인 문제

1

예제는 개념을 적용한 대표 문항으로 문제를 해결하는 데 필요한 주요 개념을 풀이 전략으로 제시하여 풀이 과정의 이해를 돕도록 하였고, 유 제는 예제와 유사한 내용의 문제나 일반화된 문제를 제시하여 학습 내 용과 문제에 대한 연관성을 익히도록 구성하였다. 예제 & 유제

2

행렬 A-E의 역행렬이 A-2E이므로 (A-E)(A-2E)=E A¤ -3AE+2E=E A(A-3E)=-E ∴ A(3E-A)=E 따라서 행렬 A의 역행렬은 3E-A이다. ③ E가 단위행렬일 때, ⑴ 행렬 B가 행렬 A의 역행렬이면 AB=BA=E이다. ⑵ 두 행렬 A, X에 대하여 AX=E 또는 XA=E이면 X=A—⁄ 이다.

1 1 풀이 전략 풀이 역행렬의 뜻 예제

이차정사각행렬 A에 대하여 행렬 A-E의 역행렬이 A-2E일 때, 행렬 A의 역행렬은? (단, E는 단위행렬이다.) ① 2E-A ② 2E+A ③ 3E-A ④ 3E+A ⑤ 4E-A

이차정사각행렬 A에 대하여 A¤ -3A=5E일 때, 행렬 A+E의 역행렬은? (단, E는 단위행렬이다.)

1 정답과 풀이 11`쪽 대학수학능력시험과 모의평가 기출 문항으로 구성하였으며 기존 출제 유형을 파악할 수 있도록 출제 경향과 출제 의도를 제시하였다. 출제 경향 & 대표 기출 문제

3

출제 경향 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성질을 이해하고 이것을 활용하여 행렬의 성분을 구하 거나 같은 그래프를 찾는 문제가 출제되고 있다. 출제 경향 & 대표 기출 문제 오른쪽 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성 분 중 0의 개수는? [3점] ㅣ출제의도ㅣ그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성질을 알고 있는지를 묻는 문제이다. 2013학년도 대수능 6월 모의평가 2 오른쪽 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은? [3점] ① 6 ② 8 ③ 10 ④ 12 ⑤ 14 ㅣ출제의도ㅣ그래프의 연결 관계를 행렬로 나타낼 수 있는지를 묻는 문제이다. 2013학년도 대수능 1 정답과 풀이 19`쪽 Level 1 기초 연습은 기초 개념의 인지 정도를 확인할 수 있는 문항을 제 시하였으며, Level 2 기본 연습은 기본 응용 문제를, 그리고 Level 3 실력 완성은 수학적 사고력과 문제해결능력을 함양할 수 있는 문항들과 신유형 문항을 제시하여 대학수학능력시험 실전에 대비할 수 있도록 구성하였다.

Level 1 - Level 2 - Level 3

4

log™-log™ '2å0의 값은? ① -2 ② -1 ③ -1 ④ 1 ⑤ 2 2 5 4 1 2 1 기초 연습 Level1 www.ebsi.co.kr

모든 실수 x에 대하여 logå–¡ (x¤ -2ax+8a)가 정의되기 위한 모든 자연수 a의 값의 합을 구하 시오. 3 3å =4, 4∫ =81일 때, 실수 a, b의 곱 ab의 값은? ① 1 ② 2 ③ 4 ④ 8 ⑤ 12 2 정답과 풀이 35`쪽

구

성

수학 구분 문항 유형 문항 수 5지선다형 21문항 (세트형 문항 포함), 단답형 9문항 30문항 시험 시간 100분 문항 배점 2점, 3점, 4점 총 배점 100점

행렬과 그 연산

1. 행렬의 뜻

⑴ 수 또는 문자를 직사각형 모양으로 배열하여 괄호로 묶은 것을 행렬이라

고 한다. 이때, 행렬을 이루는 각각의 수나 문자를 그 행렬의 성분이라고

한다.

⑵ 행렬에서 성분을 가로로 배열한 줄을 행이라 하고, 행렬의 성분을 세로

로 배열한 줄을 열이라고 한다. 일반적으로 m개의 행과 n개의 열로 이

루어진 행렬을 m_n행렬이라 하고, 특히 m=n인 행렬을 n차정사각

행렬이라고 한다.

⑶ 행렬은 대문자 A, B, C, y로 나타내고, 행렬의 성분은 소문자 a,

b, c, y로 나타낸다. 행렬 A의 제`i행과 제`j열이 만나는 위치의 행렬

의 성분을 행렬 A의 (i, j)성분이라 하고, a‘Δ로 나타낸다.

이차정사각행렬 A의 (i, j)성분 a‘Δ가 a‘Δ=i+j이면

a¡¡=1+1=2, a¡™=1+2=3, a™¡=2+1=3, a™™=2+2=4

이므로 A={ }이다.

2. 두 행렬이 서로 같을 조건

⑴ 두 행렬 A, B의 행의 개수와 열의 개수가 각각 같을 때, 두 행렬 A, B는 같은 꼴의 행렬이라고 한다.

⑵ 두 행렬 A, B가 같은 꼴이고 대응하는 성분이 각각 같을 때, 두 행렬 A, B는 같다고 하며, 기호로

A=B와 같이 나타낸다.

즉, A={

}, B={

}일 때, A=B HjK a¡¡=b¡¡, a¡™=b¡™, a™¡=b™¡, a™™=b™™

b¡¡ b¡™

b™¡ b™™

a¡¡ a¡™

a™¡ a™™

2 3 3 4

이차정사각행렬 A의 (i, j)성분 a‘Δ가 a‘Δ=2i-j일 때, 행렬 A의 모든 성분의 합은?

① 2

② 4

③ 6

④ 8

⑤ 10

두 행렬 A={

}, B={

}에 대하여 A=B일 때, 실수 x의 값을 구하시오.

1

4x

1

2

1

x¤ +3

x¤

2

1

2

0

1

정답과 풀이 5`쪽 제1열 제1행 제2행 제2열 제3열 10 12 11 14 13 15 { } 제i행 제j열

{

a‘Δ

}

3. 행렬의 덧셈, 뺄셈과 실수배

⑴ 행렬의 덧셈：두 행렬 A, B가 같은 꼴일 때, 두 행렬 A와 B의 대응하는 성분의 합을 성분으로 하는 행

렬을 두 행렬 A와 B의 합이라 하고, A+B로 나타낸다.

즉, A={

}, B={

}일 때, A+B={

}

⑵ 영행렬과 -A：모든 성분이 0인 행렬을 영행렬이라 하고 기호 O로 나타낸다. 또, 행렬 A의 모든 성분의

부호를 바꾸어 놓은 행렬을 -A로 나타낸다.

즉, A={

}일 때, -A={

}

⑶ 행렬의 뺄셈：두 행렬 A, B가 같은 꼴일 때, A+(-B)를 A-B로 나타낸다. 이때, 행렬 A-B는 행

렬 A의 각 성분에서 이에 대응하는 행렬 B의 성분을 뺀 값을 성분으로 하는 행렬과 같다.

즉, A={

}, B={

}일 때, A-B={

}

⑷ 행렬의 실수배：행렬 A와 임의의 실수 k에 대하여 행렬 A의 각 성분을 k배한 것을 성분으로 하는 행렬

을 행렬 A의 k배라 하고, kA로 나타낸다.

즉, A={

}일 때, kA={

}

임의의 행렬 A와 영행렬 O가 같은 꼴이고 k가 실수일 때, 행렬의 실수배의 정의로부터 다음이 성립한다.

