• 수학학습심리학

수학

수학 학습 학습 심리학 심리학

• 수학학습심리학

– 사람들은 수학에 대하여 어떻게 사고하는가?

– 수학적 개념의 이해가 어떻게 발달되는가?

– 수학적 경험과 지능이 어떻게 결합되어 수학 적 능력을 형성하는가?`

적 능력을 형성하는가?`

• 행동주의 심리학

– 연구의 대상: 관찰가능하고 측정 가능한 외현적 행동 – 파블로프, 손다이크, 스키너, 거스리, 홀, 가네

– 알고리즘이나 단순한 개념, 원리를 지도하는 것과 관련하여 적용 할 수 있으나 복잡한 문제해결 등의 학습에는 부적절

• 형태주의 심리학

– 전체는 부분의 합 이상

– 문제를 해결할 때의 통찰력 – 베르트하이머, 쾰러

– 행동주의로 설명이 불가능한 문제해결 등의 고차적 내용 학습 설 명 가능

• 행동주의 vs. 유심론자

• 연합주의 vs. 형태심리학

• 신행동주의 vs. 인지심리학

• 신행동주의 vs. 인지심리학

• 아리스토텔레스
연합주의: 백지설

• 플라톤
듀이, 형태심리학 : 지식의 바탕이 되

는 기본 소양을 갖고 있어야 함

• 구조주의

– 새수학 운동, 교육의 과정 – 브루너, 디너스

• 구성주의

– 학생들이 스스로 수학적 개념을 구성

– 조작적 구성주의, 급진적 구성주의, 사회적 구성주의

학습목표

• 학생들의 인지적 상태가 어떻게 변화하는지, 수학

적 사고 과정의 발생은 어떠한지 각각의 심리학별

로 이해하고, 본인의 입장을 갖는다.

