우석대학교 에너지전기공학과

공학수학 (12)

우석대학교 에너지공학과

이우금 교수

7-2. 벡터의 합과 차 7-2-1. 벡터의 합  평행사변형 또는 삼각형법 Ԧ 𝐴 + 𝐵 = Ԧ𝐶 7-2-2. 벡터의 차  𝐴 − 𝐵 = ԦԦ 𝐶 7-2-3. 벡터의 합과 차의 표기  공간좌표의 두 점 𝐴(𝐴𝑥, 𝐴𝑦, 𝐴𝑧) 와 𝐵 𝐵𝑥, 𝐵𝑦, 𝐵𝑧 에 대한 각각의 위치벡터를 구하면, Ԧ 𝐴 = 𝐴_𝑥𝑖 + 𝐴_𝑦𝑗 + 𝐴_𝑧𝑘 𝐵 = 𝐵_𝑥𝑖 + 𝐵_𝑦𝑗 + 𝐵_𝑧𝑘  두 벡터 Ԧ𝐴와 𝐵의 합과 차를 구하면, Ԧ 𝐴 ± 𝐵 = (𝐴_𝑥𝑖 + 𝐴_𝑦𝑗 + 𝐴_𝑧𝑘) ± (𝐵_𝑥𝑖 + 𝐵_𝑦𝑗 + 𝐵_𝑧𝑘) = (𝐴 ± 𝐵 )𝑖 + (𝐴 ±𝐵 )𝑗 + (𝐴 ± 𝐵 )𝑘 Ԧ 𝐴 𝐵 Ԧ 𝐶 𝑂 Ԧ 𝐴 𝐵 Ԧ 𝐶 𝑂 −𝐵 7. 벡터

7-2-4. 벡터의 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙  교환법칙 Ԧ 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + Ԧ𝐴  결합법칙 Ԧ 𝐴 + 𝐵 + Ԧ𝐶 = Ԧ𝐴 + (𝐵 + Ԧ𝐶)  분배법칙 𝑚 Ԧ𝐴 + 𝐵 = 𝑚 Ԧ𝐴 + 𝑚𝐵 7-2-5. 위치벡터와 변위벡터  위치벡터: 좌표계에서 시점을 원점으로 취하는 벡터  변위벡터: 시점을 원점으로 취하지 않는 벡터 7. 벡터

예제 2-1) 좌표 상의 한 점 A(3, -2) 에서 점 B(4, 3)까지 직선으로 이동하였다. 이때 A에서 B로 이동하는 변위벡터 C와 벡터 C 의 단위벡터를 구하라.  점 A(3, -2)와 B(4, 3)의 위치벡터를 구하면, Ԧ 𝐴 = 3𝑖 − 2𝑗 𝐵 = 4𝑖 + 3𝑗  변위벡터 Ԧ𝐶는 종점의 위치벡터에서 시작점의 위치벡터를 뺀 차. Ԧ 𝐶 = 𝐵 − Ԧ𝐴 = 4𝑖 + 3𝑗 − 3𝑖 − 2𝑗 = 4 − 3 𝑖 + 3 + 2 𝑗 = 𝑖 + 5𝑗  벡터 Ԧ𝐶 의 단위벡터 𝑎 Ԧ𝑎 = 𝐶_𝐶Ԧ = 𝑖+5𝑗 12₊₅2 = 𝑖+5𝑗 26 4 3 𝑦 𝑥 𝐵 0 𝐴 -2 3 -𝐴 𝐶 𝐶 𝑎 7. 벡터

중간시험 총정리 1. 행렬 (matrix)  행렬의 정의  수 또는 문자(수를 나타내는)를 괄호 안에 사각형의 형태로 배열한 것.  괄호 안의 수 또는 문자를 행렬의 원소(element) or 성분(component) 이라 함.  행렬의 가로 줄을 행(row), 세로 줄을 열(column) 이라 함.  행렬은 일반적으로 A, B, C, … 등의 고딕체 문자로 표기.  한 행으로 구성된 행렬: 행 행렬 또는 행 벡터  한 열로 구성된 행렬: 열 행렬 또는 열 벡터

2 3

4 5

6 7

𝑎

𝑎

… 𝑎

𝑎

𝑎

… 𝑎

.