1A=A, (-1)A=-A, 0A=O, kO=O

⑸ 행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배의 성질

k, l이 실수일 때, 같은 꼴의 세 행렬 A, B, C와 영행렬 O에 대하여

① A+B=B+A

(행렬의 덧셈에 대한 교환법칙)

② (A+B)+C=A+(B+C)

(행렬의 덧셈에 대한 결합법칙)

③ A+O=O+A=A

(행렬 O는 행렬의 덧셈에 대한 항등원)

④ A+(-A)=(-A)+A=O

(행렬 -A는 행렬 A의 덧셈에 대한 역원)

⑤ (kl)A=k(lA)

⑥ (k+l)A=kA+lA, k(A+B)=kA+kB

ka¡¡ ka¡™

ka™¡ ka™™

a¡¡ a¡™

a™¡ a™™

a¡¡-b¡¡ a¡™-b¡™

a™¡-b™¡ a™™-b™™

b¡¡ b¡™

b™¡ b™™

a¡¡ a¡™

a™¡ a™™

-a¡¡ -a¡™

-a™¡ -a™™

a¡¡ a¡™

a™¡ a™™

a¡¡+b¡¡ a¡™+b¡™

a™¡+b™¡ a™™+b™™

b¡¡ b¡™

b™¡ b™™

a¡¡ a¡™

a™¡ a™™

www.ebsi.co.kr

이차정사각행렬 A의 모든 성분의 합이 4일 때, 3(2A-X)=4A+X를 만족시키는 행렬 X의 모든 성

분의 합은?

① 1

② 2

③ 4

④ 8

⑤ 16

3

정답과 풀이 5쪽

두 행렬 A, B에 대하여 A+B={

}, B={

}일 때, 행렬 AB의 (1, 2)성분은?

① -4

② -2

③ 0

④ 2

⑤ 4

1 -1

0 1

3 -1

1 -1

행렬과 그 연산

4. 행렬의 곱셈

⑴ 행렬의 곱셈：m_k행렬 A와 k_n행렬 B에 대하여 행렬 A의 제`i행의 성분과 행렬 B의 제`j열의 성분

을 각각 차례로 곱하여 모두 더한 값을 (i, j)성분으로 하는 행렬을 두 행렬 A, B의 곱이라 하고, 기호로

AB와 같이 나타낸다. 일반적으로 m_k행렬과 k_n행렬의 곱은 m_n행렬이 된다.

(단, i=1, 2, 3, y, m이고, j=1, 2, 3, y, n이다.)

즉, 두 행렬 A={

}, B={

}의 곱은 다음과 같이 정의된다.

AB={

}

⑵ 행렬의 곱셈의 성질

합과 곱이 정의되는 세 행렬 A, B, C와 실수 k에 대하여

① (AB)C=A(BC)

(행렬의 곱셈에 대한 결합법칙)

② A(B+C)=AB+AC

(행렬의 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙)

(A+B)C=AC+BC

③ k(AB)=(kA)B=A(kB)

a¡¡b¡¡+a¡™b™¡ a¡¡b¡™+a¡™b™™

a™¡b¡¡+a™™b™¡ a™¡b¡™+a™™b™™

b¡¡ b¡™

b™¡ b™™

a¡¡ a¡™

a™¡ a™™

(m_k행렬 ) (k_n행렬 ) (m_n행렬 ) 제i 행

{ }

제 j 열

{

}

(i, j) 성분

{ }

=

0

1

두 행렬 A={

}, B={

}에 대하여 AB=A일 때, a+b의 값은?

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

a b

2 -3

2 0

1 0

4

5

정답과 풀이 5`쪽

5. 단위행렬과 행렬의 거듭제곱

⑴ 정사각행렬 중 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선 위의 성분은 모두 1이고, 그 밖의 성분은 모두 0

인 행렬

{

}, ª

º, y

을 단위행렬이라 하고, 보통 기호 E로 나타낸다.

⑵ 같은 꼴의 정사각행렬 A와 단위행렬 E에 대하여

AE=EA=A (행렬 E는 행렬의 곱셈에 대한 항등원)

⑶ 행렬의 거듭제곱

같은 꼴의 정사각행렬 A, 단위행렬 E와 자연수 m, n에 대하여

① A¤ =AA, A‹ =A¤ A, y, A« ±⁄ =A« A

② Aμ A« =Aμ ±« , (Aμ )« =Aμ « , E« =E

6. 실수의 곱셈과 구별되는 행렬의 곱셈의 성질

⑴ 일반적으로 행렬의 곱셈에 대한 교환법칙은 성립하지 않는다.

즉, 두 이차정사각행렬 A, B에 대하여 AB+BA인 경우가 존재한다.

⑵ 일반적으로 행렬의 곱셈에서는‘AB=O이면 A=O 또는 B=O’

가 성립하지 않는다.

즉, 두 이차정사각행렬 A, B에 대하여 A+O이고 B+O이지만 AB=O인 경우가 존재한다.

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0

0 1

www.ebsi.co.kr

두 행렬 A={

}, B={

}에 대하여 AB=BA일 때, ab의 값은?

① 2

② 4

③ 6

④ 8

⑤ 10

a b

2 3

0 1

1 0

세 행렬 A={

}, B={

}, C={

}에 대하여 AC=BC일 때, a+b의 값은?

① 1

② 3

③ 5

④ 7

⑤ 9

a -2

-2 b

1 1

1 0

3 2

5 2

6

7

정답과 풀이 5`쪽

sin a=

에서

cos a=-"√1-sin¤ a=-æ≠1-{ }¤ =- {∵ <a<p}

a¡¡=sin (p+a)=-sin a=-a¡™=a™¡=sin { p_{+a}=-cos a=} a™™=sin (2p+a)=sin a= 이므로 A={ }=ª º 따라서 행렬 A의 모든 성분의 합은 - + + + = 이다. ⑤ 8 5 3 5 4 5 4 5 3 5 -;5#; ;5$; ;5$; ;5#; a¡¡ a¡™ a™¡ a™™ 3 5 4 5 3 2 3 5 p 2 4 5 3 5 3 5

이차정사각행렬 A의 (i, j)성분을 a‘Δ라고 하면 i=1, 2이고, j=1, 2이다.

풀이 전략

풀이

행렬의 뜻

예제

이차정사각행렬 A의 (i, j)성분 a‘Δ를 두 점 O(0, 0), A‘Δ(i, j) 사이의 거리라 할 때, 행렬 A의

모든 성분의 곱을 구하시오.

1

좌표평면 위에서 오른쪽 방향으로 한 번에 1만큼씩 또는 위쪽 방향으로 한 번에 1만큼씩 움직이는 점

P가 있다. 원점 O를 출발한 점 P가 (i+j)번 움직여 점 (i, j)에 도달하는 방법의 수를 이차정사각

행렬 A의 (i, j)성분이라 할 때, 행렬 A의 모든 성분의 합은?

① 8

② 10

③ 12

④ 14

⑤ 16

2

정답과 풀이 5`쪽

이차정사각행렬 A의 (i, j)성분 a‘Δ를 a‘Δ=sin{

p

_{+a}, sin a= 이라 할 때, 행렬 A의 모든 성분의 합}

은? {단,

<a<p이다.}

① -

8

₅

② -

6

₅

③ 0

④

6

₅

⑤

8

₅

p

2

3

5

i+j

2

두 행렬 A={

}, B=

{

}에 대하여 행렬 A¤ -2AB의 (2, 1)성분은?

① -3

② -1

③ 1

④ 3

⑤ 5

1 0

1 1

1

2

2 0

1 3

3

두 행렬 A={

}, B={

}에 대하여 3X+2A=AB를 만족시키는 행렬 X의 모든 성분의

합은?