목차

1. 연합주의(connectionism 또는 associations) 2. 형태주의

3. 가네

4. 브루너

5. 오수벨

6. 듀이

7. 피아제

8. 비고츠키

9. 스켐프

10.디너스

1. 연합주의 심리학

1. 연합주의(연결주의) 심리학

• 최초의 심리학

• 대표적 학자: 손다이크, 스키너, 파블로프

• 대표적 학자: 손다이크, 스키너, 파블로프

• 손다이크, 스키너

-심리학의 연구 결과를 아동들의 수학 학습에

적용하는 연구를 수행

<손다이크의 산술심리학>

형식도야설 부정

동일요소설 주장: 내용이나 절차에 동일한 요소가 있을 때 학 습의 전이가 가능

연결주의: 학습은 외부 자극과 그에 대한 유기체의 반응으로 이루어진다는 입장

• 연결(또는 결합; bond, connection): 자극-반응의 관계를 나타내는 것

• 두 자리 수의 세로 덧셈 시 본드

– 어떤 것을 더할 때 열(column)을 나란히 맞추기

– 그것에 다음 수를 더할 때까지 각 덧셈의 결과를 기억하기 – 보이는 수를 생각하고 있는 숫자에 더하기

– 열에서 빈칸은 무시 – 열에서 0은 무시

• 계산을 부정확하게 한다면 본드가 약한 것임

• 연습의 법칙: 모든 학습은 연습을 통해 향상되고 바람직한 행동의 변화를 가져옴. 이때 보상이 없는 연습은 비효과적

• 효과의 법칙: 어떤 자극과 반응 사이의 결합이 형성되고 만 족스러운 결과가 수반되면 자극-반응의 결합의 강도는 증 대

• 준비성의 법칙: 학습자가 준비되어 있을 때 학습해야 효과

• 준비성의 법칙: 학습자가 준비되어 있을 때 학습해야 효과 적. 물리적 뿐 아니라 심리적 준비

• 초등교육의 목표- 인간 본성의 변화를 낳는 것

인간 본성의 변화는 수많은 연결과 결합으로 표현됨

• 산술의 심리학 (1922) : 수의 의미, 십진기수법의 원리, 사칙

계산의 의미, 측정의 본질 및 관계, 정수 및 분수와 소수의

사칙 계산, 문제해결 능력, 백분율과 이자

• 연역적 설명: 곱, 피승수, 승수의 의미 설명
623과 3의 곱셈: 일 의 자리, 십의 자리, … 순으로

• 귀납적 설명: 문제 상황 제시(32명의 아이들이 소풍을 가서 4개의 샌드위치를 먹으면 몇 개가 필요할까?)
4와 2의 곱, 4와 3의 곱

32와 2의 곱, 2와 32의 곱, 32와 3의 곱 문제 계속 제시

• 귀납적 추론에 의해 계산방법을 이해한다고 봄

• 연역적 설명은 5학년 정도 되어야 이해

<손다이크의 산술심리학>

• 연역적 설명은 5학년 정도 되어야 이해

• 교수 방법

– 설명은 가능한 한 적게

– 사고에 영향을 주지 않는 형태로 조작을 연습

– 연역적 설명과 상관 없이 정확하게 계산하는 법을 지도해야
연역적 설명은 부수적인 것이 되어야

• 비판

– 수학을 구조를 고려하지 않은 채 관련성 없는 고립된 요소로 분해하여 기계적으로 연습시키는 것을 정당화 – 의미나 관련성의 이해와 개념, 원리, 법칙의 발견 및

문제해결보다 분리된 개별적 사실의 암기를 강조

<손다이크의 산술심리학>

문제해결보다 분리된 개별적 사실의 암기를 강조

– 연습에 의한 습관화를 중시

• 반응

– 수동: 반사적 행동과 같이 어떤 자극에 의해 일어나며 다른 자 극에 조건화되는 반응. 무릎 반사

– 작동: 특별한 자극 없이도 일어나는 유기체의 자발적인 반응

• 작동 학습이 중요

<스키너의 강화의 원리>

• 강화 : 특정 행동이 일어날 확률을 높이는 자극의 효과.

‘효과의 법칙’을 확장한 것

– 학습 속도를 증대시키는 데는 계속적 강화가 효과적

– 고정 비율 강화가 고정 간격 강화보다 반응 속도를 높이고 지 속적이 되게 한다

– 처벌은 강화가 아니다

< 스키너의 강화의 원리>

• 프로그램 학습법

– 명확한 학습목표(관찰가능하고 측정 가능한 행동 용어) – 목표에 이르는 길을 소규모 단계로 구성

– 학생의 적극적 반응 강조 – 즉각적 피드백

–

– 긍정적 강화 강조. 쉽고 간단한 것에서 시작하여 답을 맞추면 긍 정적 강화를 주어 동기 유발

– 개별 교수 가능

• 비판 : 아동을 단순한 동물로 취급. 지적인 성취를 부당하

게 기계적으로 분해, 교육=훈련

<연합주의 심리학에 대한 비판>

• 형태심리학자(쾰러, 베르타이머)

: 인간은 어떤 조직 원리를 갖고 그것에 근거하여 해석함으로써 이해에 이른다.

: 인간은 지각하는 것 가운데 구조를 보려는 경향, 특히 전체적인 모양이나 형태를 찾으려는 성향이 일반적 전체적인 모양이나 형태를 찾으려는 성향이 일반적 연합주의 심리학 형태주의 심리학 과거의 경험으로부터의 해

결 습관들의 응용에 관심

새로운 상황에 대한 창의적

이고 신기한 해결에 관심

2. 형태주의 심리학

• 인간의 지각 과정의 조직에 관심

• 쾰러: 원숭이의 행동을 인간 행동에 비유.

– 침팬지도 문제를 해결하기 위해 통찰력을 사용 – 과거의 경험을 재구성해서 구조가 변화

2. 형태주의 심리학

– 과거의 경험을 재구성해서 구조가 변화

– 흔적 체계: 어떤 자극에 의한 사고 과정은 뇌에 화학 물질 형태의 흔적을 남긴다

• 베르트하이머의 생산적 사고

– 원리의 이해를 기초로 하는 사고 – 문제의 전체적인 구조를 중시

– 사고 조작에 의해 문제의 내적인 관련성을 파악

– 수학적 원리를 이해하면 문제를 단순화시키고, 계산 시간과 단계를 줄이 며, 계산의 오류를 줄일 수 있다.