.

.

𝑎

.

.

.

𝑎

.

.

.

𝑎

 특수행렬

 정방행렬 (square matrix): 행렬의 열과 행의 수가 같은 행렬

(1) 정방행렬의 차수: m×m 행렬을 m차 정방행렬 이라 하고, m을 행렬의 차수(order)라 함. (2) 주 대각선(점선): 정방행렬의 첫 원소부터 마지막 원소를 대각선으로 연결한 선.

(3) 주대각 원소(principal diagonal element): 주 대각선상에 위치한 원소.

(4) 대각행렬 (diagonal matrix): 주대각 원소를 제외한 모든 원소가 0인 정방행렬.

(5) 단위행렬 (identity or unit matrix): 대각행렬에서 주대각 원소가 1일 행렬, I 로 표기 함. (6) 삼각행렬 (triangular matrix); 주대각 원소의 위 또는 아래의 모든 원소가 0인 행렬. (7) 대칭행렬 (symmetric matrix): 주대각선에 대칭인 행렬. 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃ 주대각 원소 ( 𝑎11, 𝑎22, 𝑎33, 즉𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑖 ) 예) 3차 정방행렬 A = 𝑎11 0 0 0 𝑎22 0 0 0 𝑎33 <대각행렬> A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 <단위행렬> A = 𝑎₁₁ 0 0 𝑎21 𝑎22 0 𝑎31 𝑎32 𝑎33 or 𝑎11 𝑎12 𝑎13 0 𝑎22 𝑎23 0 0 𝑎33 <삼각행렬> A = 1 4 5 4 2 6 5 6 3 <대칭행렬> A = 행렬

 영행렬 (null matrix): 행렬의 모든 원소가 0인 행렬.  전치행렬 (transpose matrix): (1) 행렬 A 에서 행과 열을 바꾼 행렬. (2) 행렬 A 의 전치행렬의 표시: 𝐴𝑇, ( 𝑎_𝑖𝑗 = 𝑏_𝑗𝑖 ) ※ A와

𝑨

1 4 5

6 2 7

7 8 3

1 6 7

4 2 8

5 7 3

𝑨

 행렬의 연산  행렬의 곱 (1) 두 행렬의 곱 AB 는 A 의 열과 B 의 행의 수가 경우에 만 정의 된다. (2) 즉, 행렬 A(m×n)와 B (n×p) 의 곱은 C(m×p) 행렬이 된다. (3) 그러므로, 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않음 (즉, AB ≠ BA )

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

,

𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

(𝑎

𝑏

+ 𝑎

𝑏

) (𝑎

𝑏

+ 𝑎

𝑏

) (𝑎

𝑏

+ 𝑎

𝑏

)

(𝑎

𝑏

+ 𝑎

𝑏

) (𝑎

𝑏

+ 𝑎

𝑏

) (𝑎

𝑏

+ 𝑎

𝑏

)

6. 행렬식 (determinant)  행렬식의 정의  행렬식은 반드시 행과 열의 수가 같은 정방행렬에서 만 정의됨.  n×n 인 정방행렬에 대한 행렬식을 n차 행렬식이라 함.  행렬식과 행렬을 구분하기 위하여 원소집합의 양쪽에 두 개의 수직선“ ”의 기호로 표시.  행렬 A의 행렬식은 det(A) 또는 𝑨 로 표시함. ※ 행렬식 det(A)은 행렬 A의 함수.