① -

4

₃

② -

2

₃

③ 0

④

2

₃

⑤

4

₃

2 1

-1 0

1 0

1 2

4

(A+B)+(A-B)=2A이므로 2A={ }+{ }={ }에서 A={ } (A+B)-(A-B)=2B이므로 2B={ }-{ }={ }에서 B={ } A¤ +AB={ }{ } +{ }{ }={ }+{ }={ } 따라서 행렬 A¤ +AB의 모든 성분의 합은 6+(-2)+2+(-2)=4이다. ② 6 -2 2 -2 2 -5 2 -3 4 3 0 1 0 -1 2 -3 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 0 -1 2 -3 0 -2 4 -6 2 2 -2 4 2 0 2 -2 2 1 0 1 4 2 0 2 2 2 -2 4 2 0 2 -2 행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배를 이용하여 두 행렬 A, B를 구한다. www.ebsi.co.kr 풀이 전략 풀이

행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배, 곱셈

예제

두 행렬 A, B에 대하여 A+B={

}, A-B={

}일 때, 행렬 A¤ +AB의 모든 성분의 합은?

① 2

② 4

③ 6

④ 8

⑤ 10

2 2

-2 4

2 0

2 -2

정답과 풀이 6`쪽 A+B={ }, A-B={ }에서 2A=(A+B)+(A-B)={ }+{ }={ }이므로 A={ } ∴ A¤ +AB=A(A+B)={ }{ }={ } 6 -2 2 -2 2 0 2 -2 2 1 0 1 2 1 0 1 4 2 0 2 2 2 -2 4 2 0 2 -2 2 2 -2 4 2 0 2 -2 다른 풀이

5

A¤ ={ }{ }={ }=3A,

A‹ =A¤ A=(3A)A=3A¤ =3(3A)=3¤ A, A› =A‹ A=(3¤ A)A=3¤ A¤ =3¤ (3A)=3‹ A

이므로

A+A¤ +A‹ +A› =A+3A+3¤ A+3‹ A =(1+3+9+27)A=40A ∴ k=40 ② 3 3 6 6 1 1 2 2 1 1 2 2

A¤ =AA, A‹ =A¤ A, y, A« ±⁄ =A« A (n은 자연수)임을 이용한다.

풀이 전략

풀이

행렬의 거듭제곱

예제

행렬 A={

}에 대하여 A⁄ ‚ ⁄ =A를 만족시키는 모든 실수 a의 값의 합은?

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

1 1

a -1

두 이차정사각행렬 A, B가

AB=2E, A+B=2E

를 만족시킬 때, 행렬 A‹ 과 같은 행렬은? (단, E는 단위행렬이다.)

① 2A-3E

② 2A-4E

③ 2A-5E

④ 2A-6E

⑤ 2A-7E

6

행렬 A={

}에 대하여 A+A¤ +A‹ +A› =kA일 때, 상수 k의 값은?

① 38

② 40

③ 42

④ 44

⑤ 46

1 1

2 2

정답과 풀이 6`쪽 행렬 A={ }에 대하여 ad-bc=0인 경우 ⁄ A¤ =(a+d)A ¤ A« ±⁄ =(a+d)« A (단, n은 자연수) a b c d 참고

ㄱ. A(A+B)=(A-B)B

HjK A¤ +AB=AB-B¤ HjK A¤ +B¤ =O ∴ A¤ +B¤ =O (참) ㄴ. (반례) A={ }, B={ }이라 하면 A¤ ={ }{ }={ }, B¤ ={ }{ }={ } 이므로 A¤ +B¤ =O HjK A(A+B)=(A-B)B이다. (∵ ㄱ) 하지만 AB={ }{ }={ }+O이다. (거짓) ㄷ. ㄱ에서 A¤ +B¤ =O이므로

A‹ B+AB‹ =A(A¤ +B¤¤ )B=AOB=O (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ④ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 ⑴ 두 이차정사각행렬 A, B에 대하여 AB+BA인 경우가 존재한다.

⑵ 두 이차정사각행렬 A, B에 대하여 A+O, B+O이지만 AB=O인 경우가 존재한다.

www.ebsi.co.kr 풀이 전략 풀이

행렬의 곱셈의 성질

예제

영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 A, B가 A(A+B)=(A-B)B를 만족시킬 때, 옳은 것만을

보기

에서 있는

대로 고른 것은? (단, O는 영행렬이다.)

보기

ㄱ. A¤ +B¤ =O ㄴ. AB=O ㄷ. A‹ B+AB‹ =O

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 A, B가 A¤ B=BA¤ 을 만족시킬 때, 옳은 것만을

보기

에서 있는 대

로 고른 것은?

7

보기

ㄱ. A¤ B¤ =B¤ A¤ ㄴ. A‹ B=BA‹ ㄷ. A› B¤ =B¤ A›

① ㄱ

② ㄱ, ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

출제 경향 행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배, 곱셈 등을 포함하는 간단한 연산 문제와 함께 행렬의 거듭제곱을 이용하여 행렬의 규 칙성을 발견하거나 주어진 식을 간단히 하는 문제 등이 출제되고 있다.

출제 경향 & 대표 기출 문제

두 행렬 A={

}, B={

}에 대하여 행렬 2A+B의 모든 성분의 합은?

[2점]

① 10

② 9

③ 8

④ 7

⑤ 6

1 0

1 1

0 0

1 1

ㅣ출제의도ㅣ 행렬의 덧셈, 실수배를 포함하는 간단한 연산을 할 수 있는지를 묻는 문제이다. 2013학년도 대수능

1

이차정사각행렬 A의 (i, j)성분 a‘Δ가

a‘Δ=i-j (i=1, 2, j=1, 2)

이다. 행렬 A+A¤ +A‹ +y+A¤ ‚ ⁄ ‚ 의 (2, 1)성분은?

[4점]

① -2010

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2010

ㅣ출제의도ㅣ 성분으로 정의된 행렬을 구하고 행렬의 거듭제곱을 이용하여 규칙성을 찾아낼 수 있는지를 묻는 문제이다. 2011학년도 대수능

2

행렬 P={

}에 대하여 집합 S가

S={A|A는 이차정사각행렬이고, PAP=A}

일 때, 옳은 것만을

보기

에서 있는 대로 고른 것은? (단, O는 영행렬이다.)

[4점]

0 1

1 0

ㅣ출제의도ㅣ 행렬의 곱셈에 대한 성질을 알고 있는지를 묻는 문제이다. 2010학년도 대수능 6월 모의평가

3

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

보기 ㄱ. P<S ㄴ. A<S이고 B<S이면 AB<S이다. ㄷ. A<S이고 A¤ =O이면 A=O이다.

두 행렬 A, B에 대하여 2A={

}, A+B={

}일 때, 행렬 A-B의 (1, 2) 성분은?

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

1 1

1 1

3 2

0 2

1

기초 연습

Level

1

www.ebsi.co.kr

이차방정식 x¤ -3x-5=0의 두 근을 a, b라 할 때, 행렬 A={

}에 대하여 행렬 A¤ 의 모

든 성분의 합을 구하시오.

a

2

2 b

2

두 행렬 A, B에 대하여 A¤ +B¤ ={

}, AB+BA={

}일 때, 행렬 (A-B)¤ 의

모든 성분의 합은?

① 2

② 4

③ 6

④ 8

⑤ 10

4 -3

0 4

5 -3

0 5

3

이차정사각행렬 A에 대하여 A¤ +A+E=O일 때, A+A¤ +A‹ +y+A¤ ‚ ⁄ ‹ 과 같은 행렬은?

(단, E는 단위행렬이고, O는 영행렬이다.)

① -A-E

② -A

③ O

④ A

⑤ A+E

4

기본 연습

Level

2

두 행렬 A, B에 대하여 A-B={

}, AB={

}일 때, 행렬 (A+B)¤``의 (1, 1)

성분은?