• 평행사변형 넓이 문제

– 맹목적인 알고리즘을 이용 한 해결은 어리석음

– 문제 구조에 대한 진정한 이해가 생산적 사고

• 베르트하이머의 견해에 따른 수학 학습-지도

① 교사가 제시한 다양한 방법의 접근을 학생들 스스로 시도해보 고 교사는 도와주는 입장을 보이면서 서서히 어떤 문제해결을 위한 옳은 방법을 발견해야 한다.

② 학생 스스로의 시도 안에는 몇 개의 조작이나 단계에 의한 문

② 학생 스스로의 시도 안에는 몇 개의 조작이나 단계에 의한 문 제해결 과정의 합이 있다고 보는 것이 아니며 단순히 따라 하 기 식의 시행착오는 옳지 못하다.

③ 학생들은 문제해결에 필요한 전체적인 Good Gestalt를 형성하 도록 안내 받고 스스로 노력해야 한다.

➃ 교사는 때로는 학생들을 당혹스럽게 만들 수 있는 문제를 제 시함으로써 인지적 갈등 상황을 유발할 줄 알아야 하며, 아동 은 인지적 갈등 상황을 해결하기 위해 여러 방면으로 고찰하면 서 진정한 수학적 활동을 경험해야 한다.

• 게슈탈트의 원리

– 전체는 부분의 합과 다르다

– 하나의 전체로서의 짜임새, 거기에도 그 안에 몇 개의 부분으로 분절되어 기능적으로 하나의 단위를 이루면서 다른 게슈탈트와는 구별되는 각자의 개성을 지니는 것

• 관계적 결정 원리

–

2. 형태주의 심리학

– 전체: 요소의 단순한 모자이크적인 집합이 아니며 그 자체를 구조화 하여 게슈탈트를 형성하고 내적 관련성을 보유

– 부분: 전체 속으로 편입된 요소, 짜임새 있는 게슈탈트 전체 속의 부분

• 통찰력

– 게슈탈트 연구의 초점

– 전체 속의 한 요소를 전체와 관련시켜 목표 달성을 위한 도구로 사용하여 문제를 해결하고자 하는 심리 과정

– 문제해결에 관한 게슈탈트 관점에서 통찰력은 전체로써 문제의 이해에서 나오고 전체에 대한 부분의 관계에서 나온다.

• 카토나: 유의미 학습 vs. 무의미 학습

⇒ 새로운 상황으로서의 지식의 전이 설명

⇒ 1491625364964

– 문제의 적절한 표상에 대한 필요성과 그 기초적인 수학적 구 조에 중점

– 정신 과정의 또 다른 면을 활성화시키는 본질적인 특징은 해 결 전략

<의미있는 학습>

결 전략

• 문제해결은 게슈탈트 저작에서 분명하지 않지만, 게슈탈트 이론과 지도와 직접 관련된 폴리아의 연구에서 일반적인 문 제해결 능력을 향상시키고 통찰력의 가능성을 증가시키는 구체적인 제안들이 제시될 수 있다

• 폴리아는 통찰력의 출현을 활성화시키는 목표 분석과 문제

재형성을 촉진시킴으로써 형태 이론에 영향을 받았다.

• 전통 논리학: 개념을 파악하고 판단을 하는 상황에서 공통 성질을 찾 아 보편적인 원리를 확립

• 연합주의: 연결을 수립하기 위한 많은 문제에 대한 반복적 훈련

• 의미 있는 구조화: 구조적 전이

• 생산적 사고의 기반이 되는 구조는 종종 수학의 구조로 정의될 수 있

형태주의 심리학의 교육적 시사 점

• 생산적 사고의 기반이 되는 구조는 종종 수학의 구조로 정의될 수 있 다

• 나선형 교육과정 – 수학적 구조의 부분을 가르치기 위해

• 문제해결 과제에 대한 지적 표상(representation)이 중요

• 한계: 통찰의 과정을 분석하는 데에 실패, 문제해결 전략에 대한 고 찰이 부족