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

 행렬식의 전개

 사러스(Sarrus) 방법  시계 방향의 곱에는 (+), 반 시계 방향의 곱에는 (-)를 붙여 계산 함.  사러스 방법에 의한 2차 행렬식 전개  3차 행렬식의 전개

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

= 𝑎

𝑎

− 𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

= 𝑎

𝑎

𝑎

+ 𝑎

𝑎

𝑎

+ 𝑎

𝑎

𝑎

− 𝑎

𝑎

𝑎

−𝑎

𝑎

𝑎

− 𝑎

𝑎

𝑎

 라플라스 전개법  소 행렬식 (minor determinant) - 행렬식에서 𝑎_𝑖𝑗 가 속하는 행과 열을 제외한 나머지 원소로 이루어진 행렬식. - 이 행렬식을 𝑀_𝑖𝑗 로 표기함.  여인수 (𝐴𝑖𝑗 ) - 소 행렬식 (𝑀_𝑖𝑗)에 부호 (−1)𝑖+𝑗 _{를 곱한 것.} - 원소의 행 번호와 열 번호의 합인 (i+j) 가 짝수이면 (+), 홀수이면 (-) 부호를 붙인다.

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑀

=

𝐴

=(−1)

ㆍ𝑀

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

(2) 행렬A 의 두 행(또는 열)이 일치하거나 비례하면, 그 행렬식의 값은 0. 1 1 2 3 23 3 0 1 = 0 det(A ) = 1 2 2 3 40 3 6 1 = 0 det(B ) = (3) 행렬A 의 한 행(또는 열)의 모든 원소가 0이면, 행렬식의 값은 0. (4) 대각행렬 및 삼각행렬의 행렬식의 값은 주대각 원소의 곱과 같다. 𝑎₁₁ 0 𝑎₂₁ 𝑎₃₁ 0₀ 𝑎₁₃ 𝑎₂₃ 𝑎33 = 0 det(A ) = 2 0 0 (대각행렬의 행렬식) 2 5 7 (삼각행렬의 행렬식) 행렬식  기본 행연산  행렬식의 성질을 이용하여 주어진 행렬식을 단순화 또는 축소시켜 간단히 구하는 방법.  행렬식의 성질 (1) 행렬A 와 전치행렬 𝑨𝑻_{의 행렬식은 같다.}

(5) 행렬식의 한 행(또는 열)에 k배 한 것은 행렬식의 값에 k 배 한 것과 같다. (6) 행렬식의 두 행(또는 열)을 서로 바꾸면, 바꾼 행렬식의 값은 -1을 곱한 것과 같다. (7) 행렬식의 한 행(또는 열)에 k배를 다른 행에 더해도 행렬식의 값은 변치 않는다. 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 1 12 1 10 0 1 1 = 1 + 0 + 1 − 0 + 2 + 0 = 0 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = (2− 2 × 1)1 1 1 (1− 2 × 1) 0 0 (1− 2 × 0) 1 = 10 1 1 −10 0 1 1 = −1 + 0 + 1 − 0 = 0 1 2 2 1 40 0 1 1 = det(A ) = 2 1 1 2 1 20 0 1 1 = det(A ) = 1 2 2 1 10 0 1 1 det(A ) = -2 1 1 0 21 0 1 1 det(A) = 행렬식

 예제) 행렬식 A 의 값을 기본행 연산과 라플라스 전개를 이용하여 구하라. 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 3 −1 2 −5 1 2 −1 2 3 1 −1 1 1 −2 2 3 1) 1열과 2열을 교환 2) 1행×(-2) + 2행 3) 1행×1 + 3행 4) 1행×2 + 4행 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = − 1 2 −1 −2 3 2 −1 −1 3 1 2 1 1 −5 2 3 = − 1 2 − 2 −1 + 1 −2 + 2 3 2 −1 −1 − 6 3 − 4 1 + 2 2 + 3 1 + 2 1 − 1 −5 + 6 2 + 4 3 − 2 = − 1 0 0 0 3 2 −1 −7 −1 3 5 3 0 1 6 1 = −(𝑎₁₁𝐴₁₁+ 𝑎₂₁𝐴₂₁+ 𝑎₃₁𝐴₃₁+ 𝑎₄₁𝐴₄₁) = −(𝑎₁₁ 𝑀₁₁− 𝑎₂₁𝑀₂₁+ 𝑎₃₁𝑀₃₁− 𝑎₄₁𝐴₄₁) 5) 제 1열에 관한 전개 𝐴_𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗_ㆍ𝑀 𝑖𝑗 행렬식 0 0 0