① -4

② -2

③ 0

④ 2

⑤ 4

-1 -1

1 -2

2 0

0 2

1

행렬 A={

}에 대하여 행렬 A*를 A*={

}라 하자. 두 행렬 A={

},

B={

}에 대하여 행렬 (AB)*-A*B*의 모든 성분의 합은?

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

1 -1

0 1

1 0

2 1

d c

b a

a b

c d

2

두 이차정사각행렬 A, B가 다음 조건을 만족시킨다.

3

행렬 A의 모든 성분의 합은 1이고, 행렬 B의 모든 성분의 합은

일 때, 행렬 A‹ +8B‹ 의 모든

성분의 합은? (단, E는 단위행렬이다.)

① 2

②

9

₄

③

5

₂

④

11

₄

⑤ 3

1

2

㈎ (A+B)(A-B)=A¤ -B¤ ㈏ A¤ -2AB+4B¤ =E

(A+B)¤ =(A-B)¤ 을 만족시키는 임의의 두 이차정사각행렬 A, B에 대하여 (AB)« =A« B«

을 만족시키는 두 자리 자연수 n의 개수를 구하시오.

4

행렬 A={

}에 대하여 행렬 A« 의 모든 성분의 합을 S«이라 할 때,

의 값을 구하시

오. (단, n은 자연수이다.)

S¡¡¡

S¡ºº

1 1

1 -1

1

이차정사각행렬 A가 다음 조건을 만족시킬 때, 행렬 (A-E)¤ ‚ ⁄ ‹ 의 모든 성분의 합은?

(단, E는 단위행렬이다.)

2

www.ebsi.co.kr 보기 ㄱ. { } <X

ㄴ. A<X이면 A¤ ‚ ⁄ ‹ =A이다.

ㄷ. 두 실수 a, b에 대하여 행렬 A={ }일 때, A<X인 행렬 A의 개수는 3이다.

a b b a 0 1 1 0

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

① -3¥2¤ ‚ ⁄ ¤

② -2¤ ‚ ⁄ ¤

③ 2¤ ‚ ⁄ ¤

④ 3¥2¤ ‚ ⁄ ¤

⑤ 5¥2¤ ‚ ⁄ ¤

㈎ A¤ =E ㈏ 행렬 A의 모든 성분의 합은 1이다.

집합 X=[A|A¤ =A{

}, A는 이차정사각행렬]에 대하여 옳은 것만을

보기

에서 있는 대로

고른 것은?

0 1

1 0

3

정답과 풀이 9`쪽

실력 완성

Level

3

역행렬과 연립일차방정식

행렬 A에 대하여 A{

}=2{

}일 때, 행렬 A—⁄ 의 모든 성분의 합은?

① -10

② -5

③ 0

④ 5

⑤ 10

1 0

0 1

1 3

2 4

행렬 {

}의 역행렬이 존재하지 않도록 하는 모든 실수 x의 값의 합은?

① -4

② -2

③ 0

④ 2

⑤ 4

1

x-2

x-2

1

1

2

0

2

정답과 풀이 10`쪽

1. 역행렬의 뜻

같은 꼴의 정사각행렬 A와 단위행렬 E에 대하여

AX=XA=E

가 성립하는 행렬 X가 존재할 때, X를 A의 역행렬이라 하고 기호 A—⁄ 로 나타낸다. 즉,

AA—⁄ =A—⁄ A=E

같은 꼴의 두 정사각행렬 A, B와 단위행렬 E에 대하여

AB=E이면 BA=E가 성립하고 A—⁄ =B, B—⁄ =A이다. A={ }, B={ }에 대하여 AB=E인 행렬 B를 구하면 AB={ }{ }={ }={ }에서 p=1, q=-2, r=0, s=1 ∴ B={ } 이때, 행렬 B={ }은 BA=E도 만족한다. 따라서 AB=E인 행렬 B는 역행렬의 정의에 의하여 행렬 A의 역행렬이다.

2. 이차정사각행렬의 역행렬

이차정사각행렬 A={

}에 대하여

⑴ ad-bc+0일 때, 행렬 A의 역행렬이 존재하고

A—⁄ =

{

}

⑵ ad-bc=0일 때, 행렬 A의 역행렬이 존재하지 않는다.

d -b

-c a

1

ad-bc

a b

c d

1 -2 0 1 1 -2 0 1 1 0 0 1 q+2s s p+2r r p q r s 1 2 0 1 p q r s 1 2 0 1

3. 역행렬의 성질

같은 꼴의 두 정사각행렬 A, B의 역행렬 A—⁄ , B—⁄ 가 각각 존재할 때,

⑴ (A—⁄ )—⁄ =A

⑵ (AB)—⁄ =B—⁄ A—⁄

⑶ (A« )—⁄ =(A—⁄ )« (단, n은 자연수)

⑷ (kA)—⁄ =

A—⁄ (단, k+0인 실수)

⑵ (AB)(B—⁄ A—⁄ )=A(BB—⁄ )A—⁄ =AEA—⁄ =AA—⁄ =E,

(B—⁄ A—⁄ )(AB)=B—⁄ (A—⁄ A)B=B—⁄ EB=B—⁄ B=E

이므로 역행렬의 정의에 의하여 (AB)—⁄ =B—⁄ A—⁄

⑷ (kA){ A—⁄ }={k¥ } (AA—⁄ )=E, { A—⁄ }(kA)={ ¥k}(A—⁄ A)=E

이므로 역행렬의 정의에 의하여 (kA)—⁄ = A—⁄

4. 역행렬의 활용

정사각행렬 A의 역행렬 A—⁄ 가 존재할 때,

⑴ AX=B

HjK X=A—⁄ B

⑵ XA=B

HjK X=BA—⁄

⑴ AX=B의 양변의 왼쪽에 A—⁄ 를 각각 곱하면 A—⁄ (AX)=A—⁄ B

이때, A—⁄ (AX)=(A—⁄ A)X=EX=X ∴ X=A—⁄ B 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k

1

k

www.ebsi.co.kr

두 행렬 A={

}, B={

}에 대하여 행렬 (2BA)—⁄ B의 모든 성분의 합은?

① 1

②

3

₂

③ 2

④

5

₂

⑤ 3

2 3

-1 1

2 0

-5 1

두 행렬 A={

}, B={

}에 대하여 XA=B일 때, 행렬 X의 모든 성분의 합은?

① 2

② 4

③ 6

④ 8

⑤ 10

2 0

0 1

1 2

1 3

3

4

정답과 풀이 10`쪽

역행렬과 연립일차방정식

5. 역행렬과 연립일차방정식

⑴ 행렬과 연립일차방정식

x, y에 대한 연립일차방정식 [

를 행렬을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[

HjK

{

} {

}={

}

⑵ 역행렬을 이용한 연립일차방정식의 풀이

세 행렬 A={

}, X={

}, B={

}에 대하여

ad-bc+0이면 행렬 A의 역행렬 A—⁄ 가 존재하므로

{

} {

}={

} HjK AX=B

HjK X=A—⁄ B

HjK

{

}=

{

} {

}

즉, ad-bc+0일 때, 연립일차방정식 {

} {

}={

}의 해는

{

}=

{

} {

}

p

q

d -b

-c a

1

ad-bc

x

y

p

q

x

y

a b

c d

p

q

d -b

-c a

1

ad-bc

x

y

p

q

x

y

a b

c d

p

q

x

y

a b

c d

p

q

x

y

a b

c d

ax+by=p

cx+dy=q

ax+by=p

cx+dy=q

0

2

연립일차방정식

을 행렬을 이용하여 나타낸 식이 {

} {

}={

}일 때, a+b의 값을 구

하시오. (단, a, b는 상수이다.)

3

2

x

y

9 a

b 4

2x+y=;2!;

x+2y=;3!;

(

{

9

x, y에 대한 연립일차방정식 {

} {

}={

}의 해를 x=a, y=b라 하자. {

}

—⁄

{

}={

}

일 때, 2a+b의 값은?

① -3

② -1

③ 1

④ 3

⑤ 5

1 0

0 1

a b

c d

3 1

2 1

0

1

x

y

a b

c d

5

6

정답과 풀이 11`쪽

6. 연립일차방정식의 해의 개수

⑴ x, y에 대한 연립일차방정식 {

} {

}={

}의 해의 개수

① ad-bc+0일 때, 연립일차방정식의 해가

{

}=

{

} {

}

이므로 연립일차방정식은 오직 한 쌍의 해를 갖는다.

② ad-bc=0일 때,

[

a : c=b : d=p : q이면 연립일차방정식의 해가 무수히 많다.

a : c=b : d+p : q이면 연립일차방정식의 해가 없다.

두 직선 ax+by=p(b+0), cx+dy=q(d+0)에서 a : c=b : d(ad-bc=0)이면 두 직선의 기울기가 같고, b : d=p : q이면 두 직선의 y절편이 같다.

⑵ x, y에 대한 연립일차방정식 {

} {

}={

}의 해의 개수

① ad-bc+0일 때, 연립일차방정식은 오직 한 쌍의 해를 갖고 그 해는 x=0, y=0이다.

② ad-bc=0일 때, 연립일차방정식은 무수히 많은 해를 갖는다. 즉, x=0, y=0 이외의 해를 갖는다.

두 직선 ax+by=0(b+0), cx+dy=0(d+0)은 항상 원점을 지난다. 이때, ad-bc=0이면 두 직선의 기울 기가 같아져 두 직선은 서로 일치한다. 연립일차방정식 { }{ }={ }이 x=0, y=0 이외의 해를 가질 필요충분조건은 ad-bc=0이다. 0 0 x y a b c d

0

0

x

y

a b

c d

p

q

d -b

-c a

1

ad-bc

x

y

p

q

x

y

a b

c d

www.ebsi.co.kr

x, y에 대한 연립일차방정식 {

} {

}={

}의 해가 무수히 많도록 하는 상수 k의 값은?

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

1

k

x

y

2

k-1

k

1

x, y에 대한 연립일차방정식 {

} {

}={

}이 오직 한 쌍의 해를 갖도록 하는 자연수 k의 최솟값

은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

0

0

x

y

-1

k-3

k

2

7

8

정답과 풀이 11`쪽

행렬 A-E의 역행렬이 A-2E이므로 (A-E)(A-2E)=E A¤ -3A+2E=E A(A-3E)=-E ∴ A(3E-A)=E 따라서 행렬 A의 역행렬은 3E-A이다. ③ 같은 꼴의 두 정사각행렬 A, B와 단위행렬 E에 대하여 ⑴ 행렬 B가 행렬 A의 역행렬이면 AB=BA=E이다. ⑵ AX=E 또는 XA=E이면 X=A—⁄ 이다.

풀이 전략

풀이

역행렬의 뜻

예제

이차정사각행렬 A에 대하여 행렬 A-E의 역행렬이 A-2E일 때, 행렬 A의 역행렬은?

(단, E는 단위행렬이다.)

① 2E-A

② 2E+A

③ 3E-A

④ 3E+A

⑤ 4E-A

행렬 A={

} (b+0)에 대하여 A¤ =E일 때, 행렬 A+kE의 역행렬이 존재하지 않도록 하는

모든 상수 k의 값의 합은? (단, E는 단위행렬이다.)

① -4

② -2

③ 0

④ 2

⑤ 4

a b

c d

2

이차정사각행렬 A에 대하여 A¤ -3A=5E일 때, 행렬 A+E의 역행렬은? (단, E는 단위행렬이다.)

① A-4E

② A-2E

③ A

④ A+2E

⑤ A+4E

1

두 행렬 A={

}, B={

}에 대하여 행렬 AB의 역행렬이 존재하지 않도록 하는 양수

k의 값은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

k

-2

1

1-k

1 2

3 4

3

임의의 실수 x에 대하여 행렬 {

}의 역행렬이 존재하도록 하는 모든 정수 k의 값의 합은?

① -3

② -1

③ 1

④ 3

⑤ 5

2kx+3

x+1

x+1

-1

4

이차정사각행렬 A에 대하여 ⑴ 행렬 A={ }의 역행렬이 존재하지 않으면 ad-bc=0이다. ⑵ A의 역행렬이 존재하면 A¤ 의 역행렬도 존재하고, 그 역도 성립한다. a b c d www.ebsi.co.kr 풀이 전략

이차정사각행렬의 역행렬

예제

행렬 A={

}에 대하여 행렬 (A-tE)¤ 의 역행렬이 존재하지 않도록 하는 모든 실수 t의 값의 합은?

(단, E는 단위행렬이다.)

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

2 4

3 3

정답과 풀이 12`쪽 행렬 (A-tE)¤ 의 역행렬이 존재하지 않기 위해서는 행렬 A-tE의 역행렬도 존재하지 않아야 하므로 A-tE={ }-t{ }={ }에서 (2-t)(3-t)-3¥4=0 ∴ t¤ -5t-6=0 이 이차방정식의 판별식 D>0이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 조건을 만족시키는 모든 실수 t의 값의 합은 5이다. ⑤ 4 3-t 2-t 3 1 0 0 1 2 4 3 3 풀이

역행렬이 존재하는 세 이차정사각행렬 A, B, P에 대하여 A=PBP—⁄ 일 때, ⑴ A—⁄ =PB—⁄ P—⁄ ⑵ B=P—⁄ AP ⑶ A« =PB« P—⁄ (단, n은 자연수) 풀이 전략

역행렬의 성질`⑴

예제

역행렬이 존재하는 두 행렬 A, B에 대하여 BA={

}B일 때, 행렬 BA¤ B—⁄ 의 모든 성분의 합은?

① 2

② 4

③ 6

④ 8

⑤ 10

2 -1

1 2

두 행렬 A={

}, B={

}에 대하여 행렬 X가 A—⁄ XA=B를 만족시킨다. 행렬 X⁄ ‚ 의

모든 성분의 합은?

① 1

② 2

③ 3⁄ ‚

④ 2¥3⁄ ‚

⑤ 4¥3⁄ ‚

3 0

0 1

1 1

-1 1

6

세 행렬 A={

}, B={

}, P={

}에 대하여 A=PBP—⁄ 일 때, a+b의 값은?

① 0

② 2

③ 4

④ 6

⑤ 8

1 a

b 1

1 0

0 3

4 -3

1 0

5

정답과 풀이 12`쪽 등식 BA={ }B의 양변의 오른쪽에 B—⁄ 를 각각 곱하면 BAB—⁄ ={ }BB—⁄ ={ } 한편, (BAB—⁄ )¤ =(BAB—⁄ )(BAB—⁄ )=BA¤ B—⁄ 이므로

BA¤ B—⁄ =(BAB—⁄ )¤ ={ }{ }={ } 따라서 행렬 BA¤ B—⁄ 의 모든 성분의 합은 3+(-4)+4+3=6이다. ③ 3 -4 4 3 2 -1 1 2 2 -1 1 2 2 -1 1 2 2 -1 1 2 2 -1 1 2 풀이

ㄱ. A+B=2E에서 A=2E-B

A¤ =2A에서 (2E-B)¤ =2(2E-B), B¤ -2B=O ∴ B¤ =2B (참)

ㄴ. A+O일 때, 행렬 A-2E의 역행렬 X가 존재한다고 가정하자. 역행렬의 정의에 의하여 (A-2E)X=E

한편, A¤ =2A에서 A(A-2E)=O의 양변의 오른쪽에 X를 각각 곱하면

A(A-2E)X=OX HjK AE=O HjK A=O

A+O에 모순이므로 행렬 A-2E의 역행렬은 존재하지 않는다. (거짓)

ㄷ. A-B=A-(2E-A)=2(A-E)

A¤ =2A에서 A¤ -2A+E=E, (A-E)(A-E)=E, 즉 (A-E)—⁄ =(A-E)

∴ {(A-B)« }—⁄ ={(A-B)—⁄ }« =[{2(A-E)}—⁄ ]« =[ (A-E)]« (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

④

1 2

두 이차정사각행렬 A, X와 단위행렬 E에 대하여

⑴ X=A—⁄ 이면 AX=XA=E ⑵ (A« )—⁄ =(A—⁄ )« (단, n은 자연수)

www.ebsi.co.kr 풀이 전략 풀이

역행렬의 성질`⑵

예제

영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 A, B에 대하여

A+B=2E, A¤ =2A

일 때, 옳은 것만을

보기

에서 있는 대로 고른 것은? (단, E는 단위행렬이다.)

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 이차정사각행렬 A, B에 대하여 AB=BA가 성립하기 위한 충분조건인 것만을

보기

에서 있는 대

로 고른 것은? (단, E는 단위행렬이고, O는 영행렬이다.)

7

보기 ㄱ. B¤ =2B ㄴ. 행렬 A-2E의 역행렬이 존재한다. ㄷ. 모든 자연수 n에 대하여 행렬 (A-B)« 의 역행렬이 존재한다. 보기 ㄱ. A¤ +AB+BA+B¤ =O ㄴ. A¤ +2BA+AB+2B¤ =E ㄷ. A¤ +2AB+2BA+4B¤ =E

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ

⑤ ㄴ, ㄷ

정답과 풀이 12`쪽

x, y에 대한 연립일차방정식 {

} {

}={

}가 x=1, y=1을 포함하는 두 쌍 이상의 해를 가질

때, 세 상수 a, b, c의 합 a+b+c의 값을 구하시오.

6

c

x

y

a 4

1 b

8

{ } { }={ } HjK { } { }={ } { } HjK [{ }-{ }]{ }={ } ∴ { } { }={ } yy`㉠ ㉠이 x=0, y=0 이외의 해를 가지므로 (t-5)(t-3)-4¥2=0 ∴ t¤ -8t+7=0 이 이차방정식의 판별식 D>0이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 조건을 만족시키는 모든 실수 t의 값의 합은 8이다. ④ 0 0 x y t-5 4 2 t-3 0 0 x y 5 0 0 3 t 4 2 t x y 5 0 0 3 x y t 4 2 t 5x 3y x y t 4 2 t 연립일차방정식 { }{ }={ }이 x=0, y=0 이외의 해를 가질 조건은 ad-bc=0이다. 0 0 x y a b c d www.ebsi.co.kr 풀이 전략 풀이

역행렬과 연립일차방정식

예제

x, y에 대한 연립일차방정식 {

}{

}={

}가 x=0, y=0 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 t의 값의 합

은?

① 2

② 4

③ 6

④ 8

⑤ 10

5x

3y

x

y

t 4

2 t

x, y에 대한 연립일차방정식 {

}{

}={

}이 모든 양의 실수 t에 대하여 오직 한 쌍의

해를 갖도록 하는 자연수 m의 개수는?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

3

-1

x

y

m

t+2

t+2

1-t

9

정답과 풀이 13`쪽

보기 ㄱ. A—⁄ =2A+B ㄴ. B=2A+2E ㄷ. (B-E)¤ =O (단, O는 영행렬이다.) 출제 경향 역행렬의 뜻과 성질을 이용하는 문제와 역행렬과 연립방정식의 관계를 이해하고 있는지를 묻는 문제가 자주 출제 되었다. 최근에는 행렬의 복합적인 성질을 이용하여 주어진 명제의 참, 거짓을 묻는 문제가 연속하여 출제되고 있다.

출제 경향 & 대표 기출 문제

두 행렬 A, B에 대하여 A-B={

} 일 때, AX={

} , BX={

} 을 만족시키

는 행렬 X는?

[2점]

① {

}

② {

}

③ {

}

④ {

}

⑤ {

}

3 -1

0 1

5 1

1 -2

-2 1

5 -3

1 3

-1 2

2 -1

-5 3

2 1

1 -1

3 1

1 0

3 1

5 2

ㅣ출제의도ㅣ 주어진 식을 변형하여 역행렬을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. 2011학년도 대수능 9월 모의평가

1

이차정사각행렬 A가 다음 조건을 만족시킨다. (단, E는 단위행렬이고, O는 영행렬이다.)

(A+2E){ }={

}을 만족시키는 실수 x, y에 대하여 x+y의 값을 구하시오.

[4점]

3

-3

x

y

ㅣ출제의도ㅣ 주어진 식을 변형하여 역행렬을 구한 후 이를 이용하여 연립방정식을 풀 수 있는지를 묻는 문제이다. 2012학년도 대수능

3

㈎ A¤ +2A-E=O ㈏ A{ }={ } 3 4 1 -1

두 이차정사각행렬 A, B가

2A¤ +AB=E, AB+BA=2A+E

를 만족시킬 때, 옳은 것만을

보기

에서 있는 대로 고른 것은? (단, E는 단위행렬이다.)

[4점]

① ㄴ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

ㅣ출제의도ㅣ 역행렬의 뜻을 이용하여 주어진 식을 변형할 수 있는지를 묻는 문제이다. 2013학년도 대수능

2

정답과 풀이 14`쪽

두 행렬 A={

}, B={

}에 대하여 AX-B=(AB)—⁄ A를 만족시키는 행렬 X의

(1, 1)성분은?

① -3

② -1

③ 1

④ 3

⑤ 5

2 -3

1 -1

1 1

0 1

1

기초 연습

Level

1

행렬 A={

}과 행렬 A—⁄ 가 서로 같을 때, 두 실수 a, b에 대하여 a¤ +b¤ 의 최솟값을 구하

시오.

3 a

b -3

2

x, y에 대한 연립일차방정식 {

} {

}={

}의 해가 x=a, y=b이다.

{

} {

}={

}일 때, a+b의 값은?

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

2 0

0 3

a b

c d

3 1

2 1

-1

5

x

y

a b

c d

5

두 행렬 A={

}, B={

}에 대하여 행렬 (A—⁄ B)—⁄ 의 모든 성분의 합은?

① -4

② -2

③ 0

④ 2

⑤ 4

3 2

1 1

0 1

1 -1

3

연립일차방정식

‡

을 행렬을 이용하여 { }={

}{

}과 같이 나타낼 때,

a+b의 값은?

① -4

② -2

③ 0

④ 2

⑤ 4

5

3

2 a

b -2

x

y

2x-3y=5

;2!;x-y=;2#;

4

정답과 풀이 14`쪽

기본 연습

Level

2

www.ebsi.co.kr

역행렬이 존재하는 이차정사각행렬 A와 두 행렬 P={ }, Q={ }에 대하여 AP+A—⁄ Q=O

일 때, 행렬 A¤ 의 모든 성분의 합은? (단, O는 영행렬이다.)

① -4

② -2

③ 0

④ 2

⑤ 4

4

0

2

2

1

두 이차정사각행렬 A, B가 다음 조건을 만족시킨다.

2

역행렬이 존재하지 않는 행렬 A={

}에 대하여 A‹ =A일 때, 모든 실수 a의 값의 합은?

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

a b

c -1

3

역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 A, B에 대하여 옳은 것만을

보기

에서 있는 대로 고른 것

은? (단, O는 영행렬이다.)

4

보기

ㄱ. A¤ B=BA¤ 이면 AB=BA이다. ㄴ. A+2B=O이면 2A—⁄ +B—⁄ =O이다. ㄷ. A¤ B¤ =AB이면 A(A+B)B=A+B이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ

⑤ ㄴ, ㄷ

정답과 풀이 15`쪽 ㈎ AB= E _{㈏ A+2B={} } 3 3 0 -3 1 2

행렬 A‹ +8B‹ 의 모든 성분의 합은? (단, E는 단위행렬이다.)

① 15

② 18

③ 21

④ 24

⑤ 27

Level

2

기본 연습

역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 A, B가

A+2B=E, A¤ -A+2E=O

를 만족시킨다. 행렬 A의 모든 성분의 합이 2일 때, 행렬 B의 역행렬의 모든 성분의 합을 구하시

오. (단, E는 단위행렬이고, O는 영행렬이다.)

5

역행렬이 존재하는 행렬 A={

}에 대하여 x, y에 대한 연립일차방정식

(A—⁄ -E){ }={

}의 해가 x=3, y=0일 때, x, y에 대한 연립일차방정식 [

의 해는 x=a, y=b이다. 10a+b의 값을 구하시오.

ax+by=3

cx+dy=0

-2

2

x

y

a b

c d

6

거리가 l km 떨어진 두 역 A, B 사이를 운행하는 고속열차가 있다. 이 고속열차를 시험 운행할

때는 x(km/시)의 평균 속력으로 운전하여 출발역에서 도착역까지 3시간 걸리도록 운행하던 것을

정상 운행할 때는 시험 운행할 때의 평균 속력보다 y(km/시)만큼 느린 평균 속력으로 운전하여 출

발역에서 도착역까지 4시간이 걸리도록 운행하였다. 이들의 관계를 x, y에 대한 연립일차방정식

{

}{

}=

{

}

로 나타낼 때, a+b의 값은? (단, a, b는 상수이고, 0<y<x이다.)

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

4l

3l

1

12

x

y

1 a

b -1

7

10 이하의 자연수 n에 대하여 행렬 A«을

A«=

라 하자. x, y에 대한 연립일차방정식 A«{ }={ }을 만족시키는 순서쌍 (x, y)의 개수를

f(n)이라 할 때, f(1)+f(2)+f(3)+y+f(10)의 값은?

① 4

② 5

③ 6

④ 7

⑤ 8

1

0

x

y

º

1+3 cos ;3N;p

1+cos ;3N;p

2 cos ;3N;p

1

ª

8

정답과 풀이 16`쪽

이차정사각행렬 A에 대하여 A‹ =O일 때, 옳은 것만을

보기

에서 있는 대로 고른 것은?

(단, E는 단위행렬이고, O는 영행렬이다.)

1

www.ebsi.co.kr

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ

⑤ ㄴ, ㄷ

역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 A, B가 다음 조건을 만족시킬 때, 행렬 B—⁄ A¤ ‚ ‚ B의 모든

성분의 합은? (단, E는 단위행렬이다.)

2

㈎ A‹ =B¤ =E ㈏ { }B=(AB—⁄ )—⁄ '3 -1 -1 -'3 1 2

① -'3

② -1

③ 0

④ 1

⑤ '3

실수 t에 대하여 집합 S(t)를 다음과 같이 정의하자.

S(t)=[(x, y)|{

}{

}={

}]

(1, a)<S(t)인 양수 a가 존재하도록 하는 t의 값을 b라 할 때, 120a+b의 값을 구하시오.

2y

-x

x

y

1 t

t 4

3

실력 완성

Level

3

정답과 풀이 17`쪽 보기 ㄱ. 행렬 A의 모든 성분의 합은 0이다. ㄴ. 행렬 A¤ +E의 역행렬이 존재한다.

그래프와 행렬

오른쪽 그래프에서 꼭짓점의 개수를 a, 변의 개수를 b라 할 때, a+b의 값은?

① 10

② 11

③ 12

④ 13

⑤ 14

1

0

3

정답과 풀이 18`쪽

1. 그래프의 뜻

⑴ 점과 선으로 이루어진 그림을 그래프라 하고, 그래프에서 점을 꼭짓점, 꼭짓점을 연결한 선을 변이라고 한다.

⑵ 꼭짓점은 A, B, C, y와 같이 알파벳 대문자로 나타내고, 변은 양 끝의 꼭짓점을 이용하여 AB, BC, CD,

y와 같이 나타낸다.

오른쪽 그림과 같은 그래프에서 꼭짓점의 집합은 {A, B, C, D, E}이고 변의 집합`은 {AB, AC, BC, BD, BE, CD, DE}이다.

한 꼭짓점에서 자기 자신으로 가는 변이 없고, 한 쌍의 꼭짓점 사이에 많아야 한 개의 변이 있는 그래프를 주로 다룬다.

2. 서로 같은 그래프

⑴ 꼭짓점의 위치를 바꾸거나 변을 구부리거나 늘이거나 줄여서 두 그래프가 같은 그림이 될 수 있으면 두 그

래프는 서로 같다고 한다.

다음 두 그래프는 서로 같은 그래프이다.

⑵ 서로 같은 그래프는 꼭짓점의 개수와 변의 개수가 각각 같으며, 꼭짓점 사이의 연결 상태가 서로 같다.

3. 경로

그래프의 한 꼭짓점에서 출발하여 연결된 변을 따라 한 번 지난 변을 반복하지 않고 다른 꼭짓점으로 이동하는

길을 경로라고 한다. 이때, 경로는 이동한 순서대로 꼭짓점을 나열하여 표현한다.

오른쪽 그래프에서 꼭짓점 A에서 출발하여 꼭짓점 D로 이`동하`는 경로는 다음과 같다. 2개의 변을 지나는 것：ABD, AED 3개의 변을 지나는 것：ACED, ACBD 4개의 변을 지나는 것：ABCED, AECBD

5개의 변을 지나는 것：ABCAED, ACBAED, ACEABD, AECABD

A D B C E A D B C A C B D A B E C D A E C D B

4. 그래프를 나타내는 행렬

⑴ 그래프에서 꼭짓점의 개수가 n이면 n_n행렬로 나타낸다.

⑵ 두 꼭짓점이 변으로 연결되어 있으면 1, 변으로 연결되어 있지 않으면 0을 성분으로 한다.

즉, n개의 점 P¡, P™, P£, y, P«을 꼭짓점으로 하는 그래프를 n_n행렬 M으로 나타낼 때, 행렬 M

의 (i, j)성분 a‘Δ는 다음과 같다. (단, i=1, 2, y, n이고, j=1, 2, y, n이다.)

a‘Δ=[

5. 그래프를 나타내는 행렬의 성질

⑴ 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선 위의 성분은 모두 0이다.

즉, (i, i)성분은 모두 0이다.

⑵ 행렬의 각 성분이 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선에 대하여 대칭이다.

즉, (i, j)성분과 (j, i)성분이 같다.

⑶ 행렬의 각 행(열)에 있는 성분의 총합은 그래프에서 그 행(열)에 해당하는 각 꼭짓점에 연결된 변의 개수와 같다.

⑷ 행렬의 모든 성분의 합은 그래프의 변의 개수의 2배와 같다.

6. 그래프를 나타내는 행렬의 활용

어떤 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬을 M이라고 할 때, 행렬 M¤ 은 다음과 같은 성질

이 있다.

⑴ 행렬 M¤ 의 (i, j)성분은 제`i행에 해당하는 꼭짓점에서 출발하여 한 개의 꼭짓점만을 지나 제`j열에 해당

하는 꼭짓점으로 가는 방법의 수와 같다.

⑵ 행렬 M¤ 의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선 위의 성분, 즉 행렬 M¤ 의 (i, i)성분은 제`i행(제`i

열)에 해당하는 꼭짓점에 연결된 변의 개수와 같다.

⑶ 행렬 M¤ 의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선 위의 모든 성분의 합은 그래프의 변의 개수의 2배와

같다.

오른쪽 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬 M과 행렬 M¤ 은 다음과 같다. Δ A B C D

1

(두 꼭짓점 P‘, PΔ가 변으로 연결되어 있을 때)

0 (두 꼭짓점 P‘, PΔ가 변으로 연결되어 있지 않을 때)

www.ebsi.co.kr

오른쪽 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의

합을 구하시오.

2

정답과 풀이 18`쪽 A F B C D E 행렬M ‚ 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 · A B C D A B C D 행렬M¤ ‚ 2 1 2 1 1 3 1 2 2 1 2 1 1 2 1 3 · A B C D A B C D

꼭짓점 A에 연결된 변이 4개이고 주어진 행렬을 만족시키는 그래프 G는 오른쪽과 같다. 이때, 꼭짓점 A에서 출발하여 3개의 변을 지나 꼭짓점 D로 이동하는 경로는 ABCD, ABED, ACED, AECD로 4개이다.

③ 그래프의 한 꼭짓점에서 출발하여 연결된 변을 따라 한 번 지난 변을 반복하지 않고 다른 꼭짓점으로 이동하는 길을 경로라고 한다. 풀이 전략 풀이

경로의 수

예제

꼭짓점이 A, B, C, D, E로 5개이고 꼭짓점 A에 연결된 변이 4개인 그래프 G의 꼭짓

점 B, C, D, E 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬이 오른쪽과 같다. 이때, 그래프 G의 꼭

짓점 A에서 출발하여 꼭짓점 D로 가는 경로 중 변의 개수가 3인 경로의 수는?

① 2

② 3

③ 4

④ 5

⑤ 6

어떤 두 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬을 각각 P, Q라 하자. 두 행렬 P, Q

에 대하여 행렬 P+Q와 P-Q는 각각 다음과 같다.

행렬 P+Q 행렬 P-Q

행렬 P가 나타내는 그래프의 꼭짓점 B에서 출발하여 한 번 지난 꼭짓점은 다시 지나지 않고 꼭짓점 E

로 가는 경로 중 변의 개수가 2인 경로의 수를 구하시오.

2

꼭짓점이 A, B, C, D, E인 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타

내는 행렬이 오른쪽과 같다. 이 그래프의 꼭짓점 A에서 출발하여 꼭짓점 E

로 가는 경로 중 변의 개수가 3인 경로의 수는?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

1

‚

0 1 0 1

1 0 1 1

0 1 0 1

1 1 1 0

·

B

C

D

E

B C D E

A B C D E 정답과 풀이 18`쪽

‚

0 1 1 1 0

1 0 1 0 1

1 1 0 1 1

1 0 1 0 1

0 1 1 1 0

·

A

B

C

D

E

A B C D E

‚

0 2 0 0 1

2 0 1 2 2

0 1 0 0 2

0 2 0 0 2

1 2 2 2 0

·

A

B

C

D

E

A B C D E

‚

0 0 0 0 1

0 0 1 0 0

0 1 0 0 0

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

·

A

B

C

D

E

A B C D E

오른쪽 행렬은 꼭짓점이 P, Q, R, S로 4

개이고 변의 개수가 3인 그래프의 각 꼭짓점

사이의 연결 관계를 나타내는 행렬 A와 행렬

A¤ 이다. 이때, 정수 a, b, c, d 값의 순서쌍

(a, b, c, d)로 옳은 것은?

① (1, 2, 1, 2)

② (1, 2, 2, 1)

③ (2, 1, 2, 1)

④ (2, 2, 1, 1)

⑤ (1, 1, 2, 2)

3

그래프의 연결 관계를 나타내는 행렬 M의 성분들은 모두 0 또는 1이다. 그리고 행렬 M의 성분들은 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선을 기준으로 대칭이어야 하므로 p=q, r=s이다. 이때, 꼭짓점 C에서 중간에 한 꼭짓점을 거쳐 다시 꼭짓점 C로 가는 방법의 수는 행렬 M의 제`3행의 성분의 합이 고, 꼭짓점 C에서 중간에 한 꼭짓점을 거쳐 꼭짓점 D로 가는 방법의 수는 행렬 M¤ 의 (3, 4)성분이다. 즉, 행렬 M의 제`3행의 성분의 합은 q+1+0+1+1=4 ∴ q=1 행렬 M¤ 의 (3, 4)성분은 (q 1 0 1 1) =q+s=1 ∴ s=0 따라서 행렬 M은 오른쪽과 같고 꼭짓점 D에서 중간에 한 꼭짓점을 거쳐 꼭짓점 A로 가는 방법의 수는 행렬 M¤ 의 (4, 1)성분이므로 (1 0 1 0 0) =1이다. 1

‚

0 0 1 1 0

·

‚

1 0 1 0 s

·

⑴ 행렬 M¤ 의 (i, i)성분은 제`i행(제`i열)에 해당하는 꼭짓점에 연결된 변의 개수와 같다.

⑵ 행렬 M¤ 의 (i, j)성분은 제`i행에 해당하는 꼭짓점에서 출발하여 한 개의 꼭짓점만을 지나 제`j열에 해당하는 꼭짓점으로 가 는 방법의 수와 같다. www.ebsi.co.kr 풀이 전략 풀이

그래프를 나타내는 행렬

예제

한 꼭짓점에서 자기 자신으로 가는 변이 없고, 두 꼭짓점 사이에 많아야 한 개의 변이 존

재하며 5개의 꼭짓점을 가지는 그래프 G의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행

렬 M이 오른쪽과 같다. 꼭짓점 C에서 중간에 한 꼭짓점을 거쳐 다시 꼭짓점 C로 가는

방법은 4가지이고, 꼭짓점 C에서 중간에 한 꼭짓점을 거쳐 꼭짓점 D로 가는 방법은 한

가지 뿐이다. 이때, 꼭짓점 D에서 중간에 한 꼭짓점을 거쳐 꼭짓점 A로 가는 방법의 수

를 구하시오.

‚

0 0 p 1 0

0 0 1 0 1

q 1 0 1 1

1 0 1 0 r

0 1 1 s 0

·

A

B

C

D

E

A B C D E

‚

0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0

·

A B C D E A B C D E

‚

a

0

1

0

b

1

c

0

d

·

P

Q

R

S

‚

0

1

1

0

1

0

1

0

·

P

Q

R

S

P

Q

R

S

P

Q

R

S

정답과 풀이 19`쪽 행렬 A 행렬 A¤

출제 경향 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성질을 이해하고 이것을 활용하여 행렬의 성분을 구하 거나 같은 그래프를 찾는 문제가 출제되고 있다.

출제 경향 & 대표 기출 문제

오른쪽 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성

분 중 0의 개수는?

[3점]

① 18

② 20

③ 22

④ 24

⑤ 26

ㅣ출제의도ㅣ 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성질을 알고 있는지를 묻는 문제이다. 2013학년도 대수능 6월 모의평가

2

그래프 G를 나타내는 행렬 M이 오른쪽과 같다. 그래프 G의 꼭짓점

의 개수를 a, 변의 개수를 b라 할 때, a+b의 값을 구하시오.

[3점] ㅣ출제의도ㅣ 그래프를 나타내는 행렬을 통하여 그래프의 특성을 파악할 수 있는지를 묻는 문제이다. 2013학년도 대수능 9월 모의평가

3

오른쪽 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든

성분의 합은?

[3점]

① 6

② 8

③ 10

④ 12

⑤ 14

ㅣ출제의도ㅣ 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 행렬로 나타낼 수 있는지를 묻는 문제이다. 2013학년도 대수능

1

정답과 풀이 19`쪽

M=

‚

0 1 1 1 1

1 0 1 1 1

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 1 0 1 0

·